大學(xué)概率習(xí)題大全及答案

第一章隨機(jī)事件及其概率

第三節(jié)事件的關(guān)系及運(yùn)算

一、選擇

1.事件A8表示(C)

(A)事件A與事件3同時(shí)發(fā)生(B)事件A與事件3都不發(fā)生

(C)事件A與事件8不同時(shí)發(fā)生(D)以上都不對(duì)

2.事件A3,有AuB,那么AU8=(B)

(A)A(B)B(C)~AB(D)AJB

二、填空

1.設(shè)表示三個(gè)隨機(jī)事件，用A,良。的關(guān)系和運(yùn)算表示⑴僅A發(fā)生為A83

⑵4,8,C中正好有一件發(fā)生為ABC+ABC+ABC⑶A8,C中至少有一件發(fā)生為

4U3UC

第四節(jié)概率的古典定義

一、選擇

1.將數(shù)字1、2、3、4、5寫在5張卡片上，任意取出3張排列成三位數(shù)，這個(gè)數(shù)是奇

數(shù)的概率是(B)

331

(A)-(B)-(C)-⑴)

2510To

二、填空

1.從裝有3只紅球，2只白球的盒子中任意取出兩只球，那么其中有并且只有一只紅球

l]

的概率為cc當(dāng)=3

5

2.把10本書任意放在書架上，求其中指定的3本書放在一起的概率為38把

10!

3.為了減少比賽場次，把20個(gè)球隊(duì)任意分成兩組，每組10隊(duì)進(jìn)行比賽，那么最強(qiáng)的兩

r'r9in

個(gè)隊(duì)被分在不同組內(nèi)的概率為一寸=U

19

三、簡答題

1.將3個(gè)球隨機(jī)地投入4個(gè)盒子中，求以下事件的概率

(1)止一任意3個(gè)盒子中各有一球；［2)於一任意一個(gè)盒子中有3個(gè)球;

(3)C--任意1個(gè)盒子中有2個(gè)球，其他任意1個(gè)盒子中有1個(gè)球。

解:⑴尸⑷:竽.⑵尸⑹⑶小)=竿吟

第五節(jié)概率加法定理

一、選擇

1.設(shè)隨機(jī)事件A和8同時(shí)發(fā)生時(shí)，事件。必發(fā)生，那么以下式子正確的選項(xiàng)是(C)

(A)P(C)=P(AB)(B)P(C)=P(A)+P(B)

(C)P(C)>P(A)+P(3)-1(D)P(C)<P(A)+

2.P(4)=P(B)=P(C)=P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=—。那么事件A、

416

5、C全不發(fā)生的概率為(B)

235

(A)-(B)-(O-(D)-

8888

事件A、8滿足條件P(A3)=P(N5),且P(A)=〃，那么尸(8)=(A)

(A)1-p(B)p(C)K(D)l-K

22

二、填空

1.從裝有4只紅球3只白球的盒子中任取3只球，那么其中至少有一只紅球的概率為

2.擲兩枚篩子，那么兩顆篩子上出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)最小為2的概率為

3.袋中放有2個(gè)伍分的錢幣，3個(gè)貳分的錢幣，5個(gè)壹分的錢幣。任取其中5個(gè)，那么

總數(shù)超過一角的概率是C.5

三、簡答題

1.一批產(chǎn)品共20件，其口一等品9件，二等品7件，三等品4件。從這批產(chǎn)品中任取

3

件，求：(1)取出的3件產(chǎn)品中恰有2件等級(jí)相同的概率；

(2)取出的3件產(chǎn)品中至少有2件等級(jí)相同的概率。

解：設(shè)事件4表示取出的3件產(chǎn)品中有2件i等品，其中i=2,3；

(1)所求事件為事件劣、A2、A,的和事件，由于這三個(gè)事件彼此互不相容，故

(2)設(shè)事件A表示取出的3件產(chǎn)品中至少有2件等級(jí)相同，那么事件A表示取出的3

件產(chǎn)品中等級(jí)各不相同,那么尸(A)=l—不值)=1=0.779

第六節(jié)條件概率、概率乘法定理

一、選擇

1.事件A3為兩個(gè)互不相容事件，且P(A)>0,尸(3)>0,那么必有(B)

(A)P(A)=1-P(B)(B)P(A|B)=0

(C)P(A|豆)=1(D)P(A\B)=1

2.將一枚篩子先后擲兩次，設(shè)事件A表示兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和是10,事件8表示第一

次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于第二次，那么P(@A)=(A)

1125

(A)-(B)-(C)-(D)-

3456

3.設(shè)A、5是兩個(gè)事件，假設(shè)8發(fā)生必然導(dǎo)致4發(fā)生，那么以下式子中正確的選項(xiàng)是

(A)

