2025年國家公務(wù)員考試行測數(shù)量關(guān)系50個(gè)常見問題公式法巧解

PAGEPAGE12025年國家公務(wù)員考試行測數(shù)量關(guān)系50個(gè)常見問題公式法巧解（精華版）一、頁碼問題

對(duì)多少頁出現(xiàn)多少1或2的公式

如果是X千里找?guī)?，公式?000+X00*3如果是X百里找?guī)?，就?00+X0*2，X有多少個(gè)0就*多少。依次類推!請(qǐng)注意，要找的數(shù)一定要小于X，如果大于X就不要加1000或者100一類的了，

比如，7000頁中有多少3就是1000+700*3=3100(個(gè))

20000頁中有多少6就是2000*4=8000(個(gè))

友情提示，如3000頁中有多少3，就是300*3+1=901，請(qǐng)不要把3000的3忘了

二、握手問題

N個(gè)人彼此握手，則總握手?jǐn)?shù)

S=(n-1){a1+a(n-1)}/2=(n-1){1+1+(n-2)}/2=『n^2-n』/2=N×(N-1)/2

例題：

某個(gè)班的同學(xué)體育課上玩游戲，大家圍成一個(gè)圈，每個(gè)人都不能跟相鄰的2個(gè)人握手，整個(gè)游戲一共握手152次，請(qǐng)問這個(gè)班的同學(xué)有()人

A、16B、17C、18D、19

【解析】此題看上去是一個(gè)排列組合題，但是卻是使用的多邊形對(duì)角線的原理在解決此題。按照排列組合假設(shè)總數(shù)為X人則Cx取3=152但是在計(jì)算X時(shí)卻是相當(dāng)?shù)穆闊?。我們仔?xì)來分析該題目。以某個(gè)人為研究對(duì)象。則這個(gè)人需要握x-3次手。每個(gè)人都是這樣。則總共握了x×(x-3)次手。但是沒2個(gè)人之間的握手都重復(fù)計(jì)算了1次。則實(shí)際的握手次數(shù)是x×(x-3)÷2=152計(jì)算的x=19人

三，鐘表重合公式

鐘表幾分重合，公式為：x/5=(x+a)/60a時(shí)鐘前面的格數(shù)

四，時(shí)鐘成角度的問題

設(shè)X時(shí)時(shí)，夾角為30X，Y分時(shí)，分針追時(shí)針5.5，設(shè)夾角為A.(請(qǐng)大家掌握)

鐘面分12大格60小格每一大格為360除以12等于30度，每過一分鐘分針走6度，時(shí)針走0.5度，能追5.5度。

1.【30X-5.5Y】或是360-【30X-5.5Y】【】表示絕對(duì)值的意義(求角度公式)

變式與應(yīng)用

2.【30X-5.5Y】=A或360-【30X-5.5Y】=A(已知角度或時(shí)針或分針求其中一個(gè)角)

五，往返平均速度公式及其應(yīng)用(引用)

某人以速度a從A地到達(dá)B地后，立即以速度b返回A地，那么他往返的平均速度v=2ab/(a+b)。

證明：設(shè)A、B兩地相距S，則

往返總路程2S，往返總共花費(fèi)時(shí)間s/a+s/b

故v=2s/(s/a+s/b)=2ab/(a+b)

六，空心方陣的總數(shù)

空心方陣的總數(shù)=(最外層邊人(物)數(shù)-空心方陣的層數(shù))×空心方陣的層數(shù)×4

=最外層的每一邊的人數(shù)^2-(最外層每邊人數(shù)-2*層數(shù))^2

=每層的邊數(shù)相加×4-4×層數(shù)

空心方陣最外層每邊人數(shù)=總?cè)藬?shù)/4/層數(shù)+層數(shù)

方陣的基本特點(diǎn)：①方陣不論在哪一層，每邊上的人(或物)數(shù)量都相同.每向里一層邊上的人數(shù)就少2;

②每邊人(或物)數(shù)和四周人(或物)數(shù)的關(guān)系：

③中實(shí)方陣總?cè)?或物)數(shù)=(每邊人(或物)數(shù))2=(最外層總?cè)藬?shù)÷4+1)2

例：①某部隊(duì)排成一方陣，最外層人數(shù)是80人，問方陣共有多少官兵?(441人)

②某校學(xué)生剛好排成一個(gè)方隊(duì)，最外層每邊的人數(shù)是24人，問該方陣有多少名學(xué)生?(576名)解題方法：方陣人數(shù)=(外層人數(shù)÷4+1)2=(每邊人數(shù))2

③參加中學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)團(tuán)體操比賽的運(yùn)動(dòng)員排成了一個(gè)正方形隊(duì)列。如果要使這個(gè)正方形隊(duì)列減少一行和一列，則要減少33人。問參加團(tuán)體操表演的運(yùn)動(dòng)員有多少人?(289人)

解題方法：去掉的總?cè)藬?shù)=原每行人數(shù)×2-1=減少后每行人數(shù)×2+1

典型例題：某個(gè)軍隊(duì)舉行列隊(duì)表演，已知這個(gè)長方形的隊(duì)陣最外圍有32人，若以長和寬作為邊長排出2個(gè)正方形的方陣需要180人。則原來長方形的隊(duì)陣總?cè)藬?shù)是()

A、64，B、72C、96D、100

【解析】這個(gè)題目經(jīng)過改編融合了代數(shù)知識(shí)中的平方和知識(shí)點(diǎn)。長方形的(長+寬)×2=32+4得到長+寬=18。可能這里面大家對(duì)于長+寬=18有些難以計(jì)算。你可以假設(shè)去掉4個(gè)點(diǎn)的人先不算。長+寬(不含兩端的人)×2+4(4個(gè)端點(diǎn)的人)=32，則計(jì)算出不含端點(diǎn)的長+寬=14考慮到各自的2端點(diǎn)所以實(shí)際的長寬之和是14+2+2=18。求長方形的人數(shù)，實(shí)際上是求長×寬。根據(jù)條件長×長+寬×寬=180綜合(長+寬)的平方=長×長+寬×寬+2×長×寬=18×18帶入計(jì)算即得到B。其實(shí)在我們得到長寬之和為18時(shí)，我們就可以通過估算的方法得到選項(xiàng)B

