廣西壯族自治區(qū)崇左市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期1月期末考試 數(shù)學(xué) 含解析

2024年秋季學(xué)期高二年級期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第一冊，選擇性必修第二冊第四章.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知點(diǎn)是點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，則（）A. B. C. D.5【答案】A【解析】【分析】先求，進(jìn)而可得.【詳解】由題意可得，故，，故選：A2.已知直線經(jīng)過點(diǎn)，則的斜率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由斜率公式即可求解；【詳解】由，可得：，故選：C3.已知數(shù)列為遞增的等差數(shù)列，若，則的公差為（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】D【解析】【分析】由題意為方程的兩根，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性確定，再根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式求公差.【詳解】因?yàn)?，所以為方程的兩根，又因?yàn)闉檫f增的等差數(shù)列，所以，故公差.故選：D4.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程即可得到焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】由得，，故拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：A.5.已知雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由焦點(diǎn)到漸近線的距離公式即可求解.【詳解】設(shè)雙曲線的焦距為，焦點(diǎn)為因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，所以焦點(diǎn)到漸近線的距離為.因?yàn)?，所以，，所以雙曲線的離心率為.故選：C.6.記等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A.7 B.49 C. D.43【答案】C【解析】【分析】由等比數(shù)列的片段和性質(zhì)有，并設(shè)，結(jié)合已知求、，即可求值.【詳解】設(shè)，則，因?yàn)?，所以，解得，所?故選：C7.在平行四邊形中，，，，是中點(diǎn)，沿將翻折至的位置，使得平面平面，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求解線線角即可.【詳解】在中，，則，即，又平面平面，平面平面，平面，則平面，又平面，于是，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，于是，得，所以直線與所成角的余弦值為.故選：A8.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且的等差中項(xiàng)為），則（）A.4 B.8 C.10 D.12【答案】D【解析】【分析】根據(jù)的關(guān)系，構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并確定為等差數(shù)列，最后應(yīng)用等差中項(xiàng)的性質(zhì)求.【詳解】因?yàn)?，?dāng)時，，得，當(dāng)時，，所以，則，所以，又，所以，所以是等差數(shù)列.因?yàn)?，所?故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知曲線的兩個焦點(diǎn)為，，為曲線上不與，共線的點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.若是橢圓，則 B.若是雙曲線，則C.若，則的周長為8 D.若，則的離心率為【答案】BCD【解析】【分析】對于A由于的大小范圍不確定故不能判斷焦點(diǎn)位置，對于B若是雙曲線，則的焦點(diǎn)在軸上即可求解，對于C若，則是橢圓，則的周長為，對于D若，則是雙曲線即可求解.【詳解】對于A：若是橢圓，則，其焦點(diǎn)可能在軸上，所以A錯誤；對于B：若是雙曲線，則的焦點(diǎn)在軸上，因?yàn)椋?，故B正確；對于C：若，則是橢圓.因?yàn)?，，，所以的周長為，故C正確；對于D:若，則是雙曲線.因?yàn)?，，，所以離心率為，故D正確.故選：BCD.10.已知圓與直線，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在直線上，則（）A.圓上有兩個點(diǎn)到直線的距離為2B.圓上只有一個點(diǎn)到直線的距離為2C.D.從點(diǎn)向圓引切線，切線長的最小值是【答案】BC【解析】【分析】求出圓的圓心及半徑，求出點(diǎn)到直線的距離判斷AB；利用圓的性質(zhì)及切線性質(zhì)求出最小值判斷CD.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑，對于AB，圓心到直線的距離，則，故A錯誤，B正確；對于C，，C正確；對于D，由切線的性質(zhì)，得切線長為，D錯誤.故選：BC11.在長方體中，，，E為的中點(diǎn)，動點(diǎn)P在長方體內(nèi)（含表面），且滿足，記動點(diǎn)P的軌跡為Ω，則（）A.Ω的面積為B.平面與Ω所在平面平行C.當(dāng)時，存在點(diǎn)P，使得D.當(dāng)時，三棱錐的體積為定值【答案】ACD【解析】【分析】取的中點(diǎn)，連接，四邊形為動點(diǎn)P的軌跡Ω，求得面積判斷A；連接，可證明平面平面，從而可判斷B；以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為是否有解問題處理，求解可判斷C；確定的位置，進(jìn)而可判斷D.【詳解】因?yàn)椋栽诖_定的平面內(nèi)，又，取的中點(diǎn)，連接，則四邊形為動點(diǎn)P的軌跡Ω，因?yàn)殚L方體中，，，所以，，進(jìn)而可求得等腰梯形的高，所以梯形的面積為，故A正確；連接，因?yàn)榍?，所以四邊形是平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，同理可證平面，又，平面，所以平面平面，又平面平面，所以平面與Ω所在平面不平行，故B錯誤；以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，當(dāng)，則，所以，假設(shè)，則，即，解得，所以當(dāng)時，存在點(diǎn)P，使得，故C正確；當(dāng)時，點(diǎn)在上，則時點(diǎn)到平面的距離為定值，又三角形的面積為定值，所以三棱錐的體積為定值，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：建立空間直角坐標(biāo)系，將是否存在點(diǎn)P，使得，轉(zhuǎn)化為方程是否有解問題，轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)的一種常見思想方法.