(A)P(AU8)=P(A)(B)P(AB)=P(A)

(0P^A)=P(B)(D)P(B-A)=P(B)-P(A)

二、填空

1.事件A的概率P(A)=0.5,事件8的概率P(8)P(B[4)=0.8,那么和事件AU3的

概率P(AUB)=

2.AN是兩事件，P(A)=0.3,P(B)=0.4,P(B\A)=0.6,那么

P(A|AUB)=^1=0.577

三、簡答題

1.獵人在距離100米處射擊一動(dòng)物，擊中的概率為0.6；如果第一次未擊中，那么進(jìn)行

第二次射擊，但由于動(dòng)物逃跑而使距離便成為150米；如果第二次乂未擊中，那么進(jìn)行

第三次射擊，這時(shí)距離變?yōu)?00米。假定最多進(jìn)行三次射擊，設(shè)擊中的概率與距離成反

生如果會(huì)解這道題，那么一定能選出正確答案；如果他不會(huì)解這道題，那么不妨任選一

個(gè)答案。假設(shè)，那么考生選出正確答案的概率為

三、簡答題

1.0.1.一O

解:設(shè)4="每箱有i只次品"（i=0,1,2,）,"買下該箱〃.

2.一工廠有兩個(gè)車間，某天一車間生產(chǎn)產(chǎn)品100件，其中15件次品；二車間生產(chǎn)產(chǎn)品

50件，其中有10件次品，把產(chǎn)品堆放一起（兩車間產(chǎn)品沒有區(qū)分標(biāo)志），求：（1）從該

天生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)取一件檢查，它是次品的概率；12）假設(shè)已查出該產(chǎn)品是次品，那

么它是二車間生產(chǎn)的概率。

解：（1）設(shè)事件“取的產(chǎn)品來自1車間〃為4,事件“取的產(chǎn)品來自2車間〃為A2,

“從中任取一個(gè)是次品〃為B,

P（AB）P（B|A）P（A）^2

⑵222

尸（4超）=P（B）-P（B）-5

3.及。由于通信系統(tǒng)受到干擾，當(dāng)發(fā)出信號(hào)“?〃”?〃及”-〃；又當(dāng)發(fā)

出信號(hào)”-〃”-〃及”?〃。

求：（1）當(dāng)收?qǐng)?bào)臺(tái)收到信號(hào)”?〃時(shí)，發(fā)報(bào)臺(tái)確系發(fā)出信號(hào)”?〃的概率；

（2）當(dāng)收?qǐng)?bào)臺(tái)收到信號(hào)“-〃時(shí)，發(fā)報(bào)臺(tái)確系發(fā)出信號(hào)”-〃的概率。

解：設(shè)事件A表示發(fā)報(bào)臺(tái)發(fā)出信號(hào)“?〃，那么事件，表示發(fā)報(bào)臺(tái)發(fā)出信號(hào)；

設(shè)事件3表示收?qǐng)?bào)臺(tái)收到信號(hào)”?〃，那么事件與表示收?qǐng)?bào)臺(tái)收到信號(hào)：

根據(jù)題設(shè)條件可知：P（A）=0.6,P（A）=0.4；

尸（8卜）=0.8,P（甲）=0.1；P（司A）=0.2,P（不）=0.9；

應(yīng)用貝葉斯公式得所求概率為：

P（AB）P⑷P（@A）0.6x0.8

（1）P（AB）=

P（B）P（A）P（B|A）4-P（A）P（B|A）0.6x0.8+0.4x0.1

P畫）—尸（入）尸（石口）_0.4x0.9

⑵P（布）=

P（B）P（A）P（B|A）+P（A）P（B\A）0.4x0.9+0.6x0.2

第八節(jié)隨機(jī)事件的獨(dú)立性

一、選擇

1.設(shè)P(4)=0.8,P⑻=0.7,P(A忸尸0.8,那么以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是(C)

(A)事件A與8互不相容(B)AuB

(0事件A與8互相獨(dú)立(D)P(AUB)=P(A)+P(B)

2.設(shè)A、B是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)事件，P04)，(3)>0,那么P(AUB)=(B)

(A)P(71)+P(B)(B)\-P(A)P(B)

(C)14-P(A)-P(B)(D)1-PCAB)

