陜西省商洛市商南縣丹南三校聯(lián)考2024-2025學年九年級下學期3月月考數(shù)學試題（原卷版+解析版）

2024—2025年九年級下學期第一次月考試題一、選擇題（每小題3分，共24分）1.在中，，那么的度數(shù)是（）A. B. C. D.2.如圖，從山下乘纜車上山，纜繩與水平方向成的夾角，已知纜車速度為每分鐘米，從山腳到山頂需分鐘，則山的高度為（）

A米 B.米C米 D.米3.如圖，四邊形和相似，則和的大小分別為（）A30 B.33 C.30 D.334.如圖，中，，點在上，．若，則的長度為（）A. B. C. D.5.∠BAC放在正方形網(wǎng)格紙的位置如圖，則tan∠BAC的值為（）A. B. C. D.6.如圖，在中，，，的平分線交于點，交的延長線于點F，于點G，若，則的周長為（）A. B. C. D.7.如圖，A，B是反比例函數(shù)y=在第一象限內(nèi)圖象上的兩點，且A，B兩點的橫坐標分別是2和4，則△OAB的面積是（）A.4 B.3 C.2 D.18.如圖，在銳角中，，，分別為，邊上的高，點為的中點，連接，，，則結(jié)論：①；②；③當時，；④當時，為等邊三角形，一定正確的有（）A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③二、填空題（每小題3分，共15分）9.如圖，線段、相交于點，請你補充一個條件：______，使與是以點為位似中心的位似圖形．10.已知兩個相似三角形對應(yīng)角平分線的比為，且這兩個三角形的一對對應(yīng)高之差為，則這兩個三角形對應(yīng)高的長分別為___________．11.如圖，在中，．點在上，且，，若，則________．12.點，在反比例函數(shù)的圖象上，且當時，，寫出一個滿足條件的值為______．13.如圖，在中，，，，則的長為________．三、解答題（共81分）14.計算：15.如圖，在中，，請用尺規(guī)作圖法在上求作一點D，使得．16.如圖，在平行四邊形中，點在上，連接，點在上，連接，且．求證：．17.如圖，在平行四邊形中，延長至點E，使，連接交于點F．若，求的長．18.如圖，在中，，D為邊上一點，且，過點D作．交于點E．求證：．19.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，M是直角邊AC上一點，MN⊥AB于點N，AN=3，AM=4，求cosB的值．20.已知，．例：當，時，，據(jù)此求的值．21.如圖，小明想測量塔的高度，他在A處仰望塔頂，測得仰角為，再往塔的方向前進至塔的另一側(cè)B處，測得仰角為，那么該塔的高度有多高？(小明的身高忽略不計，結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：)22.如圖，為等腰直角三角形，，點D、E在線段上，．（1）求證：；（2）若，求的值．23.一路邊燈桿如圖所示，垂直于地面．小唯所在興趣小組要測量該燈桿的長度，將測角儀垂直于地面放置，移動位置并觀察，使A，B，F(xiàn)三點在一條直線上，此時在點F處測得點B的仰角為，興趣小組取點A正下方的點D，用皮尺測量出，，已知測角儀的高度為，點C，D，E在同一直線上．求燈桿的長度．（結(jié)果保留根號）24.如圖，在中，，過點A作，且．連接交于點O，以O(shè)為圓心，長為半徑作，交于點E．（1）求證：是的切線；（2）若的半徑為3，，求的長．25.如圖，在中，，，，動點P從點A開始沿著邊AB向點B以1cm/s的速度移動，動點Q從點B開始沿著邊BC向點C以2cm/s的速度移動．若P、Q兩點同時開始運動，當點P運動到點B時停止，點Q也隨之停止．設(shè)運動時間為．（1）當移動幾秒時，的面積為？（2）當移動幾秒時，以B、P、Q為頂點的三角形與相似？26.問題提出（1）如圖①，在中，，，，則的面積為________．問題探究（2）如圖②，已知矩形，，，點是矩形內(nèi)一點，的面積為矩形面積的，且，求滿足條件的點到點的距離．問題解決（3）陜西省漢中市留壩縣地處秦嶺南麓腹地，憑借著森林覆蓋率高、平均氣溫低等特點，吸引著眾多游客前來度假避暑．如圖③，某開發(fā)商計劃修建一個四邊形度假山莊，根據(jù)設(shè)計要求：，，，，為了豐富游客的游玩體驗，要求度假山莊的面積盡可能的大，請問是否存在符合設(shè)計要求的最大面積的度假山莊？若存在，求出四邊形的最大面積；若不存在，請說明理由．

2024—2025年九年級下學期第一次月考試題一、選擇題（每小題3分，共24分）1.在中，，那么的度數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】此題考查了特殊角的三角函數(shù)值，根據(jù)，，即可求出答案．【詳解】解：∵是直角三角形，，∴是銳角，∵，∴，故選：C．2.如圖，從山下乘纜車上山，纜繩與水平方向成的夾角，已知纜車速度為每分鐘米，從山腳到山頂需分鐘，則山的高度為（）

