四川省南充市嘉陵第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

第1頁/共1頁嘉陵一中高2024級高一上第三次月考數(shù)學(xué)試題說明：本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.答案寫在答題卡上，交卷時(shí)只交答題卡.第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請將正確答案涂在答題卡上）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解不等式可得，再由交集運(yùn)算可得結(jié)果.詳解】由不等式，得，所以，又，可得.故選：A2.函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)解析式判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，再根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)所在區(qū)間即可.【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，，則，所以零點(diǎn)所在區(qū)間為.故選：C.3.已知，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，分別與1，2比較即可得出的大小關(guān)系.【詳解】，，，所以故選：A.4.冪函數(shù)在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（）A.2或 B. C.2 D.或【答案】B【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)解析式的特征，以及冪函數(shù)的性質(zhì)，即可求解的值.【詳解】由題意可知，，解得：或，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上是減函數(shù)，成立，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上是增函數(shù)，不成立，所以.故選：B5.函數(shù)（，且）的圖象經(jīng)過定點(diǎn)P，則點(diǎn)P的橫、縱坐標(biāo)之和為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)恒過定點(diǎn)，令，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可得結(jié)果.【詳解】令，則，此時(shí)，所以圖象經(jīng)過定點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為，即點(diǎn)P的橫、縱坐標(biāo)之和為，故選：B.6.已知函數(shù)的圖象如下圖所示，則的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由二次函數(shù)性質(zhì)即可得，再由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)及圖象即可判斷得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)函數(shù)的圖象可知，再由指數(shù)函數(shù)圖象及性質(zhì)可知，為單調(diào)遞增，可排除AB，且與軸交點(diǎn)為，又，所以，即交于軸正半軸上，排除D，可知C正確；故選：C7.若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用二次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的定義域列式求解即得.【詳解】設(shè)，則函數(shù)由函數(shù)和復(fù)合而成，而是減函數(shù)，則在上是增函數(shù)，從而，所以，由當(dāng)時(shí)，恒成立，所以當(dāng)時(shí)，，解得，綜上，的取值范圍為.故選：.8.豬血木又名陽春紅檀，是中國特有的單種屬瀕危植物，屬于國家一級保護(hù)植物和極小種群野生植物．某地引種豬血木1000株，假設(shè)該地的豬血木數(shù)量以每年的比例增加，且該地的豬血木數(shù)量超過2000株至少需要經(jīng)過年，則（）（參考數(shù)據(jù)：）A.8 B.9 C.7 D.6【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意列出不等式，然后通過對數(shù)運(yùn)算求解不等式得到取值.【詳解】已知最初引種豬血木1000株，每年以的比例增加，那么經(jīng)過年后，豬血木的數(shù)列為，該地的豬血木數(shù)量超過2000株至少需要經(jīng)過年，所以可列出不等式，即，兩邊同時(shí)取對數(shù)，則，因?yàn)?，所以，即，又，所?故選：A.二、多選題：本大題共3個(gè)題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法正確的是（）A.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是B.函數(shù)與是同一函數(shù)C.函數(shù)，則函數(shù)的值域是D.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則定義域?yàn)椤敬鸢浮緼BC【解析】【分析】利用函數(shù)性質(zhì)以及復(fù)合函數(shù)的同增異減性質(zhì)可判斷A，根據(jù)定義域及解析式可判斷B，根據(jù)值域的定義通過兩方面可驗(yàn)證C，根據(jù)抽象函數(shù)定義域可判斷D.【詳解】對于A，，減函數(shù)，在是減函數(shù).根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減的性質(zhì)，在時(shí)是增函數(shù)，故A正確；對于B，函數(shù)與定義域相同，解析式相同，從而與是同一函數(shù)，故B正確；對于C，一方面有，.另一方面，對任意，都有.所以的值域是，故C正確；對于D，函數(shù)的定義域?yàn)?，則要使有定義，需要，即，所以的定義域?yàn)?，故D錯(cuò)誤；故選：ABC.10.已知函數(shù)，實(shí)數(shù)，滿足，則（）A. B.，，使得C. D.【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，作函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的特征，可得選項(xiàng)A、C的正誤，根據(jù)基本不等式，可得選項(xiàng)B、D的正誤.【詳解】畫出函數(shù)的圖象，如圖所示．由圖知，則，故A錯(cuò)，C對．由基本不等式可得，所以，則，故B錯(cuò)，D對．故選：CD．11.定義在上的奇函數(shù)滿足，則下列結(jié)論一定成立的是（）A. B.2是的一個(gè)周期C.是的一個(gè)對稱中心 D.為偶函數(shù)【答案】ACD【解析】【分析】對于A，直接由奇函數(shù)性質(zhì)得；對于B，首先得，進(jìn)一步有以及，由此即可判斷；對于C，由對稱軸、對稱中心即可得解.【詳解】定義在上的奇函數(shù)滿足，所以，故A正確；且，所以，即的周期是4，不是2，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以的對稱軸為，又為的一個(gè)對稱中心，所以是的一個(gè)對稱中心，故C正確；因?yàn)椋?