二、填空

1.設(shè)A與5為兩相互獨(dú)立的事件，P(AUB)=0.6,尸(A)=0.4,那么。(5)二」

q

2.加工某一零件共需經(jīng)過三道工序。設(shè)第一、第二、第三道工序的次品率分別是2%、3%、

5%o假定各道工序是互不影響的，那么加工出來的零件的次品率是0.09693

三、簡答題

1.一個(gè)工人看管三臺(tái)車床，在一小時(shí)內(nèi)車床不需要工人看管的概率：第一臺(tái)等于0.9,

第二臺(tái)等于0.8,第三臺(tái)等于0.7。求在一小時(shí)內(nèi)三臺(tái)車床中最多有一臺(tái)需要工人看管

的概率。

解：設(shè)事件4表示第i臺(tái)車床不需要照管，事件%表示第i臺(tái)車床需要照管，2,

3),

根據(jù)題設(shè)條件可知：尸(A)=o.9,p(A)=0.1

設(shè)所求事件為B,那么P(B)=P(A,A2A3+444+4用A3+AAA)

根據(jù)事件的獨(dú)立性和互不相容事件的關(guān)系，得到：

2.如以下圖所示，設(shè)構(gòu)成系統(tǒng)的每個(gè)電子元件的可靠性都是〃((KK1),并且各個(gè)元件

能否正常工作是相互獨(dú)立的，求系統(tǒng)(1)和(2)的可靠性。

(1)(2)

解：(1)〃3(2一〃3)；(2)(2p-p2)3

第九節(jié)獨(dú)立試驗(yàn)序列

一、選擇

1.每次試驗(yàn)成功率為〃(0<〃<1),進(jìn)行重復(fù)試驗(yàn)，直到第10次試驗(yàn)才取得4次成功

的概率為(B)

(A)C,>4(l-p)6⑻C；p4(l—p)6(C)C"4(l—p)5(D)C；p3(l—p)6

二、填空

1.某射手在三次射擊中至少命中一次的概率為0.875,那么這射手在一次射擊中命中的

概率為

19

2.設(shè)在三次獨(dú)立試驗(yàn)中，事件AA至少出現(xiàn)一次的概率等于行，那么事件A在一次試

驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為1/3

三、簡答題

1.射擊運(yùn)動(dòng)中，一次射擊最多能得10環(huán)。設(shè)某運(yùn)發(fā)動(dòng)在一次射擊中得10環(huán)的概率為0.4,

得9環(huán)的概率為0.3,得E環(huán)的概率為0.2,求該運(yùn)發(fā)動(dòng)在五次獨(dú)立的射擊中得到不少

于48環(huán)的概率。

解：設(shè)事件A表示5次射擊不少于48環(huán)，事件4表示5次射擊每次均中10環(huán)，事件A2

表示5次射擊一次中9環(huán)，4次中10環(huán)，事件&表示5次射擊2次中9環(huán)，3次中10

環(huán)，事件4表示5次射擊一次中8環(huán)，4次中10環(huán)，并且4，42，43,4兩兩互不相

容，由于每次射擊是相互獨(dú)立的，

那么所求概率P(A)=尸(|JAJ=￡P(guān)(Ai)

/=1/=i

第二章隨機(jī)變量及其分布

第二節(jié)離散隨機(jī)變量

一、選擇

1設(shè)離散隨機(jī)變量X的分布律為：P{X=k}=bN，(k=1,2,3,…)，

二、填空

1如果隨機(jī)變量X的分布律如下所示，那么c=.

X0123

2進(jìn)行重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)，設(shè)每次試驗(yàn)成功的概率為上失敗的概率為L將試驗(yàn)

55

進(jìn)行到出現(xiàn)一次成功為止，以X表示所需試驗(yàn)次數(shù)，那么X的分布律是

.（此時(shí)稱X服從參數(shù)為p的幾何分布）.

解:X的可能取值為1,2,3,｛乂=心=｛第1~犬-1次失敗,第長次成功｝.

所以X的分布律為P｛X=K｝=（一）”】?一，K=l,2,???

三、簡答

1一個(gè)袋子中有5個(gè)球,編號(hào)為1,2,3,4,5,在其中同時(shí)取3只，以X表示取出

的3個(gè)球中的最大號(hào)碼，試求X的概率分布.

X|345

D133

10105

2一汽車沿一街道行駛，需要通過三個(gè)均設(shè)有綠路燈信號(hào)的路口，每個(gè)信號(hào)

燈為紅和綠與其他信號(hào)為紅或綠相互獨(dú)立，且紅綠兩種信號(hào)顯示時(shí)間相等，

以X表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口個(gè)數(shù)，求X的概率分布.

X|0123

1111

P5初尹尹

第三節(jié)超幾何分布二項(xiàng)分布泊松分布

一、選擇

1甲在三次射擊中至少命中一次的概率為，那么甲在一次射擊中命中的概率p=.

解:D

設(shè)X=〃三次射擊中命中目標(biāo)的次數(shù)〃，那么X?

