（人教A版）高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中復(fù)習(xí)考點題型講練 專題06離散型隨機變量的數(shù)字特征（2個知識點1個拓展1個突破6種題型2個易錯點）（原卷版）

專題06離散型隨機變量的數(shù)字特征（2個知識點1個拓展1個突破6種題型2個易錯點）【目錄】倍速學(xué)習(xí)四種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識點1.離散型隨機變量的均值知識點2.離散型隨機變量的方差拓展：離散型隨機變量均值與方差的定義與性質(zhì)突破：均值與方差在決策中的應(yīng)用【方法二】實例探索法題型1.求離散型隨機變量的均值（數(shù)學(xué)期望）題型2.離散型隨機變量均值的性質(zhì)題型3.離散型隨機變量均值的應(yīng)用題型4離散型隨機變量的方差題型5.離散型隨機變量方差的性質(zhì)題型6.離散型隨機變量的方差的應(yīng)用【方法三】差異對比法易錯點1.求隨機變量的均值時因分布列不準確致誤易錯點2.錯用公式致誤【方法四】成果評定法【知識導(dǎo)圖】【倍速學(xué)習(xí)五種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識點1.離散型隨機變量的均值一離散型隨機變量的均值1．離散型隨機變量的均值的概念一般地，若離散型隨機變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝為隨機變量X的均值或數(shù)學(xué)期望．2．離散型隨機變量的均值的意義均值是隨機變量可能取值關(guān)于取值概率的加權(quán)平均數(shù)，它綜合了隨機變量的取值和取值的概率，反映了隨機變量取值的平均水平．3．離散型隨機變量的均值的性質(zhì)若Y＝aX＋b，其中a，b均是常數(shù)(X是隨機變量)，則Y也是隨機變量，且有E(aX＋b)＝aE(X)＋b.證明如下：如果Y＝aX＋b，其中a，b為常數(shù)，X是隨機變量，那么Y也是隨機變量．因此P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi)，i＝1,2,3，…，n，所以Y的分布列為Yax1＋bax2＋b…axi＋b…axn＋bPp1p2…pi…pn于是有E(Y)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aE(X)＋b，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b.思考離散型隨機變量的均值與樣本平均值之間的關(guān)系如何？答案(1)區(qū)別：隨機變量的均值是一個常數(shù)，它不依賴于樣本的抽取，而樣本平均值是一個隨機變量，它隨樣本抽取的不同而變化．(2)聯(lián)系：對于簡單的隨機樣本，隨著樣本容量的增加，樣本平均值越來越接近于總體的均值．二、兩點分布的均值如果隨機變量X服從兩點分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p.例1．（2023上·全國·高三專題練習(xí)）已知隨機變量的分布列為X12345P0.10.30.40.10.1則；.知識點2.離散型隨機變量的方差離散型隨機變量的方差、標準差設(shè)離散型隨機變量X的分布列如表所示．Xx1x2…xnPp1p2…pn我們用X所有可能取值xi與E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2，…，(xn－E(X))2，關(guān)于取值概率的加權(quán)平均，來度量隨機變量X取值與其均值E(X)的偏離程度．我們稱D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝(xi－E(X))2pi為隨機變量X的方差(variance)，有時也記為Var(X)，并稱eq\r(DX)為隨機變量X的標準差(standarddeviation)，記為σ(X)．二、離散型隨機變量方差的性質(zhì)1．設(shè)a，b為常數(shù)，則D(aX＋b)＝a2D(X)．2．D(c)＝0(其中c為常數(shù))．例2.（2024上·遼寧遼陽·高二統(tǒng)考期末）小明參加某射擊比賽，射中得1分，未射中扣1分，已知他每次能射中的概率為，記小明射擊2次的得分為X，則（

）A． B． C． D．拓展：離散型隨機變量均值與方差的定義與性質(zhì)3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知X的分布列為X01P則下列結(jié)論正確的是（

