2024-2025學(xué)年山西省晉城市陽城縣八年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024-2025學(xué)年山西省晉城市陽城縣八年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每題3分，共30分，在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)選出并在答題卡上將該項(xiàng)涂黑）1．（3分）“數(shù)軸上的點(diǎn)并不都表示有理數(shù)，如圖所示，數(shù)軸上的點(diǎn)P所表示的數(shù)是2”，這種說明問題的方式體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（）A．方程思想 B．建模思想 C．?dāng)?shù)形結(jié)合思想 D．分類討論思想2．（3分）下列運(yùn)算正確的是（）A．a(chǎn)3?a5＝a15 B．（ab）2＝a2b2 C．（a2）3＝a5 D．6a÷2a＝3a3．（3分）已知數(shù)據(jù)：13，2，3，πA．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.84．（3分）如圖是陽城縣2024年12月1日至12月7日的天氣情況，為了表示這7天的每日最高溫度變化情況，則最適合使用的統(tǒng)計(jì)圖為（）日期白天/晚上最高最低AQI風(fēng)向降雨量12﹣01晴14℃0℃45西北風(fēng)3級(jí)012﹣02多云11℃﹣2℃54東南風(fēng)2級(jí)012﹣03晴/多云12℃﹣3℃79東南風(fēng)1級(jí)012﹣04陰/晴10℃﹣3℃53西北風(fēng)2級(jí)012﹣05陰/多云9℃﹣3℃30西北風(fēng)3級(jí)012﹣06多云/晴10℃﹣4℃33西北風(fēng)3級(jí)012﹣07多云/晴7℃﹣3℃37西北風(fēng)3級(jí)0A．條形統(tǒng)計(jì)圖 B．折線統(tǒng)計(jì)圖 C．扇形統(tǒng)計(jì)圖 D．以上都不是5．（3分）下列命題是假命題的是（）A．內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行 B．三角形的內(nèi)角和等于180° C．四邊形的外角和等于180° D．平行于同一條直線的兩條直線平行6．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，則下列結(jié)論不一定成立的是（）A．AD＝BD B．BD＝CD C．∠1＝∠2 D．∠B＝∠C7．（3分）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》記載了一道有趣的問題．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊．問水深、葭長各幾何．譯為：有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面，水的深度與這根蘆葦?shù)拈L度分別是多少？設(shè)蘆葦?shù)拈L度是x尺．根據(jù)題意，可列方程為（）A．x2+102＝（x+1）2 B．（x﹣1）2+52＝x2 C．x2+52＝（x+1）2 D．（x﹣1）2+102＝x28．（3分）已知a，b，c為△ABC的三邊長，在下列條件中不能判定△ABC是直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝∠C B．a(chǎn)＝6，b＝8，c＝10 C．a(chǎn)2+b2＝c2 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：59．（3分）從邊長為a的大正方形紙板正中央挖去一個(gè)邊長為b的小正方形后，將其裁成四個(gè)大小和形狀完全相同的四邊形（如圖1），然后拼成一個(gè)平行四邊形（如圖2），那么通過計(jì)算兩個(gè)圖形陰影部分的面積，可以驗(yàn)證成立的等式為（）A．a(chǎn)2﹣b2＝（a﹣b）2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）10．（3分）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，四位同學(xué)圍繞作圖問題“已知直線l和直線l外一點(diǎn)P，用無刻度的直尺和圓規(guī)過點(diǎn)P作l的平行線”分別作出了下列圖形，其中作法不正確的是（）A． B． C． D．二、填空題（本大題共5個(gè)小題，每題3分，共15分）11．（3分）4的平方根是．12．（3分）計(jì)算﹣14a2b3÷7a2b的結(jié)果是．13．（3分）如圖，OC平分∠AOB，在OC上取一點(diǎn)P，作PF⊥OB，已知OP＝13，OF＝12，點(diǎn)E是射線OA上一動(dòng)點(diǎn)，則PE長度的最小值為．14．