P(X>1)=1-P(X=0)=l-(l-p)3=0.936,

解之得(1一p)3=0.064=1一，=0.4=〃=0.6

2設(shè)隨機(jī)變量x?伙2,〃),y?伙3,〃),若P{XNI}=3,則p{y>i}=______.

9

解:D

設(shè)X=〃三次射擊中命中目標(biāo)的次數(shù)〃，那么X?B(3,p),

P(X>1)=1-P(X=0)=1-(1-p)3=0.936,

解之得(1-pY=0.064=1-〃=0.4=〃=0.6

二、填空

1設(shè)離散隨機(jī)變量X服從泊松分布，并且

P{X=1}=P{X=2},則P{X=4}=.

解:D

設(shè)X=〃三次射擊中命中目標(biāo)的次數(shù)〃，那么X?

P(X>1)=1-P(X=0)=l-(l-p)3=0.936,

解之得(1一〃)3=0.064=>1-p=0.4=>〃=0.6

三、簡答

1.某地區(qū)的月降水量X(單位：mm)服從正態(tài)分布N(40,4?),試求該地區(qū)連

續(xù)10個(gè)月降水量都不超過50mm的概率.

2某地區(qū)一個(gè)月內(nèi)發(fā)生交通事故的次數(shù)X服從參數(shù)為九的泊松分布，即

X?P"),據(jù)統(tǒng)計(jì)資料知,一個(gè)月內(nèi)發(fā)生8次交通事故的概率是發(fā)生10次交

通事故的概率的2.5倍.

⑴求1個(gè)月內(nèi)發(fā)生8次、10次交通事故的概率；

(2)求1個(gè)月內(nèi)至少發(fā)生1次交通事故的概率；

(3)求1個(gè)月內(nèi)至少發(fā)生2次交通事故的概率；

第五節(jié)隨機(jī)變量的分布函數(shù)

填空題

<-ion

1設(shè)離散隨機(jī)變量X?111,那么X的分布函數(shù)為.

U62)

一您拜

1設(shè)耳(X)與F2(X)分別為隨機(jī)變量X與X2的分布函數(shù)，為使

尸(人)=41(人)-。尼(人)是某一變量的分布函數(shù)，在以下給定的數(shù)值中應(yīng)取

0,x<0

2.設(shè)函數(shù)F(x)=(x/2,04乂<1.那么尸(幻.

1,x>1

(A)是隨機(jī)變量的分布函數(shù).(B)不是隨機(jī)變量的分布函數(shù).

(C)是離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù).(D)是連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù).

解:A

顯然F(x)滿足隨機(jī)變量分布函數(shù)的三個(gè)條件：

⑴FQ)是不減函數(shù)，⑵04/。)〈1,且/(-)=0,/(+>0)=1,⑶

F(x+0)=F(x)

Qx<(*)

x2

3.設(shè)/")二，丁(*)<X<2當(dāng)(*)取以下何值時(shí)，Rx)是隨機(jī)變量的分布函

1,x>2

數(shù).

(A)0(B)0.5(C)1.0

解:A只有A使F(x)滿足作為隨機(jī)變量分布函數(shù)的三個(gè)條件.

三.簡答

1設(shè)隨機(jī)變量X的分布.函數(shù)為/(x)=A+Barctanx,求A,B的值.

解油隨機(jī)變量分布.函數(shù)的性質(zhì)

limF(x)=0.limF(x)-1.知

冗71

0=limF(x)=lim(A+Barctanx)=A+Bx(-----)=A-----B.

XTfXTF22

1=limF(x)=lim(A+Barctanx)=A+Bx—=A+—B.解

XT+OOA->+?'22

A--B=O,,

2得A」,8=_

A4ni271

A+—B=1

2

第六節(jié)連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度

二、選擇

1.設(shè)/。）、F（x）分別表示隨機(jī)變量X的密度函數(shù)和分布函數(shù)，以下選項(xiàng)中錯(cuò)誤的選

項(xiàng)是（A)

(A)0</(x)<l(B)0<F(x)<I

(C)[f\x)dx=1⑴)fM=F(x)

J-co

2.以下函數(shù)中，可為隨機(jī)變量X的密度函數(shù)的是（B)

71

sinA:,0<X<7Tsinx,0<x<

(A)/(%)=<(E)fM=<2

0,其它

、°，其它

sinx,0<x<—

?/(x)=2(D)/(x)=sinx,-00<x<+8

0,其它

二、填空

X的分布函數(shù)為

1

(1)P(-1<X<1)=⑵概率密度/（x）=----------,-00<X<+8

71(X2+1)

