湖南省新高考教學(xué)教研聯(lián)盟2025屆高三下學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

第1頁/共1頁2025屆新高考教學(xué)教研聯(lián)盟高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解對(duì)數(shù)不等式，利用集合的交集運(yùn)算即可得出結(jié)果.【詳解】解不等式得：，所以又，所以.故選：B.2.若（為虛數(shù)單位），則（）A. B.4 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知條件求出，再求出，最后計(jì)算的值.【詳解】已知，則.化簡(jiǎn)得到，軛復(fù)數(shù).

可得：

故選：C.3.已知，均為非零向量，其夾角為，則“”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)求出，分析充分性，根據(jù)求出分析必要性.【詳解】因?yàn)?，所以或，?dāng)時(shí)，則，同向共線，則，則充分性不成立，若，則，反向共線，則，此時(shí)，即必要性成立，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：C.4.若甲組樣本數(shù)據(jù)（數(shù)據(jù)各不相同）的平均數(shù)為5，乙組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為12，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A.B.乙組樣本數(shù)據(jù)的方差是甲組樣本數(shù)據(jù)方差的9倍C.兩組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)可能相等D.兩組樣本數(shù)據(jù)的極差可能相等【答案】D【解析】【分析】由甲組平均數(shù)為，乙組平均數(shù)為可得選項(xiàng)A正確；由乙組樣本數(shù)據(jù)的方差是甲組樣本數(shù)據(jù)方差的倍可得選項(xiàng)B正確；根據(jù)中位數(shù)和極差的概念可得選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.【詳解】A.設(shè)甲組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則乙組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，由，得，A正確.B.乙組樣本數(shù)據(jù)的方差是甲組樣本數(shù)據(jù)方差的倍，B正確.C.設(shè)甲組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，則乙組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，由得，，故兩組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)可能相等，C正確.D.不妨設(shè)，則甲組數(shù)據(jù)的極差為，乙組數(shù)據(jù)的極差為，∵甲組數(shù)據(jù)各不相同，∴兩組樣本數(shù)據(jù)的極差不相等，D錯(cuò)誤.故選：D.5（）A.2 B.4 C. D.【答案】B【解析】【分析】將轉(zhuǎn)化為并展開即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，所?故選：B.6.已知滿足，且，則的值為（）A.6072 B.6075 C.6078 D.6069【答案】A【解析】【分析】通過賦值法得出，再通過賦值得出，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，且，令，則，解得，令，，則，即是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，故選：A.7.設(shè)為雙曲線的右焦點(diǎn)，，分別為的兩條漸近線的傾斜角，已知點(diǎn)到其中一條漸近線的距離為1，且滿足，則雙曲線的焦距為（）A. B.2 C. D.4【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)雙曲線的性質(zhì)求出焦點(diǎn)到漸近線的距離，再結(jié)合漸近線傾斜角的關(guān)系求出，進(jìn)而求出，，的關(guān)系，最后求出雙曲線的焦距.【詳解】雙曲線，其漸近線方程，不妨設(shè)，.右焦點(diǎn)到漸近線（不妨取這條）的距離為.根據(jù)雙曲線的性質(zhì)，則，已知點(diǎn)到其中一條漸近線的距離為，所以.因?yàn)?，分別為的兩條漸近線的傾斜角，且，又，所以，解得.可得，即，解得.可得，所以.雙曲線的焦距為.故選：D.8.已知有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】通過換元，得到，結(jié)合的圖像，問題轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)必有兩個(gè)零點(diǎn)，一個(gè)零點(diǎn)在內(nèi)，一個(gè)零點(diǎn)在內(nèi)，進(jìn)而可求解；【詳解】令，研究，當(dāng)時(shí)，易知函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，得到最大值，畫出草圖：由圖像可知，要使得有4個(gè)零點(diǎn)，則必有兩個(gè)零點(diǎn)，一個(gè)零點(diǎn)在內(nèi)，一個(gè)零點(diǎn)在內(nèi)，由二次函數(shù)零點(diǎn)分布可得：，解得：，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選：C二、選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在上，則（）A.的離心率為B.的周長為5C.的最大值為3D.