第二章：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用重點(diǎn)題型復(fù)習(xí)（解析版）

第二章：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用題型一平均變化率、瞬時(shí)變化率1．物體運(yùn)動(dòng)方程為（位移單位：m，時(shí)間單位：s），若，則下列說法中正確的是（

）A．18m/s是物體從開始到3s這段時(shí)間內(nèi)的平均速度B．18m/s是物體從3s到這段時(shí)間內(nèi)的速度C．18m/s是物體在3s這一時(shí)刻的瞬時(shí)速度D．18m/s是物體從3s到這段時(shí)間內(nèi)的平均速度【答案】C【分析】由瞬時(shí)變化率的物理意義判斷．【詳解】是物體在這一時(shí)刻的瞬時(shí)速度，是物體從到這段時(shí)間內(nèi)的平均速度的極限值，即是是物體在這一時(shí)刻的瞬時(shí)速度.故選：C2．函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平均變化率的定義即可求得.【詳解】由平均變化率定義得，故選：C3．函數(shù)從到的平均變化率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平均變化率的定義直接進(jìn)行計(jì)算即可求解.【詳解】由題得所求平均變化率為.故選：C.4．（多選）一球沿某一斜面自由滾下，測(cè)得滾下的垂直距離（單位：）與時(shí)間（單位：）之間的函數(shù)關(guān)系為，則下列說法正確的是（）A．前內(nèi)球滾下的垂直距離的增量 B．在時(shí)間內(nèi)球滾下的垂直距離的增量C．前內(nèi)球在垂直方向上的平均速度為 D．在時(shí)間內(nèi)球在垂直方向上的平均速度為【答案】BC【分析】利用函數(shù)關(guān)系式計(jì)算可判定A、B，由平均速度、瞬時(shí)速度的求法可判定C、D選項(xiàng).【詳解】前內(nèi)，，，故A錯(cuò)誤；此時(shí)球在垂直方向上的平均速度為，故C正確；在時(shí)間內(nèi)，，，故B正確，此時(shí)間內(nèi)球在垂直方向上的平均速度為，故D錯(cuò)誤.故選：BC．題型二導(dǎo)數(shù)的概念及其意義1．（多選）已知函數(shù).則（

）A．是的對(duì)稱軸 B．的最小正周期為C．在區(qū)間上單調(diào)遞減 D．在點(diǎn)處的切線方程為【答案】BD【分析】化簡(jiǎn)可得，再根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷ABC即可；由導(dǎo)數(shù)的意義可得D正確.【詳解】，對(duì)于A，由于，則不是的對(duì)稱軸，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，函數(shù)的最小正周期為，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，由余弦函數(shù)的性質(zhì)可知，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，則在點(diǎn)處的切線方程為，故D正確．故選：BD2．曲線過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程為．【答案】，【分析】分兩種情況，分別設(shè)切點(diǎn)再結(jié)合切線斜率相等得出切點(diǎn)，最后應(yīng)用點(diǎn)斜式即可得出切線方程，最后結(jié)合對(duì)稱性得出時(shí)切線.【詳解】先求當(dāng)時(shí)，曲線過原點(diǎn)的切線方程，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則由，得切線斜率為，又切線的斜率為，所以，解得，代入，得，所以切線斜率為，切線方程為．因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以時(shí)切線與的切線關(guān)于軸對(duì)稱，可求得當(dāng)時(shí)的切線方程為．綜上可知，兩條切線方程為．故答案為：．3．已知為正實(shí)數(shù)，直線與曲線相切，則的最小值為.【答案】9【分析】先設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)切點(diǎn)在直線和曲線上列式求參，最后應(yīng)用基本不等式計(jì)算求解.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，又因?yàn)榍€，則，直線斜率為1，所以，又因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，則取最小值為9.故答案為：9.4．曲線上的點(diǎn)到直線的最短距離是．【答案】【分析】求出和平行的直線和相切，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切點(diǎn)坐標(biāo)即可得到結(jié)論.【詳解】與平行的直線和相切，則斜率為，因?yàn)?，所以，令，解方程得，代入直線方程得切點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離就是曲線的點(diǎn)到直線的最短距離，由點(diǎn)到直線的距離公式知，故答案為：.題型三導(dǎo)數(shù)的計(jì)算1．設(shè)函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)存在，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求得正確答案.【詳解】.故選：D2．（多選）下列求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的有（）A． B．C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)常見基本初等函數(shù)的求導(dǎo)法則得到答案.【詳解】A選項(xiàng)，，故A正確；B選項(xiàng)，，故B正確；C選項(xiàng)，，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，故D錯(cuò)誤．故選：AB3．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算求解即可；（2）由導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算求解即可；（3）法一，法二：由導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算求解即可；【詳解】（1），（2）（3）方法一：，；方法二：；4．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)；(3).【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求解即可；（2）由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求解即可；（3）由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求解即可；【詳解】（1）函數(shù)可以看作函數(shù)和的復(fù)合函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可得：.所以；（2）函數(shù)可以看作函數(shù)和的復(fù)合函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可得：.所以（3）函數(shù)可以看作函數(shù)和的復(fù)合函數(shù)，，所以.題型四導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性1．已知函數(shù)的圖象如圖所示，不等式的解集是（

