大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)講義（上）

大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)講義（上）

第一講函數(shù)的性質(zhì)..............................................3

一、知識要點..........................................................................3

二、熱身練習(xí)..........................................................................6

三、真題講解..........................................................................7

四、強化訓(xùn)練.........................................................................9

第二講導(dǎo)數(shù)................................................................................................................................................14

一、知識方法拓展....................................................................14

二、熱身練習(xí)........................................................................16

三、真題精講........................................................................17

四、重點總結(jié)........................................................................19

五、強化訓(xùn)練........................................................................19

第三講微積分初步.............................................30

一、知識方法拓展....................................................................30

二、熱身練習(xí)........................................................................32

三、真題講解........................................................................34

四、重點總結(jié)........................................................................37

五、強化訓(xùn)練........................................................................37

六、參考答案........................................................................41

第四講方程與根...............................................44

一、知識方法拓展...................................................................44

二、熱身訓(xùn)練........................................................................46

三、真題精講........................................................................48

四、重點總結(jié)........................................................................50

五、強化訓(xùn)練........................................................................50

第五講基本不等式及其應(yīng)用...................................56

一、知識方法拓展....................................................................56

二、熱身練習(xí)：......................................................................57

三、精講名題：......................................................................58

四、強化訓(xùn)練........................................................................60

第六講不等式的證明與應(yīng)用...................................64

一、知識方法拓展....................................................................64

二、熱身練習(xí)：......................................................................65

三、精解名題：......................................................................66

四、強化訓(xùn)練........................................................................69

第七講遞推數(shù)列..............................................71

1

一、知識方法拓展...................................................................71

二、熱身練習(xí)........................................................................73

三、真題精講........................................................................74

四、重點總結(jié)........................................................................77

五、強化訓(xùn)練........................................................................78

第八講數(shù)列求和，極限和數(shù)學(xué)歸納法..........................82

一、知識方法拓展....................................................................82

二、熱身練習(xí)........................................................................83

三、真題精講........................................................................84

四、重點總結(jié)........................................................................88

五、強化訓(xùn)練........................................................................89

2

第一講函數(shù)的性質(zhì)

一、知識要點

1、映射

對于任意兩個集合AB,依對應(yīng)法則f,若對A中的任意一個元素X,在B中都有唯一

一個元素與之對應(yīng)，則稱f：AB為一個映射，記作f:AB,其中b稱為像，a稱為原

像。

如果f：AB是一個映射且對任意x,yA,xy,都有fxfy，則

f：AB是A到B上稱之為單射.

如果f:AB是映射且對任意yB,都有一個xA使得fxy,則稱

f：AB是A到B上的滿射.

如果f：AB既是單射又是滿射，則f:AB是A到B上叫做一一映射.

如果f：AB是從集合A到集合B上的一一映射，并且對于B中每一個元素b，使b

在A中的原像a和它對應(yīng)，這樣所得的映射叫做f：AB的逆映射，記作fi：BA.

2、函數(shù)方程問題

（1）代換法（或換元法）

把函數(shù)方程中的自變量適當?shù)匾詣e的自變量代換（代換時應(yīng)注意使函數(shù)的定義域不會發(fā)

生變化），得到一個新的函數(shù)方程，然后設(shè)法求得位置函數(shù)

11

例,設(shè)ab0,ab,求一X一,xt帶

22入）

afxbfex的解.（【解析】

分別用

x

（2）待定系數(shù)法

當函數(shù)方程中的未知數(shù)是多項式時，可待定系數(shù)而求解.

例.已知fXfX是一次函數(shù)，且XX

SOQfXffX101024

1UZO1nn1

求fX.（［解析］設(shè)fxaxba0求解）

3、函數(shù)對稱性以及周期性

1）已知函數(shù)yfx,若函數(shù)ygx圖像與yx圖像關(guān)于：

3

直線Xa對稱，則gX2ax

直線yb對稱，則gx2bX

點a,b對稱，則gx2b2ax

2)已知函數(shù)yx圖像關(guān)于：

直線xa對稱，則fx2ax

點a,b對稱,則x2b2ax，即fx2ax

2b。

3)常用：若函數(shù)ygX圖像與yX圖像關(guān)于：

y軸對稱，貝UgxX

X軸對稱，則gxX

原點對稱，則gXX

ab

4)若fxabX則yx對

x圖像關(guān)于直線稱；

―2

ab對稱；

c

若fxabxc,則y-fx圖像

關(guān)于點，

22

,,,ba

若yf―x-a與yf-b-------x-------對

x關(guān)于直線稱丁

2

5）若fxTfx.則函數(shù)yfx是以T為周期的函數(shù)。

6)若fxax,則fx2axafx

fx，即T2a;