七，青蛙跳井問題

例如：①青蛙從井底向上爬，井深10米，青蛙每跳上5米，又滑下4米，這樣青蛙需跳幾次方可出井?(6)

②單杠上掛著一條4米長的爬繩，小趙每次向上爬1米又滑下半米來，問小趙幾次才能爬上單杠?(7)

總解題方法：完成任務(wù)的次數(shù)=井深或繩長-每次滑下米數(shù)(遇到半米要將前面的單位轉(zhuǎn)化成半米)

例如第二題中，每次下滑半米，要將前面的4米轉(zhuǎn)換成8個(gè)半米再計(jì)算。

完成任務(wù)的次數(shù)=(總長-單長)/實(shí)際單長+1

八，容斥原理

總公式：滿足條件一的個(gè)數(shù)+滿足條件2的個(gè)數(shù)-兩個(gè)都滿足的個(gè)數(shù)=總個(gè)數(shù)-兩個(gè)都不滿足的個(gè)數(shù)

【國2006一類-42】現(xiàn)有50名學(xué)生都做物理、化學(xué)實(shí)驗(yàn)，如果物理實(shí)驗(yàn)做正確的有40人，化學(xué)實(shí)驗(yàn)做正確的有31人，兩種實(shí)驗(yàn)都做錯(cuò)的有4人，則兩種實(shí)驗(yàn)都做對(duì)的有多少人?A.27人B.25人C.19人D.10人

上題就是數(shù)學(xué)運(yùn)算試題當(dāng)中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)的“兩集合問題”，這類問題一般比較簡單，使用容斥原理或者簡單畫圖便可解決。但使用容斥原理對(duì)思維要求比較高，而畫圖浪費(fèi)時(shí)間比較多。鑒于此類問題一般都按照類似的模式來出，下面華圖名師李委明給出一個(gè)通解公式，希望對(duì)大家解題能有幫助：

例如上題，代入公式就應(yīng)該是：40+31-x=50-4，得到x=25。我們?cè)倏纯雌渌}目：【國2004A-46】某大學(xué)某班學(xué)生總數(shù)為32人，在第一次考試中有26人及格，在第二次考試中有24人及格，若兩次考試中，都沒有及格的有4人，那么兩次考試都及格的人數(shù)是多少?A.22B.18C.28D.26

代入公式：26+24-x=32-4，得到x=22

九，傳球問題

這道傳球問題是一道非常復(fù)雜麻煩的排列組合問題。

【李委明解三】不免投機(jī)取巧，但最有效果(根據(jù)對(duì)稱性很容易判斷結(jié)果應(yīng)該是3的倍數(shù)，如果答案只有一個(gè)3的倍數(shù)，便能快速得到答案)，也給了一個(gè)啟發(fā)

傳球問題核心公式

N個(gè)人傳M次球，記X=[(N-1)^M]/N，則與X最接近的整數(shù)為傳給“非自己的某人”的方法數(shù)，與X第二接近的整數(shù)便是傳給自己的方法數(shù)。大家牢記一條公式，可以解決此類至少三人傳球的所有問題。

四人進(jìn)行籃球傳接球練習(xí)，要求每人接球后再傳給別人。開始由甲發(fā)球，并作為第一次傳球，若第五次傳球后，球又回到甲手中，則共有傳球方式：

A.60種B.65種C.70種D.75種

x=(4-1)^5/4x=60

十，圓分平面公式

N^2-N+2,N是圓的個(gè)數(shù)

十一，剪刀剪繩

對(duì)折N次，剪M刀，可成M*2^n+1段

將一根繩子連續(xù)對(duì)折3次,然后每隔一定長度剪一刀，共剪6刀。問這樣操作后,原來的繩子被剪成了幾段?

A.18段B.49段C.42段D.52段

十二，四個(gè)連續(xù)自然數(shù)

性質(zhì)一，為兩個(gè)積數(shù)和兩個(gè)偶數(shù)，它們的和可以被2整除，但是不能被4整除

性質(zhì)二，他們的積+1是一個(gè)奇數(shù)的完全平方數(shù)

十三，骨牌公式

公式是：小于等于總數(shù)的2的N次方的最大值就是最后剩下的序號(hào)

十四，指針重合公式

關(guān)于鐘表指針重合的問題，有一個(gè)固定的公式：61T=S(S為題目中最小的單位在題目所要求的時(shí)間內(nèi)所走的格書，確定S后算出T的最大值知道相遇多少次。)

十五，圖色公式

公式：(大正方形的邊長的3次方)-(大正方形的邊長-2)的3次方。

十六，裝錯(cuò)信封問題

小明給住在五個(gè)國家的五位朋友分別寫信，這些信都裝錯(cuò)的情況共有多少種44種

f(n)=n!(1-1/1!+1/2!!-1/3!+(-1)n(1/n!))

或者可以用下面的公式解答

裝錯(cuò)1信0種

裝錯(cuò)2信：1種

32

49

544

遞推公式是S(n)=n.S(n-1)+(-1)^n~~~~~

如果是6封信裝錯(cuò)的話就是265~~~~

十七，伯努利概率模型

某人一次涉及擊中靶的概率是3/5，設(shè)計(jì)三次，至少兩次中靶的概率是

集中概率3/5，則沒集中概率2/5，即為兩次集中的概率+三次集中的概率

公式為C(2,3)*[(3/5)^2]*[(2/5)^1]+C(3,3)[(3/5)^3]*[(2/5)^0]

81/125

十八，圓相交的交點(diǎn)問題

N個(gè)圓相交最多可以有多少個(gè)交點(diǎn)的問題分析N*(N-1)

十九，約數(shù)個(gè)數(shù)問題

M=A^X*B^Y則M的約數(shù)個(gè)數(shù)是

(X+1)(Y+1)

360這個(gè)數(shù)的約數(shù)有多少個(gè)?這些約數(shù)的和是多少?

