2023年數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模概念方法及競賽簡介

1985年在美國出現(xiàn)了一種叫做MCM的一年一度大MathematicalCompetitioninModeling,1988年改全稱為MathematicalContestinModeling,其所寫均為MCM)。這并不是偶爾的。在1985年以前美國只有一種競賽),這是由美國數(shù)學(xué)協(xié)會(MAA--即MathematicalAssociationofAmerica的縮寫)主持，于每年12月的第一個星期六分兩試進(jìn)行，每年一次。在國際上產(chǎn)生很大影響，現(xiàn)已成為國際性的大學(xué)生的一項(xiàng)著名賽事。該競賽每年2月或3月進(jìn)行。(2)我國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽我國自1989年初次參與美國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽，歷屆均取得優(yōu)異成績。通過數(shù)年參廣泛地展開，1990年先由中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會后與國家教委聯(lián)合主辦全國大學(xué)生建模競賽(簡稱CMCM),該項(xiàng)賽事每年9月進(jìn)行。大部分的數(shù)模競賽題都是源于生產(chǎn)實(shí)際或者科學(xué)研究的過程中，例如，95年的一道題是題目，在這兒稍作具體一點(diǎn)的介紹，題目給出我國某路大城市的一條交通線路。它光有上，下行駛方向各14個站，從早上6時開始至晚上12時，每站，每小時上的人數(shù)的記錄資料已繪出；每站之間的距離，公交車行駛速度也繪出。汽車偏差可載客100人，最大載承量為 120人，規(guī)定在人流高峰期乘客候車時間不超過5分鐘，客流低峰期候車時間不超過15分鐘，客車空載率不低于50%。問1)此線路應(yīng)當(dāng)配備多少輛車：2)如何設(shè)計(jì)發(fā)車時間表?這樣的問題與傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)競賽一般偏重理論知識，它要考察需要用計(jì)算機(jī)來完畢。其答案往往不是唯一的(數(shù)學(xué)模型是實(shí)際的模擬，是實(shí)際問題的近似表達(dá)，它的完畢是在某種合理的假設(shè)下，因此其只能是較優(yōu)的，不唯一的)呈報(bào)的成果是一編“論文”。的進(jìn)行情況。競賽的時間通常安排在9月份的下旬，例如上屆就在9月21號(星期五)早上畢，在每間高等學(xué)院的通常做法是：指導(dǎo)教師針對學(xué)生的疑難作適當(dāng)?shù)慕忉?，而比賽可供選擇的題目有有二題，凡是參與過數(shù)模競賽的學(xué)生在完畢答卷的時候都會油然產(chǎn)生一種莫名的成就感。為什么呢?同學(xué)們可以設(shè)身處地地想一想，在接受考題的那一刻到交付答卷時，其間每一分鐘都那么新鮮，每一分鐘都承受著一份責(zé)任!你要去探索一個你從未接觸過的問題，你要通過思考、討論去尋找解題的方法。你要分析、要計(jì)算、要努力得出更精確的答案。與此同時，你還要構(gòu)思、要精煉文章的語句與文字，要讓自己的文章令人賞心悅目，令人佼服。這72小時的經(jīng)歷，你克服了多少困難，做了多少工作，收獲又是何其大呢?參與數(shù)模競賽通常需要哪些方面的知識呢?“數(shù)?！比珖愂且环N綜合能力的比試。這里具體一些地進(jìn)行介紹。第一方面：數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用能力。按歷年比賽的試題來看，又涉及的數(shù)學(xué)知識面十分地寬廣，但歸結(jié)起來大體上有以下幾類：1)概率與數(shù)理記錄2)統(tǒng)籌與線軸規(guī)劃。3)、微分方程尚有與計(jì)算機(jī)知識相交叉的知識：計(jì)算機(jī)模擬，上述的內(nèi)容有些同學(xué)完全沒有學(xué)過，也有些同學(xué)只學(xué)過一點(diǎn)概率與數(shù)理記錄，微分方程的知識怎么辦呢?兩個字“自學(xué)”。第二方面：計(jì)算機(jī)的運(yùn)用能力，一般來說凡參與過數(shù)模競賽的同學(xué)都能純熟地應(yīng)用字解軟件的使用，最佳還具有語言能力。這些知識大部分都是學(xué)生自己運(yùn)用課余時間學(xué)習(xí)的。第三方面：論文的寫作能力，前面已經(jīng)說過考卷的全文是論文式的，文章的書寫有比較嚴(yán)格的格式。第四方面：查閱文獻(xiàn)的能力，數(shù)學(xué)建模競賽要查閱大量的文獻(xiàn)資料。數(shù)學(xué)模型競賽與通常的數(shù)學(xué)競賽不同，它來自實(shí)際問題或有“全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽”是目前全國高校影響最大的課外科技活動。競賽參賽者應(yīng)根據(jù)題目規(guī)定，完畢一篇涉及模型的假設(shè)、建立和求結(jié)果的分析和檢查、模型的改善等方面的論文(即答卷)。競賽題目一般來源于工程技術(shù)和知識和能力是構(gòu)成一個人的素質(zhì)的重要成份，知識是能力的基礎(chǔ)，能力是對知識的運(yùn)用和發(fā)展。由于數(shù)學(xué)建模是以解決實(shí)際問題和培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力為目的的，它的教教學(xué)活動，不僅可以增長知識，培養(yǎng)各種能力，還可以促進(jìn)學(xué)生綜合素質(zhì)的提高。(1).數(shù)學(xué)建模有助于培養(yǎng)學(xué)生洞察能力。許多提出的問題往往不是數(shù)學(xué)化的，這就是需(2).數(shù)學(xué)建?？膳囵B(yǎng)數(shù)學(xué)語言翻譯能力，即把通過一定抽象和簡化的實(shí)際用數(shù)學(xué)的語言(3).數(shù)學(xué)建模有助于培養(yǎng)綜合應(yīng)用分析能力和聯(lián)想能力。用已學(xué)到的數(shù)學(xué)思想和但在一定的簡化層次下，它們的數(shù)學(xué)模型是相同的或相似的。這正是數(shù)的知識和經(jīng)驗(yàn)，在個性品質(zhì)支持下，新奇而獨(dú)特地提出問題、解決問題，并由此產(chǎn)生有價(jià)值的新思想、新方法、新成果。改變以教師為中心、以課堂為中心、以教材為中心的教學(xué)方式，逐漸向以學(xué)生為中心、以實(shí)踐為中心、以培養(yǎng)學(xué)生分析和解決問題的能力為中心的學(xué)習(xí)方式過渡。數(shù)學(xué)建模競賽的題目通常是由工程技術(shù)和管理科學(xué)中的實(shí)際問強(qiáng)的發(fā)明力和想象力。因此，開展數(shù)學(xué)建模教學(xué)活動是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力的重要途徑。(5)數(shù)學(xué)建模有助于培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能重要方式。教師先將事先設(shè)計(jì)好的問題提供應(yīng)學(xué)生，啟發(fā)、引導(dǎo)和學(xué)習(xí)新的知識；讓他們自己分析，對原問題提出必要的假設(shè)問題的線索，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件或編程解決問題，給出初步結(jié)論。學(xué)生完畢后進(jìn)行討論，教師重要起引導(dǎo)、啟發(fā)和輔導(dǎo)的作用。教環(huán)境去誘發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望、培養(yǎng)他們的自學(xué)能力?？梢允菙?shù)學(xué)公式，算法、表格、圖示等。