江蘇省泰州技師學(xué)院2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

江蘇省泰州技師學(xué)院2024-2025年第一學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)本卷共4頁，23小題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號(hào)、考場號(hào)和座位號(hào)填寫在答題卡上.用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應(yīng)位置上．將準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡的規(guī)定位置上．2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上．3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答的答案無效．4．考生必須保持答題卡的整潔．考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的．請把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)交集的概念運(yùn)算即可.【詳解】已知集合，且，所以，故選：A.2.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求函數(shù)定義域，就是求使函數(shù)有意義的的取值范圍.【詳解】已知函數(shù)，要是函數(shù)有意義，則應(yīng)有，解得.故選：C.3.若，，則下列不等式中不正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】舉反例判斷D，利用不等式的性質(zhì)判斷ABC，從而得解.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋刹坏仁降男再|(zhì)可知，故A正確；對(duì)于B，因，，所以，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，，所以，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤.故選：D4.已知函數(shù)則（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式求解函數(shù)值即可.【詳解】∵∴，∴，故選：A5.已知關(guān)于的不等式：的解集是，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意可知且是關(guān)于的方程，即的兩根.【詳解】A、由韋達(dá)定理可得：，故A說法正確；B、，∵∴,∴,故B正確.C、∵，，則，，，故C正確.D、令，，∵，∴的圖像開口向下，對(duì)稱軸為，∵，，又∵，故，且故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選:D.6.已知關(guān)于x的不等式的解集為，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意根據(jù)含絕對(duì)值的不等式的解法求解，代入求解一元二次不等式解集即可.【詳解】已知的解集為，可知，由可得，所以，解得a=2，.所以不等式即為，即，解得，則不等式的解集為.故選：B.7.下列命題中，正確的是（

）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】B【解析】【分析】利用不等式的性質(zhì)即可判斷選項(xiàng)的正誤，采用特例法即可判斷選項(xiàng)、、的正誤，進(jìn)而可得答案.【詳解】選項(xiàng)：特例法：當(dāng)時(shí),滿足,,但不能推出,所以選項(xiàng)錯(cuò)誤;選項(xiàng)：因?yàn)?,根據(jù)不等式的同向可加性得:,所以選項(xiàng)正確;選項(xiàng)：特例法：當(dāng),滿足，,但不能推出,所以選項(xiàng)錯(cuò)誤;選項(xiàng)：特例法：當(dāng)時(shí)，滿足,,但不能推出,所以選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：.（2024·全國高考）8.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，，且當(dāng)時(shí)，則下列結(jié)論中一定正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題干條件，利用賦值法求解即可.【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，對(duì)于，令，得；令，得;依次類推，得;；；；；；；；;；；顯然，所以；故選：B.9.網(wǎng)上購物常?？吹较旅孢@樣一張表，第一行可以理解為腳的長度，第二行是我們習(xí)慣稱呼的“鞋號(hào)”．為了穿得舒適，鞋子不能擠腳，也不能過長．SIZE尺碼對(duì)照表中國鞋碼實(shí)際標(biāo)注(同國際碼)mm220225230235240245250255260265中國鞋碼習(xí)慣叫法(同歐碼)34353637383940414243一個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員的腳長為282mm，則從表格數(shù)據(jù)可以推算出，他最適合穿的鞋號(hào)是（）A.45 B.46 C.47 D.48【答案】C【解析】【分析】設(shè)出一次函數(shù)，采用待定系數(shù)法求出，令即可求解.【詳解】設(shè)腳長為，鞋號(hào)為碼，由數(shù)據(jù)可知，腳長和鞋號(hào)符合一次函數(shù)關(guān)系：，將代入可得，當(dāng)時(shí)，，故他最適合穿的鞋號(hào)是47碼.故選：C10.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求得的定義域，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)與復(fù)合函數(shù)同增異減原則即可解.【詳解】對(duì)于，有，解得，所以的定義域?yàn)?，?duì)于，其圖象開口向下，對(duì)稱軸為，且，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，又函數(shù)在為單調(diào)遞增函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減原則，可得的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．11.已知集合，，若，則__________.【答案】【解析】【分析】利用集合相等即可得出結(jié)果.【詳解】由元素的互異性可得，當(dāng)時(shí)，，解得，舍去；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，此時(shí)需要滿足，即；.故答案為：.12.不等式組的解集用區(qū)間表示為_______.【答案】【解析】【分析】求出不等式組的解集，再根據(jù)區(qū)間的定義求解即可．