）．A． B． C． D．突破：均值與方差在決策中的應(yīng)用4．（2021上·重慶黔江·高三重慶市黔江中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎的方式對500位顧客進行獎勵，規(guī)定：每位顧客從一個裝有4個標有面值的球的袋中一次性隨機摸出2個球，球上所標的面值之和為該顧客所獲的獎勵額.(1)若袋中所裝的4個球中有1個所標的面值為45元，其余3個均為15元，求顧客所獲的獎勵額為60元的概率；(2)商場對獎勵總額的預(yù)算是30000元，為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預(yù)算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡，請從如下兩種方案中選擇一種，并說明理由.方案一：袋中的4個球由2個標有面值15元和2個標有面值45元的兩種球組成；方案二：袋中的4個球由2個標有面值20元和2個標有面值40元的兩種球組成.【方法二】實例探索法題型1.求離散型隨機變量的均值（數(shù)學(xué)期望）1．（2023下·北京懷柔·高二?？计谥校┮阎?，且，記隨機變量為x，y，z中的最大值，則.題型2.離散型隨機變量均值的性質(zhì)2．多選題（2023上·高二課時練習(xí)）隨機變量和，其中，且，若的分布列如表：X1234Pmn則下列正確的是（

）A． B．C． D．題型3.離散型隨機變量均值的應(yīng)用3．（2024上·山東濱州·高三統(tǒng)考期末）杭州亞運會的三個吉祥物是琮琮、宸宸和蓮蓮，他們分別代表了世界遺產(chǎn)良渚古城遺址、京杭大運河和西湖，分別展現(xiàn)了不屈不撓、堅強剛毅的拼搏精神，海納百川的時代精神和精致和諧的人文精神．某經(jīng)銷商提供如下兩種方式購買吉祥物，方式一：以盲盒方式購買，每個盲盒20元，盲盒外觀完全相同，內(nèi)部隨機放有琮琮、宸宸和蓮蓮三款中的一款或者為空盒，只有拆開才會知道購買情況，買到各種盲盒是等可能的；方式二：直接購買吉祥物，每個30元．(1)小明若以方式一購買吉祥物，每次購買一個盲盒并拆開．求小明第3次購買時恰好首次出現(xiàn)與已買到的吉祥物款式相同的概率；(2)為了集齊三款吉祥物，現(xiàn)有兩套方案待選，方案一：先購買一個盲盒，再直接購買剩余的吉祥物；方案二：先購買兩個盲盒，再直接購買剩余吉祥物．若以所需費用的期望值為決策依據(jù)，小明應(yīng)選擇哪套方案？題型4離散型隨機變量的方差2．單選題（2024上·河南南陽·高二南陽市第五中學(xué)校校聯(lián)考期末）已知隨機變量，滿足，且，則（

）A．16 B．8 C．4 D．題型5.離散型隨機變量方差的性質(zhì)5．（2024上·遼寧遼陽·高二統(tǒng)考期末）已知某人每次投籃的命中率為，投進一球得1分，投不進得0分，記投籃一次的得分為X，則的最大值為．題型6.離散型隨機變量的方差的應(yīng)用6．（2023上·安徽·高三安徽省懷遠第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）投資甲，乙兩種股票，每股收益的分布列分別如表1和表2所示．表1

股票甲收益的分布列收益X（元）02概率0.10.30.6表2

股票乙收益的分布列收益Y（元）012概率0.30.40.3關(guān)于兩種股票，下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．投資股票甲的期望收益較大 D．投資股票甲比投資股票乙風(fēng)險高【方法三】差異對比法易錯點1.求隨機變量的均值時因分布列不準確致誤1．（2023上·四川雅安·高三校聯(lián)考期中）為了促進消費，某商場針對會員客戶推出會員積分兌換商品活動：每位會員客戶可在價值80元，90元，100元的，，三種商品中選擇一種使用積分進行兌換，每10積分可兌換1元.已知參加活動的甲、乙兩位客戶各有1000積分，且甲兌換，，三種商品的概率分別為，，，乙兌換，，三種商品的概率分別為，，，且他們兌換何種商品相互獨立.(1)求甲、乙兩人兌換同一種商品的概率；(2)記為兩人兌換商品后的積分總余額，求的分布列與期望易錯點2.錯用公式致誤2．多選題（2023·浙江臺州·統(tǒng)考二模）已知,隨機變量的分布列為:則(