(數(shù)學(xué)模型就是運(yùn)用函數(shù)能反映實(shí)際問題特性和數(shù)量關(guān)系的符號系統(tǒng))建模案例1:生產(chǎn)計(jì)劃的安排某工廠制造A、B兩種產(chǎn)品，制造產(chǎn)品A每噸需用煤9t,電力4kW,3個工作日；制造產(chǎn)品B每噸需用煤5t,電力5kW,10個工作日。已知制造產(chǎn)品A和產(chǎn)品B每噸分別獲利7萬元和12萬元，由于該廠條件限制，只有煤360t,電力200kW,300個工作日可以運(yùn)用，分析：設(shè)x?、x?2分別表達(dá)A、B產(chǎn)品的計(jì)劃生產(chǎn)數(shù)(單位為噸),f表這種生產(chǎn)任務(wù)的安排事實(shí)上就是一項(xiàng)決策，x?、x?稱為決策變量，若把(x?,x?)視為向量，就稱為決策向量，滿足約束條件的(x?,x?)稱為可行決策。為了判別決策的優(yōu)劣，決策者必須選定一個指標(biāo)，一般該指標(biāo)為決策變量的函數(shù)，稱為目的函數(shù)。它為一個線性規(guī)劃模型，所謂線性規(guī)劃問題就是指目的函數(shù)是諸決策變量的線性函數(shù)，給定的條件可用諸決策變量的線性等式或不等式表達(dá)的決策問題。2.數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模是通過對實(shí)際問題進(jìn)行抽象、簡化，反復(fù)探索，構(gòu)件一個可以刻劃客觀原形的本質(zhì)特性的數(shù)學(xué)模型，并用來分析、研究和解決實(shí)際問題的一種創(chuàng)新活動過程。數(shù)學(xué)建模的幾個過程：模型準(zhǔn)備：了解問題的實(shí)際背景，明確其實(shí)際意義，掌握對象的各種信息。用數(shù)學(xué)語言來描述問題。模型假設(shè)：根據(jù)實(shí)際對象的特性和建模的目的，對問題進(jìn)行必要的簡化，并用精確的語言提出一些恰當(dāng)?shù)募僭O(shè)。模型建立：在假設(shè)的基礎(chǔ)上，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具來刻劃各變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。(盡量用簡樸的數(shù)學(xué)工具)模型求解：運(yùn)用獲取的數(shù)據(jù)資料，對模型的所有參數(shù)做出計(jì)算(估計(jì))。模型分析：對所得的結(jié)果進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析。模型檢查：將模型分析結(jié)果與實(shí)際情形進(jìn)行比較，以此來驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性、合理性和合用性。假如模型與實(shí)際較吻合，則要對計(jì)算結(jié)果給出其實(shí)際含義，并進(jìn)行解釋。假如模型與實(shí)際吻合較差，則應(yīng)當(dāng)修改假設(shè)，在次反復(fù)建模過程。模型應(yīng)用：應(yīng)用方式因問題的性質(zhì)和建模的目的而異建模準(zhǔn)備模型檢查建模假設(shè)是模型分析構(gòu)造模型模型求解是模型應(yīng)用數(shù)學(xué)建模就是建立數(shù)學(xué)模型，建立數(shù)學(xué)模型的過程就是數(shù)學(xué)建模的過程，數(shù)學(xué)建模是一種數(shù)學(xué)的思考方法，是運(yùn)用數(shù)學(xué)的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻劃并"解決"實(shí)際問題的一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)手段。4.數(shù)學(xué)模型的分類(1)按模型的應(yīng)用領(lǐng)域分類：生物數(shù)學(xué)模型，醫(yī)學(xué)數(shù)學(xué)模型，地質(zhì)數(shù)學(xué)模型，數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型，數(shù)學(xué)社會學(xué)模型等。(2)按是否考慮隨機(jī)因素分類：擬定性模型與隨機(jī)性模型(3)按是否考慮模型的變化分類：靜態(tài)模型與動態(tài)模型(4)按應(yīng)用離散方法或連續(xù)方法分類：(5)按建立模型的數(shù)學(xué)方法分類：(6)按人們對是物發(fā)展過程的了解限度分類：(一)、機(jī)理分析法從基本物理定律以及系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)來推導(dǎo)出模型。2.代數(shù)方法--求解離散問題(離散的數(shù)據(jù)、符號、圖形)的重要方法。4.常微分方程--解決兩個變量之間的變(二)、數(shù)據(jù)分析法從大量的觀測數(shù)據(jù)運(yùn)用記錄方法建立數(shù)學(xué)模型。1.回歸分析法--用于對函數(shù)f(x)的一組觀測值(xi,fi)i=1,2,…,n,擬定函數(shù)的表達(dá)2.時序分析法--解決的是動態(tài)的相關(guān)數(shù)據(jù)，又稱為過程記錄方法。3.回歸分析法--用于對函數(shù)f(x)的一組觀測值(xi,fi)i=1,2,…,n,擬定函數(shù)的表達(dá)式，由于解決的是靜態(tài)的獨(dú)立數(shù)據(jù)，故稱為數(shù)理記錄方法。4.時序分析法--解決的是動態(tài)的相關(guān)數(shù)據(jù)，又稱為過程記錄方法。(三)、仿真和其他方法1.計(jì)算機(jī)仿真(模擬)--實(shí)質(zhì)上是記錄估計(jì)方法，等效于抽樣實(shí)驗(yàn)。①離散系統(tǒng)仿真--有一組狀態(tài)變量。②連續(xù)系統(tǒng)仿真--有解析表達(dá)式或系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。2.因子實(shí)驗(yàn)法--在系統(tǒng)上作局部實(shí)驗(yàn)，再根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行不斷分析修改，求得所需的模型結(jié)構(gòu)。3.人工現(xiàn)實(shí)法--基于對系統(tǒng)過去行為的了解和對未來希望達(dá)成的目的，并考慮到系統(tǒng)有關(guān)因素的也許變化，人為地組成一個系統(tǒng)。建模案例2:人口模型人口問題是當(dāng)今世界上最關(guān)注的問題之一。一些發(fā)展中國家的人口出生率過高，越來越嚴(yán)重地威脅著人類的正常生活，有些發(fā)達(dá)國家的自然增長率趨近于零，甚至變?yōu)樨?fù)數(shù)，導(dǎo)致勞動力短缺，也是不容忽視的問題。由于我國20世紀(jì)50~60年代人口政策方面的失誤，不僅導(dǎo)致人口總數(shù)增長過快，并且年齡結(jié)構(gòu)也不合理，使得對人口增長的嚴(yán)格控制會導(dǎo)致人口老化問題嚴(yán)重。因此在一方面保證人口有限增長的前提下適當(dāng)控制人口老化，把年齡結(jié)構(gòu)調(diào)整到合適的水平，是一項(xiàng)長期而又艱巨的任務(wù)。因而自然會產(chǎn)生這樣一個問題：人口增長的規(guī)律是什么?如何在數(shù)學(xué)上描述這一規(guī)律。1798年，英國神父Malthus在分析了一百數(shù)年人口記錄資料之后，提出了Malthus模型。假設(shè)：(1)x(t)表達(dá)t時刻的人口數(shù)，且連續(xù)可微。(2)人口的增長率r是常數(shù)(增長率=出生率—死亡率)。(3)人口數(shù)量的變化是封閉的，即人口數(shù)量建模與求解：由假設(shè)，t時刻屆時t+△t刻人口的增量為模型評價(jià)：考慮二百數(shù)年來人口增長的實(shí)際情況，1961年世界人口總數(shù)為3.06×10?,在1961~1970年這段時間內(nèi)，每年平均的人口自然增長率為2%,則(*)式可寫為根據(jù)1961~1970年間世界人口記錄數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)這些數(shù)據(jù)與上式的于在這期間地球上人口大約每35年增長1倍，而上式算出每34.6年增長1倍。