）

A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)的正負(fù)分情況討論，再結(jié)合函數(shù)圖象判斷的正負(fù)，進(jìn)而求解不等式.【詳解】1.當(dāng)時(shí)，此時(shí)不等式等價(jià)于.從函數(shù)圖象可知，當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞增時(shí).觀察圖象，在上單調(diào)遞增，即此時(shí)當(dāng)時(shí)，滿足題意.2.當(dāng)時(shí)，此時(shí)不等式等價(jià)于.由函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞減時(shí).觀察圖象，在上單調(diào)遞減，即此時(shí)當(dāng)時(shí)，，滿足題意.綜上，不等式的解集是，故選：B.2．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為．【答案】/【分析】先求出導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)，計(jì)算求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，定義域?yàn)椋?，令，所以，的單調(diào)遞減區(qū)間為.故答案為：或.3．設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)若為增函數(shù)，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解；（2）法一：參變分離得到在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)求最值即可；法二：構(gòu)造函數(shù)，通過分類討論求最值即可求解；【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，，，∴曲線在處的切線方程為，整理得，，∴曲線在處的切線方程為.（2），，是增函數(shù)，即在上恒成立，方法一：即在上恒成立，所以，設(shè)，，則，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，∴當(dāng)時(shí)，取得極大值，也是最大值，∵，∴的取值范圍是.方法二：即在上恒成立，所以，設(shè)，，則，，①若，則，在上單調(diào)遞增，當(dāng)趨近于0時(shí)，趨近于，即不恒成立，所以在上不單調(diào)遞增，與題意不符，舍去.②若，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，取得極小值，也是最小值，∴，解得，∴的取值范圍是.4．已知函數(shù).(1)為的導(dǎo)函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，求的值；(2)證明：有且僅有一條圖象的切線過坐標(biāo)原點(diǎn)；(3)討論函數(shù)的單調(diào)性.【答案】(1)(2)證明見解析(3)答案見解析【分析】（1）求導(dǎo)函數(shù)即可；（2）先設(shè)切點(diǎn)，求曲線在切點(diǎn)處的切線方程，再將點(diǎn)代入得出關(guān)于的方程，求證該方程僅有一解即可；（3）求導(dǎo)，分類討論的正負(fù)性.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，故，故.（2）證明：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，設(shè)為切點(diǎn)，則切線的斜率，切線方程為，若切線過點(diǎn)，則，化簡(jiǎn)得，方程只有一解為，所以有且僅有一條圖象的切線過坐標(biāo)原點(diǎn).（3）當(dāng)時(shí)，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，綜上，當(dāng)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.題型五導(dǎo)數(shù)求極值、最值1．在等比數(shù)列中，是函數(shù)的極值點(diǎn)，則（

）A． B．4 C．3 D．【答案】D【分析】首先通過函數(shù)求導(dǎo)得出極值點(diǎn)所滿足的方程，利用韋達(dá)定理得到與的乘積和和，再根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求出的值，結(jié)合的正負(fù)確定的值.【詳解】已知，對(duì)求導(dǎo)可得.因?yàn)?，是函?shù)的極值點(diǎn)，所以，是方程的兩個(gè)根.所以，.所以，則.由，且，可知與同號(hào)，又因?yàn)椋裕?在等比數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)的符號(hào)相同，所以，因此.故選：D.2．（多選）定義在區(qū)間上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)圖象如圖所示，下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減B．函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減C．函數(shù)在處取得極大值D．函數(shù)在處取得極小值【答案】BD【分析】由導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)圖象間關(guān)系可判斷各選項(xiàng)正誤.【詳解】對(duì)于A，由圖，當(dāng)時(shí)，，則在區(qū)間單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由圖，當(dāng)時(shí)，，則在區(qū)間單調(diào)遞減，故B正確；對(duì)于C，由圖，，則在處不取極值，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由圖，當(dāng)時(shí)，；時(shí)，.則在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則在處取得極小值，故D正確.故選：BD3．設(shè)函數(shù)，曲線在處的切線方程為.(1)求實(shí)數(shù)，的值；(2)求的極值.【答案】(1)，(2)沒有極小值，沒有極大值【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立方程求解即可；（2）先根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，求出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求的極值.