【詳解】不等式組,化簡為即,解得,用區(qū)間表示為.故答案為：13.已知函數(shù)，______.【答案】【解析】【分析】因?yàn)?，代入分段函?shù)中即可得解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，.所以.故答案為：.14.已知函數(shù)＝x2－mx＋n，且＝－1，＝m，則＝________，＝________．【答案】①.－1；②.x4－2x3－2x2＋3x＋1.【解析】【分析】由已知條件列方程組求參數(shù)m、n，進(jìn)而寫出的解析式，再求即可求，同理求.【詳解】由題意知：，解得，∴＝x2－x－1，故＝1，則＝－1，由上，＝f(x2－x－1)＝(x2－x－1)2－(x2－x－1)－1＝x4－2x3－2x2＋3x＋1故答案為：－1，x4－2x3－2x2＋3x＋1.15.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，則其反函數(shù)的定義域?yàn)開______________，值域?yàn)開_______________【答案】①.②.【解析】【分析】由反函數(shù)的概念求解即可.【詳解】由反函數(shù)的概念可知，原函數(shù)的定義域和值域分別是它的反函數(shù)的值域和定義域；所以函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，其反函?shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?故答案為：，.三、解答題：本題共8小題，共90分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．16.已知集合，集合．若，求的值及．【答案】，，【解析】【分析】因?yàn)?所以為集合的公共解,代入方程中求出集合中的值,即可求出集合元素及的值.【詳解】解：∵，∴，∴，解得．∵，∴，∴，解得．∴集合，集合．∴17.已知函數(shù)（其中）.（1）當(dāng)時(shí)，解關(guān)于x的不等式；（2）若的解集為R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將代入，解不等式即可；（2）根據(jù)一元二次不等式性質(zhì)求解.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，令或，所以不等式的解集是：【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，令，不滿足的解集為R；當(dāng)時(shí)，即為，因?yàn)榈慕饧癁镽，則滿足，綜上所述：，所以a的取值范圍是.18.設(shè)集合，集合．若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】．【解析】【分析】由可得,可分為,,三種情況,故此題需分類討論并結(jié)合一元二次方程根的情況加以解決.【詳解】解：由，得，解得或0，∴集合，∵，∴．①當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的方程無解，即，解得．②當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的方程有重根－4，由韋達(dá)定理，可得，無解．③當(dāng)時(shí)，關(guān)于x方程有重根0，由韋達(dá)定理，可得，解得．④當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的方程的兩個(gè)根分別為0和－4，由韋達(dá)定理，可得，解得．綜上所述，．19.已知二次函數(shù)且滿足．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若函數(shù)的定義域?yàn)?，作出函?shù)圖象并求其值域．【答案】（1）；（2）作圖見解析，．【解析】【分析】（1）由，列方程求出，可得函數(shù)的解析式；（2）由二次函數(shù)的圖象特征，作出函數(shù)圖象，根據(jù)圖象求值域．【小問1詳解】二次函數(shù)滿足，則有，解得，所以.【小問2詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)圖象如圖所示，由函數(shù)圖象可知，函數(shù)的值域?yàn)?0.已知關(guān)于的不等式．（1）若，且不等式的解集為，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求不等式的解集．（3）已知命題“任意”是真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍？【答案】（1）.（2）當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為.（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)不等式的解集即可知道方程的根，代入求值即可.（2）分類討論a的多種情況，再進(jìn)行求解.（3）二次方程恒成立只需滿足即可，然后進(jìn)行求解.【小問1詳解】根據(jù)題干所給的不等式，可判斷出兩根，由的解集，可判斷出，分別對(duì)應(yīng)得.所以.【小問2詳解】兩根，當(dāng)時(shí)，原式變?yōu)?，恒成立，故解集?當(dāng)時(shí)，，故解集為.當(dāng)時(shí)，，故解集為.【小問3詳解】函數(shù)圖像開口向上，只需要計(jì)算，就可以確保該不等式始終大于等于0，計(jì)算解得.21.已知一次函數(shù)的圖象過點(diǎn)，且與二次函數(shù)的圖象的一個(gè)交點(diǎn)為，另一個(gè)交點(diǎn)在y軸上，求函數(shù)的解析式和p、q的值.【答案】，【解析】【分析】根據(jù)題意，利用待定系數(shù)法即可得解.【詳解】依題意，設(shè)（），因?yàn)楹瘮?shù)圖象過點(diǎn)，且與二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，所以，解得，所以，所以與y軸的交點(diǎn)是，又，則，解得，所以，.22.已知函數(shù)．（1）若在區(qū)間上具有單調(diào)性，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求在區(qū)間上的最小值．【答案】22.23.【解析】【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性分類討論即可；（2）結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性分類討論取最小值的情況即可.【小問1詳解】易知開口向上，對(duì)稱軸為，所以若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則需，若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則需，綜上的取值范圍為；【小問2詳解】當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，，綜上23.對(duì)于函數(shù)，若存在，使成立，則稱點(diǎn)為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)．（1）已知函數(shù)有