事實(shí)上，可假設(shè)在T=t-t?內(nèi)地球上的人口增長1倍，即當(dāng)t=t?時，xo=3.06×109,當(dāng)T=t-t?時，2x?=3.06×10?e.02T,故有e.02T=2,解出T=50ln2≈34.657。但是，當(dāng)人們用(*)式對1790年以來的美國人口進(jìn)行檢查，發(fā)現(xiàn)有很大差異。這里，取1790年為t=t?=1790,x(1790)=3.9×10?,x(1800)=5.3×10?,由此定出r=0.03%,故有x(t)=3.9×10?×e?.03%(-1790),對它進(jìn)行計(jì)算并與實(shí)際人口進(jìn)行比較，發(fā)運(yùn)用(**)式對世界人口進(jìn)行預(yù)測，也會得出驚異的結(jié)論：當(dāng)t=2670年時，x(t)=4.4×101?,這相稱于地球上每平方米要容納至少20人。顯然，用這一模型進(jìn)行預(yù)測(二)阻滯增長模型如何對增長率r進(jìn)行修正呢?我們知道，地球上的資源是有限的，它只能提供一定數(shù)量函數(shù)r(x),且它是一個x(t)的減函數(shù)。假設(shè)：(1)設(shè)r(x)為x的線性函數(shù)r(x)=r-sx。(2)自然資源與環(huán)境條件所能容納的最大人口數(shù)為xm,即當(dāng)x=xm時，增長率r(xm)=0。(1),即無論人口初值x?如何，人口總數(shù)認(rèn)為xm極限。(2)當(dāng)0<x<xm時，,這說明x(t)是單調(diào)增長的，又由(***)式知：當(dāng)時，有,x=x(t)為凹，當(dāng)時，有,x=x(t)為凸。(3)人口變化率在時取到最大值，即人口總數(shù)達(dá)成極限值一半以前是加速與Malthus模型同樣，代入一些實(shí)際數(shù)據(jù)驗(yàn)算，若取1790年為t=to=0,x。=3.9×10?,xm=197×10?,r=0.3134?？梢钥闯?，直到1930年，計(jì)算結(jié)果與實(shí)際數(shù)據(jù)都能較好的吻合，在1930年之后，計(jì)算與實(shí)際偏差較大，因素之一是60年代的實(shí)際人(三)模型推廣可以從另一角度導(dǎo)出阻滯增長模型，在Malthus模型上增長一個競爭項(xiàng)-bx2(b>0),多的人生存，此時b較小；反之b較大，故建立方程對以上三式分析，有(1)Vt>to,有x(t)>0,且。(2)當(dāng)時，x'(t)>0,x(t)遞增；當(dāng)x=O時，x'(t)=0;時，x'(t)<0,x(t)遞減。(3)令(#)式右端為0,得x?=0,,稱它們是此微分方程的平衡解，由圖6-8可知 ,故不管人口開始的數(shù)量x?為多少，通過相稱長的時間后，人口總數(shù)將穩(wěn)定0如何擬定a,b,有學(xué)者以美國人口為例進(jìn)行分析，考慮美國1790年、1850年及192023的人口分別為3.9×10?,23.2×10?,92.0×10?,設(shè)為：x(t?)=x?,x(t?)=x?,x(t?)=x?,其中t?-to=t?-t?=t,由(##)式可得令,則可得式,故有與(##)式近似的形式上簡樸的表達(dá)由此可計(jì)算出,a=0.031,t=1914.3,則(#)可進(jìn)一步化為將上式的計(jì)算結(jié)果與實(shí)際情況對照，發(fā)現(xiàn)模型的計(jì)算結(jié)果與實(shí)際人上模型對世界人口的增長情況進(jìn)行預(yù)測，據(jù)生態(tài)學(xué)家估計(jì)a=0.029,人口為3.06×108時，平均純增長率為每年2%,可得為世界人口的極限值。根據(jù)報(bào)道，1987年的世界人口已達(dá)50億，由模型的分析可知，從此，世界人口的增長已進(jìn)入減速階段。三.數(shù)學(xué)建模競賽賽題題型結(jié)構(gòu)形式有三個基本組成部分：(一)、實(shí)際問題背景1.涉及面寬--有社會，經(jīng)濟(jì)，管理，生活，環(huán)境，自然現(xiàn)象，工程技術(shù)，現(xiàn)代科學(xué)中出現(xiàn)的新問題等。2.一般都有一個比較確切的現(xiàn)實(shí)問題。(二)、若干假設(shè)條件有如下幾種情況：1.只有過程、規(guī)則等定性假設(shè)，無具體定量數(shù)據(jù)；2.給出若干實(shí)測或記錄數(shù)據(jù)；3.給出若干參數(shù)或圖形；4.蘊(yùn)涵著某些機(jī)動、可發(fā)揮的補(bǔ)充假設(shè)條件，或參賽者可以根據(jù)自己收集或模擬產(chǎn)生數(shù)據(jù)。(三)規(guī)定回答的問題往往有幾個問題(一般不是唯一答案):1.比較擬定性的答案(基本答案);2.更細(xì)致或更高層次的討論結(jié)果(往往是討論最優(yōu)方案的提法和結(jié)果)。四.數(shù)學(xué)建模論文的寫作數(shù)學(xué)建模論文基本內(nèi)容和格式大體分三大部分：(一)、標(biāo)題、摘要部分：1.題目--寫出較確切的題目(不能只寫A題、B題)。2.摘要--(300-500字),涉及模型的重要特點(diǎn)、建模方法和重要結(jié)果。3.內(nèi)容較多時最佳有個目錄。1.問題提出，問題分析。①補(bǔ)充假設(shè)條件，明確概念，引進(jìn)參數(shù)；②模型形式(可有多個形式的模型);3.計(jì)算方法設(shè)計(jì)和計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)。4.結(jié)果分析與檢查。5.討論--模型的優(yōu)缺陷，改善方向，推廣新思想。6.參考文獻(xiàn)--注意格式。1.計(jì)算程序，框圖。2.各種求解演算過程，計(jì)算中間結(jié)果。3.各種圖形、表格建模案例3:最佳災(zāi)情巡視路線這里介紹1998年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)模型競賽B題中的兩個問題.(一).問題的提出今年夏天某縣遭受水災(zāi).為考察災(zāi)情、組織自救，縣領(lǐng)導(dǎo)決定，帶領(lǐng)有關(guān)部門負(fù)責(zé)人到全縣各鄉(xiāng)(鎮(zhèn))、村巡視.巡視路線指從縣政府所在地出發(fā)，走遍各鄉(xiāng)(鎮(zhèn))、村，又回到縣政府所在地的路線.1.若分三組(路)巡視，試設(shè)計(jì)總路程最短且各組盡也許均衡的路線.2.假定巡視人員在各鄉(xiāng)(鎮(zhèn))停留時間T=2小時，在各村停留時間t=1小時，汽車行駛速度V=35公里/小時.要在24小時內(nèi)完畢巡視，至少應(yīng)分幾組；給出這種分組下最佳的巡視路線.鄉(xiāng)鎮(zhèn)、村的公路網(wǎng)示意圖見圖1(二).圖論知識簡介點(diǎn)的行遍性問題是圖論和組合優(yōu)化中分別稱為Hamiton(哈密爾頓)問題和TSP(旅行商)問1.Hamiton(哈密爾頓)路(圈):稱通過圖G=(V,E)中每一個頂點(diǎn)正好一次的路為Hamiton(哈密爾頓)路，簡稱H路；稱通過圖G=(V,E)中每一個頂點(diǎn)正好一次的圈為Hamiton(哈密爾頓)圈，簡稱H圈。線，使其總行程(或時間、費(fèi)用)最少?3.定義：在加權(quán)圖G=(V,E)中，一般說來，一個最佳H權(quán)并不一定是最佳推銷員回路。4.定理1:若加權(quán)圖G滿足三角不等式，則最佳H圈也是最佳推銷回路。定理2:在加權(quán)完備圖G中最佳H圈問題是一個N-P完全問題。到目前，求N-P完全問題的最佳H圈，有以下近似算TSP問題的分支定界法等。(三)模型假設(shè)5.