的最小值為8【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)的關(guān)系可得選項(xiàng)A正確；利用橢圓的定義可得選項(xiàng)B錯(cuò)誤；當(dāng)點(diǎn)在橢圓的右頂點(diǎn)處時(shí)可得選項(xiàng)C正確；利用基本不等式可得選項(xiàng)D正確.【詳解】A.由題意得，，故離心率為，A正確.B.由橢圓的定義得，，∴的周長為，B錯(cuò)誤.C.當(dāng)點(diǎn)在橢圓的右頂點(diǎn)處時(shí)，的最大值為，C正確.D.因，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴的最小值為8，D正確.故選：ACD.10.記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，則（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于A，由已知條件結(jié)合分析判斷，對(duì)于B，利用余弦定理和正弦定理結(jié)合已知條件可得，然后利用正弦函數(shù)的性質(zhì)分析判斷，對(duì)于C，由選項(xiàng)B可知，則，從而可判斷的范圍，對(duì)于D，由正弦定理結(jié)合及二倍角公式得，再結(jié)合可求出其范圍進(jìn)行判斷.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋?，所以，所以，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，因?yàn)?，所以由余弦定理得，所以由正弦定理得，所以，因?yàn)?，所以或，若，則，所以，此時(shí)，所以，則，此時(shí)，所以B正確，對(duì)于C，由選項(xiàng)B可知，所以，所以，所以C正確，對(duì)于D，由正弦定理得，因?yàn)椋?，所以，所以，所以，所以，所以D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查正弦定理和余弦定理的綜合問題，解題的關(guān)鍵是利用這兩個(gè)定理進(jìn)行邊角互化，再三角函數(shù)質(zhì)求解，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于較難題.11.如圖，一個(gè)三角形被分成9個(gè)房間，稱有公共邊的2個(gè)房間為相鄰房間，一個(gè)小球每次從一個(gè)房間等概率地移動(dòng)到相鄰房間，則（）A.將2個(gè)小球放至不同的房間，則房間不相鄰的概率為B.將個(gè)小球放至不同的房間，若房間兩兩不相鄰，則C.小球從房間出發(fā)，4次移動(dòng)后到達(dá)房間的移動(dòng)路徑有6種D.小球從房間出發(fā)，20次移動(dòng)后到達(dá)房間的概率為【答案】ABD【解析】【分析】A項(xiàng)列舉法求出房間相鄰的情況，由古典概型與對(duì)立事件的概率公式求解；B項(xiàng)給出取6個(gè)房間且兩兩不鄰的例子，由房間均與個(gè)房間相鄰，分析取個(gè)房間必有相鄰情況；C項(xiàng)列舉可得；D項(xiàng)先列舉從到達(dá)的情況求出相應(yīng)條件概率，再利用全概率公式寫出遞推關(guān)系，構(gòu)造數(shù)列求通項(xiàng)進(jìn)而求具體概率即可.【詳解】A項(xiàng)，任取兩個(gè)房間，相鄰有種情況：，所以任取兩個(gè)房間不相鄰的概率為，故選項(xiàng)A正確；B項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，可將小球放在，此時(shí)房間兩兩不相鄰；當(dāng)時(shí)，房間均與個(gè)房間相鄰，則從個(gè)房間任意抽走個(gè)房間后，總有相鄰的房間，所以，故選項(xiàng)B正確；C項(xiàng)，小球從房間出發(fā)，次移動(dòng)后到達(dá)房間有種路徑：；；；；；；，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；D項(xiàng)，設(shè)小球從房間經(jīng)過次移動(dòng)到達(dá)房間的概率為，由題意可知為偶數(shù)，小球在房間，次移動(dòng)的路徑有：；小球在房間，次移動(dòng)的路徑有：；小球在房間，次移動(dòng)的路徑有：；所以，小球從房間出發(fā)，經(jīng)過偶數(shù)次移動(dòng)后一定在房間之一，且當(dāng)小球經(jīng)過次移動(dòng)到達(dá)房間時(shí)，第次移動(dòng)后必在房間之一，小球從房間或經(jīng)過次移動(dòng)到達(dá)房間的概率均為；小球從房間經(jīng)過次移動(dòng)到達(dá)房間的概率均為；，則，，，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，則，所以.故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決此題的關(guān)鍵是通過列舉分析得出小球從房間出發(fā)，經(jīng)過偶數(shù)次移動(dòng)后一定在房間之一，進(jìn)而分類分析應(yīng)用全概率公式得到概率遞推關(guān)系.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______________.【答案】【解析】【分析】由當(dāng)時(shí)，結(jié)合函數(shù)的圖象進(jìn)行求解．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象如下：符合題意，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象如下：不符合題意，結(jié)合圖象的平移，則實(shí)數(shù)a的范圍為：．故答案為：13.若函數(shù)在內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn)，則的最大值為______________.【答案】##【解析】【分析】利用輔助角公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的零點(diǎn)，最后根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)確定的取值范圍，進(jìn)而求出的最大值【詳解】已知，根據(jù)輔助角公式得到.