解〕360=2×2×2×3×3×5，所以360的任何一個(gè)約數(shù)都等于至多三個(gè)2(可以是零個(gè)，下同)，至多兩個(gè)3和至多一個(gè)5的積。如果我們把下面的式子

(1+2+4+8)×(1+3+9)×(1+5)

展開成一個(gè)和式，和式中的每一個(gè)加數(shù)都是在每個(gè)括號(hào)里各取一個(gè)數(shù)相乘的積。由前面的分析不難看出，360的每一個(gè)約數(shù)都恰好是這個(gè)展開式中的一個(gè)加數(shù)。由于第一個(gè)括號(hào)里有4個(gè)數(shù)，第二個(gè)括號(hào)里有3個(gè)數(shù)，第三個(gè)括號(hào)里有2個(gè)數(shù)，所以這個(gè)展開式中的加數(shù)個(gè)數(shù)為4×3×2=24，而這也就是360的約數(shù)的個(gè)數(shù)。另一方面，360的所有約數(shù)的和就等于這個(gè)展開式的和，因而也就等于

(1+2+4+8)×(1+3+9)×(1+5)

=15×13×6=1，170

答：360的約數(shù)有24個(gè)，這些約數(shù)的和是1，170。

甲數(shù)有9個(gè)約數(shù)，乙數(shù)有10個(gè)約數(shù)，甲、乙兩數(shù)最小公倍數(shù)是2800，那么甲數(shù)和乙數(shù)分別是多少?

解：一個(gè)整數(shù)被它的約數(shù)除后，所得的商也是它的約數(shù)，這樣的兩個(gè)約數(shù)可以配成一對(duì).只有配成對(duì)的兩個(gè)約數(shù)相同時(shí)，也就是這個(gè)數(shù)是完全平方數(shù)時(shí)，它的約數(shù)的個(gè)數(shù)才會(huì)是奇數(shù).因此，甲數(shù)是一個(gè)完全平方數(shù).

2800=24×52×7.

在它含有的約數(shù)中是完全平方數(shù)，只有

1，22，24，52，22×52，24×52.

在這6個(gè)數(shù)中只有22×52=100，它的約數(shù)是(2+1)×(2+1)=9(個(gè)).

2800是甲、乙兩數(shù)的最小公倍數(shù)，上面已算出甲數(shù)是100=22×52，因此乙數(shù)至少要含有24和7，而24×7=112恰好有(4+1)×(1+1)=10(個(gè))約數(shù)，從而乙數(shù)就是112.綜合起來，甲數(shù)是100，乙數(shù)是112.

二十，吃糖的方法

當(dāng)有n塊糖時(shí)，有2^(n-1)種吃法。

二十一，隔兩個(gè)劃數(shù)

1987=3^6+1258

1258÷2×3+1=1888

即剩下的是1888

減去1能被3整除

二十二，邊長求三角形的個(gè)數(shù)

三邊均為整數(shù)，且最長邊為11的三角形有多少個(gè)?

[asdfqwer]的最后解答：

11,11,11;11,11,10;11,11,9;...11,11,1;

11,10,10;11,10,9;...11,10,2;

11,9,9;...11,9,3;

11,8,8;...11,8,4;

11,7,7,...11,7,5;

11,6,6;

1+3+5+7+9+11=6^2=36

如果將11改為n的話，

n=2k-1時(shí)，為k^2個(gè)三角形;

n=2k時(shí)，為(k+1)k個(gè)三角形。

二十三，2乘以多少個(gè)奇數(shù)的問題

如果N是1，2，3，…，1998，1999，2000的最小公倍數(shù)，那么N等于多少個(gè)2與1個(gè)奇數(shù)的積?

解：因2^10=1024，2^11=2048>2000，每個(gè)不大于2000的自然數(shù)表示為質(zhì)因數(shù)相乘，其中2的個(gè)數(shù)不多于10個(gè)，而1024=2^10，所以，N等于10個(gè)2與某個(gè)奇數(shù)的積。

二十四，直線分圓的圖形數(shù)

設(shè)直線的條數(shù)為N則總數(shù)=1+{N(1+N)}/2

將一個(gè)圓形紙片用直線劃分成大小不限的若干小紙片，如果要分成不少于50個(gè)小紙片，至少要畫多少條直線?請(qǐng)說明.

〔解〕我們來一條一條地畫直線。畫第一條直線將圓形紙片劃分成2塊.畫第二條直線，如果與第一條直線在圓內(nèi)相交，則將圓形紙片劃分成4塊(增加了2塊)，否則只能劃分成3塊.類似地，畫第三條直線，如果與前兩條直線都在圓內(nèi)相交，且交點(diǎn)互不相同(即沒有3條直線交于一點(diǎn))，則將圓形紙片劃分成7塊(增加了3塊)，否則劃分的塊數(shù)少于7塊.下圖是畫3條直線的各種情形

由此可見，若希望將紙片劃分成盡可能多的塊數(shù)，應(yīng)該使新畫出的直線與原有的直線都在圓內(nèi)相交，且交點(diǎn)互不相同.這時(shí)增加的塊數(shù)等于直線的條數(shù)。(為什么?)這樣劃分出的塊數(shù)，我們列個(gè)表來觀察：

直線條數(shù)紙片最多劃分成的塊數(shù)

11+1

21+1+2

31+1+2+3

41+1+2+3+4

51+1+2+3+4+5

不難看出，表中每行右邊的數(shù)等于1加上從1到行數(shù)的所有整數(shù)的和。(為什么?)我們把問題化為：自第幾行起右邊的數(shù)不小于50?我們知道

1+1+2+3+…+10=56，1+1+2+3+…+9=46，可見

9行右邊還不到50，而第10行右邊已經(jīng)超過50了。答：至少要畫10條直線。

二十五，公交車超騎車人和行人的問題

一條街上，一個(gè)騎車人和一個(gè)步行人相向而行，騎車人的速度是步行人的3倍，每個(gè)隔10分鐘有一輛公交車超過一個(gè)行人。每個(gè)隔20分鐘有一輛公交車超過一個(gè)騎車人，如果公交車從始發(fā)站每隔相同的時(shí)間發(fā)一輛車，那么間隔幾分鐘發(fā)一輛公交車?

