2025屆高考數(shù)學(xué)專題九線性規(guī)劃精準(zhǔn)培優(yōu)專練理

PAGEPAGE1培優(yōu)點(diǎn)九線性規(guī)劃一、求目標(biāo)函數(shù)的最值一、求目標(biāo)函數(shù)的最值例1：已知、滿意．（1）若，求的最值；（2）若，求的最值；（3）若，求的最值．【答案】（1），；（2），；（3），．【解析】（1）畫出可行域如圖：畫出直線，并平移得在點(diǎn)處最大，在點(diǎn)處最?。桑蟪鰹椋桑蟪鰹?，，．（2）畫出可行域如圖：表示可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，由圖可在點(diǎn)處最大，在點(diǎn)處最?。?，．（3）畫出可行域如圖：，表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，由圖可在點(diǎn)處最大，在點(diǎn)處最小．由，可得為，，．二、二、依據(jù)目標(biāo)函數(shù)最值求參數(shù)例2：已知，滿意，若使取得最小值的點(diǎn)有無(wú)窮多個(gè)，則．【答案】【解析】將變形，得，若要使取最小值的點(diǎn)有無(wú)窮多個(gè)，則直線與平行，∴．例3：已知不等式組，所表示的平面區(qū)域?yàn)槊娣e等于的三角形，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知得，不等式組，所表示的平面區(qū)域如圖：三角形的一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．∵直線與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線與的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，即，∴三角形的面積為，解得（舍去）．故選D．三、線性規(guī)劃的應(yīng)用三、線性規(guī)劃的應(yīng)用例4：某校食堂以面食和米食為主，面食每百克含蛋白質(zhì)個(gè)單位，含淀粉個(gè)單位，售價(jià)元；米食每百克含蛋白質(zhì)個(gè)單位，含淀粉個(gè)單位，售價(jià)元．學(xué)校要給學(xué)生配制成盒飯，每盒至少有個(gè)單位的蛋白質(zhì)和個(gè)單位的淀粉，應(yīng)如何配制盒飯，才既科學(xué)又使費(fèi)用最少？【答案】每份盒飯中有面食百克，米食為百克，費(fèi)用最?。窘馕觥吭O(shè)每份盒飯中面食為百克，米食為百克，費(fèi)用元．目標(biāo)函數(shù)為，線性約束條件為，畫出可行域如圖：畫出直線并平移，得在點(diǎn)處最小，求出點(diǎn)為．所以每份盒飯中有面食百克，米食為百克，費(fèi)用最?。畬?duì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)增分集訓(xùn)一、選擇題1．已知點(diǎn)和在直線的兩側(cè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意可知，所以，所以．2．已知，滿意，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】作出不等式組，表示的區(qū)域如圖，結(jié)合圖形可知當(dāng)動(dòng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，動(dòng)直線在軸的截距最大，有最小值，．3．已知滿意，則的最大值等于（）A． B． C． D．【答案】C【解析】作出約束條件所表示的平面區(qū)域（如圖），而，表示點(diǎn)和的連線的斜率，由圖知點(diǎn)和連線的斜率最大，所以．4．不等式組表示的平面區(qū)域的面積為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】作出約束條件所表示的平面區(qū)域（如圖），，，所以三角形面積為．5．已知，，滿意約束條件，若的最小值為，（）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖所示，畫出可行域（如圖內(nèi)部），目標(biāo)函數(shù)可化為，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)時(shí)取到最小值，則，即．6．設(shè)實(shí)數(shù)，滿意約束條件，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由實(shí)數(shù)，滿意約束條件，作可行域如圖，由圖可知，當(dāng)過(guò)時(shí)，取得最大值，由，解得，此時(shí)取最大值．7．已知實(shí)數(shù)，滿意不等式組，若目標(biāo)函數(shù)的最大值為，則的值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】不等式的可行域，如圖所示，令，則可得，當(dāng)最大時(shí)，直線的縱截距最大，將直線平移可知，目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取最大值，可得，∴．8．實(shí)數(shù)，滿意條件，目標(biāo)函數(shù)的最小值為，則該目標(biāo)函數(shù)的最大值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】畫出滿意條件的可行域，可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取得最小值，所以，求得，從而目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取得最大值，即．二、填空題9．設(shè)，滿意約束條件，求的最大值．【答案】【解析】可行域如圖所示中的區(qū)域，得，，，作出直線，再將直線平移，當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，軸截距最大，即達(dá)到最大值，得，所以最大值是．10．不等式組表示的平面區(qū)域的面積為．【答案】【解析】不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分，易求得，點(diǎn)坐標(biāo)，，∴．11．某農(nóng)戶安排種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過(guò)畝，投入資金不超過(guò)萬(wàn)元，假設(shè)種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量；成本和售價(jià)如下表：為使一年的種植總利潤(rùn)（總利潤(rùn)總銷售收入總種植成本）最大，那么黃瓜的種植面積（單位：畝）為．【答案】【解析】設(shè)黃瓜和韭菜的種植面積分別為，畝，總利潤(rùn)為萬(wàn)元，則目標(biāo)函數(shù)為，線性約束條件為，即，畫出可行域如圖所示，作出直線，向上平移至過(guò)點(diǎn)時(shí)，總利潤(rùn)最大，．三、解答題12．某公司安排年在甲，乙兩個(gè)電視臺(tái)做總時(shí)間不超過(guò)分鐘的廣告，廣告總費(fèi)用不超過(guò)萬(wàn)元，甲，乙電視臺(tái)的廣告收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)分別為元/分鐘和元/分鐘，假定甲，乙兩個(gè)電視臺(tái)為該公司所做的每分鐘廣告，能給公司帶來(lái)的收益分別為萬(wàn)元和萬(wàn)元，問(wèn)該公司如何安排在甲，乙兩個(gè)電視臺(tái)的廣告時(shí)間，才能使公司的收益最大，最大整理是多少？【答案】見(jiàn)解析．【解析】設(shè)公司在甲電視臺(tái)和乙電視臺(tái)做廣告的時(shí)間分別為分鐘和分鐘，總收益為元，由題意得，目標(biāo)函數(shù)為，不等式組等價(jià)于可行域如圖所示，作直線，即，平移直線，從圖中可知，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，聯(lián)立，解得，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴元，該公司在甲電視臺(tái)做分鐘廣告，在乙電視臺(tái)做分鐘廣告，公司收益最大，最大收益是萬(wàn)元．13．老師安排在晚自習(xí)解答同學(xué)甲，乙的問(wèn)題，預(yù)料解答完一個(gè)學(xué)生的問(wèn)題須要分鐘，若甲，乙兩人在晚自習(xí)的隨意時(shí)刻去