111,即T

fxa，則fx2a2a;

fx

若

fx

fxa

1

fx

111,即T

fxafx2a2ao

fx

若，則

fx

fxa

1

x

x為以2ba為周期的周期

7）若fX關(guān)于直線Xa和xbab對稱，則f

函數(shù)；

為以為周期的周期函數(shù)；

若fx關(guān)于點a.O和xbab對稱，則fx4ba

4

若fX關(guān)于點ay和byab對稱,則fx為以2ba為周期的周期函

數(shù).

J>

00

4、抽象函數(shù)問題的解法

抽象函數(shù)是指沒有給出具體的函數(shù)解析式或圖像，只給出一些函數(shù)符號極其滿足的條件

的函數(shù)，如給出定義域、解析遞推式、特定點的函數(shù)值、特定的運算性質(zhì)等，它是高中函數(shù)

的難點，也是與高等數(shù)學(xué)函數(shù)部分的一個銜接點。

(1)函數(shù)性質(zhì)法

函數(shù)的特征是通過其性質(zhì)(如奇偶性、單調(diào)性、周期性等)反映出來的，抽象函數(shù)也是

如此，只有充分挖掘和利用題設(shè)條件和隱含的性質(zhì)，靈活進行等價轉(zhuǎn)化，才能夠?qū)⒊橄蠛瘮?shù)

問題化難為易。常用的方法有：①利用奇偶性整體思考：②利用單調(diào)性等價轉(zhuǎn)化；③利用周

期性回歸已知；④利用對稱性數(shù)形結(jié)合；⑤借助特殊點列方程。

(2)特殊化方法

①在求解函數(shù)解析式或研究函數(shù)性質(zhì)時，一般用代換的方法，將X換成X或?qū)換成

其他字母等；

②在求函數(shù)值時，可用特殊值代入；

③研究抽象函數(shù)的具體模型，用具體模型解選擇題、填空題，或通過具體模型函數(shù)為

解答綜合題提供思路和方法。

5、函數(shù)的迭代

一個函數(shù)的自復(fù)合，叫做迭代。我們用gX表示gX的k次迭代函數(shù)。

k

g°xx

即

gk1xggkx

p貝稱gx有迭代周期

gxxP.

如果

k不恒等于

gXXk1,2,,

P1

迭代問題的解法通常是找它的迭代周期。一般來說，若ygx的圖像關(guān)于直線yx

對稱，則一定有g(shù)gxX.它的迭代周期就是2.下面是幾個常見函數(shù)的迭代周期

2x

g7,迭代周期是3；

x

X1

X1

g;迭代周期是4;

xx1

9

6、凹凸函數(shù)

設(shè)f為定義在區(qū)間I上的函數(shù)，若對I上任意兩點x、x和實數(shù)

0,1，總有

fXXfXfx則稱f為I上的凸函數(shù)（有

時也稱下凸函

112112,

fX11x2fXi1fX2,則

稱則稱f為I數(shù)）。超如相有格式

上的凹函數(shù)（有時也稱上凸函數(shù)）。

5

1XXfXfx（凸函數(shù)）或

特別地，一時，

有

2

12

2

22

,xxfX（凹函數(shù)）。

ffX

2

12

22

如何判斷一個函數(shù)是凸函數(shù)（凹函數(shù)）？除了定義以外，還有下面的定理：

設(shè)f為I上二階可導(dǎo)函數(shù)，則f為I上的凸（凹）函數(shù)的充要條件是fx0

fx0.

凸函數(shù)更一般的情形是下面的琴生不等式：若f為a,b上的凸函數(shù)，則對任意

xabin,且則

3,,.01,2,,

i

i1

XfX

二、熱身練習(xí)

o1

、復(fù)旦）若要求關(guān)于的函數(shù)的定義域是

12009X|g|og2axbx，則a、

b的取

0.5

值范圍是（）

ABa0Cb24aoDab0

21212

【解析】選A.由

lglog2axbx002axb>1axbx10對

0.5

a0這樣的a,b不存在。

X恒成立

b4a0

2

2、0010復(fù)旦）某校有一個班級，設(shè)變量x是該班同學(xué)的姓名，變量y是該班同學(xué)的學(xué)號，

變量z是該班同學(xué)的身高，變量w是該班同學(xué)某一門課程的考試成績，則下列選項中正確

的是（）

Ay是x的函數(shù)Bz是y的函數(shù)Cw是z的函數(shù)Dw是x的函數(shù)