，即為偶函?shù)，故D正確.故選：ACD.第Ⅱ卷（非選擇題）三、非選擇題（本大題共3小題，每小題5分，共15分，將答案寫在答題卡上.）12.已知，，則用，表示______【答案】【解析】【分析】化簡，，結(jié)合對數(shù)的換底公式，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.【詳解】由，，可得，又由.故答案為：.13.已知函數(shù)且的圖象過定點(diǎn)，若且，，則的最小值為__________.【答案】【解析】【分析】由恒過定點(diǎn)得出的值，再根據(jù)“1”的代換結(jié)合基本不等式求解.【詳解】令，得，所以，所以，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號成立，所以最小值為.故答案為：.14.若函數(shù)，若在區(qū)間上既有最大值，又有最小值，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定的分段函數(shù)，分段探討函數(shù)的取值，再利用函數(shù)在開區(qū)間上既有最大值，又有最小值，列式求解即得.【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的值域?yàn)?，?dāng)時(shí)，由，得，當(dāng)時(shí)，由，得，畫出圖象，如圖所示：由在區(qū)間上既有最大值，又有最小值，得，，則，所以，所以的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共計(jì)77分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.計(jì)算下列各式的值：（1）；（2）；（3）【答案】（1）（2）6（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則化簡即可.（2）根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算法則和性質(zhì)化簡求值.（3）利用單調(diào)性解對數(shù)不等式，注意真數(shù)大于0．【小問1詳解】原式=.【小問2詳解】原式；【小問3詳解】不等式，解得，得或，解，得，因此或，所以原不等式的解集為．16.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）m=0代入解析式直接求解即可；（2）轉(zhuǎn)化為方程在上有兩解，利用二次函數(shù)根的分布求解即可【詳解】（1）時(shí)，，令可得，即．的零點(diǎn)是．（2）令，顯然，則．有兩個(gè)零點(diǎn)，且為單調(diào)函數(shù)，方程在上有兩解，，解得：．的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)零點(diǎn)，二次函數(shù)零點(diǎn)問題，熟記二次函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵，是中檔題17.某醫(yī)學(xué)研究所研發(fā)一種藥物.據(jù)監(jiān)測，如果成人在0.5小時(shí)內(nèi)按規(guī)定的劑量注射該藥，在注射期間，血液中的藥物含量呈線性增加；停止注射后，血液中的藥物含量呈指數(shù)衰減，每升血液中的藥物含量（毫克）與開始注射后的時(shí)間（小時(shí)）之間近似滿足如圖所示的曲線，與的函數(shù)關(guān)系為且.根據(jù)圖中提供的信息：（1）寫出開始注射該藥后每升血液中藥物含量（毫克）關(guān)于時(shí)間（小時(shí)）的函數(shù)關(guān)系式；（2）據(jù)測定：每升血液中藥物含量不少于0.08毫克時(shí)該藥有效，那么該藥的藥效時(shí)間有多長？（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）.（參考值：）【答案】（1）（2）2.81小時(shí)【解析】【分析】（1）分、兩種情況討論，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；（2）根據(jù)（1）中函數(shù)解析式，分段解不等式，求出的取值范圍，即可得解.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，設(shè)，將代入得，解得，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，設(shè)且，將?代入，得，解得，此時(shí).綜上可得.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，令，解得；當(dāng)時(shí)，令，即而，故藥效時(shí)間，所以藥效時(shí)間約為小時(shí).18.已知函數(shù)為奇函數(shù)．（e為自然對數(shù)的底數(shù)，）（1）求的值及函數(shù)的值域；（2）用函數(shù)單調(diào)性定義證明函數(shù)在上是增函數(shù)；（3）求不等式的解集．【答案】（1），（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）利用奇函數(shù)的性質(zhì)求出，再求出函數(shù)值域.（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性推理證明.（3）利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性，把不等式轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式，再借助一元二次不等式求解.【小問1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，定義域?yàn)?，所?所以因?yàn)?，所以，所?所以，因?yàn)椋?，?所以函數(shù)的值域?yàn)椋?【小問2詳解】設(shè)，則.因?yàn)?，所以，于是，，，所?所以即.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.【小問3詳解】由.因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增.所以所以.即所求不等式的解集為：19.已知函數(shù)．（1）若為偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；（2）當(dāng)時(shí)，若不等式對任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程在區(qū)間上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)得，解得，再用定義法進(jìn)行證明；（2）記，判斷出在上單調(diào)遞增，列不等式組求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）先判斷出在上單調(diào)遞增且，令，把問題轉(zhuǎn)化為問題轉(zhuǎn)化為在上有兩不同實(shí)數(shù)根，令，利用圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，列不等式求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．【小問1詳解】定義域?yàn)?，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，即，即，解得：，此時(shí)，定義域?yàn)镽，且，所以為偶