2024年上海市16區(qū)中考二模數(shù)學分類匯編 專題10 圖形的變化42題（相似、銳角三角比）（詳解版）

專題10圖形的變化42題（相似、銳角三角比）（16區(qū)二模新題速遞）（解析版）

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.（2024?上海浦東新?二模）如圖，在中，ZACB=90°,AC=4,8C=3.點。在邊人8上，且變=1,

AD3

。石〃BC交邊4c于點七，那么以E為圓心，EC為半徑的一七和以D為圓心，8。為半徑的。的位置關(guān)系是（）

4

A.外離B.外切C.相交D.內(nèi)含

【答案】B

【分析】本題考查的是兩圓的位置關(guān)系，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，先求解/m=5,

再證明求解8。=；,CE=AC-A￡=l,再結(jié)合兩圓的位置關(guān)系可得答案.

【詳解】解：VZ4CB=90°,AC=4,BC=3,

??AB=ylAC2+BC2=5?

..BD1

.而二3'

???坦一，BD=>,

AB44

?:DE〃BC,

???AADE^>/\ABC,

?.?DE=-3=AE,

344

9

：.DE=-fAE=3,

CE=AC-AE=\,

59

CE+BD=l+—=-=DE,

44

???以E為圓心，EC為半徑的〔E和以。為圓心，8。為半徑的。的位置關(guān)系是外切.

故選B

2.（23-24九年級下?上海寶山?期中）如圖，ABC中，ZC=90°,AB=5,tan^=l如果以點。為圓心，半徑

為欠的M與線段八3有兩個交點，那么M的半徑R的取值范圍是（）

c

A.2<R<yf5B.2<R<>/5

C.>/5</?<2>/5D.0<R<45

【答案】A

【分析】此題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系.根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系得出相切時只有一交點，經(jīng)過點A時有兩

個交點，再結(jié)合圖形即可得出答案.

【詳解】解：???tanB=；,

.ACI

??---=—,

BC2

設(shè)AC=a,則8C=2a,

由勾股定理得AC2+BC2=AB2,即爐+（2。）’=52,

解得a=書>

:?AC=&BC=2加,

?…ACxBCx/5x25/5今

??CD=-------=--------------=2,

AB5

,如果以點C為圓心，半徑為R的。與線段AB有兩個交點，那么。的半徑式的取值范圍是2<RV石，

故選：A.

3.（2024?上海黃浦?二模）小明在研究楞形的相似分割問題，即如何用一條直線將一個梯形分割成兩個相似的圖形.他

先從等接梯形開始進行探究，得到下面兩個結(jié)論.結(jié)論1：存在與上、下底邊相交的直線，能將等腰梯形分割成兩

個相似的圖形：結(jié)論2：不存在與兩腰相交的直線，能將等腰梯形分割成兩個相似的圖形.對這兩個結(jié)論，你認為

()

A.結(jié)論1、結(jié)論2都正確B.結(jié)論1正確、結(jié)論2不正確:

C.結(jié)論1不正確、結(jié)論2正確D.結(jié)論1、結(jié)論2都不正確.

【答案】B

【分析】本題主要考查圖形的相似和垂直平分線的性質(zhì)，分別作上下底的垂直平分線即可判定結(jié)論1正確；連接兩

腰與其垂直平分線的交點即可判定結(jié)論2錯誤.

【詳解】解：如圖，存在與上、下底邊相交的直線，將等腰梯形分割成兩個相似的圖形，則結(jié)論1正確;

如圖，存在與兩腰相交的直線，將等腰梯形分割成兩個相似的圖形，則結(jié)論2不正確;

故選：B.

4.（2024?上海普陀?二模）如圖，在.ABC中，ZACB=90°,G是ABC的重心，點。在邊8c上，DG1GC,如

那么累的值是（

果8。=5,CD=3,）

A&V2

DB.----

23"TD?乎

【答案】D

FGFF1

【分析】本題考查了三角形重心的性質(zhì),相似三角形的性質(zhì)與判定，余弦的定義：根據(jù)題意得出黑二三=：,

COAC2

設(shè)EG=。，則CG=2a,CE=3a,進而根據(jù)85/。。6=85/改尸得出〃=0,即可求解.