此類題通解公式：

a=超行人時(shí)間，b=超自行車時(shí)間，m=人速，n=自行車速

則每隔t分鐘發(fā)車;t=(abn-abm)/(bn-am)，令M=1N=3，解得T=8。

二十六，公交車前后超行人問題

小明放學(xué)后,沿某公交路線以不變速度步行回家,該路公共汽車也以不變速度不停的運(yùn)行,每隔9分鐘就有一輛公共汽車從后面超過他,每隔7分鐘就遇到迎面開來的一輛公共汽車,問該路公共汽車每隔多少分鐘發(fā)一輛車?

此類題有個(gè)通解公式：如果a分鐘追上，b分鐘相遇，

則是2ab/(a+b)分鐘發(fā)一次車

二十七，象棋比賽人數(shù)問題

象棋比賽中，每個(gè)選手都與其他選手恰好比賽一局，每局勝者記2分，負(fù)者記0分，和棋各記1分，四位觀眾統(tǒng)計(jì)了比賽中全部選手得分總數(shù)分別是:1979，1980，1984，1985，經(jīng)核實(shí)只有一位觀眾統(tǒng)計(jì)正確，則這次比賽的選手共有多少名?

A.44B.45C.46D.47

解析：44*43=1892，45*44=1980，46*45=2070所以選B

二十八，頻率和單次頻度都不同問題

獵犬發(fā)現(xiàn)在離它9米遠(yuǎn)的前方有一只奔跑著的兔子，立刻追趕，獵犬的步子大，它跑5步的路程，兔要跑9步，但兔子動(dòng)作快，獵犬跑2步的時(shí)間，兔子跑3步。獵犬至少跑多少米才能追上兔子?()

A.67B.54C.49D.34答案b

分析：獵犬的步子大，它跑5步的路程，兔要跑9步，但兔子動(dòng)作快，獵犬跑2步的時(shí)間，兔子跑3步.可知獵犬和兔子的速度比是6:5，s/(s-9)=6/5，s=54

二十九，上樓梯問題

一般來說上電梯有a1=1a2=2a3=4a4=a1+a2+a3

所以一般公式是an=a(n-1)+a(n-2)+a(n-3)

三十，牛吃草公式

核心公式:草場草量=(牛數(shù)-每天長草量)*天數(shù)

例如:10?？沙?0天,15?？沙?0天,則25?？沙远嗌偬?

解:可用公式,設(shè)每天恰可供X頭牛吃一天,25?？沙訬天

則(10-X)*20=(15-X)*10=(25-X)*N，可得X=5,Y=5

三十一，十字相乘法

十字相乘法使用時(shí)要注意幾點(diǎn)：

第一點(diǎn)：用來解決兩者之間的比例關(guān)系問題。

第二點(diǎn)：得出的比例關(guān)系是基數(shù)的比例關(guān)系。

第三點(diǎn)：總均值放中央，對(duì)角線上，大數(shù)減小數(shù)，結(jié)果放對(duì)角線上。

(2007年國考)某班男生比女生人數(shù)多80%，一次考試后，全班平均成級(jí)為75分，而女生的平均分比男生的平均分高20%，則此班女生的平均分是：

A.84分B.85分C.86分D.87分答案：A

分析：假設(shè)女生的平均成績?yōu)閄，男生的平均Y。男生與女生的比例是9：5。

男生：Y9

75

女生：X5

根據(jù)十字相乘法原理可以知道

X=84

6.(2007年國考).某高校2006年度畢業(yè)學(xué)生7650名，比上年度增長2%.其中本科畢業(yè)生比上年度減少2%.而研究生畢業(yè)數(shù)量比上年度增加10%,那么，這所高校今年畢業(yè)的本科生有：

A.3920人B.4410人C.4900人D.5490人

答案：C

分析：去年畢業(yè)生一共7500人。7650/(1+2%)=7500人。

本科生：-2%8%

2%

研究生：10%4%

本科生：研究生=8%：4%=2：1。

7500*(2/3)=5000

5000*0.98=4900

此方法考試的時(shí)候一定要靈活運(yùn)用

三十二，兔子問題

An=A(n-1)An(n-2)

已知一對(duì)幼兔能在一月內(nèi)長成一對(duì)成年兔子，一對(duì)成年兔子能在一月內(nèi)生出一對(duì)幼兔。如果現(xiàn)在給你一對(duì)幼兔，問一年后共有多少對(duì)兔子?

析：1月:1對(duì)幼兔

2月:1對(duì)成兔

3月;1對(duì)成兔.1對(duì)幼兔

4;2對(duì)成兔.1對(duì)幼兔

5;;3對(duì)成兔.2對(duì)幼兔

6;5對(duì)成兔.3對(duì)幼兔

可看出規(guī)律:1,1,2,3,5,8(第三數(shù)是前兩數(shù)之和),可求出第12項(xiàng)

為:13,21,34,55,89,144，答:有144只兔

三十三，稱重量砝碼最少的問題

例題：要用天平稱出1克、2克、3克……40克這些不同的整數(shù)克重量，至少要用多少個(gè)砝碼?這些砝碼的重量分別是多少?

