第16講 基本圖形位置關(guān)系（解析版）-1

第16講基本圖形位置關(guān)系目錄題型歸納 1題型01平面的概念及其表示 2題型02點(diǎn)（線）確定的平面數(shù)量問題 4題型03空間中的線共點(diǎn)問題 6題型04由平面的基本性質(zhì)作截面圖形 10題型05異面直線的概念及辨析 15題型06異面直線的判定 18題型07異面直線所成的角的概念及辨析 21題型08求異面直線所成的角 24題型09由異面直線所成的角求其他量 29題型10判斷圖形中的線面關(guān)系 33題型11面面關(guān)系有關(guān)命題的判斷 36分層練習(xí) 40夯實(shí)基礎(chǔ) 40能力提升 49知識點(diǎn)01、用集合語言表示空間中點(diǎn)、直線和平面的位置關(guān)系位置關(guān)系符號表示點(diǎn)P在直線AB上P∈AB點(diǎn)C不在直線AB上C?AB點(diǎn)M在平面AC內(nèi)M∈平面AC點(diǎn)A1不在平面AC內(nèi)A1?平面AC直線AB與直線BC交于點(diǎn)BAB∩BC=B直線AB在平面AC內(nèi)AB?平面AC直線AA1不在平面AC內(nèi)AA1?平面AC知識點(diǎn)02、平面的基本事實(shí)基本事實(shí)文字語言圖形語言符號語言作用基本事實(shí)1過不在一條直線上的三個點(diǎn)，有且只有一個平面A，B，C三點(diǎn)不共線?存在唯一的平面α，使A，B，C∈α①確定平面的依據(jù)；②判定點(diǎn)、線共面基本事實(shí)2如果一條直線上的兩個點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)A∈αB∈α?AB?①確定直線在平面內(nèi)的依據(jù)；②判定點(diǎn)在平面內(nèi)基本事實(shí)3如果兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線?P∈αP∈β?α∩β=l且①判定兩平面相交的依據(jù)；②判定點(diǎn)在直線上知識點(diǎn)03平面基本事實(shí)的推論文字語言圖形語言符號語言推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個平面直線l，點(diǎn)A?l?有且只有一個平面α，使A∈α，l?α推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面a∩b=P?有且只有一個平面α，使a?α，b?α推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面a∥b?有且只有一個平面α，使a?α，b?α知識點(diǎn)04如何研究共面、共線問題1.點(diǎn)、線共面問題的證明(1)點(diǎn)、線共面問題是指證明一些點(diǎn)或直線在同一平面內(nèi)的問題，主要依據(jù)是基本事實(shí)1、基本事實(shí)2及其推論.(2)解決此類問題通常有兩種方法：①納入平面法，先由部分元素確定一個平面，再證其他元素也在該平面內(nèi)；②輔助平面法(平面重合法)，先由有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面α，再由其余元素確定平面β，最后證明平面α，β重合.2.點(diǎn)共線問題(1)點(diǎn)共線問題是指證明三個或三個以上的點(diǎn)在同一條直線上，主要依據(jù)是基本事實(shí)3：如果兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線.(2)解決此類問題常用以下兩種方法：①首先找出兩個平面，然后證明這些點(diǎn)都是這兩個平面的公共點(diǎn)，根據(jù)基本事實(shí)3知，這些點(diǎn)都在這兩個平面的交線上；②選擇其中兩點(diǎn)，確定一條直線，然后證明其他點(diǎn)也在這條直線上.3.線共點(diǎn)問題線共點(diǎn)問題就是證明三條或三條以上的直線交于一點(diǎn)，主要的證明依據(jù)也是基本事實(shí)4.證明三線共點(diǎn)問題的基本方法：先確定待證的三條直線中的兩條相交于一點(diǎn)，再證明第三條直線也過該點(diǎn).常利用基本事實(shí)3證出該點(diǎn)在不重合的兩個平面內(nèi)，故該點(diǎn)在它們的交線(第三條直線)上，從而證明三線共點(diǎn).知識點(diǎn)05空間兩條直線的位置關(guān)系位置關(guān)系共面情況公共點(diǎn)個數(shù)相交直線在同一平面內(nèi)有且只有一個平行直線在同一平面內(nèi)沒有異面直線不同在任何一個平面內(nèi)沒有知識點(diǎn)06基本事實(shí)4文字語言平行于同一條直線的兩條直線平行圖形語言符號語言a∥bb∥c?作用揭示了空間平行線的傳遞性知識點(diǎn)07等角定理文字語言如果空間中一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等.特別地，如果空間中一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，且方向一邊相同，另一邊相反，那么這兩個角互補(bǔ)符號語言O(shè)A∥O'A'，OB∥O'B'，且∠AOB與∠A'O'B'兩邊的方向相同?∠AOB=∠A'O'B'；OA∥O'A'，OB∥O'B'，且∠AOB與∠A'O'B'的一邊方向相同，另一邊方向相反?∠AOB+∠A'O'B'=180°圖形語言作用判定兩個角相等或互補(bǔ)知識點(diǎn)08異面直線1.異面直線的判定定理文字語言過平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這個平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線符號語言若l?α，A?α，B∈α，B?l，則直線AB與l是異面直線圖形語言2.異面直線所成的角如圖，a與b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O，作直線a'∥a，b'∥b，我們把直線a'和b'所成的銳角(或直角)叫作異面直線a，b所成的角或夾角.記異面直線a與b所成的角為θ，則0°<θ≤90°，若θ是直角，則稱異面直線a，b互相垂直，記作a⊥b.知識點(diǎn)09基本事實(shí)4等角定理在空間圖形中的運(yùn)用1.空間中兩直線平行的證明方法(1)利用定義：證明兩條直線共面且無公共點(diǎn).(2)利用平面幾何知識(三角形、梯形的中位線定理、平行四邊形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等)證明.(3)利用基本事實(shí)4，即找到第三條直線c，使a∥c，b∥c，從而得到a∥b.2.空間中角相等的證明方法(1)利用等角定理證明；(2)轉(zhuǎn)化為平面圖形中的三角形全等或相似來證明.利用等角定理證明兩角相等的步驟：①證明兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行；②證明對應(yīng)邊的方向相同.知識點(diǎn)10空間中異面直線的判定及所成角的求解1.判定兩條直線是異面直線的方法(1)證明兩條直線既不平行又不相交；(2)過平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這個平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線；(3)反證法.2.求異面直線所成角的一般步驟(1)構(gòu)造：根據(jù)異面直線的定義，用平移法(常用三角形的中位線定理、平行四邊形的性質(zhì))作出異面直線所成的角或其補(bǔ)角.(2)證明：證明作出的角或其補(bǔ)角就是要求的角.(3)計(jì)算：求角度，常利用三角形的邊角關(guān)系，通過解三角形求解.(4)結(jié)論：若求出的角是銳角或直角，則它就是所求異面直線所成的角；若求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角就是所求異面直線所成的角.知識點(diǎn)11、直線與平面的三種位置關(guān)系位置關(guān)系直線a在平面α內(nèi)直線a在平面α外直線a與平面α相交直線a與平面α平行公共點(diǎn)有無數(shù)個公共點(diǎn)有且只有一個公共點(diǎn)沒有公共點(diǎn)符號表示a?αa∩α=Aa∥α圖形表示知識點(diǎn)12、直線與平面平行文字語言圖形語言符號語言判定定理如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行a?αb?αa∥b性質(zhì)定理一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行a∥αl?β知識點(diǎn)13、直線與平面垂直1.如果直線a與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，那么稱直線a與平面α垂直，記作a⊥α.直線a叫作平面α的垂線，平面α叫作直線a的垂面，垂線和平面的交點(diǎn)稱為垂足.2.直線與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理判定定理性質(zhì)定理文字語言如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直垂直于同一個平面的兩條直線平行圖形語言符號語言?a⊥α?a⊥αb⊥α?常用結(jié)論—過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直，過一點(diǎn)有且只有一個平面與已知直線垂直知識點(diǎn)14、兩種距離1.點(diǎn)到平面的距離：從平面外一點(diǎn)引平面的垂線，這個點(diǎn)和垂足間的距離，叫作這個點(diǎn)到這個平面的距離.2.直線和平面的距離：一條直線和一個平面平行，這條直線上任意一點(diǎn)到這個平面的距離，叫作這條直線和這個平面的距離.知識點(diǎn)15、直線與平面所成的角1.射影(1)概念：如圖，過平面外一點(diǎn)P向平面α引斜線和垂線，那么過斜足A和垂足O的直線就是斜線在平面內(nèi)的射影，線段OA就是斜線段PA在平面α內(nèi)的射影.