【詳解】解：如圖所不，延長CG交/歸十點E,連接AG交C8于點F,

???G是A8C的重心，點。在邊8c上,

/.AE=EB,BF=FC=；BC=；（BD+CD）=4,

:.EF//AC

/.GEF^GAC

.EGEF\

^CG~AC~2

設(shè)EG=a,則CG=2a,CE=3a,

VEF//AC,ZACB=90°

J.EF1BC,

cosZ.DCG=cos乙ECF，即——=—

CGEC

?.3?---3-a-

2a4

解得：a=g（負值舍去）

:.CG=2a=2厄

.CG2yf2y/2

??--=----=---,

BC84

故選：D.

5.（2024?上海嘉定?二模）在中，AB=AC=S,cosZB=以點C為圓心，半徑為6的圓記作圓C,那么

4

下列說法正確的是（）

A.點A在圓C外，點/?在圓C上；B.點A在圓C上，點4在圓C內(nèi)；

C.點A在圓C外，點“在圓。內(nèi)；D.點A、A都在圓C外.

【答案】C

【分析】本題考查了解直角三角形，點與圓的位置關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，掌握解直角三角形和會判斷點與圓的

位置關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.由解直用三角形求出m=2,由等腰二角形的性質(zhì)求出3c=4,即可判斷出點6和點

A與CC的位置關(guān)系，即可得出答案.

【詳解】解：如圖，過點A作AO_Z.BC廣點。，如圖所示：

VAB=AC=S,cosZB=-,

4

/.HD=ABxcosB=Sx-=2

4t

VAB=AC,ADJ.BC,

???BC=2BD=4,

???C的半徑為6,

V4<6<8,

，點A在圓。外，點8在圓C內(nèi)；

故選：C.

6.（2024?上海青浦?二模）如圖，在平行四邊形A8C。中，對角線AC、40相交于點O,過。作AC的垂線交4。于

點瓦EC與BD相交于點凡且NECD=NDBC,那么下列結(jié)論錯誤的是（）

A.EA=ECB./DOC=NDCOC.BD=4DFD.—=—

CEB卜

【答案】D

【分析】由題意可知，。月垂直平分AC，則E4="，可判斷A的正誤；由ZDAO=ZEC4,ZAIX)=/DBC=/ECD,

ZDOC=ZDAO4-ZADO,4DCO=4ECA+4ECD,可得ND0C=NDC0,可判斷B的正誤；證明一/DCs.cDB,

—BD

則蕓=皆，即名一二。，可得加＞=4。「，進而可判斷C的正誤；證明Q/SEC"可得￡|=與二段，

CDBD]BDBDCECDBF

2

進而可判斷D的正誤.

【詳解】解：???平行四邊形A8CO,

：.OA=OC,OB=OD」BD,AD〃BC,

2

又TOESAC,

???OE垂直平分AC,

EA=EC,A正確，故不符合要求；

/.ZDAO=ZECA,

■:AD//BC.

：,ZAI)O=NDBC=NECD,

/.NDOC=ZDAO+ZADO,

又,:/DCO=/ECA+/ECD,

：,ZD0C=ZDC(),B正確，故不符合要求：

：.CD=OD=-BD

2t

,/ZFCD-ZCBD,NFDC-NCDB,

??...FDCsCDB,

二空烏即產(chǎn)上上BD，

CDBD1BD

—DQUn

2

解得，BD=4DF,C正確，故不符合要求;

,?AD〃BC,

/.ZBCF=ZCED,

又,:4CBF=/ECD,

EFsECD.

.BCBFCD_...

..—=—*D錯誤，故符合要求P；

CECDBF

故選：D.

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，等角對等邊，相似三角形的判定

與性質(zhì),熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，等角對等邊，相似三角形的判定與

性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

7.（2024?上海徐匯?二模）小杰沿著坡比i=l:2.4的斜坡，從坡底向上步行了130米，那么他上升的高度是米.

【答案】50

【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握坡比的定義.設(shè)坡度的高為x米，根據(jù)勾股定理列方

程求解.

【詳解】解：設(shè)坡度的高為x米，則水平距離為2.4x米，

.?V+(2.4x『=130,

解得：x=50,

故答案為：50.

8.（2024?上海青浦?二模）如圖，熱氣球的探測器顯示，從熱氣球4處看一橋樓頂部8的仰角為。，看這株樓底部

C的俯第為熱氣球A處與樓的水平距離為加米，那么這棟樓8C的高度為米.（用含。、￡、〃?的式子表

示）

【答案】w(tana+tan/?)