三、簡答題

1.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度

求：（1）常數(shù)A；（2）概率P（X21）。

答案(1)-(2)0.9197

2

2.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度

求：⑴常數(shù)C；⑵概率尸（兇了0.5）；⑶分布函數(shù)/（X）。

0,x<-\

1

—(1+x)~7,-\<x<0

答案(1)1；(2)0.75；⑶尸(%)=<

0<x<l

1,x>\

3.向某一目標(biāo)發(fā)射炮彈，設(shè)彈著點(diǎn)到目的地的距離X(m)的概率密度

如果彈著點(diǎn)距離目標(biāo)不超過50根時(shí)，即可摧毀目標(biāo)。求：

求：(1)發(fā)射一枚炮彈，摧毀目標(biāo)的概率；

(2)至少應(yīng)發(fā)射多少枚炮彈，才能使摧毀目標(biāo)的概率大于0.95?

答案(1)0.6321(2)M>3O

4.隨機(jī)變量X的概率密度

/(X)=；”國，-00<X<+20,

求：分布函數(shù)尸(X)。

x>0

答案F(X)=\:

5.隨機(jī)變量X的概率密度

2

假設(shè)Z使得P(X2k)=±,那么攵的取值范圍是

3

答案1工攵43

第七節(jié)均勻分布、指數(shù)分布

三、選擇

1.在區(qū)間上服從均勻分布的隨機(jī)變量X的密度函數(shù)是(B)

[3,-l<x<2〃-1<x<2

(A)/(x)=,〔。，其它⑻小廠3

0,其它

(C)/(%)=3,-8Vxv+8(D)/(])=■1,-oo<x<+oo

2.服從參數(shù)為0.5的指數(shù)分布的隨機(jī)變量X的密度函數(shù)是(C)

(A)/")=卜"，⑻

/(x)=2e~2\-co<x<+oo

0,x<0

1-L

(C)/(x)=b5X>Q(D)/(x)=—e2,-oo<x<+oo

0,x<0

二、填空

1.設(shè)隨機(jī)變量X在在區(qū)間［-1,2］上服從均勻分布，那么

(1)P(-6<X<-1)=(L，(2)P(-4<x<l)=|,

(3)P(-2<x<3)=_L,(4)P(1<x<6)=g,

三、簡答題

1.長度為/的線段上隨機(jī)取一點(diǎn)，這點(diǎn)把該線段分成兩段，求較短的一段與較長的一段

之比小于’的概率。

4

答案().4

2.修理某種機(jī)器所需的時(shí)間7(小時(shí))服從指數(shù)分布&1),求：

U)在2小時(shí)之內(nèi)修好的概率：

(2)如果已修理了小時(shí)，在以后的2小時(shí)之內(nèi)修好的概率。

答案(1)0.8647(2)0.8647

3.設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間［2,5］上服從均勻分布，對(duì)進(jìn)行三次獨(dú)立觀測，試求至少有兩次

觀測值大于3的概率。

答案0.741o

4.某儀器有三只獨(dú)立工作的同型號(hào)電子元件，其壽命(單位：〃)都服從同一指數(shù)分布,

概率密度為

試求：在儀器使用的最初的200〃內(nèi)至少有一只電子元件損害的概率。

答案1-八0.6321

第八節(jié)隨機(jī)變量函數(shù)的分布

四、選擇

1.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為

那么隨機(jī)變量y=2X的概率密度為(D)

2"。y>02/2、y>Q

(A[加y)=?⑻加y)=?

、°，y<0o,y<0

",y>0,、[e-yy>0

?人(y)=<,(D)

、°，y<()o,y<0

2.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為

那么隨機(jī)變量），=-2X的概率密度為（C)

y>°⑻加-y,y>0

（A）啟），）=，

,0,y<()o,y<()

f0,y>0加y)"0,y>0

?衣()，)=,,(D)

W，y<0y<0

二、簡答題

1.設(shè)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布8（3,0.4）,求以下隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布:

(1)Y=2X-i：2)Y=X2-X⑶y=X(X+1)

2

答案

求以下隨機(jī)變量的概率密度

(1)Y=1+2X(2)Y=1-2X(3)Y=X2

答案

-——-,1<y7<3丁，-\<y<\

⑴2(2)/v(y)=,

0,其它0,其它

1,()<y<1

⑶人(y)=n

u.其它

3.設(shè)隨機(jī)變量x在區(qū)間［0,2］上服從均勻分布，求隨機(jī)變量函數(shù)y=x3的概率密度。

12

-yO<y-<8

63

答案4(y)=<

其

O它

，

4.設(shè)隨機(jī)變量X在服從指數(shù)分布e（Z）,其中4>0,求隨機(jī)變量函數(shù)丫=e'的概率密

度。

y>i

答案人（>'）={

0,)"i

5.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為

1

fxM=-----—,一8cx<+8,

%(1+馬

求：隨機(jī)變量y=i—的概率密度力,（），）。

3(1—4

答案f(y)=-co<y<+oo

Y%[l+(l_y)61

6.設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間［L2］上服從均勻分布，求隨機(jī)變量函數(shù)丫=*的概率密度。

1

9<y<e4

答案衣(y)=2y

0,其它

第九節(jié)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布

五、選擇題

x>0,y>0;

1.設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y）的聯(lián)合概率密度為/（羽y）=〈

0,其他.