（3分）如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為8cm，正方形A，B，C的面積之和為36cm2，則正方形D的面積是cm2．15．（3分）如圖，過邊長為1的等邊△ABC的邊AB上一點(diǎn)P，作PE⊥AC于點(diǎn)E，Q為BC延長線上一點(diǎn)，當(dāng)PA＝CQ時(shí)，連接PQ交AC邊于點(diǎn)D，則DE的長為．三、解答題（本大題共8個(gè)小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）16．（10分）（1）計(jì)算：?1（2）分解因式：4x3y﹣4x2y2+xy3．17．（7分）如圖，某市有一塊長為（3a+b）米，寬為（2a+b）米的長方形地塊，規(guī)劃部門計(jì)劃將陰影部分進(jìn)行綠化，中間將修建一座雕像．（1）求綠化的面積是多少平方米？（用代數(shù)式表示）（2）求出當(dāng)a＝3，b＝2時(shí)的綠化面積．18．（8分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＜BC．（1）作線段AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，連接AD；（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）（2）若∠B＝35°，求∠DAC的度數(shù)．19．（9分）數(shù)學(xué)課上，探討角平分線的作法時(shí)，李老師用無刻度的直尺和圓規(guī)作角平分線，方法如下：作法：①在OA和OB上分別截取OD、OE，使OD＝OE．②分別以D、E為圓心，以大于12DE的長為半徑作弧，兩弧在∠AOB內(nèi)交于點(diǎn)C．③作射線OC，則OC就是∠（1）李老師用尺規(guī)作角平分線時(shí)，用到的三角形全等的判定方法是．（2）小聰只帶了一個(gè)直角三角板，他發(fā)現(xiàn)利用直角三角板也可以作角平分線，方法如下：步驟：①利用三角板上的長直角邊，在OA和OB上分別截取OM、ON，則OM＝ON．②分別過M、N作OM、ON的垂線，交于點(diǎn)P．③作射線OP．則OP為∠AOB的平分線．小聰?shù)淖鞣ㄕ_嗎？請(qǐng)說明理由．20．（8分）新質(zhì)生產(chǎn)力，是2023年9月習(xí)近平總書記在黑龍江考察調(diào)研期間首次提到的新詞匯，強(qiáng)調(diào)發(fā)展戰(zhàn)略性新興產(chǎn)業(yè)，加快形成新質(zhì)生產(chǎn)力．我國新能源汽車發(fā)展迅猛，如圖是我國某區(qū)域2024年各季度新能源汽車銷售量的情況統(tǒng)計(jì)圖．（1）這個(gè)區(qū)域2024年度共銷售新能源汽車多少萬輛？（2）將上面的條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；（3）根據(jù)以上信息，求從第三季度到第四季度該區(qū)域新能源汽車銷售量的增長率；21．（9分）閱讀與思考配方法把代數(shù)式通過配湊等手段，得到局部完全平方式（兩數(shù)和的平方公式或兩數(shù)差的平方公式），再進(jìn)行有關(guān)運(yùn)算和解題，這種解題方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值問題中都有著廣泛的應(yīng)用．例如：①用配方法因式分解：a2+6a+8原式＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1＝（a+3+1）（a+3﹣1）＝（a+4）（a+2）②求2x2+12x+22的最小值．解：2x2+12x+22＝2（x2+6x+11）先求出x2+6x+11的最小值x2+6x+11＝x2+6x+9+2＝（x+3）2+2；由于（x+3）2是非負(fù)數(shù)，所以（x+3）2≥0，可得到（x+3）2+2≥2，即x2+6x+11的最小值為2．進(jìn)而2x2+12x+22的最小值為4．請(qǐng)根據(jù)上述材料解決下列問題：（1）在橫線上添上一個(gè)常數(shù)項(xiàng)使之成為完全平方式：a2+4a+；（2）用配方法因式分解：a2+12a+35；（3）求2x2﹣4x+10的最小值．22．（10分）如圖所示，在△ABC中，AC＝9，BC＝12，AB＝15，在頂點(diǎn)A處有一點(diǎn)P，在線段AC上以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，在頂點(diǎn)C處有一點(diǎn)Q，以每秒3個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)C出發(fā)沿C→B→C的路線勻速運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P也隨之停止運(yùn)動(dòng)．（1）判斷△ABC的形狀，并說明理由；（2）若兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)4秒時(shí)，求此時(shí)PQ的長；（3）設(shè)兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)△PCQ是一個(gè)等腰直角三角形時(shí)，求t的值．