分析與解：一般天平兩邊都可放砝碼，我們從最簡單的情形開始研究。

(1)稱重1克，只能用一個(gè)1克的砝碼，故1克的一個(gè)砝碼是必須的。

(2)稱重2克，有3種方案：

①增加一個(gè)1克的砝碼;

②用一個(gè)2克的砝碼;

③用一個(gè)3克的砝碼，稱重時(shí)，把一個(gè)1克的砝碼放在稱重盤內(nèi)，把3克的砝碼放在砝碼盤內(nèi)。從數(shù)學(xué)角度看，就是利用3-1=2。

(3)稱重3克，用上面的②③兩個(gè)方案，不用再增加砝碼，因此方案①淘汰。

(4)稱重4克，用上面的方案③，不用再增加砝碼，因此方案②也被淘汰?？傊?克、3克兩個(gè)砝碼就可以稱出(3+1)克以內(nèi)的任意整數(shù)克重。

(5)接著思索可以進(jìn)行一次飛躍，稱重5克時(shí)可以利用

9-(3+1)=5，即用一個(gè)9克重的砝碼放在砝碼盤內(nèi)，1克、3克兩個(gè)砝碼放在稱重盤內(nèi)。這樣，可以依次稱到1+3+9=13(克)以內(nèi)的任意整數(shù)克重。

而要稱14克時(shí)，按上述規(guī)律增加一個(gè)砝碼，其重為

14+13=27(克)，

可以稱到1+3+9+27=40(克)以內(nèi)的任意整數(shù)克重。

總之，砝碼重量為1，3，32，33克時(shí)，所用砝碼最少，稱重最大，這也是本題的答案。

三十三，文示圖

紅圈：球賽。藍(lán)圈：電影綠圈：戲劇。

X表示只喜歡球賽的人;Y表示只喜歡電影的人;Z表示只喜歡戲劇的人

a表示喜歡球賽和電影的人。僅此2項(xiàng)。不喜歡戲劇

b表示喜歡電影和戲劇的人。僅此2項(xiàng)。不喜歡球賽

c表示喜歡球賽和戲劇的人。僅此2項(xiàng)不喜歡電影。

中間的陰影部分則表示三者都喜歡的。我們用T表示。

回顧上面的7個(gè)部分。X，y，z，a，b，c，T都是相互獨(dú)立。互不重復(fù)的部分

現(xiàn)在開始對(duì)這些部分規(guī)類。

X+y+z=是只喜歡一項(xiàng)的人我們叫做A

a+b+c=是只喜歡2項(xiàng)的人我們叫做B

T就是我們所說的三項(xiàng)都喜歡的人

x+a+c+T=是喜歡球賽的人數(shù)構(gòu)成一個(gè)紅圈

y+a+b+T=是喜歡電影的人數(shù)構(gòu)成一個(gè)藍(lán)圈

z+b+c+T=是喜歡戲劇的人數(shù)構(gòu)成一個(gè)綠圈

三個(gè)公式。

(1)A+B+T=總?cè)藬?shù)

(2)A+2B+3T=至少喜歡1個(gè)的人數(shù)和

(3)B+3T=至少喜歡2個(gè)的人數(shù)和

例題：學(xué)校教導(dǎo)處對(duì)100名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果有58人喜歡看球賽，有38人喜歡看戲劇，有52人喜歡看電影。另外還知道，既喜歡看球賽又喜歡看戲劇(但不喜歡看電影)的有6人，既喜歡看電影又喜歡看戲劇(但不喜歡看球賽)的有4人，三種都喜歡的有12人。

通過這個(gè)題目我們看因?yàn)槊總€(gè)人都至少喜歡三項(xiàng)中的一項(xiàng)。則我們用三個(gè)圈紅，綠，藍(lán)代表球賽。戲劇、和電影。

A+B+T=100A+2B+3T=148T=12

則可以直接計(jì)算只喜歡一項(xiàng)的和只喜歡兩項(xiàng)的

A=64B=24

典型例題：甲,乙,丙三個(gè)人共解出20道數(shù)學(xué)題,每人都解出了其中的12道題,每道題都有人解出.只有一人解出的題叫做難題,只有兩人解出的題叫做中等題,三人解出的題叫做容易題,難題比容易題多()題?

A、6B、5C、4D、3

【解析】第三題需要結(jié)合文氏圖來理解了，畫圖會(huì)很清楚的

我們?cè)O(shè)a表示簡單題目，b表示中檔題目c表示難題

a+b+c=20

c+2b+3a=12×3這個(gè)式子式文氏圖中必須要記住和理解的

將a+b+c=20變成2a+2b+2c=40減去上面的第2個(gè)式子

得到：c-a=4答案出來了

可能很多人都說這個(gè)方法太耗時(shí)了，的確。在開始使用這樣方法的時(shí)候費(fèi)時(shí)不少。當(dāng)當(dāng)完全了解熟練運(yùn)用a+2b+3c這個(gè)公式時(shí)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)再難的題目也不會(huì)超過1分鐘。

三十四，九宮圖問題

此公式只限于奇數(shù)行列

步驟1：按照斜線的順序把數(shù)字按照從小到大的順序，依次斜線填寫!

步驟2：然后將3×3格以外格子的數(shù)字折翻過來，

最左邊的放到最右邊，最右邊的放到最左邊

最上邊的放到最下邊，最下邊的放到最上邊

這樣你再看中間3×3格子的數(shù)字是否已經(jīng)滿足題目的要求了呵呵!

三十五，用比例法解行程問題

行程問題一直是國家考試中比較重要的一環(huán)，其應(yīng)用之廣恐無及其右者。行程問題的計(jì)算量按照基礎(chǔ)做法不得不說非常大。所以掌握簡單的方法尤為重要。當(dāng)然簡單的方法需要對(duì)題目的基礎(chǔ)知識(shí)的全面了掌握和理解。

在細(xì)說之前我們先來了解如下幾個(gè)關(guān)系：

路程為S。速度為V時(shí)間為T

S=VTV=S/TT=S/V

S相同的情況下：V跟T成反比

V相同的情況下：S跟T成正比

T相同的情況下：S跟V成正比

注：比例點(diǎn)數(shù)差也是實(shí)際差值對(duì)應(yīng)的比例!理解基本概念后，具體題目來分析

例一、甲乙2人分別從相距200千米的AB兩地開車同時(shí)往對(duì)方的方向行駛。到達(dá)對(duì)方始發(fā)點(diǎn)后返回行駛，按照這樣的情況，2人第4次相遇時(shí)甲比乙多行了280千米已知甲的速度為60千米每小時(shí)。則乙的速度為多少?