【詳解】（1），，，曲線在處的切線方程為，整理得.曲線在處的切線方程為.，解得，.（2）由（1）得，定義域?yàn)椋?，，在上單調(diào)遞減，沒有極小值，沒有極大值.4．已知函數(shù)的圖象與軸相交于點(diǎn)，的圖象在點(diǎn)處的切線方程為．(1)求，的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值．【答案】(1)，；(2)單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；極大值，極小值；【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定點(diǎn)坐標(biāo)求出，代入函數(shù)解析式確定值；（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而確定函數(shù)的極值點(diǎn)求得極值.【詳解】（1）由已知可得，因?yàn)橹本€的斜率為，所以，所以．令中得，故，又，所以，所以．（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋桑?）知，，令，解得或，由得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和；由得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值.題型六導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用1．在等比數(shù)列中，是函數(shù)的極值點(diǎn)，則（

）A． B．4 C．3 D．【答案】D【分析】首先通過函數(shù)求導(dǎo)得出極值點(diǎn)所滿足的方程，利用韋達(dá)定理得到與的乘積和和，再根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求出的值，結(jié)合的正負(fù)確定的值.【詳解】已知，對(duì)求導(dǎo)可得.因?yàn)?，是函?shù)的極值點(diǎn)，所以，是方程的兩個(gè)根.所以，.所以，則.由，且，可知與同號(hào)，又因?yàn)?，所以?在等比數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)的符號(hào)相同，所以，因此.故選：D.2．（多選）定義在區(qū)間上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)圖象如圖所示，下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減B．函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減C．函數(shù)在處取得極大值D．函數(shù)在處取得極小值【答案】BD【分析】由導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)圖象間關(guān)系可判斷各選項(xiàng)正誤.【詳解】對(duì)于A，由圖，當(dāng)時(shí)，，則在區(qū)間單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由圖，當(dāng)時(shí)，，則在區(qū)間單調(diào)遞減，故B正確；對(duì)于C，由圖，，則在處不取極值，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由圖，當(dāng)時(shí)，；時(shí)，.則在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則在處取得極小值，故D正確.故選：BD3．設(shè)函數(shù)，曲線在處的切線方程為.(1)求實(shí)數(shù)，的值；(2)求的極值.【答案】(1)，(2)沒有極小值，沒有極大值【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立方程求解即可；（2）先根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，求出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求的極值.【詳解】（1），，，曲線在處的切線方程為，整理得.曲線在處的切線方程為.，解得，.（2）由（1）得，定義域?yàn)椋?，，在上單調(diào)遞減，沒有極小值，沒有極大值.4．已知函數(shù)的圖象與軸相交于點(diǎn)，的圖象在點(diǎn)處的切線方程為．(1)求，的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值．【答案】(1)，；(2)單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；極大值，極小值；【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定點(diǎn)坐標(biāo)求出，代入函數(shù)解析式確定值；（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而確定函數(shù)的極值點(diǎn)求得極值.【詳解】（1）由已知可得，因?yàn)橹本€的斜率為，所以，所以．令中得，故，又，所以，所以．（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋桑?）知，，令，解得或，由得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和；由得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值.題型七導(dǎo)數(shù)求切線問題1．若直線是曲線的一條切線，則k的值為（）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，解方程可得，可得結(jié)果.【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，易知，因此，所以切線方程為，即，可得，即，可得，所以.故選：D2．已知函數(shù)在上可導(dǎo)，其部分圖象如圖所示，則下列不等式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及直線的斜率公式結(jié)合圖形可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，如圖，分別表示在點(diǎn)處切線的斜率,又，由圖可知，故選：B.3．若曲線在點(diǎn)處的切線方程是，則．【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，由在點(diǎn)處的切線方程是得切線斜率為2，，由曲線，得，故，解得，又因?yàn)?，故，所以，故答案為?．已知點(diǎn)在曲線上，且曲線在點(diǎn)處的切線與曲線相切，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】或【分析】先根據(jù)題干中的題意求出曲線在點(diǎn)處的切線，又切線與曲線相切，聯(lián)立切線和曲線方程利用即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，易得曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．