山西省大同市新榮區(qū)兩校聯(lián)考2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）

2024-2025學(xué)年第一學(xué)期期末考試九年級(jí)數(shù)學(xué)試卷（時(shí)間：120分鐘滿(mǎn)分120分）第I卷選擇題（共30分）一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分）1.9的平方根是（）A3 B.9 C. D.2.蘇步青來(lái)自“數(shù)學(xué)家之鄉(xiāng)”，為紀(jì)念其卓越貢獻(xiàn)，國(guó)際上將一顆距地球約218000000公里的行星命名為“蘇步青星”．?dāng)?shù)據(jù)218000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.3.下列圖形中，不是正方體展開(kāi)圖的是（）A. B.C. D.4.下列計(jì)算正確的是（）A. B.C. D.5.如圖，直線，的頂點(diǎn)在直線上，且．若，，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.6.谷子，古稱(chēng)稷、粟，亦稱(chēng)梁，谷穗一般成熟后呈金黃色，卵圓形籽實(shí)，粒小且多為黃色，去皮后俗稱(chēng)小米，山西就是谷物的故鄉(xiāng)之一．某校學(xué)生小坤在一塊谷子試驗(yàn)田中隨機(jī)抽取了10棵成熟期的谷子，測(cè)量其谷穗長(zhǎng)度，并制成如下統(tǒng)計(jì)表．谷穗編號(hào)①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩谷穗長(zhǎng)度/cm16172019182020172118則關(guān)于谷穗長(zhǎng)度這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）A.17，18 B.18，19 C.20， D.20，187.如圖，點(diǎn)，分別是的邊，的中點(diǎn)，分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)，，作直線，交于點(diǎn)，連接，，經(jīng)測(cè)量得，，則（）A. B. C. D.8.算籌是在珠算發(fā)明以前我國(guó)獨(dú)創(chuàng)并且有效的計(jì)算工具，為我國(guó)古代數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了很大的貢獻(xiàn)．算籌有縱式和橫式兩種，如圖（1）是利用算籌表示1-9這9個(gè)數(shù)字．規(guī)定個(gè)位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，以此類(lèi)推．如：圖（2）所示的算籌表示128．則圖（3）所示的算籌表示的數(shù)是（）A.5423 B.3245 C.7649 D.94679.將拋物線向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，所得拋物線的表達(dá)式為，則，的值為（）A， B.，C.， D.，10.某仿古墻上原有一個(gè)矩形的門(mén)洞，現(xiàn)要將它改為一個(gè)圓弧形的門(mén)洞，圓弧所在的圓外接于矩形，如圖．已知矩形的寬為，高為，則改建后門(mén)洞的圓弧長(zhǎng)是（）A. B. C. D.第II卷非選擇題（共90分）二、填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題3分，共15分）11.寫(xiě)出一個(gè)比3大且比小的無(wú)理數(shù)________．12.不等式組的解集是______．13.如圖，四邊形是正方形，點(diǎn)是反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，若點(diǎn)A的坐標(biāo)是，則______．14.如圖，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，每次跳躍隨機(jī)繞正五邊形順時(shí)針或逆時(shí)針跳動(dòng)1步或2步（每步長(zhǎng)與長(zhǎng)相等），則點(diǎn)跳躍兩次后，恰好落在點(diǎn)處的概率為_(kāi)_____．15.如圖，在中，，，點(diǎn)在邊上，連接，以為斜邊在其上方作等腰直角三角形，與交于點(diǎn)，連接．若，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．三、解答題（本大題共8個(gè)小題，共75分）16（1）計(jì)算：．（2）化簡(jiǎn)：．17.在活動(dòng)課上，興趣小組的同學(xué)用一根質(zhì)地均勻的輕質(zhì)木桿和若干個(gè)鉤碼做實(shí)驗(yàn)．如圖所示，在輕質(zhì)木桿上的點(diǎn)處用一根細(xì)線懸掛，左端處掛一重物，質(zhì)量為，右端處掛有3個(gè)鉤碼，每個(gè)鉤碼質(zhì)量是．已知，若使輕質(zhì)木桿水平位置平衡，則動(dòng)力臂的長(zhǎng)是多少？（溫馨提示：動(dòng)力動(dòng)力臂阻力阻力臂）18.在校園藝術(shù)節(jié)來(lái)臨之際，為了更好地了解全校3500名學(xué)生最喜愛(ài)的藝術(shù)節(jié)目類(lèi)型，學(xué)校節(jié)目策劃組設(shè)計(jì)了如下的調(diào)查問(wèn)卷，隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下統(tǒng)計(jì)圖和統(tǒng)計(jì)表（均不完整）．“校園藝術(shù)節(jié)”最喜愛(ài)的藝術(shù)節(jié)目調(diào)查問(wèn)卷請(qǐng)?jiān)谙铝羞x項(xiàng)中選擇您最喜愛(ài)的藝術(shù)節(jié)目，在其后的“（）”內(nèi)打“√”，非常感謝您的參與（每名同學(xué)必須選擇且只能選擇一類(lèi)）．A．歌曲類(lèi)節(jié)目（）B．舞蹈類(lèi)節(jié)目（）C．樂(lè)器類(lèi)節(jié)目（）D．課本劇節(jié)目（）節(jié)目類(lèi)型歌曲舞蹈樂(lè)器課本劇人數(shù)282032請(qǐng)根據(jù)圖表提供的信息，解答下列問(wèn)題：（1）統(tǒng)計(jì)表中，扇形統(tǒng)計(jì)圖中課本劇所對(duì)應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)為；（2）請(qǐng)補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖；（3）請(qǐng)估計(jì)該校3500名學(xué)生中對(duì)舞蹈類(lèi)節(jié)目最喜愛(ài)的學(xué)生有多少人；（4）學(xué)校節(jié)目策劃組要根據(jù)以上調(diào)查報(bào)告合理編排節(jié)目，假如你是該策劃組的成員，請(qǐng)結(jié)合以上調(diào)查數(shù)據(jù)寫(xiě)出一條合理化建議．