分析：這個(gè)題目算是一個(gè)相遇問題的入門級(jí)的題目。我們先從基礎(chǔ)的方法入手，要多給自己提問求乙的速度即要知道乙的行駛路程S乙，乙所花的時(shí)間T乙。這2個(gè)變量都沒有告訴我們，需要我們?nèi)ジ鶕?jù)條件來求出：

乙的行駛路程非常簡單可以求出來。因?yàn)榧滓夜步?jīng)過4次相遇。希望大家不要嫌我羅嗦。我希望能夠更透徹的把這類型的題目通過圖形更清晰的展現(xiàn)給大家。

第一次相遇情況

A(甲).。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。(甲)C(乙)。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。B(乙)

AC即為第一次相遇甲行駛的路程。BC即為乙行駛的路程

則看出AC+BC=AB兩者行駛路程之和=S

第2次相遇的情況

A.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。(乙)D(甲)。。。。。。C。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。B

在這個(gè)圖形中，我們從第一次相遇到第2次相遇來看甲從C點(diǎn)開始行駛的路線是C-B-D，其路程是BC+BD

乙行駛的路線則是C-A-D其行駛的路程是AC+AD

可以看出第2次相遇兩者的行駛路程之和是BC+BD+AC+AD=(BC+AC)+(BD+AD)=2S，同理第3，4次相遇都是這樣。

則我們發(fā)現(xiàn)整個(gè)過程中，除第一次相遇是一個(gè)S外。其余3次相遇都是2S。總路程是2×3S+S=7S

根據(jù)題目，我們得到了行駛路程之和為7×200=1400

因?yàn)榧妆纫叶嘈旭偭?80千米則可以得到乙是(1400-280)÷2=560則甲是560+280=840

好，現(xiàn)在就剩下乙的行駛時(shí)間的問題了。因?yàn)閮蓚€(gè)人的行駛時(shí)間相同則通過計(jì)算甲的時(shí)間得到乙的時(shí)間即840÷60=14小時(shí)。

所以T乙=14小時(shí)。那么我就可以求出乙的速度V乙=S乙÷T乙=560÷14=40

說道這里我需要強(qiáng)調(diào)的是，在行程問題中，可以通過比例來迅速解答題目。

比例求解法：

我們假設(shè)乙的速度是V則根據(jù)時(shí)間相同，路程比等于速度比，

S甲：S乙=V甲：V乙衍生出如下比例：(S甲+S乙)：(S甲-S乙)=(V甲+V乙)：(V甲-V乙)

得出1400：280=(60+V)：(60-V)解得V=40

例二、甲車以每小時(shí)160千米的速度，乙車以每小時(shí)20千米的速度，在長為210千米的環(huán)形公路上同時(shí)、同地、同向出發(fā)。每當(dāng)甲車追上乙車一次，甲車減速1/3，而乙車則增速1/3。問：在兩車的速度剛好相等的時(shí)刻，它們共行駛了多少千米?

A.1250B.940C.760D.1310

【解析】我們先來看需要多少次相遇才能速度相等

160×(2/3)的N次方=20×(4/3)的N次方N代表了次數(shù)解得N=3說明第三次相遇即達(dá)到速度相等

第一次相遇前：開始時(shí)速度是160：20=8：1用時(shí)都一樣，則路程之比=速度之比

我們?cè)O(shè)乙行駛了a千米則(a+210)：a=8：1解得a=30

第二次相遇前：速度比是甲：乙=4：1用時(shí)都一樣，則路程之比=速度之比

我們?cè)O(shè)乙從第1次相遇到第2次相遇行駛了b千米則(b+210)：b=4：1解得a=70

第三次相遇前：速度比是甲：乙=2：1用時(shí)都一樣，則路程之比=速度之比

我們?cè)O(shè)乙從第2次相遇到第3次相遇行駛了c千米則(c+210)：c=2：1解得c=210

則三次乙行駛了210+70+30=310千米

而甲比乙多出3圈則甲是210×3+310=940

則兩人總和是940+310=1250

例三、一輛汽車以每小時(shí)40千米的速度從甲城開往乙城，返回時(shí)它用原速度走了全程的4分之3多5米，再改用每小時(shí)30千米的速度走完余下的路程，因此，返回甲城的時(shí)間比前往乙城的時(shí)間多用了10分鐘，甲、乙兩城相距多遠(yuǎn)?

【解析】我們知道多出來的10分鐘即1/6小時(shí)是在最后1/4差5千米的路程里產(chǎn)生的，則根據(jù)路程相同

速度比等于時(shí)間比的反比

即T30：T40=40：30=4：3

所以30千米行駛的最后部分是用了1/6×(4-3)×4=2/3小時(shí)

即路程是30×2/3=20千米

總路程是(20+5)÷1/4=100

例四、甲乙兩人各坐一游艇在湖中劃行,甲搖漿10次時(shí)乙搖漿8次,而乙搖漿70次,所走的路程等于甲搖漿90次所走的路程,現(xiàn)甲先搖漿4次,則乙搖漿多少次才能追上?

A.14B.16C.112D.124

【解析】甲搖漿10次時(shí)乙搖漿8次知道甲乙速度之比=5：4

而乙搖漿70次,所走的路程等于甲搖漿90次所走的路程則可以得到每漿得距離之比是甲：乙=7：9

所以，我們來看相同時(shí)間內(nèi)甲乙得距離之比，5×7：4×9=35：36

說明，乙比甲多出1個(gè)比例單位

現(xiàn)在甲先劃槳4次，每漿距離是7個(gè)單位，乙每漿就是9個(gè)單位，所以甲領(lǐng)先乙是4×7=28個(gè)單位，事實(shí)上乙每4漿才能追上36-35=1個(gè)單位，

說明28個(gè)單位需要28×4=112漿次追上!選C

例五、甲乙兩個(gè)工程隊(duì)共100人,如果抽調(diào)甲隊(duì)人的1/4至乙隊(duì),則乙隊(duì)比甲隊(duì)多了2/9,問甲隊(duì)原來多少人?