又因?yàn)樵撝本€與曲線相切，所以該直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)．由得，則，解得，則，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或．故答案為：或題型八構(gòu)造函數(shù)1．已知是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，且，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】是定義在上的偶函數(shù)，說明奇函數(shù)，若時(shí)，，可得為增函數(shù)，若，為增函數(shù)，根據(jù)，求出不等式的解集；【詳解】解：∵是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，∴為增函數(shù)，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，∴在-∞,0上為增函數(shù)，∵，若，，所以；若，，在-∞,0上為增函數(shù)，可得，綜上得，不等式的解集是.故選：C.2．已知為偶函數(shù)，且，令，若時(shí)，，關(guān)于的不等式的解集為（

）A．或 B．C． D．或【答案】A【分析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)題中條件，判定時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，根據(jù)函數(shù)奇偶性，得到在上單調(diào)遞減；結(jié)合函數(shù)奇偶性與單調(diào)性，即可求出不等式的解集.【詳解】因?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，，所以，即函數(shù)在上單調(diào)遞增；又為偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減；因?yàn)?，所以，則不等式可化為，則，即，解得或.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查由導(dǎo)數(shù)的方法判定函數(shù)單調(diào)性，考查由函數(shù)奇偶性與單調(diào)性解不等式，屬于?？碱}型.3．已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，其導(dǎo)函數(shù)為f'（x），對(duì)任意x∈R，f'（x）＞f（x）恒成立，且f（1）＝1，則不等式ef（x）＞ex的解集為（

）A．（1，+∞） B．[1，+∞） C．（﹣∞，0） D．（﹣∞，0]【答案】A【分析】首先根據(jù)ef（x）＞ex，構(gòu)造函數(shù)，對(duì)其求導(dǎo)判斷單調(diào)性即可。【詳解】由題意得：令因?yàn)閒'（x）＞f（x），所以，即在R上為增函數(shù)，因?yàn)閑f（x）＞ex即,所以故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用構(gòu)造函數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的問題，解決此類問題的關(guān)鍵是構(gòu)造出新的函數(shù)，屬于中等題。4．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋鋵?dǎo)函數(shù)是．若恒成立，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)，判斷函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可.【詳解】令，則，所以函數(shù)在定義域內(nèi)為單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以關(guān)于的不等式可轉(zhuǎn)化為，即，因?yàn)椋?，即不等式的解集?故選：A題型九零點(diǎn)問題1．（多選）（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，則（

）A．有三個(gè)零點(diǎn)B．是的極大值點(diǎn)C．曲線為軸對(duì)稱圖形D．為曲線的對(duì)稱中心【答案】BD【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷出的單調(diào)性，求出極值可得的大致圖象可判斷ABC；求出可判斷D.【詳解】對(duì)于A，令，解得或，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以在處有極大值，為，在處有極小值，為，又，的大致圖象如下

所以有兩個(gè)零點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由A選項(xiàng)可知是的極大值點(diǎn)，故B正確；對(duì)于C，由A選項(xiàng)可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以曲線不是軸對(duì)稱圖形，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，所以為曲線的對(duì)稱中心，故D正確.故選：BD.2．（2025·廣東·一模）函數(shù)與函數(shù)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用參變分離將函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為和的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，由導(dǎo)數(shù)求得hx的單調(diào)性并求得最大值即可得出結(jié)論.【詳解】由得，則問題轉(zhuǎn)化為和的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，而，令h'x>0，解得，令h'故hx在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，則，hx