23．（14分）綜合與實(shí)踐問題情境：“綜合與實(shí)踐”課上，老師提出如下問題：如圖1，用紙片制作了△ABC和△DEF，其中∠ACB＝∠DFE＝90°，AC＝DF，CB＝FE，請(qǐng)證明△ABC≌△DEF．?dāng)?shù)學(xué)思考：（1）請(qǐng)你解答老師提出的問題．深入探究：（2）老師將兩個(gè)三角形的點(diǎn)B和點(diǎn)E重合在一起，將△DBF繞點(diǎn)B進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)F落在△ABC內(nèi)部，并讓同學(xué)們提出新的問題．①“智慧小組”提出問題：如圖2，當(dāng)∠FBC＝∠BAC時(shí)，AB與DF相交于點(diǎn)P，試猜想△DPB的形狀，并加以證明；②“奇想小組”提出問題：如圖3，當(dāng)∠ABF＝∠BAC時(shí)，過點(diǎn)A作AM⊥BF交BF的延長線于點(diǎn)M，BM與AC交于點(diǎn)N．試猜想線段AM和BF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．獨(dú)立思考：（3）請(qǐng)你參照以上操作，利用圖1中的兩個(gè)三角形紙片，拼出新的圖形，在圖4中畫出這個(gè)圖形，標(biāo)明字母，說明構(gòu)圖方法，寫出你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，不必證明．

2024-2025學(xué)年山西省晉城市陽城縣八年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析題號(hào)12345678910答案CBCBCABDDB一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每題3分，共30分，在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)選出并在答題卡上將該項(xiàng)涂黑）1．（3分）“數(shù)軸上的點(diǎn)并不都表示有理數(shù)，如圖所示，數(shù)軸上的點(diǎn)P所表示的數(shù)是2”，這種說明問題的方式體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（）A．方程思想 B．建模思想 C．?dāng)?shù)形結(jié)合思想 D．分類討論思想【解答】解：∵數(shù)軸上的點(diǎn)并不都表示有理數(shù)，如圖中數(shù)軸上的點(diǎn)P所表示的數(shù)是2，這種利用圖形直觀說明問題的方式A、B、D的說法顯然不正確，∴本題是把數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)相聯(lián)系，是數(shù)形結(jié)合的思想方法．故選：C．2．（3分）下列運(yùn)算正確的是（）A．a(chǎn)3?a5＝a15 B．（ab）2＝a2b2 C．（a2）3＝a5 D．6a÷2a＝3a【解答】解：A．∵a3?a5＝a8，∴此選項(xiàng)的計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；B．∵（ab）2＝a2b2，∴此選項(xiàng)的計(jì)算正確，故此選項(xiàng)符合題意；C．∵（a2）3＝a6，∴此選項(xiàng)的計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；D．∵6a÷2a＝3，∴此選項(xiàng)的計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：B．3．（3分）已知數(shù)據(jù)：13，2，3，πA．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8【解答】解：∵在13，2，3，π，﹣2中，無理數(shù)是2，3，π∴無理數(shù)出現(xiàn)的頻率為：35故選：C．4．（3分）如圖是陽城縣2024年12月1日至12月7日的天氣情況，為了表示這7天的每日最高溫度變化情況，則最適合使用的統(tǒng)計(jì)圖為（）日期白天/晚上最高最低AQI風(fēng)向降雨量12﹣01晴14℃0℃45西北風(fēng)3級(jí)012﹣02多云11℃﹣2℃54東南風(fēng)2級(jí)012﹣03晴/多云12℃﹣3℃79東南風(fēng)1級(jí)012﹣04陰/晴10℃﹣3℃53西北風(fēng)2級(jí)012﹣05陰/多云9℃﹣3℃30西北風(fēng)3級(jí)012﹣06多云/晴10℃﹣4℃33西北風(fēng)3級(jí)012﹣07多云/晴7℃﹣3℃37西北風(fēng)3級(jí)0A．條形統(tǒng)計(jì)圖 B．折線統(tǒng)計(jì)圖 C．扇形統(tǒng)計(jì)圖 D．