【分析】本題考查了解直角三角形的仰角俯角問題，首先過點A作于點。，根據(jù)題意得=

“AC=。,AO=利米，然后利用三角函數(shù)求解即可求得答案.

【詳解】解：首先過點A作A。/8c于點D,如下圖所示，

則N84D=a,4DAC=0,=米，

在RtAABD中，BD=AO?tana=〃”tana米，

在RtAACD中，DC=AO?tan[i=//Man。'米,

/.BC=BD+DC="Mana+nf!(man米.

故答案為：“（lana+um/）

9.（2024.上海長寧?二模）如圖，正方形438中，點E在對角線比＞上，點尸在邊CO上（點尸不與點C重合）,

CF

且NE4/=45。，那么大的值為.

【答案】叵

【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理及相似三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定及性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.根據(jù)正方形的性質(zhì)及勾股定理得AC=NAB?+BC?=&AB，再證明/班》“〃，利用相似三角

形的性質(zhì)即可得解.

【詳解】解：???四邊形A3CD是正方形，

：?NABE=NBAC=NACF=45。,AB=BC,/A4C=90°,

???AC=dAB'+BC?=垃AB，

■:ZE4F=45°,

ZEAC=^CAE+ZEAC=45°,

JZBAE=ZCAE,

:._ABEs_ACF,

,CFAC6ABr-

??==--------=7L，

BEABAB

故答案為：0.

10.(2024.上海靜安?二模)如圖，在平面直角坐標系中，已知直線4與直線〃交于點C(O,1),它們的夾角為90。.直

線4交x負半軸于點A,直線4與x正半軸交于點8(2,0),那么點A的坐標是.

【分析】本題考查了兩直線相交的問題，點的坐標，相似三角形的判定與性質(zhì).根據(jù)已知條件證得.ACOsC8O,

再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出A。的長，從而得出點A的坐標.

【詳解】解：ZACB=90°,

.-.ZGW+ZABC=9O°,

.“軸_Ly軸，

.?.NCOA=NCO8=90。，

.?.NC4S+NACO=90°,

/.ZABC=ZACO,

..△AC件△C8O,

.COAO

CO)

???點C(0,l),點5(2,0),

:.co=],BO=2,

.1AO

,5=T,

AO=-

2f

?點A在x軸的負半軸，

點A的坐標是(-5,o),

故答案為：(一；，0)

11.(2024?上海黃浦?二模)如圖，。、E分別是.ABC邊AB、AC上點，滿足AD=2BD,ZADE=NABC.記8A=a，

BC=b，那么向量BE=(用向量。、力表示).

【分析】本題主要考查了平行線的判定，相似三角形的判定以及性質(zhì)，向量的知識.由=判定出

2

DE//BC,由平行線的得出AE=§AC,再根據(jù)向量得知識即可得出8E.

【詳解】解：?：NADE=NABC,

：.DE//BC,

：.△ADEABC,

,:AD=2BD,

,AE=2EC,

9

AE=-AC,

3

0O1o

，I3E=BA+AE=BA+-AC=BA+-（A13+BC}=-BA+-BCt

33、f33

*.*BA=aBC=b

\2

BE=—￡7-1—b,

33

12

故答案為：+

33

BE2

12.（2024?上海普陀?二模）如圖，梯形ABCD中，AO〃8C,過點A作AE〃OC分別交、8C于點八E,康二§,

設(shè)AQ=a，AB=b，那么向量所用向量a、〃表示為.

【答案】+4+$2

【分析】本題考查了平行四邊形的判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，平面向量的線性運算，先證明四邊形A￡C。是

REBF22

平行四邊形，根據(jù)已知得出笠=笠=;,進而證明，EATSEEB得出8/=彳8。，BE=2AD,進而根據(jù)三角形

ECAD13

法則，進行計算即可求解.