分組后，各小組只能走自己區(qū)內(nèi)的路，不能走其他小組的路(公共路外),(四)模型的建立與求解將公路網(wǎng)圖中，每個鄉(xiāng)(鎮(zhèn))或村看作圖中的一個節(jié)點(diǎn)，各鄉(xiāng)(鎮(zhèn))、村之間的公路看作圖中相應(yīng)節(jié)點(diǎn)間的邊，各條公路的長度(或行駛時間)看作相應(yīng)邊上的權(quán)，所給公路網(wǎng)就轉(zhuǎn)化為加權(quán)網(wǎng)絡(luò)圖，問題就轉(zhuǎn)化為在給定的加權(quán)網(wǎng)絡(luò)圖中尋找從給定點(diǎn)0出發(fā)，行遍所有頂點(diǎn)至少一次再回到0點(diǎn)，使得總權(quán)(路程或時間)最小，此即最佳推銷員回路問題.在加權(quán)圖G中求最佳推銷員回路問題是NP—完全問題，我們采用一種近似算法求出該問題的一個近似最優(yōu)解，來代替最優(yōu)解，算法如下：算法一求加權(quán)圖G(V,E)的最佳推銷員回路的近似算法：1.用圖論軟件包求出G中任意兩個頂點(diǎn)間的最短路，構(gòu)造出完備圖G'(V,E'),2.輸入圖G'的一個初始H圈；3.用對角線完全算法產(chǎn)生一個初始H圈；4.隨機(jī)搜索出G中若干個H圈，例如2023個；5.對第2、3、4步所得的每個H圈，用二邊逐次修正法進(jìn)行優(yōu)化，得到近似最佳H圈；6.在第5步求出的所有H圈中，找出權(quán)最小的一個，此即要找的最佳H圈的近似解.由于二邊逐次修正法的結(jié)果與初始圈有關(guān)，故本算法第2、3、4步分別用三種方法產(chǎn)生初始圈，以保證能得到較優(yōu)的計(jì)算結(jié)果.問題一若分為三組巡視，設(shè)計(jì)總路程最短且各組盡也許均衡的巡視路線.此問題是多個推銷員的最佳推銷員回路問題.即在加權(quán)圖G中求頂點(diǎn)集V的劃分V?,V?,………Vn,將G提成n個生成子圖Gv?].G[v?.……[v,],使得其中c,為V;的導(dǎo)出子圖G[v;]中的最佳推銷員回定義稱為該分組的實(shí)際均衡度.α為最大允許均衡度.顯然O≤ao≤1,αo越小，說明分組的均衡性越好.取定一個α后，α與α滿足條件(3)的分組是一個均衡分組.條件(4)表達(dá)總巡視路線最短.此問題包含兩方面：第一、對頂點(diǎn)分組；第二、在每組中求最佳推銷員回路，即為單個推銷員的最佳推銷員問題.由于單個推銷員的最佳推銷員回路問題不存在多項(xiàng)式時間內(nèi)的精確算法，故多個推銷員的問題也不存在多項(xiàng)式時間內(nèi)的精確算法.而圖中節(jié)點(diǎn)數(shù)較多，為53個，我們只能去尋求一種較合理的劃分準(zhǔn)則，對圖11-9進(jìn)行粗步劃分后，求出各部分的近似最佳推銷員回路的權(quán)，再進(jìn)一步進(jìn)行調(diào)整，使得各部分滿足均衡性條件(3).從0點(diǎn)出發(fā)去其它點(diǎn)，要使路程較小應(yīng)盡量走0點(diǎn)到該點(diǎn)的最短路.故用圖論軟件包求出0點(diǎn)到其余頂點(diǎn)的最短路，這些最短路構(gòu)成一棵0為樹根的樹，將從0點(diǎn)出發(fā)的樹枝稱為干枝見圖2,從圖中可以看出，從0點(diǎn)出發(fā)到其它點(diǎn)共有6條干枝，它們的名稱分別為①,②,③,④,⑤,⑥.根據(jù)實(shí)際工作的經(jīng)驗(yàn)及上述分析，在分組時應(yīng)遵從以下準(zhǔn)則：準(zhǔn)則一：盡量使同一干枝上及其分枝上的點(diǎn)分在同一組；準(zhǔn)則二：應(yīng)將相鄰的干枝上的點(diǎn)分在同一組；圖2O點(diǎn)到任意點(diǎn)的最短路圖(單位：公里)分組一：(⑥,①),(②,③),(⑤,④)分組二：(①,②),(③,④),(⑤,⑥)顯然分組一的方法極不均衡，故考慮分組二.對分組二中每組頂點(diǎn)的生成子圖，用算法一求出近似最優(yōu)解及相應(yīng)法一時，在每個子圖所構(gòu)造的完備圖中，取一個盡量包含圖11-10中樹上的邊的H圈作為其第2步輸入的初始圈.分組二的近似解見表1.表1(單位：公里)小組名稱路或總路線長度路線的總長度I0-P-28-27-26-N-24-23-22-17-16-10-2-5-6-L-19-J-11-G-13-14-H-12-0-R-29-Q-30-32-31-33-35為改善均衡性，將第Ⅱ組中的頂點(diǎn)C,2,3,D,4分給第Ⅲ組(頂點(diǎn)2為這兩組的公共點(diǎn)),重新分組后的近似最優(yōu)解見表2.表2(單位：公里)編號路線長度路線總長度I0—P—28—27—26—N—24—23—H—14—13—G—11—J—19—L—6—50—R—29—Q—30—32—31—33因該分組的均衡度-C))-1649=168所以這種分法的均衡性較好.問題二當(dāng)巡視人員在各鄉(xiāng)(鎮(zhèn))、村的停留時間一定，汽車的行駛速度一定，要在24小時內(nèi)完畢巡視，至少要分幾組及最佳的巡視路線.由于T=2小時，t=1小時，V=35公里/小時，需訪問的鄉(xiāng)鎮(zhèn)共有17個，村共有35個.計(jì)算出在鄉(xiāng)(鎮(zhèn))及村的總停留時間為17×2+35=69小時，要在24小時內(nèi)完畢巡回，若不考慮行走時間，有：(i為分的組數(shù)).得i最小為4,故至少要分4組由于該網(wǎng)絡(luò)的鄉(xiāng)(鎮(zhèn))、村分布較為均勻，故有也許找出停留時間盡量均衡的分組，當(dāng)分4組時各組停留時間大約為寸，則每組分派在路途上的時間大約為24-17.25=6.75小時.而前面討論過，分三組時有個總路程599.8公里的巡視路線，分4組時的總路程不會比599.8公里大太多，不妨以599.8公里來計(jì)算.路上時間約小時，若平均分派給4個組，每個組約需小時〈6.75小時，故提成4組是也許辦到的.現(xiàn)在嘗試將頂點(diǎn)分為4組.分組的原則：除遵從前面準(zhǔn)則一、二、三外，還應(yīng)遵從以下準(zhǔn)則四：盡量使各組的停留時間相等.用上述原則在圖11-10上將圖分為4組，同時計(jì)算各組的停留時間，然后用算法一算出各組的近似最佳推銷員巡回，得出路線長度及行走時間，從而得出完畢巡視的近似最佳時間.用算法一計(jì)算時，初始圈的輸入與分三組時同樣解決.這4組的近似最優(yōu)解見表3.表3(路程單位：公里；時間單位：小時)組名路線總長度停留時間時間的總時間I上表中符號說明：加有底紋的表達(dá)前面通過并停留過，本次只達(dá)此點(diǎn)只通過不斷留.可以看出，表3分組的均衡度很好，且完全滿足24小時完畢巡視的規(guī)定.五.歷年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽題匯集：中國大學(xué)生建模競賽題目匯集題號題名A[1],1993年第3期B實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析A非線性交調(diào)的頻率設(shè)計(jì)[1],1994年第2期BAB鎖具裝箱A一個飛行管理問題[1],1996年第1期B天車與冶煉爐的作業(yè)調(diào)度A[1],1997年第1期BA[1],1998年第1期B截?cái)嗲懈預(yù)[1],1999年第1期B災(zāi)情巡視路線工科數(shù)學(xué)，2023年，17(1),71-77A自動化車床管理[1],2023年第1期B鉆井布局A[1],2023年第1期BAB公交車的調(diào)度AB彩票中的數(shù)學(xué)ASARS傳染病模型BA奧運(yùn)會臨時超市網(wǎng)點(diǎn)設(shè)計(jì)B電力市場的輸電阻塞管理AB長江水質(zhì)的評價(jià)和預(yù)測[1]《數(shù)學(xué)的實(shí)踐與結(jié)識》,(季刊),中國數(shù)學(xué)會編輯出版.[2]中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽，李大潛主編(1998).●JournalMathematicalModellingandNumericalAnaly●《數(shù)學(xué)建模精品案例》,朱道元著,東南大學(xué)出●《數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建?！?劉來福，曾文藝著,北京師范大學(xué)出版社.