2024江西省贛州市高三年級(jí)下冊(cè)年3月摸底考數(shù)學(xué)試題及答案

贛州市2024年高三年級(jí)摸底考試

數(shù)學(xué)試卷

2024年3月

本試卷分第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分，共150分,考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘

第I卷(選擇題共58分)

.8S40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

題共小題，每小題分，共

I.已知集合從?{di-4.r>。},8M{d1(里2(2?入?貝()

ft

A.[O,2)B.(-oo,2)C.[0,4]D.(Y>,4]

2.已知i為虛數(shù)單位.之二2bia,bR,則|a+加上)

j■+(w)(

A.IB.&C.2D.4

3.在中.4fi-x/7.AC-2.C-120,,則sinA=()

A業(yè)B.叵cMD.通

14141414

4.在棱長(zhǎng)為1的正方體中,E為棱人。的中點(diǎn)，過(guò)居且平行于平面ABE

的平面截正方體

所得截面面積為()

A*C.y/6D.2x/6

5.在平行四邊形八8C。中，八8:3.4。=4,46出。=-6,配=3麗，則麗麗=()

A.I6B.I4C.12D.10

6.若一組樣本數(shù)據(jù)第，心，….4的方差為2,￡(-1)乜=-2,)，,二內(nèi)+(-1)%=],2「..8)，則樣本數(shù)據(jù)

1*1

yi,”,…，”的方差為()

A.lB.2C,2.5D.2.75

e3

7.已知。=-,b——,c=In3)

e-1c.則(

\.a<b<c3.b<a<c

C.h<c<ac<h<a

D.

8.在邊長(zhǎng)為4的正方體A4CO-A4GA中，點(diǎn)E是BCP

的中點(diǎn)，點(diǎn)是側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)(含四條

邊），且tan/APO-dtanNEPB,則P的軌跡長(zhǎng)度為（）

it?2n4n、8兀

A.-B.C.——D?—

9999

、3618分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

二多選題：本題共小題，每小題分，共“

求.荃部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得3分.有選錯(cuò)的得。分.

9.已知等比闞｛愉前項(xiàng)而為S“,%=18品=26.則（）

A.a>0S>0

"B.

C.數(shù)列｛同｝為單輸數(shù)列D.數(shù)列臉|｝為單調(diào)數(shù)列

10.已知函數(shù)（）=+；sin2x+:sin3x,則（）

frsinr'J

A.2jtg（）的一個(gè)周期B.（）的圖象關(guān)于涿點(diǎn)對(duì)稱

fXfX

C/0）的因象過(guò)點(diǎn)。,0）D.（）為Rh的單調(diào)ii數(shù)

fx

II.曲線C是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)月（0，1），尸,（0，-1）的在離的積等于的衣的曲跡，則（）

A.曲線。關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱B.AGP*、周長(zhǎng)的最小值為2+#

c.。到y(tǒng)軸距離的最大值為也D.〃到原點(diǎn)距高的最小值為色

22

第n卷（非選擇題共92分）

、3515分.

三填空題：本題共r小題，每小題分，共

12.求值：M4sin

1212_________.

l3,G-+>+l+-!-j展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.

14.已知P是拋物線￡:/=），上異于頂點(diǎn)的點(diǎn).E在P處的切線/分別交?軸、>'軸于點(diǎn)S,T過(guò)P作/的垂

、VS2

線分別交X軸,軸于點(diǎn)M,N.分別記APMS與APN7的面積為Si.Sa,則三r的最小值為.

、577分.解答應(yīng)寫(xiě)出義字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

四解答題：本題共小題，共

15.（13分1

如圖，在四棱錐PAEC。中,底面從AC。為直角梯形，NABCn/BC7）=90,附1平面

ABCD,PA=AB=BC=4,CD=3,JV/為例棱的中占

PC…

M

（I）求點(diǎn)。到平面PBC的距離.

（2）求二面角M-A。-3的正切值.

16.（15分）

某人準(zhǔn)備應(yīng)聘甲、乙兩家公司的高級(jí)工程師，兩家公司應(yīng)聘程序都是：應(yīng)聘者先進(jìn)行三項(xiàng)專業(yè)技能測(cè)試.專業(yè)

技能測(cè)狀通過(guò)后進(jìn)入面試.已知該應(yīng)聘者應(yīng)聘甲公司，每項(xiàng)專業(yè)技能測(cè)玳通過(guò)的概率均為該應(yīng)聘者應(yīng)聘乙

公司，三項(xiàng)專業(yè)技能測(cè)試通過(guò)的概率依次為工.其中技能測(cè)試是否通過(guò)相互獨(dú)立.