A.米 B.米C.米 D.米【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了解直角三角形的實際應(yīng)用，先求出的長，再根據(jù)正弦的定義即可得到答案．【詳解】解：由題意得（米），在中，，，（米），故選A．3.如圖，四邊形和相似，則和的大小分別為（）A.30 B.33 C.30 D.33【答案】D【解析】【分析】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)得出對應(yīng)角相等及對應(yīng)邊成比例即可得出答案．【詳解】由圖可知，，，，，，，四邊形和相似，，,即,,故答案為：D．4.如圖，中，，點在上，．若，則的長度為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)，求出AB=5，再根據(jù)勾股定理求出BC=3，然后根據(jù)，即可得cos∠DBC=cosA=，即可求出BD．【詳解】∵∠C=90°，∴，∵，∴AB=5，根據(jù)勾股定理可得BC==3，∵，∴cos∠DBC=cosA=，∴cos∠DBC==，即=∴BD=，故選：C．【點睛】本題考查了解直角三角形和勾股定理，求出BC的長是解題關(guān)鍵．5.∠BAC放在正方形網(wǎng)格紙的位置如圖，則tan∠BAC的值為（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】連接CD，再利用勾股定理分別計算出AD、AC、BD的長，然后再根據(jù)勾股定理逆定理證明∠ADC=90°，再利用三角函數(shù)定義可得答案．【詳解】連接CD，如圖：，CD=，AC=∵，∴∠ADC=90°，∴tan∠BAC==．故選D．【點睛】本題主要考查了勾股定理，勾股定理逆定理，以及銳角三角函數(shù)定義，關(guān)鍵是證明∠ADC=90°．6.如圖，在中，，，的平分線交于點，交的延長線于點F，于點G，若，則的周長為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，，，再根據(jù)等腰三角形的判定與性質(zhì)可得，，從而可得，然后證出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得的長，最后根據(jù)三角形的周長公式求解即可得．【詳解】解：∵在中，，，∴，，，∴，∵的平分線交于點，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，又∵，∴，∴，即，∴，∴的周長為，故選：D．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．7.如圖，A，B是反比例函數(shù)y=在第一象限內(nèi)的圖象上的兩點，且A，B兩點的橫坐標分別是2和4，則△OAB的面積是（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征及A，B兩點的橫坐標，求出A（2，2），B（4，1）．再過A，B兩點分別作AC⊥x軸于C，BD⊥x軸于D，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義得出S△AOC=S△BOD=×4=2．根據(jù)S四邊形AODB=S△AOB+S△BOD=S△AOC+S梯形ABDC，得出S△AOB=S梯形ABDC，利用梯形面積公式求出S梯形ABDC=（BD+AC）?CD=×（1+2）×2=3，從而得出S△AOB=3．【詳解】∵A，B是反比例函數(shù)y=在第一象限內(nèi)的圖象上的兩點，且A，B兩點的橫坐標分別是2和4，∴當x=2時，y=2，即A（2，2），當x=4時，y=1，即B（4，1），如圖，過A，B兩點分別作AC⊥x軸于C，BD⊥x軸于D，則S△AOC=S△BOD=×4=2，∵S四邊形AODB=S△AOB+S△BOD=S△AOC+S梯形ABDC，∴S△AOB=S梯形ABDC，∵S梯形ABDC=（BD+AC）?CD=×（1+2）×2=3，∴S△AOB=3，故選B．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)中k的幾何意義，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，梯形的面積，熟知反比例函數(shù)圖象上的點與原點所連的線段、坐標軸、向坐標軸作垂線所圍成的直角三角形面積S與k的關(guān)系為S=|k|是解題的關(guān)鍵．8.