以上都不是【解答】解：如圖是陽城縣2024年12月1日至12月7日的天氣情況，為了表示這7天的每日最高溫度變化情況，則最適合使用的統(tǒng)計(jì)圖為折線統(tǒng)計(jì)圖，故選：B．5．（3分）下列命題是假命題的是（）A．內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行 B．三角形的內(nèi)角和等于180° C．四邊形的外角和等于180° D．平行于同一條直線的兩條直線平行【解答】解：A、內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，正確，是真命題，不符合題意；B、三角形的內(nèi)角和等于180°，正確，是真命題，不符合題意；C、四邊形的外角和為360°，錯(cuò)誤，是假命題，符合題意；D、平行于同一直線的兩條直線平行，正確，是真命題，不符合題意．故選：C．6．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，則下列結(jié)論不一定成立的是（）A．AD＝BD B．BD＝CD C．∠1＝∠2 D．∠B＝∠C【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∠1＝∠2，∠B＝∠C．故A錯(cuò)誤，B，C，D正確．故選：A．7．（3分）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》記載了一道有趣的問題．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊．問水深、葭長各幾何．譯為：有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面，水的深度與這根蘆葦?shù)拈L度分別是多少？設(shè)蘆葦?shù)拈L度是x尺．根據(jù)題意，可列方程為（）A．x2+102＝（x+1）2 B．（x﹣1）2+52＝x2 C．x2+52＝（x+1）2 D．（x﹣1）2+102＝x2【解答】解：∵水面是一個(gè)邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面，設(shè)蘆葦長x尺，∴（x﹣1）2+52＝x2，故選：B．8．（3分）已知a，b，c為△ABC的三邊長，在下列條件中不能判定△ABC是直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝∠C B．a(chǎn)＝6，b＝8，c＝10 C．a(chǎn)2+b2＝c2 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5【解答】解：A、∵∠A+∠B＝∠C，且∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴△ABC為直角三角形，不符合題意；B、∵62+82＝102，∴△ABC為直角三角形，不符合題意；C、∴a2+b2＝c2，∴△ABC為直角三角形，不符合題意，D、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，且∠A+∠B+∠C＝180°，∴最大角∠C=5∴△ABC不是直角三角形，符合題意；故選：D．9．（3分）從邊長為a的大正方形紙板正中央挖去一個(gè)邊長為b的小正方形后，將其裁成四個(gè)大小和形狀完全相同的四邊形（如圖1），然后拼成一個(gè)平行四邊形（如圖2），那么通過計(jì)算兩個(gè)圖形陰影部分的面積，可以驗(yàn)證成立的等式為（）A．a(chǎn)2﹣b2＝（a﹣b）2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）【解答】解：圖1中陰影部分的面積為：a2﹣b2，圖2中陰影部分的面積為：（a+b）（a﹣b），∵兩圖中陰影部分的面積相等，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），∴可以驗(yàn)證成立的公式為a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故選：D．10．（3分）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，四位同學(xué)圍繞作圖問題“已知直線l和直線l外一點(diǎn)P，用無刻度的直尺和圓規(guī)過點(diǎn)P作l的平行線”分別作出了下列圖形，其中作法不正確的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．如圖，根據(jù)作圖可知，∠EPB＝∠EFG，∴AB∥l，故A正確，不符合題意；B．根據(jù)作圖無法判斷所作直線與l平行，故B不正確，符合題意；C．如圖，根據(jù)作圖可知，P為AB的中點(diǎn)，Q為AC的中點(diǎn)，∴PQ∥l，故C正確，不符合題意；D．根據(jù)作圖可知，BA平分∠PBC，PB＝PA，∴∠PBA＝∠CBA，∠PAB＝∠PBA，∴∠PAB＝∠CBA，∴PA∥BC，故D正確，不符合題意；故選：B．二、填空題（本大題共5個(gè)小題，每題3分，共15分）11．