重難點專題13 輕松搞定線面角問題（兩大題型）（原卷版）

重難點專題13輕松搞定線面角問題【題型歸納目錄】題型一：定義法題型二：等體積法【方法技巧與總結(jié)】線與面的夾角①定義：平面上的一條斜線與它在平面的射影所成的銳角即為斜線與平面的線面角．②范圍：=3\*GB3③求法：常規(guī)法：過平面外一點做平面，交平面于點；連接，則即為直線與平面的夾角．接下來在中解三角形．即（其中即點到面的距離，可以采用等體積法求，斜線長即為線段的長度）；【典型例題】題型一：定義法【典例1-1】（2025·高二·河北滄州·期末）如圖，在三棱錐中，，，平面，為的中點，則直線與平面所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．【典例1-2】（2025·高一·重慶·階段練習(xí)）如圖所示，四棱錐中，平面ABCD，且四邊形ABCD為矩形，，M為PD的中點，則CD與平面ACM所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【變式1-1】（2025·高一·四川成都·期末）如圖，在正方體中，點M，N分別為線段AC和線段的中點，求直線MN與平面所成角為（

）A．60° B．45° C．30° D．75°【變式1-2】（2025·高一·天津南開·期末）已知正四面體的棱長為1，則直線與平面所成角的余弦值為．【變式1-3】（2025·高一·全國·課后作業(yè)）如圖，在空間四邊形中，平面平面，，且，則與平面所成角的大小是．

題型二：等體積法【典例2-1】（2025·高一·廣東茂名·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面底面，底面是直角梯形，，，，，是的中點.

(1)證明：平面；(2)底邊上是否存在異于端點的一點，使得直線與平面所成的角為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【典例2-2】（2025·高二·云南·學(xué)業(yè)考試）如圖，在四棱錐中，四邊形是矩形，.

(1)證明：；(2)若，三棱錐的體積為，求與平面所成角的正弦值.【變式2-1】（2025·高一·廣東湛江·階段練習(xí)）如圖，在直四棱柱中，底面ABCD是邊長為2的菱形，．，M，N分別是線段，BD上的動點，且．(1)若二面角的大小為，求DM的長；(2)當(dāng)三棱錐的體積為時，求CN與平面BCM所成角的正弦值的取值范圍．【變式2-2】（2025·高一·河南三門峽·階段練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，底面ABC.(1)求證：平面平面；(2)若，，M是PB的中點，求AM與平面PBC所成角的正切值.【變式2-3】（2025·高一·浙江寧波·期末）如圖，已知在正三棱柱中，為棱的中點，.(1)證明：面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【變式2-4】（2025·高一·貴州黔東南·期末）在三棱錐中，底面.(1)證明：平面平面；(2)若是的中點，求與平面所成角的正切值.

【過關(guān)測試】1．（2025·高一·黑龍江齊齊哈爾·期末）如圖，在三棱錐中，平面，是的中點，則與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．2．（2025·高二·全國·課堂例題）如圖，在三棱臺中，平面平面ABC，，，.則DC與平面ABC所成線面角大小為.3．（2025·高一·陜西渭南·階段練習(xí)）在三棱錐P-OAB中，已知PO⊥平面OAB，OP=10，AB=20，PA與平面OAB所成的角為30°，PB與平面OAB所成的角為45°，則∠AOB=.（用角度表示）4．（2025·高二·安徽·學(xué)業(yè)考試）如圖，在直三棱柱中，．若，則與平面所成的角的大小為．5．（2025·高一·寧夏銀川·期末）在正方體中，為的中點，則與平面所成角的正弦值為．6．（2025·高一·全國·課后作業(yè)）在正方體中，E，F(xiàn)分別是，的中點，求：(1)與平面所成角的余弦值；(2)EF與平面所成的角.7．（2025·高二·新疆·學(xué)業(yè)考試）如圖，在正方體中．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成的角．8．（2025·高一·全國·課堂例題）如圖，在正方體中．(1)求直線和平面所成的角；(2)求直線和平面所成的角．9．（2025·高一·全國·專題練習(xí)）在四棱錐中，底面，，，，．求與平面所成的角的正弦值．10．（2025·高一·江蘇蘇州·期末）如圖，四棱錐的體積為，底面為等腰梯形，，，，，，是垂足，平面平面．(1)證明：；(2)若為的中點，求直線和平面所成角的正弦值．11．（2025·高一·天津·期中）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，，底面，，分別是，的中點．

(1)求證：平面；(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長．12．（2025·高一·云南紅河·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，，，E為棱AD的中點，平面ABCD．

(1)求證：平面PCE；(2)求證：平面平面；(3)若二面角的大小為，求直線PA與平面所成角的正弦值．13．（2025·高一·廣東廣州·期中）如圖，在直四棱柱中，平面，底面是菱形，且，是的中點.(1)求證：直線平面；(2)求點到平面的距離；(3)求直線與平面所成角的正弦值.14．（2025·高一·江蘇徐州·階段練習(xí)）如圖，在正三棱柱中，，，為棱的中點.(1)證明：平面.(2)證明：平面平面.(3)求直線與平面所成的角.15．（2025·高一·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）如圖，在三棱錐中，側(cè)面、是全等的直角三角形，是公共的斜邊，且，，另一個側(cè)面是正三角形.

(1)求證：(2)在直線上存在一點，，試求與平面所成角的正弦值.16．（2025·高一·內(nèi)蒙古呼和浩特·期末）如圖，在四棱錐中，底面，點為棱的中點.(1)證明：平面；(2)求與平面所成的角.17．（2025·高一·內(nèi)蒙古赤峰·期末）如圖，在正方體中.(1)證明：平面；(2)證明：平面：(3)求直線與面所成角的余弦值.18．（2025·高一·吉林延邊·期末）如圖，在四棱錐中，平面，為的中點.(1)證明：；(2)求直線與平面所成角的正弦值.19．（2025·高一·貴州六盤水·期末）如圖，直三棱柱中，分別是的中點，.(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.20．（2025·高一·貴州貴陽·期末）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，平面為的中點.(1)設(shè)平面與直線相交于點，求證：平面；(2)若，求直線與平面所成角的大小.21．（2025·高二·湖南岳陽·期中）如圖，多面體中，四邊形為矩形，二面角為，，，，，．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．22．（2025·高一·廣東云浮·期末）如圖，在四棱錐中，平面為的中點．(1)證明：平面．(2)若，求直線與平面所成角的正切值．23．（2025·高一·湖南岳陽·期末）如圖，在直三棱柱中，，D為BC的中點．

(1)證明：平面；(2)若三棱柱的體積為，且，求直線與平面所成角的正弦值．24．（2025·高一·吉