那么P(X<Y)=

(A)

(A)(B)?(D)

2.二維隨機(jī)變量(X,y)的聯(lián)合分布函數(shù)/(x,y)以下哪個(gè)隨機(jī)事件的的概率？(B)

(A)(X<x)u(y<y)(B)(X<x)n(K<y)

(C)X<x+y(D)X<x-y

二、填空

i.下表列出了二維隨機(jī)變量(x,y)聯(lián)合分布律及關(guān)于x和關(guān)于y的邊緣分布律中的

部

分?jǐn)?shù)值，試將其余值填入表中的空白處

%%P{X=x.}=p.

1J_1

西

248124

]_3]_2

X

28844

P{y=y}

t[j_J

1

=pj623

(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為

那么系數(shù)4=-4,5=-,c=-,(X,y)的聯(lián)合概率密度為

7T22

/(x,y)=―—%~~--力----o

二(八領(lǐng)丁一玲

3.二維隨機(jī)變量(X,y)的聯(lián)合概率密度為/(x,y),R為一平面區(qū)域，那么(x,y)的

聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)=J：J：/(x,y)dydx,P((X,/)€/?)=jj/(x,y)dxdy,曲面

-----------------------R

z=尸(x,y)叫做分布曲面,F(+co,-Ko)=1,F(x,-co)=0,F(-co,y)=

0_,F(-o),-oo)=Oo

三、計(jì)算題。

1.隨機(jī)變量X1和X?的概率分布

而且P{X}X2=0)=1.?X,和X2的聯(lián)合分布。

解：

已一'

2.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為/(x,y)=《‘0七<X八<JV

1'0,其他

m求P{X+YK1}；(2)求聯(lián)合分布函數(shù)尸(x,y)。

1lx_1

解(1)P{X+Y<1]=J/(x,y)dxdy=jJe-ydy=14-e-1-2e^

x+yMl

⑵F(.r,>0=J'j'/(x,y)dydx=<端

J-Jyo,其他

3.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為

試求(1)常數(shù)A；(2)概率P(0WX《1,06丫<2).

解：(1)由于「'"(尤)，)=1,

J-c?J-X

故公辦=9=1，所以A=2

2(x+2y)

(2)P(0<X<1,0</<2)=J'drj(2e-dy=(1-e-1)(1-)

第十節(jié)二維隨機(jī)變量的邊緣分布

六、選擇題

1.設(shè)二維離散隨機(jī)變量(X,y)的聯(lián)合概率函數(shù)為P(玉，匕)，那么x的邊緣概率函數(shù)

4(%)為

(A)

(A)?(%，匕)⑻2尸(如為)?ZPE，X)⑴)以上都不對(duì)

2.(x,y)為二維連續(xù)隨機(jī)變量，對(duì)任意的實(shí)數(shù)工，函數(shù)尸(x4x,y<+8)為(B)

（A）隨機(jī)變量y的邊緣分布函數(shù)（B）隨機(jī)變量X的邊緣分布函數(shù)

to（x,y）的聯(lián)合分布函數(shù)⑴）以上都不對(duì)

二、填空

1.設(shè)二維隨機(jī)變量（X,V）的聯(lián)合分布函數(shù)為

1|r

那么X的邊緣分布函數(shù)為弓（x）=一+—arctan二,丫的邊緣概率密度為

2712

2.設(shè)二維隨機(jī)變量（X,y）的聯(lián)合分布函數(shù)為F（x,y），那么隨機(jī)變量X的邊緣分布函

數(shù)為4（x）=/（羽+00）,隨機(jī)變量y的邊緣分布函數(shù)為6（y）=F（+00,y）o

3.設(shè)二維隨機(jī)變量（X,F）的聯(lián)合概率密度為/（x,y）,那么隨機(jī)變量X的邊緣概率密

度為fx（x）=J："（X，）'功、隨機(jī)變量Y的邊緣概率密度為fY（y）=「/（羽）'世。

三、計(jì)算題

P-->0<x<v

1.設(shè)二維隨機(jī)變量（X,y）的聯(lián)合概率密度為=<"，求X的邊

0,其他

緣概率密度xWo

v

tr+8.e,x>0

解x>00\t,(x)=je'dy=e\x<0B'J',fx(x)=0故￡。)=<

0,x<()

2e-(r+2v),x>0,y>0

2.二維隨機(jī)變量（X,丫）的聯(lián)合概率密度為/（x,y）=〈

0,其他.