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.直線被圓截得的弦長為______．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式、勾股定理求解即可.【詳解】由，可得：，即圓心，，圓心到直線l的距離為：，所以弦長為故答案為：213.若數(shù)列滿足，則__________.【答案】##0.8【解析】【分析】根據(jù)遞推式寫出前幾項(xiàng)，得到數(shù)列的周期，利用周期性求項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，所以，所以?shù)列是周期為4的周期數(shù)列，故.故答案為：14.在正四面體中，，則______（用，，表示）．若，則______．【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算，化簡得到，再根據(jù)向量的模的計(jì)算，結(jié)合向量數(shù)量積的定義與向量數(shù)量積的運(yùn)算律即可求出答案.【詳解】，，，且正四面體為正四面體，所以，且之間夾角都是，則，故答案為：；.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)已知有，應(yīng)用等比數(shù)列的定義寫出通項(xiàng)公式；（2）由（1）得的通項(xiàng)公式，應(yīng)用裂項(xiàng)相消法求.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，又，所以是首?xiàng)為2，公比為4的等比數(shù)列，.【小問2詳解】因，所以，所以.16.已知動點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線的距離小2，記動點(diǎn)的軌跡為.（1）求的方程；（2）直線與相交于，兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意以及拋物線的定義，可得答案；（2）利用點(diǎn)差法，求得直線斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式方程，可得答案.【小問1詳解】由題意知動點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于到直線的距離，則動點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，所以的方程為.【小問2詳解】設(shè)，，則，兩式相減得，整理可得.因?yàn)榫€段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，所以直線的斜率，故直線的方程為，即.17.如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，，平面平面，，，.（1）證明：平面平面.（2）若平面與平面的夾角為，求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由平面平面得平面即可得證；(2)建立空間直角坐標(biāo)系，由平面與平面的夾角為得點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量法求點(diǎn)到平面的距離即可.【小問1詳解】證明：因?yàn)槠矫嫫矫妫?，所以平?因?yàn)槠矫?，所以平面平?【小問2詳解】取的中點(diǎn)，連接.因?yàn)?，所?因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫?以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，的方向分別為，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，.設(shè)，平面法向量為，因?yàn)?，，所以，令，?平面的一個法向量為.因?yàn)槠矫媾c平面的夾角為，所以，所以.設(shè)平面的法向量為，因?yàn)椋?，所以令，?因?yàn)?，所以點(diǎn)到平面的距離.18.已知直線經(jīng)過橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率；（2）與直線平行的直線交于兩點(diǎn)（均不與的頂點(diǎn)重合），設(shè)直線，的斜率分別為，證明：為定值．【答案】（1），（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由已知，可得，，則，，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再求出，可求得離心率；（2）設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，由利用韋達(dá)定理得，得，化簡可得，可得為定值.【小問1詳解】因?yàn)橹本€經(jīng)過橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則，，所以，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．因?yàn)?，所以橢圓的離心率為．【小問2詳解】由（1）知直線的斜率為，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立方程組，消去得，則．因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，且，所以，所以，即為定值?9.對于數(shù)列，稱為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列，其中．對于正整數(shù)，稱為數(shù)列的k階差分?jǐn)?shù)列，其中．已知數(shù)列滿足，數(shù)列滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式．（2）若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：．（3）若對恒成立，求λ的取值范圍．【答案】（1），；（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)定義及等差數(shù)列的定義得，再應(yīng)用累加法求的通項(xiàng)公式，同理得到，由等比數(shù)列的定義求的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)已知得，應(yīng)用