(單價(jià)含郵費(fèi)，前一單價(jià)為10本以上、后一單價(jià)為10本以下的單價(jià))●*1.2023年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽優(yōu)秀論文集(《工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)》2023年7期)5元/本，10元/本2.2023年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽優(yōu)秀論文集(《工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)》2023年5期)5元/本，10元/本3.2023年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽優(yōu)秀論文集(《工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)》2023年5期)8.5元/本，10元/本(資料7涉及2023、2023年交叉學(xué)科建模競賽(ICM)優(yōu)秀論文集)8.《大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽輔導(dǎo)教材(一)》(葉其孝主編)9.《大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽輔導(dǎo)教材(二)》●●●本科組參賽隊(duì)從A、B題中任選一題，?？平M參賽隊(duì)從C、D題中任選一題?！裾撐?答卷)用白色A4紙，上下左右各留出2.5厘米的頁邊距。●●我們仔細(xì)閱讀了中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的競賽規(guī)則，我們完全明白在競賽開始后不能以任何方式與隊(duì)外的任何人(涉及指導(dǎo)教師)討論競賽題的求解問題，抄襲別人的成果也是違反競賽規(guī)則的，如被發(fā)現(xiàn)將會受到嚴(yán)厲處置。我們也知道假如引用別人的成果或其他公開的資料(涉及網(wǎng)上查到的資料)必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文和參考文獻(xiàn)中明確列出?！駷榱吮ＷC競賽的公正、公平性，我們保證嚴(yán)格遵守競賽規(guī)則。●參賽報(bào)名號(由各賽區(qū)統(tǒng)一指定編號):參賽隊(duì)員(署名)●●●●●(若為指導(dǎo)組，請指導(dǎo)組負(fù)責(zé)教帥署名)●●各賽區(qū)組委會可對論文第一頁增長其他規(guī)定，此時參賽隊(duì)可在論文第一頁中按照規(guī)定增長其他內(nèi)容?！裾撐牡诙摓橘悈^(qū)評閱標(biāo)注用頁，用于賽區(qū)評閱前后對論文進(jìn)行編號。內(nèi)容為：●論文題目和摘要寫在第三頁上，從第四頁開始是論文正文?！裾撐膹牡谌撻_始編寫頁碼，頁碼必須位于每頁頁腳中部，用阿拉伯?dāng)?shù)字從“1”開始連續(xù)編號?！裾撐牟荒苡许撁迹撐闹胁荒苡腥魏我苍S顯示答題人身份的標(biāo)志?！裾撐念}目用3號黑體字、一級標(biāo)題用4號黑體字，并居中。論文中其他漢字一律采用小4號宋體字，行距用單倍行距?！裉嵴埓蠹易⒁猓赫谡撐脑u閱中占有重要權(quán)重，請認(rèn)真書寫摘要?！褚脛e人的成果或其他公開的資料(涉及網(wǎng)上查到的資料)必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的●[編號]作者，書名，出版地：出版社，出版年?！馵編號]作者，論文名，雜志名，卷期號：起止頁碼，●[編號]作者，資源標(biāo)題，網(wǎng)址，訪問時間(年月日)。●2023年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽題目●答卷用A4紙，論文題目和摘要寫在第●所有題目(涉及數(shù)據(jù))可以從以下網(wǎng)址下載：./mcm.com的平行切片，可依次逐片觀測。根據(jù)拍照并采樣得到的平行切片數(shù)字圖象，假設(shè)某些血管可視為一類特殊的管道，該管道的表面是由球心沿線)的球滾動包絡(luò)而成。例如圓柱就是這樣一種管道，其中軸線為直線，由半徑固定的球滾現(xiàn)有某管道的相繼100張平行切片圖象，記錄了管道與切片的交。圖象文獻(xiàn)名依次為0.bmp、1.bmp、…、99.bmp,格式均為BMP,寬、高均為512個象素(pixel)。為簡化起的尺寸均為1。取坐標(biāo)系的Z軸垂直于切片，第1張切片為平面Z=0,第100張切片為平面Z=99。Z=z(-256,-256,z),(-256,-255,z),…(-(-255,-256,z),(-255,-255,z),…(-(255,-256,z),(255,-255,z),…(25第2頁是100張平行切片圖象中的6張，所有圖象請從網(wǎng)上下載。1.《VisualC++數(shù)字圖象解決》第12頁2.3.1節(jié)。何斌等編著,人民郵電出版社，2023年4月。該條公交線路上行方向共14站，下行方向共13站，第3-4頁給出的是典型的一個工作標(biāo)準(zhǔn)載客100人，據(jù)記錄客車在該線路上運(yùn)營的平均速度為20公里/小時。運(yùn)營調(diào)度規(guī)定，乘客候車時間一般不要超過10分鐘，早高峰時一般不要超過5分鐘，車輛滿載率不應(yīng)超過120%,一般也不要低于50%。試根據(jù)這些資料和規(guī)定，為該線路設(shè)計(jì)一個便于操作的全天(工作日)的公交車調(diào)度方7-0某路公交汽車各時組每站上下車人數(shù)登記表上行方向：A13開往A0站名站間距(公里)1上0下089上0下0上0下0上0下0上0下0上0下0上0下0上0下0上0下0上0下0上0下0上0下0上60下0上0下0上90下0上90下0上60下0上3325353210下0335899某路公交汽車各時組每站上下車人數(shù)登記表下行方向：A0開往A站名站間距(公里)1上34240下02169上0下0上0下0上0下0上0下0上0下0上0下0上0下0上0下0上0下0上0下0上0下0上0下0上0下0上0下0上0下0上0下0上40下02023高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽題目●答卷用白色A4紙，第一頁為空白頁(用于賽區(qū)或全國組委會對論文進(jìn)行編號)。A題車燈線光源的優(yōu)化設(shè)計(jì)口半徑36毫米，深度21.6毫米。通過車燈的焦點(diǎn)，在與對稱軸相垂直的水平方向，對稱地該設(shè)計(jì)規(guī)范在簡化后可描述如下。在焦點(diǎn)F正前方25米處的A點(diǎn)放置一測試屏，屏與FA垂直，用以測試車燈的反射光。在屏上過A點(diǎn)引出一條與地面相平行的直線，在該直線A點(diǎn)的同側(cè)取B點(diǎn)和C點(diǎn)，使AC=2AB=2.6米。規(guī)定C點(diǎn)的光強(qiáng)度不小于某一額定值(可取為1個單位),B點(diǎn)的光強(qiáng)度不小于該額定值的兩倍(只須考慮一次反射)。(1)在滿足該設(shè)計(jì)規(guī)范的條件下，計(jì)算線光源長度，使線光源的功率最小。(2)對得到的線光源長度，在有標(biāo)尺的坐標(biāo)系中畫出測試屏上反射光的亮區(qū)。(3)討論該設(shè)計(jì)規(guī)范的合理性。B題彩票中的數(shù)學(xué)近年來“彩票颶風(fēng)”席卷中華大地，巨額誘惑使越來越多的人加入到“彩民”的行列，目前流行的彩票重要有“傳統(tǒng)型”和“樂透型”兩種類型?！皞鹘y(tǒng)型”采用“10選6+1”方案：先從6組0~9號球中搖出6個基本號碼，每組搖出一個，然后從0~4號球中搖出一個特別號碼，構(gòu)成中獎號碼。投注者從0~9十個號碼中任選6個基本號碼(可反復(fù)),從0~4中選一個特別號碼，構(gòu)成一注，根據(jù)單注號碼與中獎號碼相符的個數(shù)多少及順序擬定中獎等級。以中獎號碼“abcdef+g”為例說明中獎等級，如表一(X表達(dá)未選中的號碼)。表一10選6+1(6+1/10)一等獎g選7中(6+1)二等獎選7中(6)選7中(5)四等獎選7中(4)五等獎選7中(3)六等獎選7中(2)“樂透型”有多種不同的形式，比如“33選7”的方案：先從01~33個號碼球中一個一個地?fù)u出7個基本號，再從剩余的26個號碼球中搖出一個特別號碼。