)A． B．C． D．【方法四】成果評定法一、單選題1．（2023·高二課時練習(xí)）兩點分布也叫分布，已知隨機變量服從參數(shù)為的兩點分布，則下列選項中不正確的是（

）A． B． C． D．2．（2022下·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）已知隨機變量X的分布列如下表(其中a為常數(shù))X0123P0.20.30.4a則下列計算結(jié)果正確的是（

）A． B． C． D．3．（2021下·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知隨機變量的分布列是01隨機變量的分布列是123以下錯誤的為（

）A． B．C． D．4．（2021·高二課時練習(xí)）已知隨機變量X滿足D(X)＝2，則D(3X＋2)＝（）A．6 B．8C．18 D．205．（2020下·全國·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知甲盒中僅有1個球且為紅球，乙盒中有個紅球和個籃球且，從乙盒中隨機抽取個球放入甲盒中，放入個球后，甲盒中含有紅球的個數(shù)記為，則下列結(jié)論錯誤的是（）A． B．C． D．6．（2021下·高二課時練習(xí)）設(shè)隨機變量X的分布列為P(X=)=ak(k=1，2，3，4)，a為常數(shù)，則A．a(chǎn)= B．P(X>)= C．P(X<4a)= D．E(X)=7．（2021下·高二課時練習(xí)）設(shè)，，隨機變量X的分布列如表：則當內(nèi)增大時（

）Xa1bPA．增大 B．減小C．先增大后減小 D．先減小后增大8．（2020上·浙江溫州·高三溫州中學(xué)校考階段練習(xí)）若隨機變量X滿足，N為正整數(shù)，則當時，的值最接近（

）A．0 B． C． D．1二、多選題9．（2023下·山東煙臺·高二統(tǒng)考期中）在平面直角坐標系的第一象限內(nèi)隨機取一個整數(shù)點，若用隨機變量表示從這個點中隨機取出的一個點的橫、縱坐標之和，表示，同時發(fā)生的概率，則（

）A．當時，B．當時，C．當時，的均值為D．當（且）時，10．（2020·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）新冠肺炎疫情發(fā)生后，我國加緊研發(fā)新型冠狀病毒疫苗，某醫(yī)藥研究所成立疫苗研發(fā)項目，組建甲、乙兩個疫苗研發(fā)小組，且兩個小組獨立開展研發(fā)工作.已知甲小組研發(fā)成功的概率為，乙小組研發(fā)成功的概率為.該研發(fā)項目的獎金為100萬元，分配方案是：若只有某一小組研發(fā)成功，則該小組獲得全部獎金；若兩個小組都研發(fā)成功，則平分全部獎金；若兩個小組均未研發(fā)成功，則均不獲得獎金.則（

）A．該研究所疫苗研發(fā)成功的概率為B．乙小組獲得全部獎金的概率為C．在疫苗研發(fā)成功的情況下，是由甲小組研發(fā)成功的概率為D．甲小組獲得獎金的期望值為60萬元11．（2023下·黑龍江哈爾濱·高二哈師大附中?？计谀┮缓兄杏?個乒乓球，其中5個未使用過，2個已使用過，第一次從盒子中任取3個球來用，用完后再裝回盒中，記此時盒子中已使用過的球的個數(shù)為，第二次從盒子中任取2個球，設(shè)其中新球的個數(shù)為隨機變量，則（

）A．的所有可能取值是3，4，5 B．C． D．12．（2023·山東·山東省實驗中學(xué)校考二模）在平面直角坐標系的第一象限內(nèi)隨機取一個整數(shù)點，若用隨機變量表示從這個點中隨機取出的一個點的橫、縱坐標之和，表示，同時發(fā)生的概率，則（

