江蘇省南京師范大學(xué)附屬實驗學(xué)校2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期3月份月反饋數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）

南京師范大學(xué)附屬實驗學(xué)校2024-2025學(xué)年度第二學(xué)期高二年級3月份月反饋數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．請把答案直接填涂在答題卡相應(yīng)位置上）1.若4名學(xué)生報名參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)興趣小組，每人選報1項，則不同的報名方式有（）A.81種 B.64種 C.24種 D.6種2.在空間直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于平面的對稱點坐標(biāo)為（）A. B. C. D.3.（）A.14 B.16 C.18 D.244.在平行六面體中，，記向量，，，則向量（）A B.C. D.5.若直線l的方向向量，平面的一個法向量，若，則實數(shù)（）A.2 B. C. D.106已知向量，，，若，，共面，則（）A.4 B.2 C.3 D.17.用6種不同的顏色給如圖所示的地圖上色，要求相鄰兩塊涂不同的顏色，則不同的涂色方法有（）A.240 B.360 C.480 D.6008.如圖，直三棱柱中，，點P為側(cè)面上任意一點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.二、多選題（（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．請把答案直接填涂在答題卡相應(yīng)位置上）9.下列結(jié)論正確的是（）A B.C.若，則 D.10.已知空間向量，則（

）A. B.可以為空間的一組基底C. D.11.已知向量分別為兩個不同的平面的法向量，為直線的方向向量，且，則（）A. B.C. D.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分．請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上)12.已知空間向量，，，，1，，若與垂直，則等于___________13.有四對雙胞胎共8人，從中隨機選出4人，則其中恰有一對雙胞胎的選法有_________種．14.如圖：長方體中，,，為上一點，且，為的中點，為上動點，當(dāng)時，_________．四、解答題（本大題共5小題，共77分請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.5個人排成一排，在下列情況下，各有多少種不同排法？（1）甲不在排頭，也不在排尾；（2）甲、乙、丙三人必須在一起.16.（1）已知，求n．（2）．17.已知向量.（1）求；（2）求；（3）求向量的夾角．18.如圖，在四棱錐中，平面，，，，為棱的中點.（1）證明：平面；（2）若，求平面和夾角的余弦值.19.如圖，在四棱錐中，平面⊥平面，為等邊三角形，，，，，M為的中點．（1）證明：⊥平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．

南京師范大學(xué)附屬實驗學(xué)校2024-2025學(xué)年度第二學(xué)期高二年級3月份月反饋數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．請把答案直接填涂在答題卡相應(yīng)位置上）1.若4名學(xué)生報名參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)興趣小組，每人選報1項，則不同的報名方式有（）A.81種 B.64種 C.24種 D.6種【答案】A【解析】【分析】4名學(xué)生每人有3種報名方法，結(jié)合分步計數(shù)原理計數(shù)即可得出結(jié)果.

【詳解】每位學(xué)生都有3種選擇，則4位學(xué)生的報名方式共有種.

故選：A.2.在空間直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于平面的對稱點坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】點關(guān)于平面的對稱點的坐標(biāo)橫縱坐標(biāo)不變，豎坐標(biāo)變?yōu)橄喾磾?shù).【詳解】點關(guān)于平面的對稱點坐標(biāo)為，故選:C.3.（）A.14 B.16 C.18 D.24【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合排列數(shù)和組合數(shù)的公式，準(zhǔn)確計算，即可求解.【詳解】由排列數(shù)和組合數(shù)的公式，可得.故選：C.4.在平行六面體中，，記向量，，，則向量（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先得到是的中點，利用空間向量基本定理求出答案.【詳解】因平行六面體鐘，，所以是的中點，故.故選：C5.若直線l的方向向量，平面的一個法向量，若，則實數(shù)（）A.2 B. C. D.10【答案】A【解析】【分析】利用空間位置關(guān)系的向量證明，列式求解即得.【詳解】由直線l的方向向量，平面的一個法向量，，得，則，解得，所以實數(shù).故選：A6.已知向量，，，若，，共面，則（）A.4 B.2 C.3 D.1【答案】D【解析】【分析】根據(jù)共面定理得，即可代入坐標(biāo)運算求解.【詳解】因為，，共面，所以存在兩個實數(shù)、，使得，即，即，解得.故選：D7.用6種不同的顏色給如圖所示的地圖上色，要求相鄰兩塊涂不同的顏色，則不同的涂色方法有（）A.240 B.360 C.480 D.600【答案】C【解析】【分析】先涂區(qū)域②③④，再討論①與④的顏色是否相同，結(jié)合計數(shù)原理運算求解.【詳解】將區(qū)域標(biāo)號，如下圖所示：因為②③④兩兩相鄰，依次用不同的顏色涂色，則有種不同的涂色方法，若①與④的顏色相同，則有1種不同的涂色方法；若①與④的顏色不相同，則有3種不同的涂色方法；所以共有種不同的涂色方法.故選：C.8.如圖，直三棱柱中，，點P為側(cè)面上的任意一點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】取AB中點為原點O，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到，進而可求解；【詳解】如圖取AB中點為原點O，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中，，，，，，，當(dāng)，且或時，取最大值4，當(dāng)，且時，取最小值2，所以的取值范圍為．故選：C二、多選題（（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．請把答案直接填涂在答題卡相應(yīng)位置上）9.下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.若，則 D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)排列數(shù)與組合數(shù)的計算公式以及性質(zhì)即可逐一求解.【詳解】對于A，，故A正確，對于B，，故，故B錯誤，對于C，則或，解得或，故C錯誤，對于D，,故D正確，故選：AD10.已知空間向量，則（