（I）若〃，=|?求該應(yīng)聘者應(yīng)聘乙公司三項(xiàng)專業(yè)技能瀏試恰好通過(guò)兩項(xiàng)的概率；

（2）已知甲、乙兩家公司的招聘在同一時(shí)間進(jìn)行，該應(yīng)聘者只能應(yīng)聘其中一家.應(yīng)聘者以專業(yè)技能測(cè)試通過(guò)

項(xiàng)目數(shù)的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù),若該應(yīng)聘者更有可能通過(guò)乙公司的技能測(cè)試，求，〃的取值范圍.

17.（15分）

己知橢圓C：t+A->>1，2^夕|?他B1C（一）所在H會(huì)的斜室為

"b'13b0）過(guò)點(diǎn)|（3）的右焦點(diǎn)與點(diǎn),

Q2,2

（I）求橢圓C的方程；、

一/

⑵若過(guò)。的直線/與橢圓交于A8（）上線訊依分別交橢圓。于點(diǎn)M,N,直線MN

Cp3,0

的斜率是否為定值）若是.求出該定值,硝推，請(qǐng)說(shuō)明理由.

18.（17分）

已知函數(shù)（/）.v-e.-i-lav

（I）求f勵(lì)單調(diào)區(qū)間.

⑵已如〃|>0.若函數(shù)e>=/（入）一叫工-1）由唯一的零點(diǎn).諼明，l<Xo<2

o

10（17分I

、…、，-n、J的何個(gè)正整數(shù)k都有

設(shè)數(shù)列A:仍,6,…,”（N...2）.如果對(duì)小干”（211nBiVataa>

Nn

“Det刻二記。版數(shù)列有“曬曠組成的集合，（）的元素個(gè)數(shù)記為ca倒他國(guó)朔列八的一個(gè)

DA

（I）對(duì)數(shù)列A：-l』,一2,2,-3,3,寫(xiě)出（）的所有元素；

DA

贛州市2024年高三年級(jí)摸底考試

數(shù)學(xué)（理科）參考答案

三填空題（共

12.旦13.63014.1

2

、77分）

四解答題（共?

15.解：⑴由用_L平面ABCO.可得丫二?！奔?）=S—?PA

3"BCD

令點(diǎn)。到平面尸BC的距離為d,則乜松°詠=

可得:工改"=;工皿?%

由V=KliDPM、—Vz?apHCD

S?PA

則＜/=

~工PBC-

由NABC=90.8C=4,CO=3,可得：S?lfiCCD=6

6IK'D2

由密平面ABC。,/ABC-90,可得BC1PB,則S.左=：P88C=8"

則”=與=述，即點(diǎn)到平面P3C的距離為辿

8先2。2

（2）設(shè)。為AC的中點(diǎn)，過(guò)。作O//J.AO交A。于“，連結(jié)。面，””

??〃是尸C的中點(diǎn),OMIIr^,：.OM1ABCD

平面

OM1A。,」.AD1平面MOH.,AD±M//,

:./MHO為二面角M-AD-B的一個(gè)平面角

又Stiu=-AD-OH=Is4Jw.=-x-!-CD?C=3

A4OD227乂22

_?\jn6

且人。一寸仃，可得z=而

則tan/朋〃?！鲂琛銎?/p>

即二面角A?！狟的正切值為之

3

說(shuō)明：也可以利用向量法！

16.解：（1）記',該應(yīng)聘者應(yīng)聘乙公司三項(xiàng)專業(yè)技能測(cè)試恰好通過(guò)兩項(xiàng)、'為事件A

5.94

由題設(shè)P(A)=ZXC；XHX

oJ9

（2）分別記“該應(yīng)聘者應(yīng)聘甲.乙公司三項(xiàng)專業(yè)技能測(cè)試中通過(guò)的項(xiàng)目數(shù)為J4

由題設(shè)知：己

所以殳=3x1=2

n的所有可能取值為（）1,2,3

ps0sxx1/M

^)63()-18?

6*爐(1-醐+內(nèi)/(1-力*x"

bJo3o31o

c、52八,511210-3m

Pfn=2)sXx(lm)+Xx/"+X，

o36363lo

八52IO/〃5m

n/=3)x-x—x/n?---=——

P；tn'63189

故”的分布列為

n0i23

]-m7-6m10—3/?i5m

p

IF1818~9~

八1-WJ,7-66-10-3m、5w2m+3

從而fii=0x——+lx———+2x——--+3x—=---

18181892

2m+3

a>比，>2.