結(jié)合圖象可知，的取值范圍是故選：D3．（2024·江西撫州·三模）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，已知函數(shù).(1)若，求的值和函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若，討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】(1)，單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和.(2)當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn).【分析】（1）先得，，根據(jù)得，進(jìn)而利用導(dǎo)函數(shù)求單調(diào)區(qū)間；（2）先由得，進(jìn)而得函數(shù)的極小值為，極大值為，進(jìn)而根據(jù)極小值與零比較可判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】（1）由題可知，，，，解得.所以，.令，得或；令，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和.（2）由（1）可知，，，，所以.令，解得或；令，解得.所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和，所以的極小值為，的極大值為.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)，即時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn).4.（2018·全國·高考真題）已知函數(shù)．（1）設(shè)是的極值點(diǎn)．求，并求的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．【詳解】（1）的定義域?yàn)?，，則，解得：，故．易知在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，且，由解得：；由解得：，所以的增區(qū)間為，減區(qū)間為．（2）［方法一］：【最優(yōu)解】放縮法當(dāng)時(shí)，.設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以是的最小值點(diǎn).故當(dāng)時(shí)，.因此，當(dāng)時(shí)，.［方法二］：【通性通法】隱零點(diǎn)討論因?yàn)?，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．設(shè)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，且，所以．設(shè)，則．所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，故，即成立．［方法三］：分離參數(shù)求最值要證時(shí)，即，則證成立．令，則．令，則，由知在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，從而在內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．所以，而，所以恒成立，原命題得證．［方法四］：隱零點(diǎn)討論＋基本不等式，結(jié)合與的圖像，可知有唯一實(shí)數(shù)解，不妨設(shè)，則．易知在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)．所以．由，得．．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，，所以．題型十極值點(diǎn)偏移問題1．（2024·廣東湛江·一模）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若方程有兩個(gè)根，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，并證明：．【答案】(1)在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，(2)見解析【分析】（1）求出f'（2）由，得，設(shè)，畫出的圖象可得；由，設(shè)，對(duì)hx求導(dǎo)可得，又，再由在1,+∞上單調(diào)遞減，可得，即可證明.【詳解】（1）由題意可得，所以，的定義域?yàn)?,+∞，又，由，得，當(dāng)時(shí)，f'x>0，則在0,1當(dāng)時(shí)，f'x<0，則在1,+（2）由，得，設(shè)，，由，得，當(dāng)時(shí)，，則在0,1上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則在1,+∞上單調(diào)遞減，又，，且當(dāng)趨近于正無窮，趨近于，的圖象如下圖，所以當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)根，證明：不妨設(shè)，則，，設(shè)，，所以hx在0,+∞又h1=0，所以，即，又，所以，又，，在1,+∞上單調(diào)遞減，所以，故.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）解此問的關(guān)鍵在于求出的導(dǎo)數(shù)，并能根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)結(jié)合相關(guān)知識(shí)判斷出單調(diào)性；（2）解此問的關(guān)鍵在于把轉(zhuǎn)化為來證，又，構(gòu)造，對(duì)hx求導(dǎo)，得到hx的單調(diào)性和最值可證得，即可證明.2．（2024·云南·二模）已知常數(shù)，函數(shù).(1)若，求的取值范圍;(2)若、是的零點(diǎn)，且，證明:.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，依題意，即可求出的取值范圍；（2）由（1）不妨設(shè)，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到，結(jié)合及的單調(diào)性，即可證明.【詳解】（1）由已知得的定義域?yàn)?，且，?dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增.所以在處取得極小值即最小值，，，，即的取值范圍為.（2）由（1）知，的定義域?yàn)?，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且是的極小值點(diǎn).、是的零點(diǎn)，且，、分別在、上，不妨設(shè)，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減.，，即，，，，，又，在上單調(diào)遞增，，即.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）給定函數(shù)比較大小的問題，需判斷函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性以及需要比較的數(shù)值構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性可比較大??；（2）極值點(diǎn)偏移法證明不等式，先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，找到極值點(diǎn)，分析兩根相等時(shí)兩根的范圍，根據(jù)范圍以及函數(shù)值相等構(gòu)造新的函數(shù)，研究新函數(shù)的單調(diào)性及最值，判斷新函數(shù)小于或大于零恒成立，即可證明不等式.題型四：極值點(diǎn)偏移-比（差）值換元1．（2024·云南昆明·二模）設(shè)，為函數(shù)（）的兩個(gè)零點(diǎn)．(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）求出定義域，求導(dǎo)，得到的單調(diào)性和極值情況，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，得到，求出，結(jié)合題目條件，得到當(dāng)時(shí)，，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理得到在內(nèi)存在唯一零點(diǎn)，同理得到在內(nèi)存在唯一零點(diǎn)，從而求出答案；（2）設(shè)，由可得，令，故，，推出要證，即證，構(gòu)造，，求導(dǎo)，對(duì)分子再構(gòu)造函數(shù)，證明出，在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，故，即，證明出結(jié)論.