【解析】按照函數(shù)的定義，由于班上可能會有相同的姓名，故A不正確。而任意一個學(xué)生

的學(xué)號是唯一的，也對應(yīng)了一個唯一的身高，故選項B正確；同理，C,D均不正確。

3、（2007復(fù)旦）設(shè)fX是定義在實數(shù)集上的周期為2的周期函數(shù)，且是偶函數(shù)。已知當

x2,3時，fxx,則當x2,0時，fx的表達式為（）

6

A3|x1|B2|x1|C3|x1|D2|x

1|

【解析】選A可以考慮特殊值。f2f22,f1f1f

33,

ff。符合條件的只有選項A了。

022

4、2006MB）設(shè)有三個函數(shù)，第一個是yfx,它的反函數(shù)就是第二個函數(shù),而第三

個函數(shù)的圖像與第二個函數(shù)的圖像關(guān)于直線xy0對稱，則第三個函數(shù)是（）

AyfxByfxCyf1x

Dyf1x

【解析】選B,第二個函數(shù)是yf1x,第三個函數(shù)為xf1y,即yfX

三、真題講解

ax8x的最大值為9,最小值為1,求實數(shù)a、

1、Q005交大）函數(shù)ybb.

2

x1

2

【解析】yx2yax?8xb,即280

ayxxby

顯然，這個關(guān)于x的方程必有實數(shù)根，從而有644ayb0

2160o根據(jù)題意，1y9y910

yabyab

O---

ab,所以解得ab

C105.

乎10y90,故

o-abT€-

9

O---且xx下列不等式中成立的是

、復(fù)旦)設(shè)

20006(）

X1,X20,12,

2

1xx

112

tanxtanxtan

12

22

1x

x

12

2tanxtanxtan;

12

22

1x

x

12

3sinxsinxsin;

12

22

1x

x

12

4sinxsinxsin;

12

22

A??B??C②③D②④

7

的

【解析】選B這是一道和凸函數(shù)有關(guān)的問題，分別畫出ytanx,ysinx,

x0,

2

草圖。由圖像可知ytanx是下凸函數(shù)，ysinx是上凸函數(shù)，故選B

1

3、（2009清華）ab1.

,nn2

a0,b0,ab1,nN,求證：22n1

【解析】本題考查的是前文中證明函數(shù)是凸函數(shù)的充要條件。首先構(gòu)造函數(shù)yx2n,nN*

先證明它是凸函數(shù)。事實上y2nxn,y2n2n1xn0,故yx2n,nN,

是

22

2n2n2n2n,證畢！

上的凸函數(shù)，gbab1

從而

ab

2n2n

2222

2n1

1

4、Q007交大）已知函數(shù)1對于n1,2,，定義fXf

x

fx1

1

若

n

X，則

fX

28

1

【解析】本題考查迭代周期問題0計算得

xi

fX1X2f1

1X'

x2x1x

2X

X4

1X

fXfxX故fX.注：條件

,可以不

用。5'

2x

5、Q007北大）xx253x196|x253x196|,求f12

f50.

fxX253x196|X253x196|x4x49|

x4x49［解析］

50

故f4f5f48f490所以

fif1f2f3

f502881889292660.

ab

6、Q002交大）函數(shù)fX|lgx|,有0ab且2

fafb

2

1求a,b滿足的關(guān)系；

2證明：存在這樣的b,使3b4.

ab所以ab

1.

【解析】1因為fx|lgx|,有0ab且

2,

fafb

2

8

且a0.1,b1,

111

bb2-

22-f.

bbb

2

igb21gig（因為

b

24

1

故4bb22，即b1b3bb10

4

b4b32b210,32

b

2

令gxX33x2x1,而g30,g4。，故gx0在3,4之間必有

一解，所以

存在b,是的3b4.

四、強化訓(xùn)練

一（A組）

1、2004復(fù)旦）若存在M,使對任意XD（D為函數(shù)fX的定義域），都有

111上是否有界？

IfxIM,則稱函數(shù)fx有界。問函數(shù)sin

在x0,

XX

X

2

111

【解析】令t,貝|Jt

xsin

2,sint.

xx

若令2

tkkZ且k1,則當k時，sintsin2k1,t

22

111上無界.注：本題中的t有無窮多個賦值方式,如令

故sin

在x0,

xxX

2

2k,2k,事實上，只要使sint0均可。

35

2、2007復(fù)旦）若a1,b1且lgabIgaIgb,則Iga1lgb1

AIg2B1C不是與a,b無關(guān)的常數(shù)D0

【解析】選D.由abab,得a1b1abab11.故lga

1lgb1

Ig10

x2002

3、Q005復(fù)旦）定義在R上的函數(shù)fXX1滿足

fx2f

4015x

x1

則f2004.