投注者從01~33個號碼中任選7個組成一注(不可反復(fù)),根據(jù)單注號碼與中獎號碼相符的個數(shù)多少擬定相應(yīng)的中獎等級，不考慮號碼順序。又如“36選6+1”的方案，先從01~36個號碼球中一個一個地?fù)u出6個基本號，再從剩下的30個號碼球中搖出一個特別號碼。從01~36個號碼中任選7個組成一注(不可反復(fù)),根據(jù)單注號碼與中獎號碼相符的個數(shù)多少擬定相應(yīng)的中獎等級，不考慮號碼順序。這兩種方案的中獎等級如表二。33選7(7/33)36選6+1(6+1/36)基本號碼特別號碼基本號碼特別號碼一等獎選7中(7)選7中(6+1)二等獎選7中(6+1)選7中(6)選7中(6)選7中(5+1)四等獎選7中(5+1)選7中(5)五等獎選7中(5)選7中(4+1)六等獎選7中(4+1)選7中(4)選7中(4)選7中(3+1)以上兩種類型的總獎金比例一般為銷售總額的50%,投注者單注金額為2元，單注若但一等獎單注保底金額60萬元，封頂金額500萬元，各高項(xiàng)獎額的計(jì)算方法為：[(當(dāng)期銷售總額×總獎金比例)-低項(xiàng)獎總額]×單項(xiàng)獎比例(1)根據(jù)這些方案的具體情況，綜合分析各種獎項(xiàng)出現(xiàn)的也許性、獎項(xiàng)和獎金額的設(shè)(2)設(shè)計(jì)一種“更好”的方案及相應(yīng)的算法，并據(jù)此給彩票管理部門提出建議。(3)給報(bào)紙寫一篇短文，供彩民參考。序號項(xiàng)一等獎二等獎四等獎五等獎1按序25按序35按序45按序556575859556562555542無特別號5512023高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽題目B題露天礦生產(chǎn)的車輛安排露天開采的，它的生產(chǎn)重要是由電動鏟車(以下簡稱電鏟)裝車、電動輪自卸卡車(以下簡稱卡車)運(yùn)送來完畢。提高這些大型設(shè)備的運(yùn)用率是增長露天礦經(jīng)濟(jì)效益的首要任務(wù)。將石料提成礦石和巖石。一般來說，平均鐵含量不低于25%的為礦石，否位的礦石、巖石數(shù)量，以及礦石的平均鐵含量(稱為品位)都是已知的。每個鏟位至多能安頓一臺電鏟，電鏟的平均裝車時間為5分鐘。卸貨地點(diǎn)(以下簡稱卸點(diǎn))有卸礦石的礦石漏、2個鐵路倒裝場(以下簡稱倒裝場)和經(jīng)濟(jì)效益考慮，應(yīng)當(dāng)盡量把礦石按礦石卸點(diǎn)需要的鐵含量(假設(shè)規(guī)定都為29.5%±1%,稱為品位限制)搭配起來送到卸點(diǎn)，搭配的量在一個班次(8小時)內(nèi)滿足品位限制即可。從長遠(yuǎn)看，卸點(diǎn)可以移動，但一個班次內(nèi)不變?？ㄜ嚨钠骄盾嚂r間為3分鐘。所用卡車載重量為154噸，平均時速28km/h?？ㄜ嚨暮挠土亢艽?，每個班次每臺車消耗近1噸柴油。發(fā)動機(jī)點(diǎn)火時需要消耗相稱多的電瓶能量，故一個每個鏟位到每個卸點(diǎn)的道路都是專用的寬60m的雙向車道，不會出現(xiàn)堵車現(xiàn)象，每段所以排時計(jì)劃無效，只求出各條路線上的卡車數(shù)及安排即可)。一個等待條件下滿足產(chǎn)量和質(zhì)量(品位)規(guī)定，而一個好的計(jì)劃還應(yīng)當(dāng)考慮下面兩條原則之一：1.總運(yùn)量(噸公里)最小，同時出動最少的卡車，從而運(yùn)送成本最?。?.運(yùn)用現(xiàn)有車輛運(yùn)送，獲得最大的產(chǎn)量(巖石產(chǎn)量優(yōu)先；在產(chǎn)量相同的情況下，取總運(yùn)量最小的解)。請你就兩條原則分別建立數(shù)學(xué)模型，并給出一個班次生產(chǎn)計(jì)劃的快速算法。針對下面的實(shí)例，給出具體的生產(chǎn)計(jì)劃、相應(yīng)的總運(yùn)量及巖石和礦石產(chǎn)量。某露天礦有鏟位10個，卸點(diǎn)5個，現(xiàn)有鏟車7臺，卡車20輛。各卸點(diǎn)一個班次的產(chǎn)量規(guī)定：礦石漏1.2萬噸、倒裝場I1.3萬噸、倒裝場Ⅱ1.3萬噸、巖石漏1.9萬噸、巖場1.3鏟位和卸點(diǎn)位置的二維示意圖如下，各鏟位和各卸點(diǎn)之間的距離(公里)如下表：1鏟位2鏟位3鏟位5鏟位7鏟位8漏場I巖場漏各鏟位礦石、巖石數(shù)量(萬噸)和礦石的平均鐵含量如下表：1鏟位3鏟位4鏟位6量巖石量量32號31號2023高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽題目A題奧運(yùn)會臨時超市網(wǎng)點(diǎn)設(shè)計(jì)感謝：北京市市政管理委員會北京市城市規(guī)劃委員會提供場館規(guī)劃圖2023年北京奧運(yùn)會的建設(shè)工作已經(jīng)進(jìn)入全面設(shè)計(jì)和實(shí)行階段。奧運(yùn)會期間，在比賽主場館的周邊地區(qū)需要建設(shè)由小型商亭構(gòu)建的臨立的這種MS,在地點(diǎn)、大小類型和總量方面有圖1給出了比賽主場館的規(guī)劃圖。作為真實(shí)地圖的簡化，在圖2中僅保存了與本問題有關(guān)的地區(qū)及相關(guān)部分：道路(白色為人行道)、公交車站為了得到人流量的規(guī)律，一個可供選擇的方法，是在已經(jīng)建設(shè)好的某運(yùn)動場(圖3)通過對預(yù)演的運(yùn)動會的問卷調(diào)查，了解觀眾(購物主體)的出行和用餐的需求方式和購物欲望。假請你按以下環(huán)節(jié)對圖2的20個商區(qū)設(shè)計(jì)MS網(wǎng)點(diǎn)：1.根據(jù)附錄中給出的問卷調(diào)查數(shù)據(jù)，找出觀眾在出行、用餐和購并且出行均采用最短途徑。依據(jù)1的結(jié)果，測算圖2中20個商區(qū)的人流量分布(用比例表3.假如有兩種大小不同規(guī)模的MS類型供選擇，給出圖2中20個商區(qū)內(nèi)MS網(wǎng)點(diǎn)的設(shè)計(jì)方案(即每個商區(qū)內(nèi)不同類型MS的個數(shù)),以滿足上述三個基本規(guī)定。4.闡明你的方法的科學(xué)性，并說明你的結(jié)果2.為簡化起見，假定國家體育場(鳥巢)容量為10萬人，國家體育館容量為6萬人，國家游泳中心(水立方)容量為4萬人。三個場館的每個看臺容量均為1萬人，出口對準(zhǔn)一對觀眾發(fā)放的問卷調(diào)查，收回率為33%,三次共收回10000多份。具體數(shù)據(jù)請?jiān)赼ccess數(shù)據(jù)庫中索取，其中年齡分4檔：1)20歲以下，2)20—30歲，3)30-50歲，4)50歲以上；出行方式分4種：出租、公交、地鐵、私車；餐飲方式分3種：中餐、西餐、商場(餐飲);消費(fèi)額(非餐飲)分6檔：1)0—100,2)100—200,3)200—300,4)300—400,5)400—500,6)500以上(元)。AA圖1(A:國家體育場(鳥巢),B:國家體育館，C:國家游泳中心(水立方))圖3公公交公交A區(qū)-國家體育場(鳥巢)B區(qū)-國家體育館C區(qū)-國家游泳中心(水立方)山博2家場3地佚B6②8⑥6公交公交商場B題電力市場的輸電阻塞管理我國電力系統(tǒng)的市場化改革正在積極、穩(wěn)步地進(jìn)行。2023年3月國家電力監(jiān)管委員會成立，2023年6月該委員會發(fā)文列出了組建東北區(qū)域電力市場和進(jìn)行華東區(qū)域電力市場試用最小的經(jīng)濟(jì)目的來運(yùn)作。市場交易-調(diào)度中心根據(jù)負(fù)荷預(yù)報(bào)和交運(yùn)營的調(diào)度計(jì)劃-—各發(fā)電機(jī)組的出力(發(fā)電功率)分派方案；在執(zhí)行調(diào)度計(jì)劃的過程中，還需實(shí)時調(diào)度承擔(dān)AGC(自動發(fā)電控制)輔助服務(wù)的機(jī)組出力，以跟蹤電網(wǎng)中實(shí)時變化的負(fù)設(shè)某電網(wǎng)有若干臺發(fā)電機(jī)組和若干條重要線路，每條線路上的有功潮流(輸電功率和方向)取決于電網(wǎng)結(jié)構(gòu)和各發(fā)電機(jī)組的出力。