（3分）4的平方根是±2．【解答】解：∵（±2）2＝4，∴4的平方根是±2．故答案為：±2．12．（3分）計(jì)算﹣14a2b3÷7a2b的結(jié)果是﹣2b2．【解答】解：原式＝（﹣14÷7）?（a2÷a2）?（b3÷b）＝﹣2b2，故答案為：﹣2b2．13．（3分）如圖，OC平分∠AOB，在OC上取一點(diǎn)P，作PF⊥OB，已知OP＝13，OF＝12，點(diǎn)E是射線OA上一動(dòng)點(diǎn)，則PE長度的最小值為5．【解答】解：如圖，過P點(diǎn)作PH⊥OA于點(diǎn)H，∵OC平分∠AOB，PH⊥OA，PF⊥OB，∴PH＝PF，∠PFO＝90°，∴PF=O∵點(diǎn)E是射線OA上一動(dòng)點(diǎn)，∴當(dāng)PE⊥OA時(shí)，PE的值最小，∴PE的最小值為5，故答案為：5．14．（3分）如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為8cm，正方形A，B，C的面積之和為36cm2，則正方形D的面積是28cm2．【解答】解：如圖，根據(jù)勾股定理可知，S1+S2＝S大正方形＝82＝64（cm2），S正方形C+S正方形D＝S2，S正方形A+S正方形B＝S1，∴S大正方形＝S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形B＝64cm2，∴正方形D的面積＝64﹣36＝28（cm2），故答案為：28．15．（3分）如圖，過邊長為1的等邊△ABC的邊AB上一點(diǎn)P，作PE⊥AC于點(diǎn)E，Q為BC延長線上一點(diǎn)，當(dāng)PA＝CQ時(shí)，連接PQ交AC邊于點(diǎn)D，則DE的長為0.5．【解答】解：過P作PF∥BC交AC于F．∵PF∥BC，△ABC是等邊三角形，∴∠PFD＝∠QCD，△APF是等邊三角形，∴AP＝PF＝AF，∵PE⊥AC，∴AE＝EF，∵AP＝PF，AP＝CQ，∴PF＝CQ．在△PFD和△QCD中，∠PFD=∠QCD∠PDF=∠QDC，∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD＝CD，∵AE＝EF，∴EF+FD＝AE+CD，∴AE+CD=DE=1∵AC＝1，∴DE＝0.5，故答案為：0.5．三、解答題（本大題共8個(gè)小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）16．（10分）（1）計(jì)算：?1（2）分解因式：4x3y﹣4x2y2+xy3．【解答】解：（1）?＝﹣1+4?=8（2）4x3y﹣4x2y2+xy3＝xy（4x2﹣4xy+y2）＝xy（2x﹣y）2．17．（7分）如圖，某市有一塊長為（3a+b）米，寬為（2a+b）米的長方形地塊，規(guī)劃部門計(jì)劃將陰影部分進(jìn)行綠化，中間將修建一座雕像．（1）求綠化的面積是多少平方米？（用代數(shù)式表示）（2）求出當(dāng)a＝3，b＝2時(shí)的綠化面積．【解答】解：（1）陰影部分的面積＝（3a+b）（2a+b）﹣（a+b）2＝6a2+5ab+b2﹣a2﹣2ab﹣b2＝5a2+3ab；（2）當(dāng)a＝3，b＝2時(shí)，原式＝5×32+3×3×2＝63（平方米）．18．（8分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＜BC．（1）作線段AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，連接AD；（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）（2）若∠B＝35°，求∠DAC的度數(shù)．【解答】解：（1）圖形如圖所示：（2）∵∠C＝90°，∠B＝35°，∴∠CAB＝90°﹣35°＝55°，∵點(diǎn)D在AB的垂直平分線上，∴DA＝DB，∴∠B＝∠DAB＝35°，∴∠DAC＝∠CAB﹣∠DAB＝55°﹣35°＝20°．19．（9分）數(shù)學(xué)課上，探討角平分線的作法時(shí)，李老師用無刻度的直尺和圓規(guī)作角平分線，方法如下：作法：①在OA和OB上分別截取OD、OE，使OD＝OE．②分別以D、E為圓心，以大于12DE的長為半徑作弧，兩弧在∠AOB內(nèi)交于點(diǎn)C．③作射線OC，則OC就是∠（1）李老師用尺規(guī)作角平分線時(shí)，用到的三角形全等的判定方法是SSS．（2）小聰只帶了一個(gè)直角三角板，他發(fā)現(xiàn)利用直角三角板也可以作角平分線，方法如下：步驟：①利用三角板上的長直角邊，在OA和OB上分別截取OM、ON，則OM＝ON．②分別過M、N作OM、ON的垂線，交于點(diǎn)P．③作射線OP．則OP為∠AOB的平分線．小聰?shù)淖鞣ㄕ_嗎？請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）連接CE，CD．由作圖可知，OE＝OD，CE＝CD，∵OC＝OC，∴△EOC≌△DOC（SSS），∴∠EOC＝∠DOC，∴OC平分∠AOB．故答案為：SSS；（2）作法正確．