2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1章 計數(shù)原理 1.2 排列與組合 1.2.2 第1課時 組合與組合數(shù)公式（教師用書）教學(xué)實錄 新人教A版選修2-3

2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章計數(shù)原理1.2排列與組合1.2.2第1課時組合與組合數(shù)公式（教師用書）教學(xué)實錄新人教A版選修2-3學(xué)校授課教師課時授課班級授課地點教具教學(xué)內(nèi)容本節(jié)課內(nèi)容為新教材人教A版選修2-3第1章1.2.2組合與組合數(shù)公式。主要內(nèi)容包括組合的定義、組合數(shù)的計算公式、組合數(shù)的性質(zhì)以及簡單的應(yīng)用。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠掌握組合數(shù)的計算方法，能夠運(yùn)用組合數(shù)解決實際問題。核心素養(yǎng)目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和直觀想象的核心素養(yǎng)。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠抽象出組合的概念，運(yùn)用邏輯推理理解組合數(shù)的計算公式，通過實際問題進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，并能夠直觀地理解組合數(shù)在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用。重點難點及解決辦法重點：

1.組合數(shù)的定義和計算公式：學(xué)生需要準(zhǔn)確理解組合數(shù)的概念，并能熟練運(yùn)用組合數(shù)公式進(jìn)行計算。

2.組合數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用：學(xué)生能夠靈活運(yùn)用組合數(shù)的性質(zhì)解決實際問題。

難點：

1.組合數(shù)計算公式的推導(dǎo)與應(yīng)用：學(xué)生可能難以理解組合數(shù)公式的推導(dǎo)過程，以及如何在實際問題中應(yīng)用。

2.組合數(shù)性質(zhì)的理解與運(yùn)用：學(xué)生可能對組合數(shù)性質(zhì)的理解不夠深入，導(dǎo)致在解決復(fù)雜問題時難以靈活運(yùn)用。

解決辦法與突破策略：

1.通過實例講解組合數(shù)的定義和計算公式，引導(dǎo)學(xué)生逐步理解并掌握。

2.通過小組討論和合作學(xué)習(xí)，讓學(xué)生參與公式的推導(dǎo)過程，增強(qiáng)理解。

3.設(shè)計一系列實際問題，讓學(xué)生在解決問題的過程中應(yīng)用組合數(shù)公式和性質(zhì)，提高解決問題的能力。

4.對組合數(shù)性質(zhì)進(jìn)行分類總結(jié)，幫助學(xué)生形成知識體系，便于記憶和應(yīng)用。

5.通過變式練習(xí)和拓展題，幫助學(xué)生深化對組合數(shù)概念和性質(zhì)的理解，提高解題技巧。教學(xué)資源-軟硬件資源：多媒體教學(xué)設(shè)備（投影儀、電腦）、白板、粉筆、黑板擦

-課程平臺：學(xué)校內(nèi)部教學(xué)平臺、在線教學(xué)資源庫

-信息化資源：組合數(shù)計算公式動畫演示、組合數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用案例庫、互動教學(xué)軟件

-教學(xué)手段：實物教具（如骰子、撲克牌等，用于演示組合概念）、課堂提問、小組討論、練習(xí)題和習(xí)題冊教學(xué)流程1.導(dǎo)入新課（用時5分鐘）

-教師展示一些日常生活中的實際問題，如生日派對邀請多少人、選班干部等，引導(dǎo)學(xué)生思考如何用數(shù)學(xué)方法解決這類問題。

-提問：在這些問題中，我們需要從多個元素中選擇一部分，那么如何計算這種選擇的可能性呢？

-引出本節(jié)課的主題：排列與組合。

2.新課講授（用時15分鐘）

-（1）組合數(shù)的定義

-教師通過實例講解組合數(shù)的概念，如從5個不同的水果中選擇3個，不考慮順序。

-引導(dǎo)學(xué)生理解組合數(shù)與排列數(shù)的區(qū)別，強(qiáng)調(diào)組合數(shù)不考慮順序。

-（2）組合數(shù)公式

-教師推導(dǎo)組合數(shù)公式C(n,k)=n!/[k!*(n-k)!]，通過實例說明公式的來源和意義。

-學(xué)生跟隨教師一起推導(dǎo)公式，加深對公式的理解。

-（3）組合數(shù)性質(zhì)