【詳解】解：???AD〃BC,AE//DC

???四邊形AECO是平行四邊形，

EC=AD,

BE2

BC=3

BEBE2

~EC~~AD~~\

AD/7BC,

二FAD^FEB,

BFRF2

——=——=2,則/"'=—BD,BE=2AD

DFAD3

AD=a，AB=b，

BF=-/3D=-[l3A+AD)=-[-b+(i),BE=2a

333

FE=BE-BF=2a--(-b+a\=-a+-b

3、J33

4-2■

故答案為：鏟+小

4

13.（2024?上海虹口?二模）如圖，在YA8CQ中，AB=7,8c=8,sinB;點尸在邊AB上，AP=2,以點尸為

圓心，”為半徑作OP.點Q在邊AC上，以點。為圓心，CQ為半徑作CQ.如果CP和Q外切，那么C。的長

【分析】本題考查的是圓和圓的位置關(guān)系、解貪角三角形的知識，作P”_L8C于點”，連接P。，先求出

PH=4BH=3,設(shè)。。=〃，在R3QPH中，根據(jù)勾股定理列方程即可解決.

【詳解】解：作P〃_LBC于點〃，連接

AB=1,AP=2,

4

在RtBPH中,sin5=-,

、PH4

\---=—,

55

\PH=4,?H=x/52-42=3?

設(shè)CQ=a,

QeP和。外切，。半徑為2,

\FQ=u+2,

在RSQP〃中，PH=4,HQ=3-3-a=5-a,

/.42+（5-?）2=（d+2）2,

解得：〃二337，

14

37

故答案為：fy.

14

14.（2024?上海奉賢?二模）如圖，正方形A8CO的邊長為1,點P在4）延長線上（PO<C。），連接PRPC,如果

△COP與相似，那么tan/8B4=.

----------f

【答案】或」

2

【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)，設(shè)0P=x,利用兩似三角形的性質(zhì)可得與二坐，即：=—二，

ABPA1x+1

求出X,得到。尸=在里，再根據(jù)正切的定義計算即可求解，利用用似三角形的性質(zhì)求得OP是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解:設(shè)OP=x,貝lJP4=x+l

???PDvCD,△COP與，以B相似,

.DPCD

ABPA

T=7id

"+1=0,

解得菁=士且，々=士且（不合，舍去）,

故答案為：避二L

2

15.（2024.上海嘉定?二模）定義：如果三角形有兩個內(nèi)角的差為90。，那么這樣的三角形叫做準直角三角形.已知

在直角AACB中，NC=90。，AC=4,A8=12,如圖4,如果點。在邊4c上，且,4）8是準直角三角形，那么CZ）=—

A

【答案】血或2上.

【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理，利用分類討論思想解決問題是本題的關(guān)

犍.分兩種情況討論，由相似三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)可求解

【詳解】當力A-/7MA=90。時，如圖，過點。作于凡

在Rl中，ZfiC4=90°,AC=4,AB=\2,

?'?I3C=^ABZ-AC2=V122-42=872?

VZADB-Z.DAB=90°,ZADB=NDBC+NC=NDBC+90。,

JNDAB=/DBC,

又?:DH工BA,DCYAC,

???DH=DCt

...DHAC1

.sin8o===-,

BDAB3

???DH=-BD=DC,

3

:.DC=-BC=2y/2,

4

當NAO8-N8=90。時，

VZ4DB-ZB=90°,NAO8=ND4C+NC=ND4C+90°,

???NB=ZDAC,

又＜ZC=ZC,

???MCD^ABCA,

.ACCD

??---=-----，

BCAC

.4CD

**872-V*

ACD=V2，

綜上所述：CD=20或

16.（23-24九年級下?上海崇明?期中）如圖，點G是.58。的重心，8G的延長線交AC于點。，過點G作GE〃BC,

交AC干點E,貝IJ沁

【分析】此題主要考查二角形中線的性質(zhì)和相似二角形的判定和性質(zhì)的理解及運用.利用該定理時要注意建段之間

的對應(yīng)關(guān)系.

由點G是ABC重心，得出是，ABC的4c邊上的中線，確定S皿=S=^S八.，襄=；,再由相似三角形

2HDJ

S1

的判定和性質(zhì)得出產(chǎn)=6,即可求解.

?DBC,

【詳解】解：???點G是二A8C重心，

???3。是aABC的AC邊上的中線，整=],

BD3

SAD￡=SBDC=2ADC，

?:GE〃BC,

JDEGsDBC,

DG

.SDEG=(\2=BD-BG2=￡

(f

,,SDBC'BD)-BD~9

S^DGE_J.