令，即，則.所以，，解關(guān)于的方程可得，.

因?yàn)?，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.由于函數(shù)在內(nèi)有個(gè)零點(diǎn)，所以.解得的取值范圍是.

可知，的最大值為.

故答案為：.14.將一個(gè)圓錐整體放入棱長為2正方體容器（容器壁厚度忽略不計(jì)）內(nèi)，圓錐的軸線與容器的體對(duì)角線重合，則圓錐體積的最大值為______________.【答案】【解析】【分析】在射線上分別取點(diǎn)，使得，則為等邊三角形，設(shè)內(nèi)切圓圓心為O，半徑為r，即求圓錐體積的最大值，當(dāng)平面經(jīng)過正方體中心時(shí)，，只考慮的情況，構(gòu)造函數(shù)求解.【詳解】解：設(shè)正方體容器為，在射線上分別取點(diǎn)，使得，則為等邊三角形，設(shè)的內(nèi)切圓圓心為O，半徑為r，即求圓錐體積的最大值，當(dāng)平面經(jīng)過正方體中心時(shí)，，只考慮的情況，則，，又三點(diǎn)共線，且平面，得，得，則，令，則因?yàn)椋?，得在上單調(diào)遞增，則，故圓錐體積的最大值為：故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在射線上分別取點(diǎn)，使得，設(shè)的內(nèi)切圓圓心為O，半徑為r，即求圓錐體積的最大值，只考慮的情況，構(gòu)造函數(shù)求解.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.某市統(tǒng)計(jì)了2024年4月的空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI），將其分為，，，的4組，畫出頻率分布直方圖如圖所示.若，稱當(dāng)天空氣質(zhì)量達(dá)標(biāo)；若，稱當(dāng)天空氣質(zhì)量不達(dá)標(biāo).（1）求；（2）從4月的30天中任取2天，求至少有1天空氣質(zhì)量達(dá)標(biāo)的概率；（3）若2024年6月的30天中有8天空氣質(zhì)量達(dá)標(biāo)，請(qǐng)完成下面2×2列聯(lián)表，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為空氣質(zhì)量是否達(dá)標(biāo)與月份有關(guān)聯(lián)？月份空氣質(zhì)量合計(jì)達(dá)標(biāo)不達(dá)標(biāo)4月

6月

合計(jì)

附：，0.10.050.012.7063.8416.635【答案】（1）0.002（2）（3）不能【解析】【分析】（1）由頻率和為1求解；（2）由對(duì)立事件的概率計(jì)算公式求解；（3）先求出列聯(lián)表，再計(jì)算卡方值進(jìn)行判斷即可．【小問1詳解】依題意得，，解得．【小問2詳解】由頻率分布直方圖知，4月份的空氣質(zhì)量達(dá)標(biāo)的天數(shù)為：，則4月份的空氣質(zhì)量不達(dá)標(biāo)的天數(shù)為：，則任取2天，至少有1天空氣質(zhì)量達(dá)標(biāo)的概率為：．【小問3詳解】列聯(lián)表如下：月份空氣質(zhì)量合計(jì)達(dá)標(biāo)不達(dá)標(biāo)4月1218306月82230合計(jì)204060零假設(shè)：空氣質(zhì)量是否達(dá)標(biāo)與月份無關(guān)，則所以根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分理由推斷假設(shè)不成立，故不能認(rèn)為空氣質(zhì)量是否達(dá)標(biāo)與月份有關(guān)聯(lián)．16.如圖，在中，，，是邊上一點(diǎn)，將沿翻折至，且平面平面.當(dāng)面積最大時(shí)：（1）求；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)三角面積公式，結(jié)合線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理、余弦定理進(jìn)行求解即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，即面積最大，又當(dāng)時(shí)，因?yàn)槠矫?，所以平面，而平面，所以平面平面，符合題意，顯然，因?yàn)椋?，所以，因此設(shè)，由余弦定理可知：【小問2詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，由（1）可知平面，所以平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，，于是有，所以二面角的余弦值為.17.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；（2）若是的極小值點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，確定函數(shù)的單調(diào)性，可知，分類討論和，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理即可得出答案.（2）求導(dǎo)，結(jié)合分類討論，求解函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極值的定義，即可求解.【小問1詳解】,令，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，又因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，①若，即，則，至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；②若，即，因?yàn)楫?dāng)趨于負(fù)無窮時(shí)，趨于負(fù)無窮，所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，,又在上單調(diào)遞減，，所以由零點(diǎn)存在性定理知，所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，所以在上有兩個(gè)零點(diǎn)，符合題意.綜上：.【小問2詳解】因?yàn)?，，在上單調(diào)遞增，，①當(dāng)時(shí)，，存在，使得時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以是的極大值點(diǎn)，不合題意；②當(dāng)時(shí)，，存在，使得時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以是的極小值點(diǎn)，符合題意；③當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以，即恒成立，所以在上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)，不合題意.綜上：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合問題的求解策略：（1）通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；（2）利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．（3）根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．18.拋物線的焦點(diǎn)為，，，是上的三個(gè)點(diǎn)，直線，均與圓相切，是上的任意一點(diǎn)，的最小值為3.（1）求的方程；（2）若，求的取值范圍；（3）若為定值，求.【答案】（1）（2）（3）或【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線定義轉(zhuǎn)化，結(jié)合最小值可求得的值，即可得到的方程.（2）利用切線長定理轉(zhuǎn)化角，借助銳角三角函數(shù)及二倍角公式可求的范圍，即可得到的取值范圍.（3）利用直線，均與圓相切得到的關(guān)系式，表示，結(jié)合其為定值可得的值.【小問1詳解】由題意得，，拋物線準(zhǔn)線為.過點(diǎn)作于點(diǎn)，由拋物線定義得，，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，最小值為，解得，∴的方程為.【小問2詳解】設(shè)直線與圓分別相切于點(diǎn)，連接，則，∴，且，∴，∵，∴，∴，∵，∴.【小問3詳解】∵，，∴直線方程為：，∵，∴直線方程為：，∵