這個(gè)題目其實(shí)也很簡單，下面我說一個(gè)簡單方法

【解析】根據(jù)條件乙隊(duì)比甲隊(duì)多了2/9我們假設(shè)甲隊(duì)是單位1，則乙隊(duì)就是1+2/9=11/9，100人的總數(shù)不變

可見甲乙總數(shù)是1+11/9=20/9(分母不看)

則100人被分成20分即甲是100÷20×9=45乙是55

因?yàn)閺募钻?duì)掉走1/4則剩下的是3/4算出原來甲隊(duì)是45÷3/4=60

三十六，計(jì)算錯(cuò)對(duì)題的獨(dú)特技巧

例題：某次考試有30道判斷題，每做對(duì)一道題得4分，不做的不得分，做錯(cuò)一道題倒扣2分小明得分是96分，并且小明有題目沒做，則小明答對(duì)了幾道試題()

A28B27C26D25正確答案是D25題

我們把一個(gè)答錯(cuò)的和一個(gè)不答的題目看成一組，則一組題目被扣分是6+4=10

解釋一下6跟4的來源

6是做錯(cuò)了不但得不到4分還被扣除2分這樣里外就差4+2=6分

4是不答題只被扣4分，不倒扣分。

這兩種扣分的情況看著一組

目前被扣了30×4-96=24分

則說明24÷10=2組余數(shù)是4

余數(shù)是4表明2組還多出1個(gè)沒有答的題目

則表明不答的題目是2+1=3題，答錯(cuò)的是2題

三十七，票價(jià)與票值的區(qū)別

票價(jià)是P(2，M)是排列票值是C(2，M)

三十八，兩數(shù)之間個(gè)位和十位相同的個(gè)數(shù)

1217到2792之間有多少個(gè)位數(shù)和十位數(shù)相同的數(shù)?

從第一個(gè)滿足條件的數(shù)開始每個(gè)滿足條件的數(shù)之間都是相差11

方法一：

看整數(shù)部分1217～2792

先看1220～2790相差1570則有這樣規(guī)律的數(shù)是1570÷10=157個(gè)

由于這樣的關(guān)系我總結(jié)了一個(gè)方法給大家提供一個(gè)全新的思路

方法二：

我們先求兩數(shù)差值2792-1217=1575

1575中有多少11呢1575÷11=143余數(shù)是2

大家不要以為到這里就結(jié)束了其實(shí)還沒有結(jié)束

我們還得對(duì)結(jié)果再次除以11直到所得的商小于11為止

商+余數(shù)再除以11

(143+2)÷11=13余數(shù)是2

(13+2)÷11=1因?yàn)樯桃呀?jīng)小于11，所以余數(shù)不管

則我們就可以得到個(gè)數(shù)應(yīng)該是143+13+1=157

不過這樣的方法不是絕對(duì)精確的，考慮到起始數(shù)字和末尾數(shù)字的關(guān)系。誤差應(yīng)該會(huì)在1之間!不過對(duì)于考公務(wù)員來說誤差為1已經(jīng)可以找到答案了三十九，擱兩人握手問題

某個(gè)班的同學(xué)體育課上玩游戲，大家圍成一個(gè)圈，每個(gè)人都不能跟相鄰的2個(gè)人握手，整個(gè)游戲一共握手152次，請(qǐng)問這個(gè)班的同學(xué)有()人

A、16B、17C、18D、19

【解析】此題看上去是一個(gè)排列組合題，但是卻是使用的對(duì)角線的原理在解決此題。按照排列組合假設(shè)總數(shù)為X人則Cx取3=152但是在計(jì)算X時(shí)卻是相當(dāng)?shù)穆闊?。我們仔?xì)來分析該題目。以某個(gè)人為研究對(duì)象。則這個(gè)人需要握x-3次手。每個(gè)人都是這樣。則總共握了x×(x-3)次手。但是沒2個(gè)人之間的握手都重復(fù)計(jì)算了1次。則實(shí)際握手次數(shù)是x×(x-3)÷2=152計(jì)算的x=19人

四十，溶液交換濃度相等問題

設(shè)兩個(gè)溶液的濃度分別為A%，B%并且A>B設(shè)需要交換溶液為X

則有：(B-X)：X=X：(A-X)

A：B=(A-X)：X

典型例題：兩瓶濃度不同得鹽水混合液。60%的溶液是40克，40%的溶液是60克。要使得兩個(gè)瓶子的溶液濃度相同，則需要相互交換()克的溶液?

A、36B、32C、28D、24

【解析】答案選D我們從兩個(gè)角度分析一下，假設(shè)需要交換的溶液為a克。則我們來一個(gè)一個(gè)研究，先看60%的溶液相對(duì)于交換過來的a克40%的溶液可以采用十字交叉法來得出一個(gè)等式即(再設(shè)混和后的標(biāo)準(zhǔn)濃度是p)

40-a：a=(P-40%)：(60%-P)

同理我們對(duì)40%的溶液進(jìn)行研究采用上述方法也能得到一個(gè)等式：

60-a：a=(60%-P)：(P-40%)

一目了然，兩者實(shí)際上是反比，即40-a：a=a：60-a解得a=24即選D

如果你對(duì)十字交叉法的原理理解的話那么這個(gè)題目中間的過程完全可以省去。所以說任何捷徑都是建立在你對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的把握上。

解法二：干脆把2個(gè)溶液倒在一起混和，然后再分開裝到2個(gè)瓶子里這樣濃度也是相等的。我們根據(jù)十字交叉法，60跟40的溶液混合比例其實(shí)跟交換的x克60%溶液與剩下60-x克40%的溶液比例成反比，則60：40=60-x：x解X=24克

四十一，木桶原理

一項(xiàng)工作由編號(hào)為1～6的工作組來單獨(dú)完成，各自完成所需的時(shí)間是：5天，7天，8天，9天，10.5天，18天?，F(xiàn)在將這項(xiàng)工作平均分配給這些工作組來共同完成。則需要()天?