S^ABD9

???故答案為：

AC

17.(2024?上海閔行?二模)如圖，在二48c中，BC、4c上的中線A￡、/比＞相交于點R如果NB4E=NC,那么旅

的值為.

【答案】也

3

An2

【分析】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等知識，先證明弁7=3,再證明

AH3

ATAn9RRRAAF

.ADFS-AHE,則%=當=:，證明AABES/XCBA,則會=矍=等，設(shè)BE=CE=k,則BC=2R,得

AEAH3BABCAC

rAF_AF_2

至=（負值舍去），進一步得到AE=^AC,則冠二及二=5,即可得到答案.

2——AC

【詳解】解：過點￡作EH〃班）于點”,

AC3

故答案為：立

3

18.（23-24九年級下.上海崇明?期中）已知在矩形A8CO中，A4=6,BC=4,將矩形ABC。繞點口旋轉(zhuǎn)，A8的對

應(yīng)邊AB與邊CD相交于點E,連接AC,當點E是CD中點時，tanZAZCD=.

【答案】I

【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)，過4作

4”_1?！辏居凇?，過點后作所_1_八9于尸，可得四邊形￡7由。為矩形,得到8/=8=3,四=8C=4,進而得8E=5,

f

vitFHAP47iQ

A￡=l,再證,得到筌=黑=蕓，可得A，=,EH=；,得到C”=”,最后根據(jù)正切的

EFBFBE555

定義即可求解，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，過4'作A'AZICO于“，過點石作EFJ.AR于/，則/A印?=/所7?=90°,

???四邊形A8C。為矩形，

：?ZABC=/BCD=90。,AB=CD,AB//CD,

JZABC=/BCD=NEFB=90°,

.?.四邊形EABC為矩形，

:?BF=CE,EF=BC=4f

???點E是CD中點，

BF=CE=-CD=3

2

BE=」EF?+3尸2=14?+32=5，

又由旋轉(zhuǎn)可得，AfB=AB=6,

，A'E=A8-8石=6-5=1,

,/AB//CD,

???ZAEH=/EBF,

，^AEH^EBF,

.A!H_EHA!E

??百一而一旅，

即皿里J,

435

43

解得A77=q,EH",

JJ

2IR

:?CH=CE+EH=3+二=吆

55

4

???tanZArCD=—=4-=-,

C//189

5

故答案為：:.

4

19.（2024.上海普陀?二模）如圖，在.ABC中，AB=AC=5,cosB=-,分別以點B、C為圓心，1為半徑長作、

UC,/）為邊AC上一點，將△人AD和03沿著AA翻折得到和廣歸'，點A的時應(yīng)點為點*,A*與邊AU相

交，如果"與SC外切，那么.

【答案】4-如或4+如

44

【分析】作AE_L8C,AF±irC,根據(jù)余弦的定義，勾股定理，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，在RtZMBE中，得

至U酩，AK的長，NBAE=NCAE,由折疊的性質(zhì)得到44。=NHA。，ABf=AB=5,由*與。外切，得到

B'C=2,在RtZXABN中得到tan/3'AF=",

12

當A9在N84C內(nèi)部時，DE=AE./DAE=旦,BD=BE-DE,當A*在N84C外部時，

4

DE=AEtanZDA￡=3x—=—,BD=BE+DE,

124

本題考查了，三角函數(shù)解直角三角形，等腰三角形三線合一，勾股定理，折疊的性質(zhì)，圓與圓的位置關(guān)系，解題的

關(guān)鍵是：找到兩種情況，分別求解.

【詳解】解：過點A作交8C于點E,連接8'C,過點A作4產(chǎn)_L4'C,交B'C于點、F,

4

*.*AB=AC=5,cosB=-,

4______________

在RtAABf1中，BE=ABcosB=5x-=4,AEHAK-AE?=6-4。=3,

NBAE=NCAE,

由折疊的性質(zhì)可得：ZBAD^ZB'AD,ABf=AB=5,

VAF^B'C,AB'=AC=5,

.\ZB,AF=ZCAF,B,F=-B,C

2

???夕與DC外切,

/.BfC=2,B,F=-B，C=-x2=\,

22

在Rt△麗中，Af2產(chǎn)=行，=2遙，噂=夫=率

當AZT在284。內(nèi)部時,

ZB'AF=；ZB'AC=3(ZMC-NBA*)=J(2ZBAE-2ZBAD)=NBAE-Z13AD=/DAE,

/.tanZDAE=tanZB'AF=—,DE=AEtan/DAE=3x

12

，BD=BE-DE=4一旦,

4

當人9在284。外部時，

NB'A尸=g/8'AC=g(N8A&-8AC)=g(2NBAO_2N8AE)=N8AO—N8AE=NZM￡,

/.tanNDAE=tanNB'AF=—,DE=AEtan/DAE=3x—=—,

12124

???BD=BE+DE=4+—,

4

故答案為：4-如或4+如.