電網(wǎng)每條線路上的有功潮流的絕對值值，限值還具有一定的相對安全裕度(即在應(yīng)急情況下潮流絕對值可1.以15分鐘為一個時段組織交易，每臺機(jī)組在當(dāng)前時段開始時刻前給出下一個時段的報(bào)價(jià)。各機(jī)組將可用出力由低到高提成至多10段報(bào)價(jià)，每個段的長度稱為段容量，每個段容量報(bào)一個價(jià)(稱為段價(jià)),段價(jià)按段序數(shù)單調(diào)不減。在最低技術(shù)出力以下的報(bào)價(jià)一般為負(fù)值，表達(dá)樂意付費(fèi)維持發(fā)電以避免停機(jī)帶來更大的損失。2.在當(dāng)前時段內(nèi)，市場交易-調(diào)度中心根據(jù)下一個時段的負(fù)荷預(yù)報(bào)，每臺機(jī)組的報(bào)價(jià)、當(dāng)前出力和出力改變速率，按段價(jià)從低到高選取各機(jī)組的段容量或其部分(見下面注釋),直到它們之和等于預(yù)報(bào)的負(fù)荷，這時每個機(jī)組被選入的段容量或其部分之和形成該時段該機(jī)組的出力分派預(yù)案(初始交易結(jié)果)。最后一個被選入的段價(jià)(最高段價(jià))稱為該時段的清算價(jià)，該時段所有機(jī)組的所有出力均按清算價(jià)結(jié)算。(a)每個時段的負(fù)荷預(yù)報(bào)和機(jī)組出力分派計(jì)劃的參照時刻均為該時段結(jié)束時刻。(b)機(jī)組當(dāng)前出力是對機(jī)組在當(dāng)前時段結(jié)束時刻實(shí)際出力的預(yù)測值。(c)假設(shè)每臺機(jī)組單位時間內(nèi)能增長或減少的出力相同，該出力值稱為該機(jī)組的爬坡速率。由于機(jī)組爬坡速率的約束，也許導(dǎo)致選取它的某個段容量的部分。(d)為了使得各機(jī)組計(jì)劃出力之和等于預(yù)報(bào)的負(fù)荷需求，清算價(jià)相應(yīng)的段容量也許只選取部分。市場交易-調(diào)度中心在當(dāng)前時段內(nèi)要完畢的具體操作過程如下：1、監(jiān)控當(dāng)前時段各機(jī)組出力分派方案的執(zhí)行，調(diào)度AGC輔助服務(wù)，在此基礎(chǔ)上給出各機(jī)組的當(dāng)前出力值。2、作出下一個時段的負(fù)荷需求預(yù)報(bào)。3、根據(jù)電力市場交易規(guī)則得到下一個時段各機(jī)組出力分派預(yù)案。4、計(jì)算當(dāng)執(zhí)行各機(jī)組出力分派預(yù)案時電網(wǎng)各重要線路上的有功潮流，判斷是否會出現(xiàn)(1)調(diào)整各機(jī)組出力分派方案使得輸電阻塞消除。(2)假如(1)做不到，還可以使用線路的安全裕度輸電，以避免拉閘限電(強(qiáng)制減少負(fù)荷需求),但要使每條線路上潮流的絕對值超過限值的比例盡量小。(3)假如無論如何分派機(jī)組出力都無法使每條線路上的潮流絕對值超過限值的比例小(4)當(dāng)改變根據(jù)電力市場交易規(guī)則得到的各機(jī)組出力分派預(yù)案時，一些通過競價(jià)取得發(fā)電權(quán)的發(fā)電容量(稱序內(nèi)容量)不能出力；而一些在競價(jià)中未取得發(fā)電權(quán)的發(fā)電容量(稱序外容量)要在低于相應(yīng)報(bào)價(jià)的清算價(jià)上出力。因此，發(fā)電商和網(wǎng)方將產(chǎn)生經(jīng)濟(jì)利益沖突。1.某電網(wǎng)有8臺發(fā)電機(jī)組，6條重要線路，表1和表2中的方案0給出了各機(jī)組的當(dāng)前出力和各線路上相應(yīng)的有功潮流值，方案1~32給出了圍繞方案0的一些實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，試用這在輸電阻塞發(fā)生時公平地對待序內(nèi)容量不能出力的部分和報(bào)價(jià)高于清3.假設(shè)下一個時段預(yù)報(bào)的負(fù)荷需求是982.4MW,表3、表4和表5分別給出了各機(jī)組的段4.按照表6給出的潮流限值，檢查得到的出力分派預(yù)案是否會引起輸電阻塞，并在塞費(fèi)用。5.假設(shè)下一個時段預(yù)報(bào)的負(fù)荷需求是1052.8MW,反復(fù)3~4的工123456780123456789口方案\線路1234560123456789表3各機(jī)組的段容量(單位：MW)1234567891000000208620083000045001550060001234567891020304506078表5各機(jī)組的爬坡速率(單位：MW/分鐘)1234567812123456限值安全裕度C題飲酒駕車據(jù)報(bào)載，2023年全國道路交通事故死亡人數(shù)為10.4372萬，其中因飲酒駕車導(dǎo)致的占有針對這種嚴(yán)重的道路交通情況，國家質(zhì)量監(jiān)督檢查檢疫局2023年5月31日發(fā)布了新的液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升，小于80毫克/百毫升為飲酒駕車(原標(biāo)準(zhǔn)是小于100毫克/百毫升),血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升為醉酒駕車(原標(biāo)準(zhǔn)是大于或等于100毫克/百毫升)。大李在中午12點(diǎn)喝了一瓶啤酒，下午6點(diǎn)檢查時符合新的駕車標(biāo)準(zhǔn)，緊接著他在吃晚飯時又喝了一瓶啤酒，為了保險(xiǎn)起見他呆到凌晨2點(diǎn)才駕車回家，又一次遭遇檢查時卻被定為飲酒駕車，這讓他既懊惱又困惑，為什么喝同樣多的酒，兩次檢查結(jié)果會不同樣呢?請你參考下面給出的數(shù)據(jù)(或自己收集資料)建立飲酒后血液中酒精含量的數(shù)學(xué)模型，并討論以下問題：1.對大李碰到的情況做出解釋；2.在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多長時間內(nèi)駕車就會違反上述標(biāo)準(zhǔn)，在以下情況下回答：1)酒是在很短時間內(nèi)喝的；2)酒是在較長一段時間(比如2小時)內(nèi)喝的。3.如何估計(jì)血液中的酒精含量在什么時間最高。4.根據(jù)你的模型論證：假如天天喝酒，是否還能開車?5.根據(jù)你做的模型并結(jié)合新的國家標(biāo)準(zhǔn)寫一篇短文，給想喝一點(diǎn)酒的司機(jī)如何駕車提出參考數(shù)據(jù)1.人的體液占人的體重的65%至70%,其中血液只占體重的7%左右；而藥物(涉及酒精)在血液中的含量與在體液中的含量大體是同樣的。2.體重約70kg的某人在短時間內(nèi)喝下2瓶啤酒后，隔一定期間測量他的血液中酒精含量(毫克/百毫升),得到數(shù)據(jù)如下：時間(小時)12345酒精含量時間(小時)6789酒精含量774D題公務(wù)員招聘我國公務(wù)員制度已實(shí)行數(shù)年，1993年10月1日頒布施行的《國家公務(wù)員暫行條例》規(guī)定：“國家行政機(jī)關(guān)錄用擔(dān)任主任科員以下的非領(lǐng)導(dǎo)職務(wù)的國家公務(wù)員，采用公開考試、嚴(yán)格考核的辦法，按照德才兼?zhèn)涞臉?biāo)準(zhǔn)擇優(yōu)錄用”。目前，我國招聘公務(wù)員的程序一般分三步進(jìn)行：公開考試(筆試)、面試考核、擇優(yōu)錄取。現(xiàn)有某市直屬單位因工作需要，擬向社會公開招聘8名公務(wù)員，具體的招聘辦法和程序(一)公開考試：凡是年齡不超過30周歲，大學(xué)?？埔陨蠈W(xué)歷，身體健康者均可報(bào)名參與考試，考試科目有：綜合基礎(chǔ)知識、專業(yè)知識和“行政職業(yè)能力測驗(yàn)”三個部分，每科滿分為100分。根據(jù)考試總分的高低排序按1:2的比例(共16人)選擇進(jìn)入第二階段的面試(二)面試考核：面試考核重要考核應(yīng)聘人員的知識面、對問題的理解能力、應(yīng)變能力、表達(dá)能力等綜合素質(zhì)。