）A．當時，B．當時，C．當時，的均值為D．當（且）時，三、填空題13．（2022上·高二課時練習(xí)）已知隨機變量的分布列如表:X-10bPab若X的數(shù)學(xué)期望，則.14．（2022下·北京·高二首都師范大學(xué)附屬中學(xué)校考期中）從3臺甲型彩電和2臺乙型彩電中不放回地抽3次，每次抽取1臺，設(shè)抽取的乙型彩電臺數(shù)為，則．15．隨機變量的概率分布為，其中是常數(shù)，則．16．（2021·全國·高二專題練習(xí)）已知隨機變量的分布列如下表：01其中，則的最大值是.四、解答題17．（2022下·重慶九龍坡·高二四川外國語大學(xué)附屬外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）據(jù)調(diào)查，目前對于已經(jīng)近視的小學(xué)生，有兩種配戴眼鏡的選擇，一種是佩戴傳統(tǒng)的框架眼鏡；另一種是佩戴角膜塑形鏡，這種眼鏡是晚上睡覺時佩戴的一種特殊的隱形眼鏡（因其在一定程度上可以減緩近視的發(fā)展速度，所以越來越多的小學(xué)生家長選擇角膜塑形鏡控制孩子的近視發(fā)展），A市從該地區(qū)小學(xué)生中隨機抽取容量為100的樣本，其中因近視佩戴眼鏡的有24人（其中佩戴角膜塑形鏡的有8人，其中2名是男生，6名是女生）(1)若從樣本中選一位學(xué)生，已知這位小學(xué)生戴眼鏡，那么，他戴的是角膜塑形鏡的概率懸多大?(2)從這8名跟角膜塑形鏡的學(xué)生中，選出3個人，求其中男生人數(shù)的期望與方差；(3)若將樣本的頻率當做估計總體的概率，請問，從市的小學(xué)生中，隨機選出20位小學(xué)生，記其中佩戴角膜塑形鏡的人數(shù)為Y，求恰好時的概率（不用化簡）及Y的方差.18．（2024·吉林白山·統(tǒng)考一模）俗話說：“人配衣服，馬配鞍”．合理的穿搭會讓人舒適感十足，給人以賞心悅目的感覺．張老師準備參加某大型活動，他選擇服裝搭配的顏色規(guī)則如下：將一枚骰子連續(xù)投擲兩次，兩次的點數(shù)之和為3的倍數(shù)，則稱為“完美投擲”，出現(xiàn)“完美投擲”，則記；若擲出的點數(shù)之和不是3的倍數(shù)，則稱為“不完美投擲”，出現(xiàn)“不完美投擲”，則記；若，則當天穿深色，否則穿淺色．每種顏色的衣物包括西裝和休閑裝，若張老師選擇了深色，再選西裝的可能性為，而選擇了淺色后，再選西裝的可能性為．(1)求出隨機變量的分布列，并求出期望及方差；(2)求張老師當天穿西裝的概率．19．（2024上·遼寧遼陽·高二統(tǒng)考期末）為了推動足球運動的發(fā)展，某足球比賽允許不同俱樂部的運動員參加．現(xiàn)有來自甲俱樂部的運動員4名，其中知名選手2名；乙俱樂部的運動員5名，其中知名選手3名．從這9名運動員選擇5名參加比賽．(1)求選出的5人中恰有2人是知名選手，且這2名知名選手來自同一俱樂部的概率；(2)設(shè)隨機變量X為選出的5人中知名選手的人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．20．（2023上·山東日照·高二山東省日照實驗高級中學(xué)校考階段練習(xí)）甲乙兩人進行定點投籃游戲，投籃者若投中，則繼續(xù)投籃，否則由對方投籃，第一次由甲投；已知每次投籃甲、乙命中的概率分別為，.在前3次投籃中，乙投籃的次數(shù)為，求隨機變量的概率分布、數(shù)學(xué)期望和方差．21．（2024上·吉