(2)常用結(jié)論：如果平面內(nèi)的一條直線與這個平面的一條斜線垂直，那么這條直線就和這條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直.2.直線與平面所成的角(1)概念：平面的一條斜線與它在這個平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫作這條直線與這個平面所成的角.(2)規(guī)定：如果一條直線垂直于平面，那么稱它們所成的角是直角；如果一條直線與平面平行或在平面內(nèi)，那么稱它們所成的角是0°角.(3)取值范圍：設(shè)直線與平面所成的角為θ，則0°≤θ≤90°.知識點(diǎn)16、如何證明直線與平面平行1.證明直線與平面平行的步驟（1）找：在平面內(nèi)找到（或作出）一條已知直線平行的直線（2）證：證明已知直線平行于找到（或作出）的直線（3）結(jié)論：由直線與平面平行的判定定理得出結(jié)論2.直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理經(jīng)常交替使用，也就是通過線線平行推出線面平行，再通過線面平行推出線線平行，復(fù)雜的題目還可繼續(xù)推下去.有如下示意圖：知識點(diǎn)17、如何判定直線與平面垂直1.判定直線與平面垂直的常用方法(1)利用直線與平面垂直的定義，即證明直線a垂直于平面α內(nèi)的任意一條直線，從而得到直線a⊥平面α(一般不易驗(yàn)證任意性).(2)利用直線與平面垂直的判定定理，即如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直，簡記為“線線垂直?線面垂直”(a⊥b，a⊥c，b?α，c?α，b∩c=M?a⊥α).(3)利用平行線垂直平面的傳遞性質(zhì)，即如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面(a∥b，b⊥α?a⊥α).2.利用直線與平面垂直的判定定理證明線面垂直的步驟(1)在這個平面內(nèi)找兩條直線，使已知直線和這兩條直線垂直；(2)確定這個平面內(nèi)的兩條直線是相交直線；(3)根據(jù)判定定理得出結(jié)論.知識點(diǎn)18、如何探究直線與平面所成的角1.求直線與平面所成角的大小的步驟(1)作角：①作垂線：過斜線上一點(diǎn)(不是斜足)作平面的垂線；②作射影：連接垂足和斜足；③確定平面角：斜線與它在平面上的射影所成的角即為所求，即將空間角(斜線與平面所成的角)轉(zhuǎn)化為平面角(兩條相交直線所成的角).(2)證明：證明某平面角就是斜線與平面所成的角，關(guān)鍵是證垂直.(3)計(jì)算：通常在垂線段、斜線和射影所構(gòu)成的直角三角形中計(jì)算.知識點(diǎn)19、兩個平面的位置關(guān)系位置關(guān)系公共點(diǎn)符號表示圖形表示兩平面平行沒有公共點(diǎn)α∥β兩平面相交有一條公共直線α∩β=a知識點(diǎn)20、兩個平面平行1.兩個平面平行的判定定理與性質(zhì)定理文字語言符號語言圖形語言判定定理如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行?α∥β性質(zhì)定理兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行?a∥b2.相關(guān)結(jié)論(1)已知兩個平面平行，則一個平面內(nèi)的任一直線都平行于另一個平面.(2)夾在兩個平行平面間的平行線段的長度相等.(3)經(jīng)過平面外一點(diǎn)有且只有一個平面與已知平面平行.(4)兩條直線被三個平行平面所截，截得的對應(yīng)線段成比例.(5)如果兩個平面分別平行于第三個平面，那么這兩個平面互相平行.知識點(diǎn)21、兩個平行平面間的距離1.公垂線、公垂線段：與兩個平行平面都垂直的直線，叫作這兩個平行平面的公垂線，它夾在這兩個平行平面間的線段，叫作這兩個平行平面的公垂線段.2.兩個平行平面間的距離(1)定義：把兩個平行平面的公垂線段的長度叫作兩個平行平面間的距離.(2)性質(zhì)：兩個平行平面間的距離等于其中一個平面上的任意一點(diǎn)到另一個平面的距離.知識點(diǎn)22、二面角1.二面角半平面平面內(nèi)的一條直線把這個平面分成兩部分，其中的每一部分都叫作半平面二面角相關(guān)概念一般地，一條直線和由這條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫作二面角，這條直線叫作二面角的棱，每個半平面叫作二面角的面畫法記法二面角α-l-β或α-AB-β或P-l-Q或P-AB-Q2.二面角的平面角定義一般地，以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的射線，這兩條射線所成的角叫作二面角的平面角圖示符號OA?α，OB?β，α∩β=l，O∈l，OA⊥l，OB⊥l?∠AOB是二面角α-l-β的平面角規(guī)定二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫作直二面角范圍二面角θ的大小范圍是0°≤θ≤180°知識點(diǎn)23、平面與平面垂直1.定義：一般地，如果兩個平面所成的二面角是直二面角，那么就說這兩個平面互相垂直.2.畫法：3.平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理判定定理文字語言如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直圖形語言符號語言l⊥αl?β?性質(zhì)定理文字語言兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一條直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直符號語言α⊥β，α∩β=l，a?α，a⊥l?a⊥β圖形語言知識點(diǎn)24、兩個平面平行的判定1.兩個平面平行的判定方法(1)定義法：兩個平面沒有公共點(diǎn).(2)利用判定定理：如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行.(3)轉(zhuǎn)化為線線平行：若平面α內(nèi)的兩條相交直線與平面β內(nèi)的兩條相交直線分別平行，則α∥β.(4)利用平行平面的傳遞性：若α∥β，β∥γ，則α∥γ.在立體幾何中，線線平行、線面平行、面面平行之間可以相互轉(zhuǎn)化，解題時由線線平行可推出線面平行，由線面平行可推出面面平行.知識點(diǎn)25、如何求二面角的大小求二面角的大小的關(guān)鍵是找出(或作出)其平面角，再把平面角放到三角形中求解.1.作二面角的三種常用方法(1)定義法：在二面角的棱上找一個特殊點(diǎn)，過該點(diǎn)在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線.如圖①，∠AOB為二面角α-l-β的平面角.(2)垂面法：過棱上一點(diǎn)作垂直于棱的平面，該平面與二面角的兩個半平面相交，其交線所成的角即為二面角的平面角.如圖②，∠AOB為二面角α-l-β的平面角.(3)垂線法：過二面角的一個半平面內(nèi)異于棱上的一點(diǎn)A向另一個平面作垂線，垂足為B，由點(diǎn)B向二面角的棱作垂線，垂足為O，連接AO，則∠AOB為二面角的平面角(或其補(bǔ)角).如圖③，∠AOB為二面角α-l-β的平面角.圖①?圖②?圖③知識點(diǎn)26、垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化1.空間中的垂直關(guān)系有線線垂直、線面垂直、面面垂直，這三種關(guān)系不是獨(dú)立的，而是相互關(guān)聯(lián)的.它們之間的關(guān)系如下：2.平行關(guān)系與垂直關(guān)系之間的相互轉(zhuǎn)化題型01平面的概念及其表示【例1】（20-21高一下·浙江·期末）“點(diǎn)P在直線m上，m在平面內(nèi)”可表示為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點(diǎn)】平面的概念及其表示【分析】根據(jù)點(diǎn)線面關(guān)系的表示方法直接表示即可.【詳解】點(diǎn)P在直線m上可表示為，m在平面內(nèi).故選：B.【變式1】（22-23高一下·河北石家莊·期中）有下列四個判斷：①兩條相交直線確定一個平面；②兩條平行直線確定一個平面；③三個點(diǎn)確定一個平面；④一條直線和一點(diǎn)確定一個平面.正確的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【知識點(diǎn)】平面的概念及其表示【分析】根據(jù)平面的有關(guān)概念進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】兩條相交直線確定一個平面，兩條平行直線確定一個平面，①②正確.在同一直線上的三個點(diǎn)不能確定一個平面，③錯誤.直線和直線上一點(diǎn)不能確定一個平面，④錯誤.所以正確的個數(shù)為個.故選：B【變式2】（23-24高一下·廣東廣州·期中）如圖所示的點(diǎn)，線，面的位置關(guān)系，用符號語言表示正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【知識點(diǎn)】平面的概念及其表示【分析】根據(jù)點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，及其符號表示逐一判斷即可.【詳解】點(diǎn)和面、點(diǎn)和線的關(guān)系用“”或“”表示，故A錯誤；線面關(guān)系用“”或“”表示，故BD錯誤；根據(jù)圖形有，C正確.故選：C【變式3】（21-22高一下·上海浦東新·期末）若點(diǎn)在直線上，在平面內(nèi)，則用符號表示??之間的關(guān)系可記作.【答案】，，【知識點(diǎn)】平面的概念及其表示【分析】根據(jù)點(diǎn)、線、面的定義，即可得到答案.【詳解】點(diǎn)在直線上，在平面內(nèi)，則，，故??之間的關(guān)系可記作，，.故答案為：，，題型02點(diǎn)（線）確定的平面數(shù)量問題【例2】（21-22高一下·安徽六安·期末）空間中四點(diǎn)可確定的平面有（