-教師講解組合數(shù)的性質(zhì)，如組合數(shù)的對稱性、組合數(shù)的遞推關(guān)系等。

-學(xué)生通過練習(xí)題鞏固對組合數(shù)性質(zhì)的理解。

3.實踐活動（用時10分鐘）

-（1）計算組合數(shù)

-學(xué)生獨(dú)立完成練習(xí)題，計算給定的組合數(shù)，如C(10,3)。

-教師巡視指導(dǎo)，糾正學(xué)生的錯誤，確保學(xué)生掌握計算方法。

-（2）應(yīng)用組合數(shù)解決實際問題

-教師給出實際問題，如從5名同學(xué)中選出3名代表參加比賽，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用組合數(shù)公式解決問題。

-學(xué)生獨(dú)立完成，教師點評并講解解題思路。

-（3）小組討論

-學(xué)生分組討論，嘗試找出組合數(shù)在生活中的應(yīng)用實例，如生日派對、選課等。

-教師巡視指導(dǎo)，幫助學(xué)生拓展思維，提高解決問題的能力。

4.學(xué)生小組討論（用時10分鐘）

-舉例回答：

-（1）生日派對：假設(shè)有5個不同的水果，從中選擇3個，有多少種不同的組合方式？

-學(xué)生回答：C(5,3)=10種。

-（2）選課：某學(xué)生需要從4門數(shù)學(xué)課程中選擇2門，有多少種不同的選課組合？

-學(xué)生回答：C(4,2)=6種。

-（3）班干部選舉：班級有10名同學(xué)，需要從中選出3名班干部，有多少種不同的選舉方式？

-學(xué)生回答：C(10,3)=120種。

5.總結(jié)回顧（用時5分鐘）

-教師總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)組合數(shù)的定義、計算公式和性質(zhì)。

-學(xué)生回顧本節(jié)課的重難點，如組合數(shù)公式的推導(dǎo)、組合數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用等。

-教師提問：如何運(yùn)用組合數(shù)解決實際問題？

-學(xué)生回答：通過實例分析，運(yùn)用組合數(shù)公式和性質(zhì)解決問題。

-教師點評并給予鼓勵，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)在實際生活中的應(yīng)用價值。

本節(jié)課用時共計45分鐘，教學(xué)流程環(huán)環(huán)相扣，既注重知識傳授，又注重學(xué)生能力的培養(yǎng)，體現(xiàn)了本節(jié)課的重點和難點。學(xué)生學(xué)習(xí)效果學(xué)生學(xué)習(xí)效果主要體現(xiàn)在以下幾個方面：

1.理解并掌握組合數(shù)的概念：學(xué)生在學(xué)習(xí)后能夠清晰地區(qū)分組合數(shù)與排列數(shù)的區(qū)別，理解組合數(shù)的定義和意義。他們能夠通過實例和公式推導(dǎo)過程，對組合數(shù)的概念有深刻的認(rèn)識。

2.熟練運(yùn)用組合數(shù)公式：學(xué)生能夠熟練地運(yùn)用組合數(shù)公式C(n,k)=n!/[k!*(n-k)!]進(jìn)行計算，解決實際問題。他們在練習(xí)題和課堂活動中展示了良好的計算能力和準(zhǔn)確性。

3.掌握組合數(shù)性質(zhì)：學(xué)生理解并掌握了組合數(shù)的性質(zhì)，如對稱性、遞推關(guān)系等。他們能夠在解決問題時靈活運(yùn)用這些性質(zhì)，提高解題效率。

4.提高邏輯推理能力：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生的邏輯推理能力得到提升。他們在推導(dǎo)組合數(shù)公式、分析組合數(shù)性質(zhì)時，需要運(yùn)用邏輯推理來得出結(jié)論。

5.增強(qiáng)數(shù)學(xué)建模能力：學(xué)生在解決實際問題時，能夠?qū)嶋H問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用組合數(shù)進(jìn)行計算和分析。這有助于他們提高數(shù)學(xué)建模能力，為解決更復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題打下基礎(chǔ)。