44

20.（23?24九年級下?上海寶山?期中）如圖，邊長分別為5,3,2的三個正方形拼接在一起，它們的一邊在同一直

線上，那么圖中陰影三角形①和②的面積之比率的比值為________

%

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例，正方形的性質(zhì)等知識，證明.ABCS'EDC,

5143

可求出AC=,AE,利用平行線分線段成比例可求出4G=AK=-AE,進而求出CG=AC-4G=啟AE,

3

CK=AK-AC=—AE,然后證明一CK”S：CG/，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解:如圖,

根據(jù)題意，得AM=5,AN=8,AQ=10,DE=2,AB//FG//KH//DE,

丁AB//DE,

ABCsEDC?

.ACAB5

??----=-----=9

ECDE2

：.AC=-AECE=-AE

7f7f

■:MG"DE,

.AGAM1

9，~AE~~AD~2f

:.AG=-AE

2f

4

同理AK=-AE,

5

33

：.CG=AC-AG=—AE,CK=AK-AC=—AE,

1435

1AE

.CG_14_5

CK-3-2,

35

???FG/7KH,

:..CKHs-CGF,

??金=竺丫=信丫=色，

S2yCG)\5)25

4

故答案為：

4J

21.(2024?上海浦東新?二模)定義：四邊形A8C。中，點E在邊A5上，連接。石、EC,如果DEC的面積是四邊

形A8CO面積的一半，且，8EC的面積是VADE及△￡><芯面積的比例中項，我們稱點E是四邊形A8CD的邊AB上

的一個面積黃金分割點.

已知：如圖，四邊形ABC。是梯形，且AO〃8C,BOAD,如果點E是它的邊A8上的一個面積黃金分割點，那

/BC5/十日

么F的值是.

AD

【分析】設(shè)SM°E=S，S?DE=S\,SBEC=S”結(jié)合題意可得：S=S\+S”S”S，，可得§2=11黃卯如圖,

])K1

過七作EK〃A。交CD于K,過。作D"_L8C于〃，交EK于T,證明EM是ABN的中位線，同理可得：—=y,

證明￡K是梯形中位線，可得DT=77f,從而可得答案.

【詳解】解：設(shè)SM“E=S,S—=S\，SBEC=SZ,

???結(jié)合題意可得：S=S、+S”S；=SS「

???S；=S"S|+S2),

：.S^-StS2-S；=0t(s2>s.)

?cJ+逐cc_3+x/5

??%=---3］，3=---

如圖，過E作EK〃A。交CD于K,過。作OH_L8C于”，交EK于T,

??,AD/7BC,

/.AD/7EK//BC,DH1EK,

：,S=SDEK+SCEK=^EKx(DT+TH)=^EKxDH,

??S陽/mm=AO+BC)xDH=2S=EKxDH,

???AD+BC=2EK,

過A作AN〃C。交EK于M,

???四邊形ANCO,AMKD,MMTK是平行四邊形，

/.AD=MK=NC,

,AD+BC=BN+2CN=2EM+2MK,

：.BN=2EM,

■:EK//BC,

:..AEMs工ABN,

.AMAEEM1

，EM是;.AftV的中位線,

同理可得：—=7*

，EK是梯形中位線,

/.DT=TH,

.BCS1+石

>■---=--2=------

AD￡2

故答案為：匕1

2

【點睛】本題考查的是新定義的含義，三角形的中位線的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，一元二次方程的

解法，理解題意是解本題的關(guān)鍵.

三、解答題

22.（2024?上海黃浦?二模）如圖，D是.ABC邊AB上點,已知NBCO=NA,AD=5,BD=4.

（1）求邊3C的長；

（2）如果△ACDs^CBD（點人。、。對應(yīng)點。、B、D）,求NAC8的度數(shù).

