八上數(shù)學奧賽試題及答案

八上數(shù)學奧賽試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題3分，共30分）

1.若a、b、c是等差數(shù)列，且a+b+c=12，a-b+c=6，則b的值為：

A.3

B.4

C.5

D.6

2.若x2-3x+2=0，則x的值為：

A.1或2

B.2或3

C.1或3

D.2或4

3.若sin2α+cos2α=1，則sinα的值為：

A.1

B.0

C.-1

D.不確定

4.若a、b、c是等比數(shù)列，且a+b+c=9，bc=8，則a的值為：

A.1

B.2

C.3

D.4

5.若sinα=1/2，cosα=√3/2，則sin(2α)的值為：

A.√3/2

B.1/2

C.-√3/2

D.-1/2

6.若a、b、c是等差數(shù)列，且a+b+c=12，a-b+c=6，則b的值為：

A.3

B.4

C.5

D.6

7.若x2-3x+2=0，則x的值為：

A.1或2

B.2或3

C.1或3

D.2或4

8.若sin2α+cos2α=1，則sinα的值為：

A.1

B.0

C.-1

D.不確定

9.若a、b、c是等比數(shù)列，且a+b+c=9，bc=8，則a的值為：

A.1

B.2

C.3

D.4

10.若sinα=1/2，cosα=√3/2，則sin(2α)的值為：

A.√3/2

B.1/2

C.-√3/2

D.-1/2

二、填空題（每題5分，共50分）

1.若sinα=1/2，cosα=√3/2，則sin(2α)的值為________。

2.若a、b、c是等差數(shù)列，且a+b+c=12，a-b+c=6，則b的值為________。

3.若x2-3x+2=0，則x的值為________。

4.若sin2α+cos2α=1，則sinα的值為________。

5.若a、b、c是等比數(shù)列，且a+b+c=9，bc=8，則a的值為________。

6.若sinα=1/2，cosα=√3/2，則sin(2α)的值為________。

7.若a、b、c是等差數(shù)列，且a+b+c=12，a-b+c=6，則b的值為________。

8.若x2-3x+2=0，則x的值為________。

9.若sin2α+cos2α=1，則sinα的值為________。

10.若a、b、c是等比數(shù)列，且a+b+c=9，bc=8，則a的值為________。

三、解答題（每題10分，共30分）

1.解方程：x2-5x+6=0。

2.已知a、b、c是等差數(shù)列，且a+b+c=12，a-b+c=6，求b的值。

3.已知sinα=1/2，cosα=√3/2，求sin(2α)的值。

四、應用題（每題15分，共30分）

1.一輛汽車從甲地出發(fā)，以每小時60公里的速度行駛，2小時后與從乙地出發(fā)以每小時80公里的速度行駛的汽車相遇。若兩車相遇后繼續(xù)行駛1小時，此時兩車之間的距離是多少？

2.一個等腰三角形的底邊長為10厘米，腰長為12厘米，求該三角形的面積。

五、證明題（每題20分，共40分）

1.證明：對于任意實數(shù)a和b，有(a+b)2=a2+2ab+b2。

2.證明：對于任意實數(shù)x，有sin2x+cos2x=1。

六、綜合題（每題25分，共50分）

1.已知函數(shù)f(x)=2x-3，求函數(shù)f(x)的圖像。

2.一批貨物由甲地運往乙地，若每天運輸20噸，則需10天運完；若每天運輸30噸，則需7天運完。求甲地到乙地的總距離。

試卷答案如下：

一、選擇題

1.B.4

解析思路：根據(jù)等差數(shù)列的性質，a+b+c=3b，所以3b=12，解得b=4。

2.A.1或2

解析思路：根據(jù)一元二次方程的解法，x2-3x+2=0可以分解為(x-1)(x-2)=0，所以x=1或x=2。

3.B.0

解析思路：根據(jù)三角恒等式sin2α+cos2α=1，已知sinα=1/2，則cos2α=1-(1/2)2=3/4，所以cosα=±√(3/4)，由于題目未指明角度范圍，故答案為0。

4.A.1

解析思路：根據(jù)等比數(shù)列的性質，a+b+c=a(1+r+r2)=9，bc=a2r2=8，解得a=1。

5.B.1/2

解析思路：根據(jù)二倍角公式sin(2α)=2sinαcosα，代入sinα=1/2，cosα=√3/2，得sin(2α)=2*(1/2)*(√3/2)=√3/2。

二、填空題

1.√3/2

解析思路：根據(jù)二倍角公式sin(2α)=2sinαcosα，代入sinα=1/2，cosα=√3/2，得sin(2α)=√3/2。

2.4

解析思路：根據(jù)等差數(shù)列的性質，a+b+c=3b，所以3b=12，解得b=4。

3.1或2

解析思路：根據(jù)一元二次方程的解法，x2-3x+2=0可以分解為(x-1)(x-2)=0，所以x=1或x=2。

4.1

解析思路：根據(jù)三角恒等式sin2α+cos2α=1，已知sin2α=1/2，則cos2α=1-(1/2)2=3/4，所以cosα=±√(3/4)，由于題目未指明角度范圍，故答案為1。

5.1

解析思路：根據(jù)等比數(shù)列的性質，a+b+c=a(1+r+r2)=9，bc=a2r2=8，解得a=1。

三、解答題

1.解：x2-5x+6=0

(x-2)(x-3)=0

x=2或x=3

2.解：a+b+c=12

a-b+c=6

2c=18

c=9

a+b=3

b=3-a

a+(3-a)+9=12

a=3

3.解：sin(2α)=2sinαcosα

sin(2α)=2*(1/2)*(√3/2)

sin(2α)=√3/2

四、應用題

1.解：設兩車相遇后繼續(xù)行駛1小時，此時兩車之間的距離為d。

由題意得，2+1=60t

3+1=80t

t=1/20

d=(60+80)*(1/20)*1

d=5

2.解：設等腰三角形的底邊長為b，腰長為c。

由題意得，b=10

c=12

S=(b*c)/2

S=(10*12)/2

S=60

五、證明題

1.證明：

左邊=(a+b)2

=a2+2ab+b2

右邊=a2+2ab+b2

左邊=右邊

所以，對于任意實數(shù)a和b，有(a+b)2=a2+2ab+b2。

2.證明：

左邊=sin2x+cos2x

右邊=1

因為sin2x+co