6.提升直觀想象能力：學(xué)生在學(xué)習(xí)組合數(shù)的過程中，通過實例和圖形的展示，能夠直觀地理解組合數(shù)的概念和性質(zhì)。這有助于他們提升直觀想象能力，將數(shù)學(xué)知識與實際生活相聯(lián)系。

7.培養(yǎng)團(tuán)隊合作精神：在實踐活動和小組討論環(huán)節(jié)，學(xué)生需要與他人合作，共同解決問題。這有助于他們培養(yǎng)團(tuán)隊合作精神，學(xué)會傾聽他人意見，提高溝通能力。

8.增強(qiáng)問題解決能力：學(xué)生在本節(jié)課的學(xué)習(xí)中，通過解決實際問題，提高了問題解決能力。他們能夠運(yùn)用所學(xué)知識解決生活中的各種問題，增強(qiáng)自信心。

9.提高學(xué)習(xí)興趣：通過對組合數(shù)的學(xué)習(xí)，學(xué)生對數(shù)學(xué)產(chǎn)生了濃厚的興趣。他們能夠?qū)?shù)學(xué)知識與實際生活相聯(lián)系，感受到數(shù)學(xué)的魅力。

10.形成知識體系：學(xué)生在學(xué)習(xí)組合數(shù)的過程中，逐漸形成了一個關(guān)于組合數(shù)的知識體系。他們能夠?qū)⑺鶎W(xué)知識與其他數(shù)學(xué)知識相聯(lián)系，提高整體數(shù)學(xué)素養(yǎng)。重點題型整理1.組合數(shù)的計算

-題型：計算給定條件下的組合數(shù)。

-例題：從5個不同的水果中選擇3個，不考慮順序，有多少種不同的組合方式？

-答案：C(5,3)=5!/[3!*(5-3)!]=10種。

2.組合數(shù)在生活中的應(yīng)用

-題型：運(yùn)用組合數(shù)解決實際問題。

-例題：一個班級有10名同學(xué)，需要從中選出3名代表參加比賽，有多少種不同的選舉方式？

-答案：C(10,3)=10!/[3!*(10-3)!]=120種。

3.組合數(shù)與排列數(shù)的比較

-題型：比較組合數(shù)和排列數(shù)在計算上的區(qū)別。

-例題：從5個不同的水果中選擇3個，如果考慮順序，有多少種不同的排列方式？

-答案：P(5,3)=5!/(5-3)!=60種。

4.組合數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用

-題型：運(yùn)用組合數(shù)的性質(zhì)解決實際問題。

-例題：一個籃球隊有5名球員，教練需要從中選擇3名首發(fā)球員，有多少種不同的首發(fā)組合？

-答案：由于組合數(shù)的對稱性，C(5,3)=C(5,2)=10種。

5.組合數(shù)與排列數(shù)的遞推關(guān)系

-題型：運(yùn)用組合數(shù)與排列數(shù)的遞推關(guān)系解決實際問題。

-例題：一個班級有10名同學(xué)，需要從中選出3名代表參加比賽，且至少有1名女生。如果班級中女生有5名，男生有5名，有多少種不同的選舉方式？

-答案：先計算所有可能的組合數(shù)，即C(10,3)。然后減去沒有女生的組合數(shù)，即C(5,3)。所以，C(10,3)-C(5,3)=120-10=110種。教學(xué)評價與反饋1.課堂表現(xiàn)：

-學(xué)生在課堂上的參與度較高，能夠積極回答問題，主動參與討論。

-學(xué)生在理解組合數(shù)概念和計算公式時，表現(xiàn)出較強(qiáng)的邏輯思維能力。

-學(xué)生在解決實際問題時，能夠?qū)⑺鶎W(xué)知識應(yīng)用到具體情境中，體現(xiàn)了良好的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。

2.小組討論成果展示：

-小組討論環(huán)節(jié)中，學(xué)生能夠積極參與，提出自己的觀點和見解。

-學(xué)生在討論中能夠傾聽他人意見，尊重他人觀點，展現(xiàn)出良好的團(tuán)隊合作精神。

-學(xué)生通過討論，能夠更深入地理解組合數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，提高了問題解決能力。

