中考數(shù)學考點研究第三章函數(shù)第五節(jié)二次函數(shù)的綜合應(yīng)用市賽課公開課一等獎省課獲獎?wù)n件

第三章函數(shù)第五節(jié)二次函數(shù)綜合應(yīng)用1/27

重難點突破二次函數(shù)綜合題（難點）例1

(銅仁節(jié)選)如圖，拋物線y＝ax2＋bx－1(a≠0)經(jīng)過A(－1，0)，B(2，0)兩點，與y軸交于點C.

類型一與線段、周長相關(guān)問題例1題圖2/27【思維教練】已知點A、B坐標且在拋物線上，將其代入拋物線解析式，求解即可，然后將其解析式化為頂點式即可求得頂點坐標．(1)求拋物線解析式及頂點D坐標；3/27解：把A、B兩點坐標代入y＝ax2＋bx－1得：，解得，∴拋物線解析式為，即，∴.4/27(2)點P在拋物線對稱軸上，當△ACP周長最小時，求出點P坐標．【思維教練】要使△ACP周長最小，因AC長固定，只需AP＋CP長最小即可．因為點A與點B關(guān)于拋物線對稱軸對稱，即AP＝BP，則只需BP＋CP長最小即可，所以連接BC，BC與對稱軸交點即為周長最小時點P.由拋物線解析式能夠求得C點坐標，再由B、C點坐標即可求得BC直線解析式，進而可求得P點坐標．5/27解：如解圖，∵A、B兩點關(guān)于拋物線對稱軸對稱，∴當△ACP周長最小時，點P應(yīng)為直線BC與拋物線對稱軸交點，由(1)知點C坐標為(0，－1)，拋物線對稱軸為x＝；設(shè)直線BC解析式為y＝kx＋b(k≠0)，代入B、C兩點坐標得：例1題解圖6/27

，解得，∴直線BC解析式為，在直線BC上，當時，，∴．7/27例2如圖，已知拋物線y＝－x2＋bx＋c與x軸交于A(－1，0)，B(3，0)兩點，與y軸交于點C，拋物線對稱軸與拋物線交于點P，與直線BC交于點M，連接PB.類型二與面積相關(guān)問題例2題圖8/27(1)求拋物線解析式；【思維教練】已知拋物線與x軸交于A(－1，0)，B(3，0)兩點，利用兩點式即可求解．9/27解：由題意可知點A(－1，0)，點B(3，0)是拋物線與x軸兩個交點，∴拋物線解析式為y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3.10/27(2)求△PBC面積；【思維教練】已知△PBC三邊均不在坐標軸上，要求△PBC面積，只需求△PMC與△PMB面積和，轉(zhuǎn)化為求線段PM長，結(jié)合直線BC解析式求得點M坐標即可．11/27解：∵拋物線解析式為y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴拋物線對稱軸為直線x＝1，頂點坐標為P(1，4)，點C坐標為(0，3)，設(shè)直線BC解析式為y＝kx＋d(k≠0)，則，解得，∴直線BC解析式為y＝－x＋3，12/27∴當x＝1時，y＝2，∴點M坐標為(1，2)，∴PM＝4－2＝2，∴S△PBC＝

PM·(xB－xC)＝×2×3＝3，即△PBC面積為3.13/27(3)在第一象限內(nèi)拋物線上是否存在點D，使得△BCD面積最大？若存在，求出點D坐標及△BCD面積最大值；若不存在，請說明理由.【思維教練】設(shè)出點D坐標，同(2)問表示出△BCD面積，利用二次函數(shù)最值即可求解．14/27解：存在．設(shè)D(t，－t2＋2t＋3)，如解圖，作DH⊥x軸交BC于點H,則H(t，－t＋3)，∴例2題解圖15/27∵，∴當時，即D坐標為時，S△BCD有最大值，且最大面積為.16/27例3

(黃岡)如圖，拋物線與x軸交于點A，點B，與y軸交于點C，點D與點C關(guān)于x軸對稱，點P是x軸上一個動點，設(shè)點P坐標為（m,0），過點P作x軸垂線l交拋物線于點Q.例3題圖17/27(1)求點A，點B，點C坐標；【思維教練】要想求A、B、C點坐標，能夠發(fā)覺它們均在拋物線上，且在x軸、y軸上．分別令y＝0，x＝0，可依次求出點A、B、C坐標．18/27解：當y＝0時，，解得x1＝4,x2＝－1，則A(－1，0)、B(4，0)，當x＝0時，y＝2，則C(0，2)．19/27(2)求直線BD解析式；【思維教練】要想求直線解析式，只要知道直線上兩點坐標即可求解．能夠發(fā)覺點B、D均在直線上，且點B坐標已知，點D坐標可利用對稱點坐標規(guī)律求出20/27解：∵點D與點C關(guān)于x軸對稱，∴點D為(0，－2)，設(shè)直線BD解析式為y＝kx＋b，將D(0，－2)和B

(4，0)分別代入，得，解得，∴直線BD解析式為.21/27【思維教練】在四邊形CQMD中，已知CD∥QM，若要使四邊形CQMD為平行四邊形，則需滿足CD＝QM且CQ∥DM即可．因為CD＝4，可考慮證CD＝QM，則需用含m式子表示出線段QM長，依據(jù)CD＝QM列方程即可求m值．（3）當點P在線段OB上運動時，直線l交BD于點M，試探究m為何值時，四邊形CQMD是平行四邊形；22/27解：易知CD∥QM，若CD＝QM，則四邊形CQMD為平行四邊形．∵P(m，0)，，∵點P在線段OB上運動，，∵CD＝4，解得m＝2或m＝0(舍去)，故當m＝2時，四邊形CQMD為平行四邊形．23/27(4)在點P運動過程中，是否存在點Q，使△BDQ是以BD為直角邊直角三角形？若存在，求出點Q坐標；若不存在，請說明理由．【思維教練】要求點Q坐標，它需滿足△BDQ是以BD為直角邊直角三角形，只要是直角三角形都滿足勾股定理，所以用m將點Q坐標表示出來，得到QB2、DQ2、BD2，然后分情況討論，①點B為直角頂點時；②點D為直角頂點時．24/27解：存在