）A. B.可以為空間的一組基底C. D.【答案】AC【解析】【分析】A選項，利用空間向量模長的坐標(biāo)計算出A正確；B選項，求出，所以，，共面，B錯誤；C選項，計算出，C正確；D選項，利用空間向量數(shù)量積運算法則得到D錯誤.【詳解】對于A，，故A項正確；對于B，設(shè)，即，解得，，即，所以，，共面，不能作為空間的一組基底，B錯誤；對于C，，所以，故C項正確；對于D，，故D錯誤.故選：AC.11.已知向量分別為兩個不同的平面的法向量，為直線的方向向量，且，則（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)判斷選項A，D；根據(jù)判斷選項B；根據(jù)判斷選項C.【詳解】因為，所以，所以，A正確，D錯誤；因為，且，所以，B正確；因為，所以或者錯誤.故選：AB三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分．請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上)12.已知空間向量，，，，1，，若與垂直，則等于___________.【答案】【解析】【分析】利用向量垂直關(guān)系，與垂直，則，可求得，得到向量，進而求模長即可．【詳解】解：，，，，1，，，，，與垂直，，，解得，，，，．故答案為：.13.有四對雙胞胎共8人，從中隨機選出4人，則其中恰有一對雙胞胎選法有_________種．【答案】48【解析】【分析】根據(jù)分步乘法原理，先選一對雙胞胎，再從剩下的三對雙胞胎中選出兩對，從這兩對中各選一個人即可.【詳解】先從四對雙胞胎中選出一對，有種選擇，然后從剩下的六個人中選出兩個人，且不能是同一對雙胞胎，這相當(dāng)于從三對雙胞胎中選出兩對，再從每對中選出一個人，共有種選擇，根據(jù)乘法原理，總共有種選法.故答案為：.14.如圖：長方體中，,，為上一點，且，為的中點，為上動點，當(dāng)時，_________．【答案】【解析】【分析】以為原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用向量法解出的值即可.【詳解】長方體中以為原點，為軸，為軸，為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，因為，為上一點，且，為的中點，為上動點，所以，設(shè)，所以，又因為，所以，解得，所以，即,所以.故答案為：2.四、解答題（本大題共5小題，共77分請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.5個人排成一排，在下列情況下，各有多少種不同排法？（1）甲不在排頭，也不在排尾；（2）甲、乙、丙三人必須在一起.【答案】（1）72（2）36【解析】【分析】（1）排列問題對特殊元素要優(yōu)先處理；（2）利用捆綁法處理．【小問1詳解】若甲不在排頭，也不在排尾，先從3個位置選一個安排甲，再對剩下的4人全排列，即排列的方法有：=72種；【小問2詳解】甲、乙、丙三人必須在一起，先對甲乙丙三人全排列，再與剩下兩人全排列，即排列的方法有：=36種．16.（1）已知，求n．（2）．【答案】（1）6；（2）252【解析】【分析】（1）利用組合數(shù)性質(zhì)以及組合數(shù)公式和排列數(shù)公式，將化簡并展開，解方程即可求得答案.（2）法一：利用組合數(shù)性質(zhì)求解；法二：直接計算，求和.【詳解】（1）由得，即，即，解得，或，又由知，即，故.（2）法一：.法二：原式.17.已知向量.（1）求；（2）求；（3）求向量的夾角．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運算及向量模的坐標(biāo)表示求解；（2）根據(jù)空間向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運算求解；（3）根據(jù)空間向量垂直的坐標(biāo)表示計算即可得解.【小問1詳解】∵，，.【小問2詳解】，，則.【小問3詳解】，，，則，所以向量的夾角為.18.如圖，在四棱錐中，平面，，，，為棱的中點.（1）證明：平面；（2）若，求平面和夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）記為中點，連接，易知是平行四邊形，則，利用線面平行的判定即可證結(jié)論；（2）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法求面面角的余弦值.【小問1詳解】記為中點，連接，又為棱的中點，，所以，且，即是平行四邊形，所以，面，面，則面.【小問2詳解】由平面，平面，所以，又，所以建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，由，，得，則，顯然面的一個法向量為，且，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以平面和夾角的余弦值為.19.如圖，在四棱錐中，平面⊥平面，為等邊三角形，，，，，M為中點．（1）證明：⊥平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）設(shè)中點為O，證明平面，從而得，結(jié)合，即可證明結(jié)論；（2）建