3.隨堂測試：

-測試內(nèi)容涵蓋了本節(jié)課的主要知識點，如組合數(shù)的定義、計算公式、性質(zhì)等。

-學(xué)生在測試中能夠準(zhǔn)確回答問題，表現(xiàn)出對知識點的掌握程度較高。

-測試結(jié)果反映出學(xué)生對組合數(shù)的理解和應(yīng)用能力，為后續(xù)教學(xué)提供了參考。

4.學(xué)生自評與互評：

-學(xué)生在課后進(jìn)行自評，反思自己在課堂上的表現(xiàn)，包括參與度、問題回答、小組討論等方面。

-學(xué)生之間進(jìn)行互評，互相指出優(yōu)點和不足，共同進(jìn)步。

-通過自評和互評，學(xué)生能夠認(rèn)識到自己的不足，進(jìn)一步提高學(xué)習(xí)效果。

5.教師評價與反饋：

-針對學(xué)生在課堂上的表現(xiàn)，教師給予及時、具體的評價和反饋。

-教師針對學(xué)生在理解組合數(shù)概念、計算公式和性質(zhì)方面的不足，提供針對性的輔導(dǎo)和指導(dǎo)。

-教師鼓勵學(xué)生在遇到困難時，主動尋求幫助，培養(yǎng)他們的自主學(xué)習(xí)能力。

-教師關(guān)注學(xué)生的個體差異，針對不同學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，制定個性化的教學(xué)策略。

-教師通過課后輔導(dǎo)和作業(yè)批改，了解學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)度，及時調(diào)整教學(xué)計劃。板書設(shè)計①組合數(shù)概念

-重點知識點：組合數(shù)的定義

-關(guān)鍵詞：從n個不同元素中，任取m（m≤n）個元素，不考慮順序，組成一個整體。

②組合數(shù)公式

-重點知識點：組合數(shù)計算公式

-關(guān)鍵詞：C(n,k)=n!/[k!*(n-k)!]

③組合數(shù)性質(zhì)

-重點知識點：組合數(shù)的性質(zhì)

-關(guān)鍵詞：對稱性C(n,k)=C(n,n-k)

-關(guān)鍵詞：遞推關(guān)系C(n,k)=C(n-1,k)+C(n-1,k-1)（k≥2）

-關(guān)鍵詞：組合數(shù)的和C(n,0)+C(n,1)+...+C(n,n)=2^n

④應(yīng)用實例

-重點知識點：組合數(shù)在實際問題中的應(yīng)用

-關(guān)鍵詞：實例分析、問題解決

⑤練習(xí)題

-重點知識點：組合數(shù)的計算和應(yīng)用

-關(guān)鍵詞：計算步驟、解題思路教學(xué)反思教學(xué)反思

今天這節(jié)課，我主要講解了組合數(shù)的概念、計算公式和性質(zhì)，以及它們在實際問題中的應(yīng)用?；仡櫼幌拢矣X得有幾個方面值得反思。

首先，我覺得在導(dǎo)入新課的時候，我用了生活中的實例來吸引學(xué)生的興趣，這是很必要的。但是，我發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生對于這些實例的理解并不夠深入，他們在解決實際問題時，還是不太能夠靈活運(yùn)用組合數(shù)的知識。這可能是因為我對實例的講解還不夠細(xì)致，或者是對學(xué)生的引導(dǎo)不夠到位。接下來，我需要在講解實例時，更加注重引導(dǎo)學(xué)生分析問題，讓他們自己發(fā)現(xiàn)如何運(yùn)用組合數(shù)來解決問題。

其次，我在講解組合數(shù)公式時，用了推導(dǎo)的方法，這樣可以讓學(xué)生理解公式的來源，但我也注意到，有些學(xué)生對于公式的推導(dǎo)過程感到困惑。我意識到，在講解公式推導(dǎo)時，我可能需要更加簡潔明了，避免過多的步驟和符號，讓學(xué)生能夠更容易地跟隨我的思路。

然后，我在課堂上安排了小組討論環(huán)節(jié)，目的是讓學(xué)生通過合作學(xué)習(xí)，加深對組合數(shù)性質(zhì)的理解。但是，我發(fā)現(xiàn)討論過程中，部分學(xué)生參與度不高，有的小組討論氛圍不夠熱烈。這可能是因為我對討論環(huán)節(jié)的指導(dǎo)不夠明確，或者是學(xué)