）A．1個 B．4個 C．1個或4個 D．1個或4個或無數(shù)個【答案】D【知識點(diǎn)】點(diǎn)（線）確定的平面數(shù)量問題【分析】根據(jù)確定平面的公理，結(jié)合平面圖形以及三棱錐的幾何性質(zhì)，可得答案.【詳解】當(dāng)四個點(diǎn)為平面四邊形的四個端點(diǎn)時，只能確定唯一平面；當(dāng)四個點(diǎn)為三棱錐的四個端點(diǎn)時，可以確定四個不同的平面；當(dāng)四個點(diǎn)共線時，可以有無數(shù)個平面過這四個點(diǎn).故選：D.【變式1】（22-23高一下·山東煙臺·期末）下列幾何元素可以確定唯一平面的是（

）A．三個點(diǎn) B．圓心和圓上兩點(diǎn)C．梯形的兩條邊 D．一個點(diǎn)和一條直線【答案】C【知識點(diǎn)】點(diǎn)（線）確定的平面數(shù)量問題【分析】根據(jù)平面的確定方法求解.【詳解】對A，三個不共線的點(diǎn)才能確定唯一平面，A錯誤；對B，當(dāng)圓上的兩點(diǎn)和圓心共線時，三個點(diǎn)不能確定唯一平面，B錯誤；對C，梯形的任意兩條邊都能確定梯形所在的平面，所以確定的平面唯一，C正確；對D，當(dāng)點(diǎn)在直線上時，這個點(diǎn)和直線不能確定唯一平面，D錯誤，故選:C.【變式2】（20-21高一上·陜西渭南·期末）三條直線兩兩相交，由這三條直線所確定的平面的個數(shù)是．【答案】1個或3個【知識點(diǎn)】點(diǎn)（線）確定的平面數(shù)量問題、平面的基本性質(zhì)及辨析【分析】根據(jù)平面的性質(zhì)和公理即可求解.【詳解】三條直線兩兩相交，若三條直線交于同一點(diǎn)，則這三條直線確定的平面的個數(shù)是1個或3個，若三條直線兩兩相交于三個不同的點(diǎn)，則這三條直線確定1個平面．綜上，這三條直線所確定的平面的個數(shù)為1個或3個．故答案為：1個或3個.【變式3】（20-21高一下·上海浦東新·期末）空間中兩兩平行的3條直線最多可確定的平面的個數(shù)是【答案】3【知識點(diǎn)】點(diǎn)（線）確定的平面數(shù)量問題【分析】根據(jù)直線平行的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：若三條直線在同一平面內(nèi)，則此時三條直線只能確定一個平面，若三條直線不在同一平面內(nèi)，則此時三條直線能確定三個平面，故三條兩兩平行的直線可以確定平面的個數(shù)為1個或3個，故答案為：3題型03空間中的線共點(diǎn)問題【例3】（20-21高一下·山東聊城·期中）在三棱錐的邊上分別取E、F、G、H四點(diǎn)，如果，則點(diǎn)P（

