拉格朗日數(shù)乘法

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拉格朗日數(shù)乘法給定二元函數(shù)z=fx、y和限制性條件tx、y=0，為尋找二元函數(shù)z=fx,y在附加條件即F′x=f′x+λt′那么二元函數(shù)的最值即在此處取到.如x>0，y>0，xy+x+y=17，求x+2y+3的最小值．第一步：構(gòu)造函數(shù)Fx,y,λ第二步：求導(dǎo)，F(xiàn)′x=1?λy?λ=0，第三步：聯(lián)立待入，聯(lián)立解得x=5，y=2，λ=13，故【典例1】x、y滿足4x2+【詳解】已知式與未知式中含x與y的兩個(gè)變量，符合給定二元函數(shù)z=fx、y和限制性條件tx、y=0，可以對(duì)三變量函數(shù)Fx、y、λ=fx,y+λt解析：F(x、y、λ)=2x+y+λF′FF分別求導(dǎo)聯(lián)立得x=1010，y=10故2x+y的最大值為22．設(shè)x>0，y>0，3x+2y+4x+【詳解】F(x、y、λ)=x?y+λ3F′F′F′由①②，消去λ可得3x③④結(jié)合可得3x整理得3x即3x因?yàn)閤>0，y>0，所以x+1>1,y+1>1，觀察到x=1，y=1滿足上式，又極值點(diǎn)唯一，故x?y的最小值為0.3.已知xy>0，且x2+2xy=1，則【詳解】拉格朗日數(shù)乘法構(gòu)造L(x,y,λ)=(對(duì)x求導(dǎo)，并令其為0，則有Lx對(duì)y求導(dǎo)，并令其為0，則有Ly對(duì)λ求導(dǎo)，并令其為0，則有Lλ解得x2=5（2021年浙江省高考真題T17）4．已知實(shí)數(shù)x，y，z滿足：x2+y2+【詳解】解法一：本題欲使得xy+5yz最大，等價(jià)于故構(gòu)造Lagrange函數(shù)：令f(x,y,z)=xy+5yz對(duì)x,y,z,λ求偏導(dǎo)可得：L'故(xy+5解法二：令x=cosθcosαy=sinθz=cosθsinα,α,θ∈故答案為：625．設(shè)正數(shù)a,b,c滿足2a+2b+c=1,則3ab+bc+ac的最大值是【詳解】構(gòu)造Lagrange函數(shù)：L(a,b,c,λ)=3ab+bc+ac+λ(2a+2b+c?1)L′故3ab+bc+ac的最大值為15故答案為：16．（2021浙江）已知平面向量a,b,c,(c≠0)滿足a=1,b=2,a?b=0,a?b【詳解】由題意，設(shè)a=(1,0),則a?b?所以d?a在c方向上的投影即2x+y+