【答案】（1）6

（2）90°

【分析】本撅主要考杏了相似三角形的判定以及性質(zhì)，勾股定理的逆定理等知識點.

（1）記明△BCOS^BAC,由相似的性質(zhì)可得出生二黑，然后計算出K4,代入求值即可.

BABC

（2）由△ACOs^cW）得出。斤二加，由勾股定理的逆定理得出/CD3=90。，進一步得出/的=90。,

ZA+ZDC4=900由等量代換即可求出^DCA+ZBCD=90P,即/ACB的度數(shù).

【詳解】（1）解：???/8CQ=NA,ZB=ZB,

???4BCDs/\BAC,

,BCBD

??二g

BABC

BC2=BABD

VAD=5,80=4,

/.BA=AD+BD=9,

，BC?=BABD=9x4=36,

/.BC=6.

(2)'：AACDS^CBD,

.CDAD

??二9

BDCD

；?CD'A。=20，

V20+42=62,即8?+BD2=BC2

??.△BCD是直角三角形，且NC￡>8=90。，

JZCZM=90°,

/.ZA+ZDC4=90°,

VZBCD=Z4,

/./DC4+/BC￡>=90°,

即NACB=90。.

23.(2024.上海楊浦?一模)已知：如圖，在梯形A8CO中，AD//BC,AB=CD,BD=BC,的平分線交AO

延長線于點E,交C。于點F.

(1)求證：四邊形8CEO是菱形；

⑵連接AC交所于點G,如果求證：AB2=AGAC，

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)先證明。5=?！?可得DE=BC,結(jié)合DE〃BC,可得四邊形。BCE是平行四邊形，從而可得結(jié)論,

(2)如圖，連接AC交M于點G,交BD于K,證明梯形A8CO是等腰梯形，證明NABG=NACB=45。，結(jié)合

ZBAG=ZCAB,可得△ABGs^ACB,再利用相似三角形的性質(zhì)可得結(jié)論.

【詳解】(1)證明：???AO〃8C,

/.ZAEB=NCBE,

???-03。的平分線交A。延長線于點E,交。。于點F.

/DBE=NCBE,

，ZAEB=^DBE,

???DB=DE,

,:BD=BC,

/.DE=BC,而DE〃8C,

???四邊形OACE是平行四邊形，

,/DB=DE,

???四邊形OBCE是菱形；

（2）如圖，連接4C交M于點G,交BD于K,

???在梯形A8CD中，AD//BC,AB=CD,

??.梯形ABC。是等腰梯形，

:?ZABC=/DCB,AC=BD,

:菱形BCE。，

：,BD//CE,BD=CE=DE,ADBC=/DEC,

/.AC=CE,/EDC=/ECD,

ACLCE.

???NC4E=NCE4=45。，AC1BD,

/.ZDBC=/DEC=ZACB=45°,/EDC=NECD=67.5°,

ZACD=90°-67.5°=22.5°,

ZABD=ZABC-45°=/DCB-45°=22.5°,

?；BE平分NDBC,

：.ZDBF=ZCBF=22.5°f

/.ZAfiG=ZACB=45°,

,?NE4G=NC44,

???△ABGs^ACB,

,ABAG

??,

ACAB

/.AB-=AGAC.

【點睛】本題考查的是等腰梯形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定

與性質(zhì)，掌握基本幾何圖形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

24.（2024?上海浦東新?二模）已知：如圖，在菱形A5C。中，點石是邊0c上的任意一點（不與點D、C重合），AE

交勸角線8。于憶過點E作EG〃8C交80于點G.

（1）求證：DF?=FGBF；

⑵當8DOF=24?￡>￡時，求證：AE1DC.