）A．一定在直線上 B．一定在直線上C．在直線或上 D．不在直線上，也不在直線上【答案】A【知識點(diǎn)】空間中的線共點(diǎn)問題【分析】根據(jù)點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，可得答案.【詳解】由，則平面，由，則平面，同理可得平面，由平面平面，則.故選：A.【變式1】（22-23高一下·山東威?！て谀┰诳臻g四邊形中，若，分別為，的中點(diǎn)，，，且，，則（

）A．直線與平行 B．直線，，相交于一點(diǎn)C．直線與異面 D．直線，，相交于一點(diǎn)【答案】B【知識點(diǎn)】空間中的線共點(diǎn)問題【分析】首先利用相似三角形證明且，再利用中位線定理證明且，從而得到四邊形為梯形，且，是梯形的兩腰，設(shè)，交于一點(diǎn)，利用平面的性質(zhì)證明是直線，，的公共點(diǎn)即可．【詳解】因?yàn)?，，且，所以，所以且，因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以且，所以且，故四邊形為梯形，且，是梯形的兩腰，所以，交于一點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)為，則，，又因?yàn)槠矫?，且平面，所以平面，且平面，又平面平面，所以，所以點(diǎn)是直線，，的公共點(diǎn)，故直線、、相交于一點(diǎn)．

故選：B【變式2】（22-23高一下·山西大同·期中）如圖所示，在空間四邊形中，，分別為，的中點(diǎn)，，分別在，上，且，求證：

(1)，，，四點(diǎn)共面；(2)與的交點(diǎn)在直線上．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【知識點(diǎn)】空間中的點(diǎn)（線）共面問題、空間中的線共點(diǎn)問題【分析】（1）推導(dǎo)出，，從而，由此能證明，，，四點(diǎn)共面．（2）推導(dǎo)出，且，從而與必相交，設(shè)交點(diǎn)為，由此能證明與的交點(diǎn)在直線上．【詳解】（1）：：：，，，分別為，的中點(diǎn)，，，，，，四點(diǎn)共面．（2）、不是、的中點(diǎn)，，且，與必相交，設(shè)交點(diǎn)為，平面，平面，平面，且平面，平面平面，，與的交點(diǎn)在直線上【變式3】（22-23高一下·陜西西安·期中）（1）已知直線，直線與，都相交，求證：過，，有且只有一個平面；（2）如圖，在空間四邊形中，，分別是，的中點(diǎn)，，分別是邊，上的點(diǎn)，且.求證：直線，，相交于一點(diǎn).

【答案】證明過程見解析【知識點(diǎn)】空間中的線共點(diǎn)問題、空間中的點(diǎn)（線）共面問題【分析】（1）設(shè)兩平行直線確定的平面為，從而得到，，直線，即平面，證明出結(jié)論；（2）作出輔助線，得到，且，得到四邊形為梯形，與交于一點(diǎn)，再證明點(diǎn)在直線上，證明出結(jié)論.【詳解】（1）證明：設(shè)直線與，分別交于點(diǎn)，如圖1，

因?yàn)椋源_定一個平面，記為平面，因?yàn)辄c(diǎn)直線，點(diǎn)直線，所以，，所以直線，即平面，所以過，，有且只有一個平面；（2）在空間四邊形中，連接，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，則，且，又由，則，且，故，且，故四邊形為梯形，與交于一點(diǎn)，設(shè)與交于點(diǎn)，如圖2，

由于平面，點(diǎn)在平面內(nèi)，同理點(diǎn)在平面內(nèi)，又因?yàn)槠矫嫫矫妫渣c(diǎn)在直線上，故直線相交于一點(diǎn)題型04由平面的基本性質(zhì)作截面圖形【例4】（22-23高一下·重慶渝中·期中）正方體的棱長為2，P為中點(diǎn)，過A，P，三點(diǎn)的平面截正方體為兩部分，則截面圖形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點(diǎn)】由平面的基本性質(zhì)作截面圖形、判斷正方體的截面形狀【分析】取中點(diǎn)，連接，得到截面為四邊形，再根據(jù)梯形的面積公式即可求解.【詳解】

如圖，截面為四邊形，取中點(diǎn)，連接，則，且.因?yàn)?且，所以四邊形是平行四邊形，則，，所以，且，又所以截面為等腰梯形，且上底長為，下底長為，腰長為，所以截面的面積為.故選：C【變式1】（22-23高一下·廣東廣州·期中）如圖，在棱長為2的正方體中，N是的中點(diǎn)，過B、D、N的平面截該正方體所得截面的面積為（

）

A． B． C． D．【答案】B【知識點(diǎn)】判斷正方體的截面形狀、由平面的基本性質(zhì)作截面圖形【分析】連接，取的中點(diǎn)，連接，然后利用平面的性質(zhì)可得過B、D、N的平面截該正方體所得截面為梯形，從而可求出截面的面積.【詳解】連接，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以∥，，因?yàn)椤?，，所以∥，，所以過B、D、N的平面截該正方體所得截面為梯形，連接交于，連接交于，連接，因?yàn)?，所以，所以梯形為等腰梯形，所以，所以梯形的面積為，故選：B

【變式2】（23-24高一下·廣東東莞·期中）在棱長為的正方體中，若為的中點(diǎn)，則過三點(diǎn)的平面截正方體所得的截面面積為．【答案】18【知識點(diǎn)】由平面的基本性質(zhì)作截面圖形、判斷正方體的截面形狀【分析】取的中點(diǎn)，連接，則梯形為過三點(diǎn)的截面，然后求解其面積即可.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以‖，，因?yàn)椤?，，所以‖，，所以四點(diǎn)共面，即過三點(diǎn)的截面為梯形，因?yàn)檎襟w的棱長為4，所以，所以等腰梯形的高為，所以梯形的面積為，故答案為：18【變式3】（21-22高一下·新疆塔城·期末）如圖，正方體的棱長為8，，，分別是，，的中點(diǎn)．(1)畫出過點(diǎn)，，的平面與平面的交線；(2)設(shè)平面，求的長．【答案】(1)作圖見解析(2)【知識點(diǎn)】圖形的性質(zhì)、由平面的基本性質(zhì)作截面圖形【分析】（1）通過平面，將延長后必與相交，設(shè)交點(diǎn)為，連接，即為過點(diǎn)，，的平面與平面的交線.（2）由可知，進(jìn)而可通過勾股定理求得的長.【詳解】（1）如下圖所示，∵平面，與不平行，∴與必相交．設(shè)交點(diǎn)為，連接．∵平面，平面，∴過點(diǎn)，，的平面與平面的交線為.（2）∵，∴，∴．∴.題型05異面直線的概念及辨析【例5】（23-24高一下·河南安陽·期中）如圖是一個正方體的平面展開圖，則在正方體中與的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．平行 C．異面 D．垂直【答案】B【知識點(diǎn)】異面直線的概念及辨析【分析】將正方體的平面展開圖，還原為正方體，即可得答案.【詳解】由題意可將展開圖還原為如圖的正方體，故.故選：B【變式1】（23-24高一下·河南鄭州·期中）如果兩條直線和沒有公共點(diǎn)，那么這兩條直線是（