【詳解】（1）的定義域?yàn)镽，，當(dāng)時(shí)，f'x<0，當(dāng)時(shí)，f故在內(nèi)單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故要使有兩個(gè)零點(diǎn)，則需，故，由題目條件，可得，當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，故在?nèi)存在唯一零點(diǎn)，又，故在內(nèi)存在唯一零點(diǎn)，則在R上存在兩個(gè)零點(diǎn)，故滿足題意的實(shí)數(shù)的取值范圍為；（2）證明：由（1）可設(shè)，由可得，令，則，所以，故，所以，要證，即證，即證，因?yàn)椋醋C，即，令，，，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在0,1內(nèi)單調(diào)遞減，在1,+∞單調(diào)遞增，所以，所以，令得，故，在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，故，即，，，則，證畢．【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)處理零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，由于涉及多類問題特征（包括單調(diào)性，特殊位置的函數(shù)值符號(hào)，隱零點(diǎn)的探索、參數(shù)的分類討論等），需要學(xué)生對(duì)多種基本方法，基本思想，基本既能進(jìn)行整合，注意思路是通過極值的正負(fù)和函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的走勢(shì)，從而判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)，較為復(fù)雜和綜合的函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，分類討論是必不可少的步驟，在哪種情況下進(jìn)行分類討論，分類的標(biāo)準(zhǔn)，及分類是否全面，都是需要思考的地方2．（2024·河南·二模）已知函數(shù)．(1)若，討論的單調(diào)性．(2)已知關(guān)于的方程恰有個(gè)不同的正實(shí)數(shù)根．（i）求的取值范圍；（ii）求證：．【答案】(1)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減(2)（i）；（ii）證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)后，根據(jù)的正負(fù)可確定的單調(diào)性；（2）（i）將問題轉(zhuǎn)化為與有兩個(gè)不同交點(diǎn)的問題，利用導(dǎo)數(shù)可求得的單調(diào)性和最值，從而得到的圖象，采用數(shù)形結(jié)合的方式可確定的范圍；（ii）設(shè)，根據(jù)：，，采用取對(duì)數(shù)、兩式作差整理的方式可得，通過分析法可知只需證即可，令，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性，從而得到，由此可證得結(jié)論.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則；令，解得：或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）（i）由得：，恰有個(gè)正實(shí)數(shù)根，恰有個(gè)正實(shí)數(shù)根，令，則與有兩個(gè)不同交點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，當(dāng)從的右側(cè)無限趨近于時(shí)，趨近于；當(dāng)無限趨近于時(shí)，的增速遠(yuǎn)大于的增速，則趨近于；則圖象如下圖所示，當(dāng)時(shí)，與有兩個(gè)不同交點(diǎn)，實(shí)數(shù)的取值范圍為；（ii）由（i）知：，，，，，不妨設(shè)，則，要證，只需證，，，，則只需證，令，則只需證當(dāng)時(shí)，恒成立，令，，在上單調(diào)遞增，，當(dāng)時(shí)，恒成立，原不等式得證.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)單調(diào)性、方程根的個(gè)數(shù)問題和極值點(diǎn)偏移問題的求解；本題求解極值點(diǎn)偏移的基本思路是通過引入第三變量，將問題轉(zhuǎn)化為單變量問題，進(jìn)而通過構(gòu)造函數(shù)的方式證明關(guān)于的不等式恒成立.3．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù).(1)若，求函數(shù)的最值；(2)若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，記作，且，求證：.【答案】(1)無最小值，最大值為(2)證明見解析【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后得，分別求出和的解集，從而可求解.（2）由有兩個(gè)極值點(diǎn)，從而要證，令，構(gòu)建函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)求解的最值，從而可求解證明.【詳解】（1）由題意得，則.令f'x>0，解得；令f'∴fx在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，∴fx無最小值，最大值為（2），則，又有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，欲證，即證，原式等價(jià)于證明①.由，得，則②.由①②可知原問題等價(jià)于求證，即證.令，則，上式等價(jià)于求證.令，則，恒成立，在1,+∞上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即，原不等式成立，即.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于極值點(diǎn)偏移問題，首先找到兩極值點(diǎn)的相應(yīng)關(guān)系,然后構(gòu)造商數(shù)或加數(shù)關(guān)系；通過要證明的不等式，將兩極值點(diǎn)變形后構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解出構(gòu)造函數(shù)的最值，從而證明不等式或等式成立.4．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，，且，求證：．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后分類討論的取值情況，從而可求解.