求隨機(jī)變量x和y的邊緣概率密度。

x>02e-2v,y〉0

解f

x(x)="0,1w。'加上

.0,y<Q

第-H-隨機(jī)變量的獨(dú)立性

七、選擇題

2x,0<x<1

1.設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X和Y的概率密度分別為fxM=<

0,其他

〃[e-v,y>0

>，)=[0,其他那么//的二次方程-2Xu+y=o具有實(shí)根的概率是(A)

(A)/(B)1?I(D)/

二、填空

1.設(shè)二維隨機(jī)變量(x,y)的聯(lián)合分布函數(shù)為

那么隨機(jī)變量x與y獨(dú)立(填獨(dú)立或不獨(dú)立)。

2.獨(dú)立連續(xù)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)等于它們的邊緣分布函數(shù)的乘積,獨(dú)立連續(xù)隨

機(jī)變量的聯(lián)合概率密度等于它們的邊緣概率密度的乘積,獨(dú)立離散隨機(jī)變量的聯(lián)合概

率函數(shù)等于它們的邊緣概率函數(shù)的乘積。

三、計(jì)算題

1.隨機(jī)變量X1和X2的概率分布

而且RX】x?=0}=1.問％和x2是否獨(dú)立？為什么？

解：因?yàn)槭瑊X|=0,X2=0)=0,P[X,=0}P{X2=0}=；。0,所以X1和X2不獨(dú)立。

2e-(r+2v),x>0,y>0

2.二維隨機(jī)變量(X,y)的聯(lián)合概率密度為/(A,y)=

0,其他

隨機(jī)變量x和y是否獨(dú)立?

,x>02e-2y,y>0

解由于

x<()0,y<0

故/(x,y)=人(x)加丁)

所以隨機(jī)變量x和y獨(dú)立。

第三章隨機(jī)變量的數(shù)字特征

第一節(jié)數(shù)學(xué)期望

八、選擇

1.擲6顆骰子，令X為6顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和，那么E(X)=(D)

(A)42(B)21/2(C)7/2(D)21

2.對(duì)離散型隨機(jī)變量X,假設(shè)有P（X=%）=%（Z=1,2,3「）,那么當(dāng)（B）時(shí),

稱為X的數(shù)學(xué)期望。

￡=1

0000

（A）±ZP&收斂⑻EkE收斂（C）{%}為有界函數(shù)（D）lim￡p*=。

Jl=lt=lI8

二、填空

14-X,-1<X<0,

1.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為=—那么E（X）=_Q。

0,其它，

區(qū)a0<r<1

2.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為/（x）={''其中〃,a、0,又

。，匕，

E（X）=0.75,那么A=3，?=2_o

三、簡答題

1.把4個(gè)球隨機(jī)地放入4個(gè)盒子中去，設(shè)X表示空盒子的個(gè)數(shù)，求E（X）。

解=。=。）4哈?（x=1）=警嚕

WX_2注《⑵_2)_21p(x=3)=G」

(44~64，(-?-日

44

八63621181

所以E(X)=0x一+lx一+2x—+3x—=一

'/6464646464

2

12y,0苴<士y<x<1,，求,、七(，X)、用/V)、。

2.設(shè)（X,Y）的聯(lián)合概率密度為/（x,y）=n

U,反匕，

解：E(X)=JJxf(x,y\lxdy=￡xdx^12y-dy=-,同理七(丫)=3。

0<y<x<)0°55

第二節(jié)隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望

一、填空

1.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布,那么數(shù)學(xué)期望E（X+-2X）=4/30

2.設(shè)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布8（3,0.4）,那么E（X2）=。

二、簡答題

x和y相互獨(dú)立，概率密度分別為

求隨機(jī)變量函數(shù)z=x+y的數(shù)學(xué)期望。

e~x~yx>0v>0

解：因?yàn)閤和y相互獨(dú)立，所以/（x,y）=.fx（x）.fy（y）=<‘七一/

0,其匕，

=1+1=20

2.按季節(jié)出售某種應(yīng)時(shí)商品，每售出1kg獲利潤6元,如到季末尚有剩余商品，那么每

總凈虧損2元，設(shè)某商店在季節(jié)內(nèi)這種商品的銷售量X（以依計(jì)）是一隨機(jī)變量，X

在區(qū)間（8,16）內(nèi)服從均勻分布，為使商店所獲得利潤最大，問商品應(yīng)進(jìn)多少貨？

解：設(shè)/表示進(jìn)貨量，易知應(yīng)取8<，<16,進(jìn)貨/所得利潤記為叱（X）,且有

利潤叱（X）是隨機(jī)變量，如何獲得最大利潤？自然取“平均利潤〃的最大值，即求/

使得石［叱（X）］最大。X的概率密度為7（x,y）=<'