）A．平行 B．平行或是異面直線C．是異面直線 D．共面【答案】B【知識點(diǎn)】異面直線的概念及辨析【分析】由空間中直線的位置關(guān)系即可得解.【詳解】如果兩條直線和沒有公共點(diǎn)，那么這兩條直線是同一平面內(nèi)的平行直線或是異面直線.故選：B.【變式2】（23-24高一下·北京·期中）已知三條直線a，b，c滿足：a與b平行，a與c異面，則b與c（

）A．一定異面 B．一定相交 C．不可能平行 D．不可能相交【答案】C【知識點(diǎn)】異面直線的概念及辨析、平行公理【分析】根據(jù)空間中線線的位置關(guān)系以及平行公理，即可進(jìn)行判斷并且得到答案.【詳解】由題意，三條直線a，b，c滿足：a與b平行，a與c異面，則與可能相交，也可能異面，不可能平行.若與平行，又a與b平行，根據(jù)基本事實(shí)4，可得與平行，這與與異面矛盾，故b與c不可能平行.故選：C【變式3】（21-22高一上·浙江·期末）已知空間三條直線a，b，c．若，則（

）A．b與c平行 B．b與c異面C．b與c相交 D．b與c平行、異面、相交都有可能【答案】D【知識點(diǎn)】異面直線的概念及辨析【分析】利用正方體模型進(jìn)行分析判斷【詳解】解：如圖在正方體中，，此時與相交；當(dāng)時，∥；當(dāng)時，與異面，所以由，可得b與c平行、異面、相交都有可能，故選：D題型06異面直線的判定【例6】（20-21高一上·陜西渭南·期末）如圖，在正方體中，直線與的位置關(guān)系是（

）

A．異面 B．平行 C．垂直且相交 D．相交【答案】A【知識點(diǎn)】異面直線的判定【分析】由異面直線的定義判斷即可.【詳解】體對角線與面對角線不在同一個平面內(nèi)，且不平行，故體對角線與面對角線的位置關(guān)系一定是異面.故選：A.【變式1】（21-22高一下·廣西欽州·期末）如圖，長方體的12條棱中與異面的共有（

）A．4條 B．5條 C．6條 D．7條【答案】C【知識點(diǎn)】異面直線的判定【分析】根據(jù)異面直線的定義判斷即可【詳解】由題意，長方體的12條棱中與異面的有共6條故選：C【變式2】（21-22高一下·四川成都·期末）如圖，兩個正方形ABCD，ADEF不在同一個平面內(nèi)，點(diǎn)P，Q分別為線段EF，CD的中點(diǎn)，則直線FQ與PB的關(guān)系是（

）A．相交 B．平行 C．異面 D．不確定【答案】C【知識點(diǎn)】異面直線的判定、平面的基本性質(zhì)及辨析【分析】取的中點(diǎn)，可得，進(jìn)而可得平面，平面，平面，即得.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，則，又，∴，則確定平面，又平面，平面，，平面，∴直線FQ與PB是異面直線.故選：C.【變式3】（23-24高一下·北京順義·期中）從正方體的12條面對角線中選出k條，使得這k條面對角線所在直線兩兩異面，則k的最大值為．【答案】4【知識點(diǎn)】異面直線的判定、異面直線的概念及辨析【分析】先依次選定第一條、第二條面對角線結(jié)合正方體結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行分析即可求解.【詳解】如圖，在面中選定一條面對角線，由正方體結(jié)構(gòu)特征剩余五個面內(nèi)均只剩一條面對角線與異面，但當(dāng)繼續(xù)選定第二條面對角線時，面與面中與異面的直線均與面對角線相交，故不符合，所以最終只剩最后兩個面的對角線可以與和兩兩異面，故k的最大值為4.故答案為：4.題型07異面直線所成的角的概念及辨析【例7】（23-24高一下·江蘇南京·期末）異面直線所成的角為，過空間一點(diǎn)P作直線l，使l與所成的角均為，這樣的直線條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【知識點(diǎn)】異面直線所成的角的概念及辨析【分析】首先將直線平移至點(diǎn)，再根據(jù)兩條直線的夾角和其補(bǔ)角的角平分線，判斷直線的條數(shù).【詳解】如圖，過點(diǎn)作直線，與的夾角為，所以直線與的夾角相等的直線的射影落在或的角平分線上，的角平分線與的夾角為，則其他射影落在角平分線的直線與的夾角都大于，的角平分線與的夾角為，其他射影落在角平分線的直線與的夾角都大于，所以只有1條直線l與所成的角均為，也即只有1條直線l與所成的角均為.故選：A【變式1】（21-22高一下·河南開封·期中）在正方體的所有面對角線中，所在直線與直線互為異面直線且所成角為的面對角線的條數(shù)為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【知識點(diǎn)】異面直線所成的角的概念及辨析【分析】作圖，直接觀察可得.【詳解】如圖，易知為等邊三角形，所以，又，所以異面直線與的夾角為，符合題設(shè).同理，面對角線，，也滿足題意，所以滿足條件的面對角線共4條，故選：B．【變式2】（20-21高一下·上海徐匯·期末）空間中有四條兩兩異面的直線，且其中任意兩條直線所成的角相等，則該角度可能取值有種．【答案】1【知識點(diǎn)】異面直線所成的角的概念及辨析【分析】根據(jù)空間中，直線的位置關(guān)系，分析即可得答案.【詳解】空間中有四條兩兩異面的直線，且其中任意兩條直線所成的角相等，只有1種情況：甲烷模型，各個夾角為，且滿足異面，故答案為：1【變式3】（22-23高一下·上海楊浦·期末）若異面直線、所成的角為，為空間一定點(diǎn)，則過點(diǎn)且與、所成的角都是的直線有且僅有條.【答案】【知識點(diǎn)】異面直線所成的角的概念及辨析【分析】在空間取一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)分別作，，分析直線滿足它的射影在、所成角的平分線上時的情況可得出答案.【詳解】在空間取一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)分別作，，設(shè)直線、確定平面，