如圖，在銳角中，，，分別為，邊上的高，點為的中點，連接，，，則結(jié)論：①；②；③當時，；④當時，為等邊三角形，一定正確的有（）A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③【答案】C【解析】【分析】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半等知識，熟練掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題關(guān)鍵．根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，，由此即可判斷①正確；根據(jù)余弦的定義可得，，由此即可判斷②正確；在中，解直角三角形即可判斷③錯誤；先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，最后根據(jù)等邊三角形的判定即可判斷④正確．【詳解】解：∵，分別為，邊上的高，點為的中點，∴，，∴，則結(jié)論①正確；在中，，在中，，∴，即，則結(jié)論②正確；∵在中，，，∴，則結(jié)論③錯誤；∵，，∴，∵為邊上的高，點為的中點，∴，∴，又∵，∴為等邊三角形，則結(jié)論④正確；綜上，結(jié)論正確的有①②④，故選：C．二、填空題（每小題3分，共15分）9.如圖，線段、相交于點，請你補充一個條件：______，使與是以點為位似中心的位似圖形．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】本題考查了位似圖形“看兩個相似多邊形的對應(yīng)頂點所在的直線是否相交于一點，相交于一點的就是位似圖形”，熟練掌握位似圖形的定義是解題關(guān)鍵．補充條件使得即可得．【詳解】解：補充條件，則，所以與是以點為位似中心的位似圖形．故答案為：（答案不唯一）．10.已知兩個相似三角形對應(yīng)角平分線的比為，且這兩個三角形的一對對應(yīng)高之差為，則這兩個三角形對應(yīng)高的長分別為___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵兩個相似三角形對應(yīng)角平分線的比為，∴對應(yīng)的高的比為，設(shè)高分別為，∵對應(yīng)高之差為，∴，解得，，∴兩個三角形對應(yīng)高分別是，故答案為：．【點睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的對應(yīng)邊高的比等于相似比是解題的關(guān)鍵．11.如圖，在中，．點在上，且，，若，則________．【答案】2【解析】【分析】過點D作于點F，首先根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)得到，然后證明出，利用相似三角形的性質(zhì)得到，求出，然后利用求解即可．【詳解】如圖所示，過點D作于點F，∵，∴是等腰三角形，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∵，∴，，解得．故答案為：2．【點睛】此題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定，三角函數(shù)的運用等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點．12.點，在反比例函數(shù)的圖象上，且當時，，寫出一個滿足條件的值為______．【答案】2（答案不唯一）【解析】【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的增減性是解題關(guān)鍵．判斷出在每一象限內(nèi)，隨的增大而增大，從而可得，解不等式可得，由此即可得．【詳解】解：∵點，在反比例函數(shù)的圖象上，且當時，，∴在每一象限內(nèi)，隨的增大而增大，∴，解得，∴寫出一個滿足條件的值為，故答案為：2（答案不唯一）．13.如圖，在中，，，，則的長為________．【答案】【解析】【分析】本題考查了三角函數(shù)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，過點A作，結(jié)合三角函數(shù)值，分別求出、的長度，即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)題意，過點A作，如圖：∴，都是直角三角形，∵，設(shè)，，∴，解得：（負值已舍去），∴，，∵，∴，∴；故答案為：．三、解答題（共81分）14.計算：【答案】【解析】【分析】本題考查了含特殊角的三角函數(shù)值的混合運算、零指數(shù)冪、二次根式的混合運算，熟練掌握運算法則是解題關(guān)鍵．先計算含特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)冪，再計算二次根式的乘除法，然后計算二次根式的加減法即可得．