由2

()<W<1,in

0<w<1,

解得I

2

17.解：（1）由題息可設(shè)弱圓的半焦距為J且橢圓C的右焦點(diǎn)為）

I4.

-T-+?1,

a23bi

由題意得:a'=b-+c\

-2-0.

--------=—2

2-c

解得e=11=3力2=2

所以。的方程為：—+^-=1

32

⑵設(shè)/的方程為x=m("2)+23J(22)(33)(4).則直線血的方程為

Ax,yx,y,Mx,y,Nx,y4

、7.設(shè)

L

由可得[26-3f+3對(duì)2可2aL3)yj+12)，/=0

工+工

32

結(jié)合T+§-=1.可得%x-Q)*+(.V)-3)37|3,+￥]'=0

可得>'i')'i~—.解得yj=2-Xi

2X|

X-Z.V-Jy

代入x=--J+2,解得x3=-^-.^r+3=T—+2

?yiz-xi.ti

-2

Z1

同理可得y=5——?^=--+2

4，一七X2

-2

24--4

2I

故k、,N]]一

X2-2Xi-2

力（2-占）-3（2-占）

內(nèi)一小

先[2-(〃N+2〃?+2吊J(++)]

my

2M(片f)7

"'(y-力),故直線MN的斜率是定值,且定值為2

18.解:⑴-,./(A)q一瓜“戶⑴cer-i-1

?.f(x)=e*-?+—>0

X2

,當(dāng)x>0時(shí)，'()=ei-1為增函數(shù)

fxx

又；，()=o

./?

.?當(dāng)X￡(0.1)時(shí),/,(A-)<0./(.r)單調(diào)遞減；

當(dāng)xw(l,田)時(shí),()>()

fX0,7x

，.心)的我區(qū)間為(0,1)f區(qū)間為。，灣調(diào)遞墻

(2)-,-()=/(.r)-m(x-1)-e.?-lavm(m>0)

g*1

8xe,"i------m(x>0jn>0)

:.?()cx

由⑴可知g'CO在單調(diào)遞增.且()=-<.

10

Igm

又81mem-----------m>cm”i10

(+)=1+H：-(+)>

，存在惟一前使得g'(r)=0

.當(dāng)xw(Qj)時(shí)g*〃)v0,g(x)單調(diào)遞減;當(dāng)xw〃,+oo)時(shí)g'〃)>0,g(")單調(diào)遞增；

g*)mmgt“I-In/-〃"+”】

=()=

若方程R卜=e*-|-lnx-〃Lr+"1=0xnx=t>l

有唯一的實(shí)數(shù)，則°

*'(，)=€'_*_；_〃]=0,

|g(/)=e/1-Inr-mt+/??=0

消去加可得(2—)e'」-lnr+l-1(X/>1)

令=i-lnr+l--(f>l),

M妝44I—')c''—卜0

在上為減函數(shù)

且/】(1)=1>0,人(2)=l-ln2<0

.-.g/z(r)=0B?/€(l,2),gpI<A<><2

19.解：⑴由題設(shè)知當(dāng)〃=3時(shí).4>%,%>%.故"=3是數(shù)列人”一[“。時(shí)刻”

同理當(dāng)〃=5時(shí),都有。=123,4),即也是數(shù)列4的一個(gè)“。時(shí)刻”

5

綜上，O(A)={3,5}

(2)由card(Q,A)=4a=5a=6

,易知或

?1

①當(dāng)〃=5時(shí).4,3,2,1必g1從左往右排列,6可以是ai2,3(￡5,6)中任-個(gè).共有5種情況

If

②當(dāng)6=6時(shí)，若()中的四個(gè)元素是由裳合中的阮素4.3,2.1次5.3.2.1"5.4.2.1"5.43r2”

DA

I.若由引起，即4,3,2,1從左往右排列，貝J5必須排在4的后面，共4種；

2.若由引起，即5,3,2,1從左往右排列，則4必須排在3的后面，共3種

3.若由引起，即從左往右排列，則3必須排在2的后面，共2種；

4.若由"SI引起，即543,1從左往右排列，則2必須排在|的后面，共1種

綜上，符合card(/),A)=4

的數(shù)列八有15種

另解：

因?yàn)閿?shù)列人：面.02,…，gw{l.2,3,4,5,6},由鼠息可知()中的四個(gè)元親為

r25

DA2,3,4彳,5<,6<中的臼個(gè)共有種

情況：

①當(dāng)。(A)={3,4,5,6}時(shí),數(shù)列A*5,6,4,3,2,1；共有1種情況；

②當(dāng)/)(川={2,4,5,6}時(shí).數(shù)列A=fH