當(dāng)直線滿足它的射影在、所成角的平分線上時，與所成的角等于與所成的角，設(shè)直線與、所成角為，因?yàn)橹本€、所成角為，得、所成銳角為，①當(dāng)直線的射影在、所成銳角的平分線上時，則與、所成角的范圍是，這種情況下，過點(diǎn)有條直線與、所成角都是；②當(dāng)直線的射影在、所成鈍角的平分線上時，與、所成角的范圍是，這種情況下，過點(diǎn)有且僅有條直線（即時）與、所成角都是.綜上所述，過點(diǎn)且與、所成角都是的直線有條.故答案為：.題型08求異面直線所成的角【例8】（23-24高一下·福建福州·期末）在正三棱柱中，，，分別是中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點(diǎn)】求異面直線所成的角【分析】設(shè)，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn),可得異面直線與所成角為或其補(bǔ)角，利用余弦定理即可求解.【詳解】設(shè)，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn),易知,,所以異面直線與所成角為或其補(bǔ)角.由正三棱柱的幾何特征可得,，.,,，，,在中，由余弦定理可得,所以直線與所成角的余弦值為.故選:A.【變式1】（21-22高一上·陜西渭南·期末）如圖，在正方形中，異面直線與所成的角是（

）A．120° B．90° C．60° D．30°【答案】C【知識點(diǎn)】求異面直線所成的角【分析】根據(jù)異面直線所成角的定義進(jìn)行求解.【詳解】連接,因?yàn)榍遥运倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以，即或其補(bǔ)角是異面直線與所成的角.在正方體中，即是等邊三角形，所以.故選：C【變式2】（23-24高一下·江蘇南通·期中）已知空間四邊形的對角線，，，分別為，的中點(diǎn)，若，則異面直線，所成角為．【答案】【知識點(diǎn)】求異面直線所成的角【分析】取的中點(diǎn)，利用異面直線所成角的定義求解即得.【詳解】在四面體中，取的中點(diǎn)，連接，由M、N分別為，的中點(diǎn)，得，則是異面直線AC與BD所成的角或其補(bǔ)角，顯然，而，有，于是，所以異面直線AC與BD所成的角是.故答案為：【變式3】（20-21高一下·江蘇揚(yáng)州·期中）如圖，在直三棱柱中，側(cè)棱與底面所有直線均垂直，底面△ABC是邊長為4的正三角形，側(cè)棱長為3，D，E分別為棱和的中點(diǎn).（1）試判斷直線AD和BE的位置關(guān)系，并說明理由；（2）求異面直線AB和CE所成角的余弦值.【答案】（1）直線AD和BE為相交直線，理由見解析；（2）.【知識點(diǎn)】求異面直線所成的角【分析】（1）連接．利用直三棱柱的性質(zhì)、三角形中位線定理及其梯形點(diǎn)定義即可判斷出位置關(guān)系．（2）由，可得（或其補(bǔ)角）為異面直線和所成角，利用余弦定理即可得出．【詳解】連接DE.在△A1B1C1中，D，E分別為棱和的中點(diǎn)，所以DEA1B1，且DEA1B1，又在直三棱柱中，ABA1B1，且ABA1B1，所以DEAB，且DEAB，所以四邊形ABED為梯形，所以直線AD和BE為相交直線.（2）因?yàn)镈EAB，所以(或其補(bǔ)角)為異面直線AB和CE所成角.因?yàn)椤鰽BC是邊長為4的正三角形，則DEAB，在△CC1E中，，，則，同理，在△CDE中，，，DE，解得，所以異面直線AB和CE所成角的余弦值為.題型09由異面直線所成的角求其他量【例9】（21-22高一下·山東淄博·期末）在空間四邊形中，，，，分別是，，，的中點(diǎn)．若，且與所成的角為，則的長為（

）A．1 B． C．1或 D．或【答案】C【知識點(diǎn)】由異面直線所成的角求其他量【分析】連接，可得或，求解三角形即可求出.【詳解】如圖，連接，在中，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，，在中，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，，因?yàn)榕c所成的角為，所以或，當(dāng)時，為等邊三角形，所以，當(dāng)，由余弦定理可得，即，所以的長為1或.故選：C.【變式1】（21-22高一下·安徽六安·期中）在空間四邊形中，E，F(xiàn)，G，H分別是，，，的中點(diǎn)，若，且與所成的角為60°，則的長為（

）A．1或 B．或 C．1或 D．或【答案】C【知識點(diǎn)】由異面直線所成的角求其他量【分析】連接EF，F(xiàn)G，EG，根據(jù)異面直線所成角的意義，在中分情況計(jì)算作答.【詳解】連接EF，F(xiàn)G，EG，如圖，依題意，，且，因與所成的角為60°，則或，當(dāng)時，是正三角形，，當(dāng)時，，所以的長為1或.故選：C【變式2】（23-24高一下·江西·期末）在四面體ABCD中，，AD與BC所成的角為60°，若E，F(xiàn)分別為棱AC，BD的中點(diǎn)，則線段EF的長等于.【答案】1或【知識點(diǎn)】由異面直線所成的角求其他量【分析】設(shè)G為CD中點(diǎn)，分別連接EG，F(xiàn)G，構(gòu)造新的根據(jù)余弦定理可得到EF的長.【詳解】設(shè)G為CD中點(diǎn)，分別連接EG，F(xiàn)G，則EG是的中位線，可得，

同理可得，因?yàn)锳D與BC所成的角為60°所以等于60°或120°，當(dāng)在中根據(jù)余弦定理得，當(dāng)同理可得故答案為：1或【變式3】（23-24高一下·廣東深圳·期中）如圖，已知圓柱的底面半徑和母線長均為1，、分別為上、下底面圓周上的點(diǎn)，若異面直線所成的角為，求的長.

【答案】或【知識點(diǎn)】由異面直線所成的角求其他量【分析】過點(diǎn)作垂直于上底面于點(diǎn)，則是母線，連接，根據(jù)圓柱的性質(zhì)得到且，從而得到，與所成的角就是或其補(bǔ)角，再分和兩種情況討論，分別計(jì)算可得．【詳解】如圖，過點(diǎn)作垂直于上底面于點(diǎn)，則是母線，連接，垂直于上下底面，，，

則四邊形是平行四邊形，，與所成的角就是或其補(bǔ)角．當(dāng)時，是等邊三角形，，在中，；當(dāng)時，在中，，在中，．綜上，或.題型10判斷圖形中的線面關(guān)系【例10】（23-24高一下·浙江嘉興·期末）如圖，下列幾何關(guān)系表達(dá)正確的是（

）

A．，，m，n共面B．，，m，n共面C．，，m，n異面D．，，m，n異面【答案】D【知識點(diǎn)】異面直線的概念及辨析、判斷圖形中的線面關(guān)系【分析】根據(jù)點(diǎn)線面的位置關(guān)系，正確應(yīng)用數(shù)學(xué)符號即可判斷.【詳解】因是直線，是點(diǎn)，故它們與平面的關(guān)系應(yīng)該是，而且從虛線看，m，n異面，故A,B，C均錯誤；故答案為D.故選：D.【變式1】（21-22高一下·北京通州·期末）如圖，在長方體中，則下列結(jié)論正確的是（