A、2.5B、3C、4.5D、6

【解析】這個(gè)題目就是我們常說的“木桶效應(yīng)”類型的題目。“木桶效應(yīng)”概念來自于經(jīng)濟(jì)學(xué)中的稱呼。意思是一個(gè)木桶是由若干個(gè)木板拼湊起來的。其存水量取決于最短的那塊木板。這個(gè)題目我們看該項(xiàng)工作平均分配給了每個(gè)小組，則每個(gè)小組完成1/6的工作量。他們的效率不同整體的時(shí)間是取決于最慢的那個(gè)人。當(dāng)最慢的那個(gè)人做完了，其它小組早就完成了。18天的那個(gè)小組是最慢的。所以完成1/6需要3小時(shí)，選B

例題：一項(xiàng)工作，甲單獨(dú)做需要14天，乙單獨(dú)做需要18天，丙丁合做需要8天。則4人合作需要()天?

A、4B、5C、6D、7

【解析】題目還是“木桶效應(yīng)”的隱藏運(yùn)用。我們知道甲乙的各自效率。但是丙丁不知道，根據(jù)合做的情況并且最后問的也是合作的情況。我們不妨將其平均化處理。也就是說兩個(gè)人的平均效率是16天。那么這里效率最差的是18天。大家都是18天則4人合作需要18÷4=4.5天?？梢娮畈钜膊粫?huì)超過4.5天，看選項(xiàng)只有A滿足

四十二，壞鐘表行走時(shí)間判定問題

一個(gè)鐘表出現(xiàn)了故障，分針比標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間每分鐘快6秒，時(shí)針卻是正常的。上午某一時(shí)刻將鐘表調(diào)整至標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間。經(jīng)過一段時(shí)間發(fā)現(xiàn)鐘表的時(shí)刻為晚上9：00請(qǐng)問鐘表在何時(shí)被調(diào)整為標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間?

A、10：30B、11：00C、12：00D、1：30

【解析】此題也是比較簡單的題目。我們看因?yàn)槊糠昼娍?秒則1個(gè)小時(shí)快60×6=360秒即6分鐘。當(dāng)9：00的時(shí)候說明分針指在12點(diǎn)上。看選項(xiàng)。其時(shí)針正常，那么相差的小時(shí)數(shù)是正常的，A選項(xiàng)差10.5個(gè)小時(shí)即分針快了10.5×6=63分鐘。則分針應(yīng)該在33分上。錯(cuò)誤!同理看B選項(xiàng)相差10個(gè)小時(shí)即10×6=60分鐘，剛好一圈，即原在12上，現(xiàn)在還在12上選B，其它雷同分析。

四十三，雙線頭法則問題

設(shè)做題的數(shù)量為S做對(duì)一道得X分做錯(cuò)一道扣Y分不答不得分

競賽的成績可能值為N令T=(X+Y)/Y

則N={[1+(1+S)]*(1+S)}/2-{[1+(S-T+1)]*(S-T+1)}/2

某次數(shù)學(xué)競賽共有10道選擇題，評(píng)分辦法是每一題答對(duì)得4分，答錯(cuò)一道扣2分，不答不得分，設(shè)這次競賽最多有N種可能的成績，則N應(yīng)等于多少?

A、28B、30C、32D、36

【解析】該題是雙線段法則問題【(1+11)×11÷2】-【(1+8)×8÷2】=30

所謂線段法則就是說，一個(gè)線段上連兩端的端點(diǎn)算在內(nèi)共計(jì)N個(gè)點(diǎn)。問這個(gè)線段一共可以行成多少線段。計(jì)算方法就是(N-1)×N÷2，我看這個(gè)題目。我們按照錯(cuò)誤題目羅列大家就會(huì)很清楚了

答對(duì)題目數(shù)可能得分

1040

936，34

832，30，28

728，26，24，22

624，22，20，18，16

520，18，16，14，12，10

416，14，12，10，8，6，4

312，10，8，6，4，2，0，-2

28，6，4，2，0，-2，-4，-6，-8

14，2，0，-2，-4，-6，-8，-10，-12，-14，

00，-2，-4，-6，-8，-10，-12，-14，-16，-18，-20

這樣大家就不難發(fā)現(xiàn)可能得分的情況隨著答對(duì)題目數(shù)量的減少，或者說答錯(cuò)題目的增多。呈現(xiàn)等差數(shù)列的關(guān)系，也就是線段法則的規(guī)律。然后從第7開始出現(xiàn)了重復(fù)數(shù)字的產(chǎn)生。也是隨著題目的答錯(cuò)數(shù)量的增加而等差增加。這是隱藏的線段法則。所以稱之為雙線段法則應(yīng)用。

回歸倒我一看的題目大家可能要問，后面【】里面的8從什么地方來的?這就是確定重復(fù)位置在哪里的問題。(得分分值+扣分分值)÷扣分分值=3即當(dāng)錯(cuò)3題時(shí)開始出現(xiàn)重復(fù)數(shù)字。也就是隱形線段法則的起始端。10-3=7就是說從0～8之間有多少個(gè)間隔就有多少個(gè)重復(fù)組合。

四十四，兩人同向一人逆相遇問題

典型例題：在一條長12米的電線上,紅,藍(lán)甲蟲在8:20從左端分別以每分鐘13厘米和11厘米的速度向右端爬行去,黃蟲以每分鐘15厘米的速度從右端向左爬去,紅蟲在什么時(shí)刻恰好在藍(lán)蟲和黃蟲的中間?

A8:55B9:00C9:05D9:10

公式總結(jié)