9

【解析】2005.令x222f20044013,令x200420042f

2

f22f2004f2004

4013,2005.

2011.

f20042f2

2011

4、設(shè)fx|x11lx2||x2013||x1||x2||x

2013|xR

fa?3a2a1.則a的值有

)且

A1個B2個C3個D無數(shù)個

【解析】因為fxX"故fX為偶函數(shù).在1x1時，有

X|X1||x1||X2||x2||x2013||x

2013|V

212a23a21且1a11

時，

Q-5

2V

a3a2fa1a2.故選D!

恒有

2

5、Q000交大）求函數(shù)312312

XXXxXxR的反函數(shù)

【解析】由312312

XXXXX得

22

2

y32x33X1xx1X233x

1x2X1X2

32322x

3y

2x3x1XX1x

733yx3x

3

X1x

22

x4x17x26x在區(qū)間1,1上的值

6、（模擬題）求函數(shù)

106域.

fX432

x2x7

2

64

fxx1215,15

【解析】

,值域為

x2x7

2

3

7、（模擬題）已知fx是定義在R上的函數(shù)，且fx21x1X

（1）試證明fX是用期函數(shù);

10

⑵若f1V23,試求f2013

1fx

【解析】（1）又條件可知f11,故

1X

fX2.用x2換上式的x.得

1

1

1x21x1

fx4

121x

XX

1

1

X

1

8

X

fXX.即X是以8為周期的周期函

數(shù)。所以

4

1

f2013f82515f514

32.（2）

1

8、（例題已知1010241023

XfX是一次函XX

且fXX

n

求fx

【解析】設(shè)工Xaxba—0則有

f2xxaaxbbxba1

2

xxaaxbabaxbaa

11

22

ba

1

10

依此類推有：

fXaxbaaa1axa=1

109810

10

時不成立

1a

10b1a

10

由題設(shè)可得：a1024且=1023,故解得a2,b1或a2,b3.

1a

所以fx2x1或fx2x3.

1

9、（模擬題）已知實數(shù)X滿足

25,求

x

2

【解析】記txz1

則

X

2

22

111

20xx1X23

3222

2

XXX

1

t33t2200t2t25t

100,t2,故23.

xx

2

ii

10、2001交大）已知函數(shù)fXx22x2,xt,t1的最小值是gt.試著寫出gt

的解析表達式。

2

fXx11,其對稱軸為X

1?【解析】

當t1時,X在t,t1上單調(diào)遞增，從而222

gtft

當t11即t2時，fx在t,t1上單調(diào)遞減，從而

gtft1t4t5

2

當2t1時，gt11

t2tt

22.1,

gtt

故

1,2,

1

t4t5,t,2

（B組）

1、（2008交大）已知函數(shù)fxax?bxca0,且fxx沒有實數(shù)根.那

么

ffXX是否有實數(shù)根？并證明你的結(jié)論.

【解析】法一：利用fXX0,得到0,故沒有實數(shù)根（本方法計算量過大）

法二：若a0,則fxX,對一切xR恒成立.

故有ffxxx;

同理a0時貝！fxX,對一切xR恒成立.

故有ffxfXx；所以ffXX沒有實數(shù)根

fxax22bx4c

a,b,cR,a0.2、（模擬題）已知函數(shù)

(1)函數(shù)fx的圖像與直線yx均無公共點，求證:4b216ac1

(2)若a0且ab1,X|x|2時，恒有|fx2,求fx的解析式.

【解析】(D函數(shù)fx與直線yx無公共點，ax22bx4cx無實數(shù)解.

2

故2b116ac0,即4b24b116ac0.

同理函數(shù)fx與直線yx無公共點，即有4b24b116ac0.

12

兩式相加得8b2232ac0,即4b216ac1.

(2)ab1,又|x|2時，恒有|fx2

故有204c4a4b4c4ab24242

故4c2.C-又|fx|2.故fx2f0

2

故fX在x。處取得最小值而且02,2從而x0是函數(shù)的對稱軸.

故b0,a1。22

fxx

1