）A．點(diǎn)平面 B．直線平面C．直線與直線是相交直線 D．直線與直線是異面直線【答案】D【知識點(diǎn)】異面直線的概念及辨析、判斷圖形中的線面關(guān)系【分析】根據(jù)給定圖形，利用點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系判斷作答.【詳解】在長方體中，直線平面，點(diǎn)，且不重合，即點(diǎn)平面，A不正確；點(diǎn)平面，點(diǎn)平面，即直線平面，B不正確；直線平面，則與平面無公共點(diǎn)，直線平面，所以直線與直線沒有公共點(diǎn)，C不正確；直線平面，即直線與平面無公共點(diǎn)，直線平面，則直線與直線沒有公共點(diǎn)，又，直線，即直線與直線不平行，因此直線與直線是異面直線，D正確.故選：D【變式2】（20-21高一下·北京·期末）過平面外一點(diǎn)，能做（

）條直線與平面平行.A．0 B．1 C．2 D．無數(shù)【答案】D【知識點(diǎn)】判斷圖形中的線面關(guān)系【分析】根據(jù)線面平行的定義判斷可得；【詳解】解：過平面外一點(diǎn)有無數(shù)條直線與這個平面平行，這些直線在與這個平面平行的平面內(nèi)故選：D【變式3】（22-23高一下·上海嘉定·期末）若，且，則（填數(shù)學(xué)符號）【答案】【知識點(diǎn)】判斷圖形中的線面關(guān)系、平面的基本性質(zhì)及辨析【分析】根據(jù)點(diǎn)線、點(diǎn)面位置關(guān)系，結(jié)合平面的基本性質(zhì)即可得答案.【詳解】由且，即.故答案為：題型11面面關(guān)系有關(guān)命題的判斷【例11】（23-24高一下·福建龍巖·期中）已知直線是三條不同的直線，平面，，是三個不同的平面，下列命題正確的是（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，且，，則D．，，三個平面最多可將空間分割成8個部分【答案】D【知識點(diǎn)】面面關(guān)系有關(guān)命題的判斷、線面關(guān)系有關(guān)命題的判斷【分析】對于A，與相交、平行或異面；對于B，或；對于C，由于直線未必相交，故無法判定與平行；對于D，，，三個平面兩兩垂直時，最多可將空間分割成8個部分．【詳解】直線是三條不同的直線，平面，，是三個不同的平面，對于A，若，，則與相交、平行或異面，故A錯誤；對于B，若，，則或，故B錯誤；對于C，若，，且，，由于直線未必相交，所以與不一定平行，故C錯誤；對于D，，，三個平面兩兩垂直時，最多可將空間分割成8個部分，故D正確故選：D．【變式1】（24-25高一上·上海嘉定·期中）已知兩個不同平面，和三條不重合的直線，，，對于命題：①若，分別經(jīng)過兩異面直線，，且，則必與或相交；②若，，是兩兩互相異面的直線，則只存在有限條直線與，，都相交．則下列結(jié)論中正確的是（

）．A．①為真命題②為真命題 B．①為真命題②為假命題C．①為假命題②為假命題 D．①為假命題②為真命題【答案】B【知識點(diǎn)】面面關(guān)系有關(guān)命題的判斷、線面關(guān)系有關(guān)命題的判斷【分析】借助平行公理可以判斷命題①，結(jié)合條件作圖，結(jié)合面面平行性質(zhì)定理可以判斷命題②.【詳解】對于命題①假若既不與相交，也不與相交，由于，都在內(nèi)，故，平行，同理，平行，根據(jù)平行公理得到，平行，與已知，為異面直線矛盾，所以必與或相交，命題①正確如圖所示，，，是異面直線，上下兩個平面，是分別通過，中的一條而與另一條平行的平面，直線與這兩個平面都相交，交點(diǎn)，都不在直線，上.在直線上任取一點(diǎn)不同于，的點(diǎn)，由于，異面，所以，則直線與點(diǎn)確定一個平面，由面面平行性質(zhì)定理可得該平面與平面的交線與直線平行，而直線，為異面直線，所以這平面與直線相交，設(shè)交點(diǎn)為，連接的直線與直線必然相交（否則，這條線必在平面內(nèi))，由于點(diǎn)的任意性，可知這樣可以做出無數(shù)條直線與，，都相交，命題②錯誤，故選：B.【變式2】（20-21高一下·廣東梅州·期中）設(shè)m?n是兩條不同的直線，α?β是兩個不同的平面，則下面四個命題中正確的是；①若m⊥n，m⊥α，nα，則nα；②若mα，α⊥β，則m⊥β；③若m⊥β，α⊥β，則mα；④若m⊥n，m⊥α，n⊥β，則α⊥β；【答案】①④【知識點(diǎn)】線面關(guān)系有關(guān)命題的判斷、面面關(guān)系有關(guān)命題的判斷【分析】利用線線，線面，面面的位置關(guān)系判斷選項(xiàng).【詳解】①若m⊥n，m⊥α，nα，則nα，故①正確；②若mα，α⊥β，則m⊥β，或，或與相交，但不垂直，故②不正確；③若m⊥β，α⊥β，則mα或，故③不正確；④若m⊥n，m⊥α，n⊥β，則α⊥β，故④正確.故答案為：①④【變式3】（22-23高一下·北京房山·期末）已知l，m是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，從下列四個條件中選擇兩個作為已知條件，能夠得到的是.（填入條件的序號即可）①；②；③；④.【答案】①③（或②④）【知識點(diǎn)】面面關(guān)系有關(guān)命題的判斷、線面關(guān)系有關(guān)命題的判斷【分析】由直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系對選項(xiàng)一一分析即可得出答案.【詳解】選①②，若，，則可能，不正確；選①③，若，，則，正確；選①④，若，，則可能，不正確；選②③，若，，則可能，不正確；選②④，若，，則，正確；選③④，若，，則可能，不正確；故答案為：①③（或②④）【夯實(shí)基礎(chǔ)】一、單選題1．（23-24高一下·廣東廣州·期末）已知m，n是兩條不同的直線，，是兩個不重合的平面，則下列命題正確的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，【答案】C【分析】利用空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系可判斷每個選項(xiàng)的正誤．【詳解】對于A：，，或與相交或與異面，故A錯誤；對于B：由，，，可能，可能，還可能異面不垂直，也可能相交不垂直，故B錯誤；對于C：由，，則，又，則，故C正確；對于D：，或，故D錯誤.故選：C.2．（23-24高一下·貴州·期中）若直線不平行于平面，且直線，則下列說法正確的是（