（2）結(jié)合（1）中結(jié)論可知，從而求出，，然后設(shè)并構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)求解，然后再構(gòu)造函數(shù)證明，從而求解.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域是0,+∞，，當(dāng)時(shí)，f'x<0，所以在0,+當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，f'x>0，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，f'x<0綜上所述，當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為0,+∞，無增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為，減區(qū)間為．（2）因?yàn)槭呛膬蓚€(gè)零點(diǎn)，由（1）知，因?yàn)椋O(shè)，則，當(dāng)x∈0,1，，當(dāng)x∈1,+∞，所以在0,1上單調(diào)遞增，在1,+∞上單調(diào)遞減，．又因?yàn)?，且，所以，．首先證明：．由題意，得，設(shè)，則兩式相除，得．要證，只要證，即證．只要證，即證．設(shè)，．因?yàn)?，所以?,+∞上單調(diào)遞增．所以，即證得①．其次證明：．設(shè)，．因?yàn)?，所以φx在上單調(diào)遞減．所以，即．所以②．由①②可證得．題型十一恒成立、能成立問題1．若不等式對(duì)一切恒成立，其中，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則的可能取值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】先把不等式化簡(jiǎn)轉(zhuǎn)化，再構(gòu)造函數(shù)令，再求導(dǎo)函數(shù)得出切線計(jì)算化簡(jiǎn)轉(zhuǎn)化求解.【詳解】不等式可化為，令，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，直線恒過點(diǎn)，故只需直線為曲線在點(diǎn)處的切線即可，，此時(shí)．當(dāng)時(shí)，曲線亦恒過點(diǎn)，為使，對(duì)一切恒成立，需曲線開口向下，且在點(diǎn)處與曲線有公切線即可，故，此時(shí)．綜上，的取值范圍是，所以的可能取值為.故選：A.2．已知函數(shù)若對(duì)于任意的都有成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【答案】【分析】參變分離得到，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)確定單調(diào)性，求得最小值即可求解.【詳解】對(duì)于任意的都有恒成立，等價(jià)于在上恒成立.令，則，，當(dāng)時(shí)，，即在上遞增，故，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.3．已知函數(shù)（a為實(shí)常數(shù)）．(1)若，求證：在上是增函數(shù)；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最大值與最小值及相應(yīng)的x值；(3)若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)證明見解析；(2)答案見解析；(3).【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的區(qū)間單調(diào)性即可；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求區(qū)間內(nèi)最值即可；（3）將問題化為在上能成立，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究右側(cè)的單調(diào)性并求最小值，即可得參數(shù)范圍.【詳解】（1）由題設(shè)，則，則在上有，故在上是增函數(shù)，得證；（2）由題設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以最小值為時(shí)，最大值為時(shí)；（3）由題設(shè)在上能成立，則，對(duì)于，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，且時(shí)，即在上恒成立，所以在上能成立，令且，則，對(duì)于且，則，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)，，即在上恒成立，在上恒成立，則在上單調(diào)遞增，故，所以.4．已知函數(shù)．(1)若在函數(shù)的圖象上，求函數(shù)在點(diǎn)P處的切線方程；(2)若在上單調(diào)遞增，求a的取值范圍．【答案】(1)，(2)【分析】（1）將代入求出，對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，從而可得在點(diǎn)P處的切線的斜率，利用直線的點(diǎn)斜式方程即可求解；（2）由題意在上恒成立，參數(shù)分類轉(zhuǎn)化為，利用函數(shù)的單調(diào)性求解最值即可求解a的取值范圍．【詳解】（1）將代入得，則，從而，由點(diǎn)斜式方程可得：，所以直線的方程為．（2），當(dāng)是上的單調(diào)遞增函數(shù)時(shí)，在上恒成立，即，在上恒成立，轉(zhuǎn)化為，，令，則，函數(shù)對(duì)稱軸為直線，函數(shù)圖象開口方向向上，所以在上單調(diào)遞增，，．題型十二導(dǎo)數(shù)證明不等式1．已知函數(shù)，下面表述不正確的為（

）A．是的極小值點(diǎn) B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，【答案】B【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，求出函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，再對(duì)每個(gè)選項(xiàng)逐一判斷即可.【詳解】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得，令，解得：或；令，解得：，所以函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，如下圖：對(duì)于選項(xiàng)A：觀察圖像可知，選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，故，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，，由，得，故，故選項(xiàng)D正確；故選：B2．（多選）已知函數(shù)是其導(dǎo)函數(shù).若存在且，滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】先求導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)圖象，結(jié)合單調(diào)性判斷A，再根據(jù)三角函數(shù)化簡(jiǎn)求解得出進(jìn)而判斷B，D，結(jié)合基本不等式計(jì)算求解C.