【詳解】解：．15.如圖，中，，請用尺規(guī)作圖法在上求作一點D，使得．【答案】見解析【解析】【分析】作線段的垂直平分線交于點D，連接，點D即為所求．【詳解】解：如圖，作線段的垂直平分線交于點D，連接，則點D即為所求．∵，∴，∵線段的垂直平分線交于點D，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查作圖?相似變換，理解題意，靈活運用所學知識解決問題是解題的關(guān)鍵．16.如圖，在平行四邊形中，點在上，連接，點在上，連接，且．求證：．【答案】證明見解析【解析】【分析】本題考查了相似三角形的判定定理和平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題干結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)，推導和中對應(yīng)角的等量關(guān)系，利用相似三角形判定定理“兩角對應(yīng)相等，兩個三角形相似”得證．【詳解】證明：四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，又（兩角對應(yīng)相等，兩個三角形相似）．17.如圖，在平行四邊形中，延長至點E，使，連接交于點F．若，求的長．【答案】6【解析】【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，正確找出兩個相似三角形是解題關(guān)鍵．先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，從而可得，再證出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)線段的和差可得，由此即可得．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．18.如圖，在中，，D為邊上一點，且，過點D作．交于點E．求證：．【答案】見解析【解析】【分析】此題考查了相似三角形的判定，熟記相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)直角三角形的性質(zhì)及垂直定義求出，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出，進而求出，再根據(jù)“兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似”即可得證．【詳解】證明：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，又∵，∴．19.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，M是直角邊AC上一點，MN⊥AB于點N，AN=3，AM=4，求cosB的值．【答案】．【解析】【分析】易證得△AMN∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到==，設(shè)AC=3x，AB=4x，由勾股定理得：BC=x，在Rt△ABC中，根據(jù)三角函數(shù)可求cosB．【詳解】∵∠C=90°，MN⊥AB，∴∠C=∠ANM=90°，又∵∠A=∠A，∴△AMN∽△ABC，∴==，設(shè)AC=3x，AB=4x，由勾股定理得：BC==，在Rt△ABC中，cosB=．【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，本題關(guān)鍵是表示出BC，AB．20.已知，．例：當，時，，據(jù)此求的值．【答案】【解析】【分析】本題考查了含特殊角的三角函數(shù)值的混合運算、二次根式的混合運算，理解題干中的公式是解題關(guān)鍵．根據(jù)，利用題干中的公式計算即可得．【詳解】解：．21.如圖，小明想測量塔的高度，他在A處仰望塔頂，測得仰角為，再往塔的方向前進至塔的另一側(cè)B處，測得仰角為，那么該塔的高度有多高？(小明的身高忽略不計，結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：)【答案】該塔的高度約為【解析】【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握解直角三角形的方法是解題關(guān)鍵．設(shè)該塔的高度為，在和中，解直角三角形可得的長，然后根據(jù)建立方程，解方程即可得．【詳解】解：設(shè)該塔的高度為，由題意得：，，，，在中，，在中，，∵，∴，解得，答：該塔的高度約為．22.如圖，為等腰直角三角形，，點D、E在線段上，．（1）求證：；（2）若，求的值．