按照一定的標(biāo)準(zhǔn)，面試專家組對每個應(yīng)聘人員的各個方面都給出一個等級評分，從高到低提成A/B/C/D四個等級，具體結(jié)果見表1所示。(三)由招聘領(lǐng)導(dǎo)小組綜合專家組的意見、筆初試成績以及各用人部門需求擬定錄用名該單位擬將錄用的8名公務(wù)員安排到所屬的7個部門，并且規(guī)定每個部門至少安排一名公務(wù)員。這7個部門按工作性質(zhì)可分為四類：(1)行政管理、(2)技術(shù)管理、(3)行政執(zhí)法、(4)公共事業(yè)。見表2所示。招聘領(lǐng)導(dǎo)小組在擬定錄用名單的過程中，本著公平、公開的原則，同時考慮錄用人員的合理分派和使用，有助于發(fā)揮個人的專長和能力。招聘領(lǐng)導(dǎo)小組將7(涉及福利待遇、工作條件、勞動強(qiáng)度、晉升機(jī)會和學(xué)習(xí)深造機(jī)會等)和四類工作對聘用公務(wù)員的具體條件的希望達(dá)成的規(guī)定都向所有應(yīng)聘人員公布(見表2)。每一位參與面試人員都可以申報(bào)兩個自己的工作類別志愿(見表1)。請研究下列問題：(1)假如不考慮應(yīng)聘人員的意愿，擇優(yōu)按需錄用，試幫助招聘領(lǐng)導(dǎo)小組設(shè)計(jì)一種錄用分(2)在考慮應(yīng)聘人員意愿和用人部門的希望規(guī)定的情況下，請你幫助招聘領(lǐng)導(dǎo)小組設(shè)計(jì)(3)你的方法對于一般情況，即N個應(yīng)聘人員M個用人單位時，是否可行?(4)你對上述招聘公務(wù)員過程認(rèn)為尚有哪些地方值得改善，給出你的建議。表1:招聘公務(wù)員筆試成績，專家面試評分及個人志愿人員申報(bào)類別志愿理解能力應(yīng)變能力人員1AABBABACBADCABBBBABCBDABABCBBAACBBABDBAC人員11DCBA人員12ABCA人員13BCDADBAB人員15ABCBBABC部門福利待遇工作條件勞動強(qiáng)度晉升機(jī)會深造機(jī)會理解能力應(yīng)變能力表達(dá)能力憂憂中多少BACA中憂大多少ABBC中優(yōu)中大少中多中優(yōu)差大多中多CCAA優(yōu)中差中大中中中中中中多CBBA優(yōu)中大中少多附：數(shù)據(jù)下載2023高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽論文格式規(guī)范1.甲組參賽隊(duì)從A、B題中任選一題，乙組參賽隊(duì)從C、D題中任選一題。2.論文(答卷)用白色A4紙，上下左右各留出2.5厘米的頁邊距。3.論文第一頁為承諾書，具體內(nèi)容和格式見本規(guī)范第二頁。4.論文第二頁為編號專用頁，用于賽區(qū)和全國評閱前后對論文進(jìn)行編號，具體內(nèi)容和格式見本規(guī)范第三頁。5.論文題目和摘要寫在論文第三頁上，從第四頁開始是論文正文。6.論文從第三頁開始編寫頁碼，頁碼必須位于每頁頁腳中部，用阿拉伯?dāng)?shù)字從“1”開始連續(xù)編號。7.論文不能有頁眉，論文中不能有任何也許顯示答題人身份的標(biāo)志。8.論文題目用3號黑體字、一級標(biāo)題用4號黑體字，并居中。論文中其他漢字一律采用小4號黑色宋體字，行距用單倍行距。9.提請大家注意：摘要在整篇論文評閱中占有重要權(quán)重，請認(rèn)真書寫摘要(注意篇幅不能超過一頁)。全國評閱時將一方面根據(jù)摘要和論文整體結(jié)構(gòu)及概貌對論文優(yōu)劣進(jìn)行初步篩選。10.引用別人的成果或其他公開的資料(涉及網(wǎng)上查到的資料)必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中均明確列出。正文引用處用方括號標(biāo)示參考文獻(xiàn)的編號，如[1][3]等；引用書籍還必須指出頁碼。參考文獻(xiàn)按正文中的引用順序列出，其中書籍的表述方式為：[編號]作者，書名，出版地：出版社，出版年。參考文獻(xiàn)中期刊雜志論文的表述方式為：[編號]作者，論文名，雜志名，卷期號：起止頁碼，出版年。參考文獻(xiàn)中網(wǎng)上資源的表述方式為：[編號]作者，資源標(biāo)題，網(wǎng)址，訪問時間(年月日)。11.在不違反本規(guī)范的前提下，各賽區(qū)可以對論文增長其他規(guī)定(如在本規(guī)范規(guī)定的第一頁前增長其他頁和其他信息，或在論文的最后增長空白頁等);從承諾書開始到論文正文結(jié)束前，各賽區(qū)不得有本規(guī)范外的其他規(guī)定(否則一律無效)。12.本規(guī)范的解釋權(quán)屬于全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽組委會。[注]賽區(qū)評閱前將論文第一頁取下保存，同時在第一頁和第二頁建立“賽區(qū)評閱編號”(由各賽區(qū)規(guī)定編號方式)。評閱后，賽區(qū)對送全國評閱的論文在第二頁建立“全國統(tǒng)一編號”(編號方式由全國組委會規(guī)定，與去年格式相同),然后送全國評閱。論文第二頁(編號頁)由全國組委會評閱前取下保存，同時在第二頁建立“全國評閱編號”。2023年9月修訂2023高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽我們仔細(xì)閱讀了中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的競賽規(guī)則.等)與隊(duì)外的任何人(涉及指導(dǎo)教師)研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的，假如引用別人(涉及網(wǎng)上查到的資料),必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平參賽隊(duì)員(署名):指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人(署名):賽區(qū)評閱編號(由賽區(qū)組委會評閱前進(jìn)行編號):2023高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽賽區(qū)評閱編號(由賽區(qū)組委會評閱前進(jìn)行編號):全國統(tǒng)一編號(由賽區(qū)組委會送交全國前編號):全國評閱編號(由全國組委會評閱前進(jìn)行編號):\2023高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽題目(請先閱讀“對論文格式的統(tǒng)一規(guī)定”)A題：長江水質(zhì)的評價(jià)和預(yù)測水是人類賴以生存的資源，保護(hù)水資源就是保護(hù)我們自己，對于我國大江大河水資源的保護(hù)和治理應(yīng)是重中之重。專家們呼吁：“以人為本，建設(shè)文明和諧社會，改善人與自然的環(huán)境，減少污染?！遍L江是我國第一、世界第三大河流，長江水質(zhì)的污染限度日趨嚴(yán)重，已引起了相關(guān)政府部門和專家們的高度重視。2023年10月，由全國政協(xié)與中國發(fā)展研究院聯(lián)合組成“保護(hù)長江萬里行”考察團(tuán)，從長江上游宜賓到下游上海，對沿線21個重點(diǎn)城市做了實(shí)地考察，揭示了一幅長江污染的真實(shí)畫面，其污染限度讓人觸目驚心。為此，專家們提出“若不及時拯救，長江生態(tài)2023內(nèi)將瀕臨崩潰”(附件1),并發(fā)出了“拿什么拯救癌變長江”的呼喚(附件2)。附件3給出了長江沿線17個觀測站(地區(qū))近兩年多重要水質(zhì)指標(biāo)的檢測數(shù)據(jù)，以及干流上7個觀測站近一年多的基本數(shù)據(jù)(站點(diǎn)距離、水流量和水流速)。通常認(rèn)為一個觀測站(地區(qū))的水質(zhì)污染重要來自于本地區(qū)的排污和上游的污水。一般說來，江河自身對污染物都有一定的自然凈化能力，即污染物在水環(huán)境中通過物理降解、化學(xué)降解和生物降解等使水中污染物的濃度減少。反映江河自然凈化能力的指標(biāo)稱為降解系數(shù)。事實(shí)上，長江干流的自然凈化能力可以認(rèn)為是近似均勻的，根據(jù)檢測可知，重要污染物高錳酸