【詳解】，數(shù)形結(jié)合，得到內(nèi)的大致圖象為如圖所示，故，，A對(duì).由得，即，由題意，則，，則，B正確.又，D正確.因?yàn)?，從而C錯(cuò)誤.故選：ABD.3．設(shè)函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的極值；(2)若當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍；(3)當(dāng)時(shí)，若，證明：．【答案】(1)極小值為，無極大值(2)(3)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)，令，解得，進(jìn)而可求得極小值；（2）令，求導(dǎo)，利用分類討論求得的取值范圍；（3）利用已知條件求得，利用分析法可知需證，利用換元法，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)證明即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，令，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)，取得極小值，極小值為，無極大值；（2）由，可得，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以，當(dāng)時(shí)，所以，函數(shù)在單調(diào)遞增，則，所以不等式恒成立，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，，所以不等式恒成立，當(dāng)時(shí)，令，，令，，存在，使得，在，，則在上單調(diào)遞減，，，，則在上單調(diào)遞減，，即在，，則在上單調(diào)遞減，又，故不等式不恒成立，綜上所述：的取值范圍為；（3）因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，要證，即證，只需證明，即證，令，則需證，令，求導(dǎo)，因?yàn)椋?，所以，所以函?shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以，所以成立.4．已知函數(shù).(1)若有正零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程，并證明：當(dāng)時(shí)，恒成立.【答案】(1)(2)，證明見解析【分析】（1）令，得，依題意只需求滿足的的取值范圍，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合，即可得解；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出在點(diǎn)處的切線，即證明恒成立，設(shè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可證明.【詳解】（1）令，得，故只需求滿足的的取值范圍.令，有，，故在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，因此，的取值范圍是.（2）若，則，所以，所以，又，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.要證明恒成立，即證明恒成立.設(shè)函數(shù)，則，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，恒成立.題型十三函數(shù)的圖像與性質(zhì)1．已知函數(shù)，下面表述不正確的為（

）A．是的極小值點(diǎn) B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，【答案】B【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，求出函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，再對(duì)每個(gè)選項(xiàng)逐一判斷即可.【詳解】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得，令，解得：或；令，解得：，所以函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，如下圖：對(duì)于選項(xiàng)A：觀察圖像可知，選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，故，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，，由，得，故，故選項(xiàng)D正確；故選：B2．（多選）已知函數(shù)是其導(dǎo)函數(shù).若存在且，滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】先求導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)圖象，結(jié)合單調(diào)性判斷A，再根據(jù)三角函數(shù)化簡(jiǎn)求解得出進(jìn)而判斷B，D，結(jié)合基本不等式計(jì)算求解C.【詳解】，數(shù)形結(jié)合，得到內(nèi)的大致圖象為如圖所示，故，，A對(duì).由得，即，由題意，則，，則，B正確.又，D正確.因?yàn)?，從而C錯(cuò)誤.故選：ABD.3．設(shè)函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的極值；(2)若當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍；(3)當(dāng)時(shí)，若，證明：．【答案】(1)極小值為，無極大值(2)(3)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)，令，解得，進(jìn)而可求得極小值；（2）令，求導(dǎo)，利用分類討論求得的取值范圍；（3）利用已知條件求得，利用分析法可知需證，利用換元法，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)證明即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，令，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)，取得極小值，極小值為，無極大值；（2）由，可得，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以，當(dāng)時(shí)，所以，函數(shù)在單調(diào)遞增，則，所以不等式恒成立，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，，所以不等式恒成立，當(dāng)時(shí)，令，，令，，存在，使得，在，，則在上單調(diào)遞減，，，，則在上單調(diào)遞減，，即在，，則在上單調(diào)遞減，又，故不等式不恒成立，綜上所述：的取值范圍為；（3）因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，要證，即證，只需證明，即證，令，則需證，令，求導(dǎo)，因?yàn)?，所以，所以，所以函?shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以，所以成立.4