0,其它，

令”）］:

14-r=0,得，=14。

dt

而—H—-=-i<o,

dr

故知當(dāng)1=14時(shí)，E［叱（X）］取得極大值，且可知這也是最大值。

所以，進(jìn)貨14依時(shí)平均利潤最大。

第三節(jié)關(guān)于數(shù)學(xué)期望的定理

一、填空

23

1.離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為2的泊松分布P（X=z）=^—,攵=0,1,2,,

k\

那么隨機(jī)變量Z=3X—2的數(shù)學(xué)期望E（Z）=^^^o

2.設(shè)X服從泊松分布，E［（X-1）（X-2）］=1,那么E（X）=1。

X表示10次獨(dú)立重復(fù)射擊命中目標(biāo)的次數(shù)，，每次射中目標(biāo)的概率為0.4,那么X?的

數(shù)學(xué)期望石（X2）=18.4o

二、簡答題

1.設(shè)（X,y）在A上服從均勻分布，其中A為X軸，y軸及直線x+y+l=0所圍成的區(qū)

域，求E（—3X+2F）。

解：因?yàn)锳的面積為:，所以（x,y）的概率密度為

2.一民航送客車載有20位旅客自機(jī)場開出，旅客有10個(gè)車站可以下車，如到達(dá)一個(gè)車

站沒有旅客下車就不停車，以X表示停車的次數(shù)，求E（X）。（設(shè)每位旅客在各個(gè)車站

下車是等可能的，并設(shè)旅客是否下車相互獨(dú)立）

解：引入隨機(jī)變量

］0,在第謝沒有人下車，

'11,在第，站有人下車，

易知X=XI+X?++X10,現(xiàn)在來求E（x）。

/oA20(9A20

按照題意，P{Xi=0}=—P{xi=\}=\-

<oV°

所以E(Xj=l------,/=l,2,..,10

(o

進(jìn)而E(X)=E(X1+X2++X10)=101------=8.784

第四節(jié)方差與標(biāo)準(zhǔn)差

九、選擇

i.對(duì)于任意兩個(gè)隨機(jī)變量x和y,假設(shè)E(xy)=E(x)E(y),那么(B)

(A)D(XY)=D(X)D(Y)(B)D(X+/)=O(X)+D(Y)

(c)x和y獨(dú)立(D)x和y不獨(dú)立

2.設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X和y的方差分別是4和2,那么隨機(jī)變量3X-2Y的

方差是(D)。

(A)8(B)16(C)28(D)44

3.設(shè)隨機(jī)變量J和〃相互獨(dú)立，又X=2J+5,丫=3〃—8,那么以下結(jié)論不正確的選

項(xiàng)是(B)

(A)。(X+y)=40(9+90(77)(B)D(X-Y)=4。(鄉(xiāng)一9D(7?)

(C)E(X+r)=E(X)+E(r)(D)E(XY)=E(X)E(Y)

二、填空

1,X>0,

i.設(shè)隨機(jī)變量x在區(qū)間[一1,2]上服從均勻分布，隨機(jī)變量y={o,x=o,那么方

[-1,x<o,

差o(y)=8/9o

2.設(shè)X是一隨機(jī)變量,￡(X)=1,E[X(X-1)]=4,那么。(X)=4。

三、簡答題

1.設(shè)(X,y)的聯(lián)合概率密度為=VL,求。(X)。

0,其匕，

解：E(X)=jJy)dxdy=￡1y2dy=—,

E(X2)=匚J二x"(x,y)dxdy=￡15/q;y2dy=1,

■X)=E(X?[E(X)了[嚏=息

第五節(jié)某些常用分布的數(shù)學(xué)期望與方差

十、選擇

1.設(shè)x服從]c)分布，那么E(X)=E>(X)。

(A)正態(tài)(B)指數(shù)(C)泊松(D)二項(xiàng)

2.X服從二項(xiàng)分布，且E(X)=2.4,D(X)=1.44,那么二項(xiàng)分布的參數(shù)為(B)

(A)n=4,p=0.6⑻n=6,p=0.4

〔C〕〃=8,〃=0.3〔D〕n