）A．內(nèi)存在與平行的直線 B．內(nèi)所有直線都與異面C．與有公共交點(diǎn) D．內(nèi)所有直線都與相交【答案】C【分析】利用線面的位置關(guān)系直接判斷得解.【詳解】由直線不平行于平面，且直線，得直線與平面相交，則與有公共交點(diǎn)，C正確；平面內(nèi)不存在直線與平行，否則，與已知矛盾，因此內(nèi)所有直線都與異面或相交，ABD錯誤.故選：C3．（24-25高一上·上海嘉定·期中）已知直線、及平面，直線平面，則“直線直線”是“直線平面”的（

）．A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【答案】B【分析】結(jié)合圖先判斷“直線直線”能否推出“直線平面”，再判斷“直線平面”能否推出“直線直線”，結(jié)合充分條件和必要條件定義判斷結(jié)論.【詳解】如圖：直線平面，直線平面，所以直線直線，但是直線平面，所以直線直線不能推出直線平面，所以“直線直線”不是“直線平面”的充分條件，

如圖直線平面，直線平面，過直線作平面，平面平面，因?yàn)橹本€平面，直線平面，所以直線直線，又直線平面，直線平面，所以直線直線，又直線直線，所以直線直線，即直線平面可推出直線直線，“直線直線”是“直線平面”的必要條件，

所以“直線直線”是“直線平面”的必要不充分條件.故選：B.4．（23-24高一下·江蘇無錫·期中）已知是兩條不同的直線，是不同的平面，則下列命題正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】D【分析】本題考查空間內(nèi)線線、線面和面面位置關(guān)系的判定及性質(zhì)，根據(jù)判定定理和性質(zhì)定理依次判斷即可.【詳解】對于A選項(xiàng)，若，，則或，A錯；對于B選項(xiàng)，若，，，，則或?相交，B錯；對于C選項(xiàng)，若，，，則或?相交，C錯；對于D選項(xiàng)，若，，則，因?yàn)?，則，D對.故選：D.二、多選題5．（23-24高一下·吉林·期中）如圖，這是一個正方體的展開圖，若將它還原為正方體，則（

）A． B．C．直線與異面 D．直線與異面【答案】AD【分析】根據(jù)題意，畫出該正方體的直觀圖，結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)特征依次分析選項(xiàng)，綜合可得答案.【詳解】根據(jù)題意，畫出該正方體的直觀圖，對于A，易得，A正確；對于B，與異面，B錯誤；對于C，直線與相交，C錯誤；對于D，直線與異面，D正確.故選：AD.6．（21-22高一下·山東青島·期中）如果直線直線，且平面，那么與的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．C． D．以上都不是【答案】BC【分析】利用線面平行的判定定理和直線與平面的位置關(guān)系即可得出結(jié)果.【詳解】由題意知，直線直線，且平面，當(dāng)不在平面內(nèi)時，平面內(nèi)存在直線，則，符合線面平行的判定定理，所以；當(dāng)在平面內(nèi)時，也符合條件，所以與的位置關(guān)系為或在平面內(nèi).故選：BC.三、填空題7．（22-23高一下·云南楚雄·期中）如圖，在正方體中，M，N分別為，CD的中點(diǎn)，則異面直線MN和所成角的余弦值為．

【答案】【分析】取E為AB的中點(diǎn)，由，得到∠NME為直線MN和所成的角求解．【詳解】解：如圖所示：

取E為AB的中點(diǎn)，連結(jié)NE，ME，易知，所以∠NME為直線MN和所成的角．設(shè)正方體的棱長為2，則，，，所以，所以是直角三角形，所以．故答案為：8．（23-24高一下·安徽合肥·期中）如圖，在三棱錐中，，點(diǎn)在棱上，點(diǎn)在棱上，且，設(shè)表示與所成的角，表示與所成的角，則的值為.

【答案】/【分析】如圖，作，則，進(jìn)而，得，即可求解.【詳解】作交于，連接，則.而，所以，則.由，得，所以，又，，所以，故.故答案為：

四、解答題9．（23-24高一下·云南大理·期中）如圖，四邊形和四邊形都是梯形，，且分別為的中點(diǎn).(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)求證：四點(diǎn)共面.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）結(jié)合三角形中位線性質(zhì)可證得且，由此可得結(jié)論；（2）由，可證得四邊形為平行四邊形，結(jié)合（1）的結(jié)論可得，，由此可知四邊形為平行四邊形，得到，由此可得四點(diǎn)共面.【詳解】（1）因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，則，，又因?yàn)?，，則，，所以四邊形是平行四邊形.（2）因?yàn)?，，為中點(diǎn)，則，，可知四邊形為平行四邊形，則，，由（1）知：，，可得，，所以四邊形為平行四邊形，則，即，所以四點(diǎn)共面.10．（24-25高一上·上海·期中）如圖，已知分別是正方體的棱，，，的中點(diǎn)，且與相交于點(diǎn).

(1)求證：點(diǎn)在直線上；(2)求證：與是異面直線.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）通過證明在平面與平面的交線上，來證得在直線上.（2）利用反證法可證明與是異面直線.【詳解】（1）平面平面，由于平面，平面，所以，也即點(diǎn)在直線上.（2）假設(shè)與不是異面直線.則與是共面直線，又在直線外，則過與直線有唯一平面，所以可得平面，這與在平面外矛盾，故與是異面直線.【能力提升】一、單選題1．（23-24高一下·寧夏固原·期末）在三棱錐中，，且直線與所成的角為，分別為棱的中點(diǎn)，則直線與所成角的大小為（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】利用異面直線夾角的定義即可求解.【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接，易知，，且，，故，且是異面直線與所成角或其補(bǔ)角，所以或，所以異面直線與所成角為或其補(bǔ)角，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以直線與所成角的大小為或

故選：C

2．（22-23高一下·陜西西安·期中）若表示直線，表示平面，則下列命題為真命題的是（

）A．若，則B．若，，則C．若，，則D．若，，則或與異面【答案】D【分析】舉反例否定A，B，C，利用線面平行的性質(zhì)定理判斷D即可.【詳解】對于A，若，則或，故A錯誤；對于B，若，，則或與相交或與異面，故B錯誤；對于C，若，，則或，故C錯誤;對于D，若，，結(jié)合線面平行的性質(zhì)定理得或與異面，故D正確.故選：D.3．（23-24高一下·浙江溫州·期中）設(shè)是給定的平面，、是不在內(nèi)的任意兩點(diǎn)，則下列命題中正確的是（

）A．在內(nèi)一定存在直線與直線相交B．在內(nèi)一定存在直線與直線異面C．一定存在過直線的平面與平行D．存在無數(shù)過直線的平面與垂直【答案】B【分析】根據(jù)直線與平面的位置關(guān)系，逐項(xiàng)用特例排除選項(xiàng)即可判斷ACD，根據(jù)異面直線定義判斷B.【詳解】選項(xiàng)A，當(dāng)直線平行于平面時，在內(nèi)不存在與相交的直線，所以A錯誤；選項(xiàng)B，與平面平行或相交，在內(nèi)一定存在直線與直線異面，所以B正確；選項(xiàng)C，當(dāng)直