【答案】（1）證明見解析

（2）證明見解析

【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判斷，菱形的性質(zhì);

⑴證明得至噂嘿，證明..―的得到/器，則可得黑嘴，即

DF2=FGBF：

（2）如圖所示，連接AC交B。于-O,由菱形的性質(zhì)得到4CJ_3D30=28,ADB=/CDB,則ZA8=90°,

證明空二空，進而證明△尸￡>￡；,即可得到/尸￡D=NA°D=90。，即AE_LZX\

DFDE

【詳解】（1）證明：???四邊形A8C。是菱形，

AAD/7BC,ABCD,

,:EG〃BC,

ADEG,

/.AADF^/\EGF,

.AFDF

''~EF~~FG'

'：ABCD,

:?ABFs^EDF,

.AFBF

??而一而‘

.DFBF

??元一而‘

，DF,=FGBF；

（2）證明：如圖所示，連接4c交4D于O,

???四邊形A8C。是菱形，

/.ACLBD,BD=2OD,ZADB=4CDB,

ZAOD=90°,

,/BDDF=2ADDE,

/.2ODDF=2ADDE,

.ADOP

''~DF~~DE'

又,：NADO=NFDE,

/.△ADQsAFDE、

???/FED=/AOD=90。,

：.AE1DC.

25.(2024?上海奉賢?二模)如圖，在四邊形48CZ)中，AB//DC,/B=ZADC,點E、尸分別在邊人/、8c上,

且ZADE=NCDF.

(1)求證：CFCB=AEAB；

(2)連接AC.EF,如果所〃AC,求證：四邊形A8CD是菱形.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】⑴連接4C，先證明一得我嚼,再證明.CE,得條條從而得出真嚕

即可由比例的性質(zhì)得出結(jié)論.

⑵由平行線分線段使得條會即三=票由⑴唬埸，從而得條第即可得出—C,

AE

再證明.AAg二AOC(AAS),得出AB=A￡>,BC=CD,從而得出A8=8C=CO=A。，可由菱形的判定得出結(jié)

論.

【詳解】(1)證明：連接AC,

AB//DC

*.ZBAC=ZDCA

??ZB=ZADC

??_ABCs..CDA

.ABBC

*15C~~AD

.ABDC

*fiC-AD

:AB//DC

\Zfi+ZBCD=180°,/班O+ZADC=180。，

??ZB-ZzADC

??NBAD=NBCD

：ZADE=ZCDF

??CDFSQADE

?CDCF

>4D=AE

.ABCF

?---=----

BCAE

??CFCB=AEAB.

(2)記明：如圖,

?/EF//AC

.AECF

.CFBC

'~AE~~AB

ABCF

由知左n獷

(1)~AE

.BC二AB

/.AB=BC

ZBAC=ZBCA

??????AB//DC

/.ZBAC=ZDCA

/.ZBC4=Z/9C4

在，ABC■與△AOC中,

NB=/ADC

ZBCA=ZDCA

AC=AC

：.一4A8.//?C（AAS）

AAB=AD,BC=CD,

，AB=BC=CD=AD

???四邊形A8CQ是菱形.

【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，平行線分線段成比例，等腰三角形的性質(zhì)，全等三我

的判定與性質(zhì)，菱形的判定.熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定是解題的關(guān)鍵.

26.(2024?上海松江?二模)如圖，已知柜形A3。中，AB=\f8C=2,點尸是邊人。上一動點，過點P作尸E_L4C,

垂足為點E,連接BE,過點E作斯18E,交邊4。于點尸(點尸與點A不重合).

備用圖

(1)當尸是”的中點時，求證：BA=BE；

(2)當"的長度取不同值時，在！莊尸中是否存在長度保持不變的邊？如果存在，請指出并求其長度，如果不存在，

請說明理由；

(3)延長配交邊8c于點G,連接FG,EFG與aAE產(chǎn)能否相似，若能相似，求出此時AP的長；若不能相似，請

說明理由.

【答案】(1)證明見解析

(2)存在，丹邙勺長度不變，PF=g

(3)能相似,AP=—

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)及判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，銳角三角函數(shù)的比

值關(guān)系等知識點，靈活運用角的等最關(guān)系建立邊的比值關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

（I）利用斜邊的中線是斜邊的一半的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，通過角的等量代換得到NME=4E4即可；

（2）通過角的等量代換和相似三角形的判定方法證出一即可根據(jù)比值關(guān)系求解：

（3）連接柘，過點。作PH1BC,垂足為，，通過角的等量代換和邊的比值關(guān)系判定出四邊形PEG”是矩形，

然后再利用角的等量代換證出NR4E=N"GP,當NAFE=NF￡G時（均為鈍角）時，可得到EbGs.j/4,從而

得到PE=PF=；,再利用勾股定理運算求解即可.

【詳解】（1）解：???P￡_LAC,/為AP的中點，

,AF=EF,

???"AE=NFEA,

??