理由：由作圖可知：OM＝ON，OP＝OP，∠ONP＝∠OMP＝90°，∴Rt△ONP≌Rt△OMP（HL），∴∠PON＝∠POM，∴OP平分∠AOB．20．（8分）新質(zhì)生產(chǎn)力，是2023年9月習(xí)近平總書記在黑龍江考察調(diào)研期間首次提到的新詞匯，強(qiáng)調(diào)發(fā)展戰(zhàn)略性新興產(chǎn)業(yè)，加快形成新質(zhì)生產(chǎn)力．我國新能源汽車發(fā)展迅猛，如圖是我國某區(qū)域2024年各季度新能源汽車銷售量的情況統(tǒng)計(jì)圖．（1）這個(gè)區(qū)域2024年度共銷售新能源汽車多少萬輛？（2）將上面的條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；（3）根據(jù)以上信息，求從第三季度到第四季度該區(qū)域新能源汽車銷售量的增長率；【解答】解：（1）20÷1答：這個(gè)區(qū)域2024年度共銷售新能源汽車80萬輛．（2）第一季度銷售新能源汽車為80﹣20﹣20﹣32＝8（萬輛），第一季度銷量占全年的百分比為8÷80×100%＝10%，第三季度銷量占全年的百分比為20÷80×100%＝25%，第四季度銷量占全年的百分比為32÷80×100%＝40%，（3）（32﹣20）÷20×100%＝60%，答：從第三季度到第四季度該區(qū)域新能源汽車銷售量的增長率60%．21．（9分）閱讀與思考配方法把代數(shù)式通過配湊等手段，得到局部完全平方式（兩數(shù)和的平方公式或兩數(shù)差的平方公式），再進(jìn)行有關(guān)運(yùn)算和解題，這種解題方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值問題中都有著廣泛的應(yīng)用．例如：①用配方法因式分解：a2+6a+8原式＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1＝（a+3+1）（a+3﹣1）＝（a+4）（a+2）②求2x2+12x+22的最小值．解：2x2+12x+22＝2（x2+6x+11）先求出x2+6x+11的最小值x2+6x+11＝x2+6x+9+2＝（x+3）2+2；由于（x+3）2是非負(fù)數(shù)，所以（x+3）2≥0，可得到（x+3）2+2≥2，即x2+6x+11的最小值為2．進(jìn)而2x2+12x+22的最小值為4．請(qǐng)根據(jù)上述材料解決下列問題：（1）在橫線上添上一個(gè)常數(shù)項(xiàng)使之成為完全平方式：a2+4a+4；（2）用配方法因式分解：a2+12a+35；（3）求2x2﹣4x+10的最小值．【解答】解：（1）a2+4a+4＝（a+2）2，故答案為：4；（2）a2+12a+35＝a2+12a+36﹣1＝（a+6）2﹣1＝（a+6+1）（a+6﹣1）＝（a+7）（a+5）；（3）2x2﹣4x+10＝2（x2﹣2x+5）＝2（x2﹣2x+1+4）＝2（x﹣1）2+8，因?yàn)椋▁﹣1）2是非負(fù)數(shù)，所以（x﹣1）2≥0，2（x﹣1）2+8≥8，所以2x2﹣4x+10的最小值是8．22．（10分）如圖所示，在△ABC中，AC＝9，BC＝12，AB＝15，在頂點(diǎn)A處有一點(diǎn)P，在線段AC上以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，在頂點(diǎn)C處有一點(diǎn)Q，以每秒3個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)C出發(fā)沿C→B→C的路線勻速運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P也隨之停止運(yùn)動(dòng)．（1）判斷△ABC的形狀，并說明理由；（2）若兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)4秒時(shí)，求此時(shí)PQ的長；（3）設(shè)兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)△PCQ是一個(gè)等腰直角三角形時(shí)，求t的值．【解答】解：（1）△ABC是直角三角形，理由：∵AC＝9，BC＝12，AB＝15，∴AC2+BC2＝92+122＝152＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴△ABC是直角三角形；（2）若兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)4s時(shí)，AP＝4cm，CQ＝12cm，∴PC＝9﹣4＝5（cm），∴PQ=PC2+C（3）當(dāng)△PCQ是一個(gè)等腰直角三角形時(shí)，∵∠C＝90°，∴PC＝CQ，兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，AP＝tcm，則PC＝（9﹣t）cm，①當(dāng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)時(shí)，CQ＝