【答案】（1）見解析（2）16【解析】【分析】本題主要考查了相似三角形的判定以及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定以及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）由等腰三角形的性質(zhì)可得出，再證明，即可得出．（2）由相似三角形的性質(zhì)可得出，再結(jié)合已知條件可得出的值．【小問1詳解】證明：∵為等腰直角三角形，，∴，∴，∵，，∴，又，∴；【小問2詳解】解：∵，∴∴，∵，∴．23.一路邊燈桿如圖所示，垂直于地面．小唯所在的興趣小組要測量該燈桿的長度，將測角儀垂直于地面放置，移動位置并觀察，使A，B，F(xiàn)三點在一條直線上，此時在點F處測得點B的仰角為，興趣小組取點A正下方的點D，用皮尺測量出，，已知測角儀的高度為，點C，D，E在同一直線上．求燈桿的長度．（結(jié)果保留根號）【答案】【解析】【分析】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、解直角三角形的應(yīng)用等知識，熟練掌握解直角三角形的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．過點作的平行線，分別交于點，先得出四邊形和四邊形都是矩形，再在和中，解直角三角形求出的長，由此即可得．【詳解】解：如圖，過點作的平行線，分別交于點，由題意得：，，，，∴，，∴四邊形和四邊形都是矩形，∴，，，在中，，中，，，∴，，∴，答：燈桿的長度為．24.如圖，在中，，過點A作，且．連接交于點O，以O(shè)為圓心，長為半徑作，交于點E．（1）求證：是的切線；（2）若的半徑為3，，求的長．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）過點作于點，先證出平分，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可得，則是的半徑，然后根據(jù)圓的切線的判定即可得證；（2）過點作于點，先解直角三角形可得，利用勾股定理可得，從而可得，再解直角三角形可得，利用勾股定理可得，然后證出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得的長，最后根據(jù)即可得．【小問1詳解】證明：如圖，過點作于點，∵，∴，∵，∴，∴，即平分，∵，，即，∴，∴是的半徑，又∵，∴是的切線．【小問2詳解】解：如圖，過點作于點，由（1）已得：，∵的半徑為3，∴，在中，，∴，∴，在中，，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴．【點睛】本題考查了圓的切線的判定、角平分線的性質(zhì)定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理等知識，熟練掌握圓的切線的判定和解直角三角形的方法是解題關(guān)鍵．25.如圖，在中，，，，動點P從點A開始沿著邊AB向點B以1cm/s的速度移動，動點Q從點B開始沿著邊BC向點C以2cm/s的速度移動．若P、Q兩點同時開始運動，當點P運動到點B時停止，點Q也隨之停止．設(shè)運動時間為．（1）當移動幾秒時，的面積為？（2）當移動幾秒時，以B、P、Q為頂點的三角形與相似？【答案】（1）3秒（2）3秒或秒【解析】【分析】（1）求出運動時間為t秒時PB、BQ的長度，根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合△BPQ的面積為9cm2，即可得出關(guān)于t的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論；（2）分兩種情況：①當△BPQ∽△BAC時，②當△BPQ∽△BCA時，分別利用相似三角形的性質(zhì)列式求解即可．【小問1詳解】解：運動時間為t秒時（0≤t≤6），PB＝6?t，BQ＝2t，由題意得：＝PB·BQ＝（6?t）·2t＝＝9，解得：，答：當移動3秒時，△BPQ的面積為9cm2；【小問2詳解】分兩種情況：①當△BPQ∽△BAC時，則，即，解得：，②當△BPQ∽△BCA時，則，即，解得：，綜上，當移動3秒或秒時，以B、P、Q為頂點的三角形與相似．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用以及相似三角形的性質(zhì)，正確理解題意，列出方程或比例式是解答此題的關(guān)鍵．26.問題提出（1）如圖①，在中，，，，則的面積為________．問題探究（2）如圖②，已知矩形，，，點是矩形內(nèi)一點，的面積為矩形面積的，且，求滿足條件的點到點的距離．問題解決（3）陜西省漢中市留壩縣地處秦嶺南麓腹地，憑借著森林覆蓋率高、