19.如圖是某風(fēng)景區(qū)的局部簡(jiǎn)化示意圖，風(fēng)軒亭在翠微亭的正南方向，兩亭被一座小山隔開(kāi)，該風(fēng)景區(qū)計(jì)劃在，之間修建一條直通的景觀隧道．為測(cè)量，兩點(diǎn)之間的距離，在一條東西方向的小路上的點(diǎn)，處分別觀測(cè)點(diǎn)，，測(cè)得點(diǎn)在點(diǎn)的北偏東方向上，點(diǎn)在點(diǎn)的北偏東方向上，米，米．求，兩點(diǎn)之間的距離．（結(jié)果精確到米．參考數(shù)據(jù)：，，，，）20.為建設(shè)新農(nóng)村，某村從某廠商購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種太陽(yáng)能路燈．已知每盞甲種路燈的價(jià)格比每盞乙種路燈的價(jià)格貴80元，用12000元購(gòu)買(mǎi)甲種路燈的數(shù)量恰好與用10000元購(gòu)買(mǎi)乙種路燈的數(shù)量相同．（1）求甲、乙兩種路燈每盞的價(jià)格分別是多少元．（2）該村計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)這兩種太陽(yáng)能路燈共60盞．為支持新農(nóng)村建設(shè)，該廠商對(duì)兩種路燈進(jìn)行了優(yōu)惠：甲種路燈每盞降價(jià)50元，乙種路燈打九折．若要求甲種路燈的數(shù)量不得少于乙種路燈數(shù)量的一半，則購(gòu)買(mǎi)這批路燈最少需要花費(fèi)多少元？21.閱讀以下材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．定義：若三角形一邊上的點(diǎn)將該邊分為兩條線段，且這兩條線段長(zhǎng)的積等于這個(gè)點(diǎn)與該邊所對(duì)頂點(diǎn)之間的距離的平方，則稱(chēng)這個(gè)點(diǎn)為三角形中該邊的“中頂點(diǎn)”．例：如圖（1），在中，點(diǎn)在上，若，則點(diǎn)為中邊的中頂點(diǎn)．任務(wù)：（1）如圖（2），的三個(gè)頂點(diǎn)是的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)），請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺作出中邊的一個(gè)中頂點(diǎn)，且點(diǎn)不是格點(diǎn)．（2）如圖（3），內(nèi)接于，點(diǎn)是中邊的中頂點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)．①求證：點(diǎn)是的中點(diǎn)．②若的半徑為5，，，與過(guò)點(diǎn)的切線垂直，垂足為點(diǎn)，求的長(zhǎng)．22.綜合與實(shí)踐折紙是一項(xiàng)有趣的活動(dòng)，在折紙過(guò)程中，我們通過(guò)研究圖形的性質(zhì)可以發(fā)展空間觀念，在思考問(wèn)題的過(guò)程中建立幾何直觀．在一次綜合實(shí)踐課上，小麗嘗試將手中的矩形紙片進(jìn)行折疊．如圖（1），在矩形紙片中，，，折疊紙片使點(diǎn)落在點(diǎn)處，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)，得到折痕，把紙片展開(kāi)，連接，．【問(wèn)題解決】（1）如圖（2），連接，在折疊過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)恰好落在線段上時(shí)，求線段的長(zhǎng)．（2）如圖（3），連接，將矩形紙片折疊，使得點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在對(duì)角線上，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)，得到折痕，當(dāng)點(diǎn)也落在對(duì)角線上時(shí)：試判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由；求線段的長(zhǎng)．【拓展延伸】（3）如圖（4），當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，請(qǐng)直接寫(xiě)出與的數(shù)量關(guān)系和線段的長(zhǎng)．（溫馨提示：）23.綜合與探究：如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式．（2）點(diǎn)是直線下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，，，當(dāng)四邊形的面積最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．（3）點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，在軸上是否存在點(diǎn)，使得以，，，為頂點(diǎn)四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

2024-2025學(xué)年第一學(xué)期期末考試九年級(jí)數(shù)學(xué)試卷（時(shí)間：120分鐘滿(mǎn)分120分）第I卷選擇題（共30分）一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分）1.9的平方根是（）A.3 B.9 C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了平方根的定義，熟練掌握平方根的意義是解題的關(guān)鍵．直接利用平方根的意義進(jìn)行求解即可．【詳解】解：，∴9的平方根是．故選：C．2.蘇步青來(lái)自“數(shù)學(xué)家之鄉(xiāng)”，為紀(jì)念其卓越貢獻(xiàn)，國(guó)際上將一顆距地球約218000000公里的行星命名為“蘇步青星”．?dāng)?shù)據(jù)218000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值大于或等于10時(shí)，n是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值小于1時(shí)，n是負(fù)整數(shù)．【詳解】解：數(shù)據(jù)218000000用科學(xué)記數(shù)法表示為；故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查科學(xué)記數(shù)法，熟練掌握科學(xué)記數(shù)法是解題的關(guān)鍵．3.下列圖形中，不是正方體展開(kāi)圖的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查幾何體的平面展開(kāi)圖，熟練掌握幾何體的平面展開(kāi)圖是解題的關(guān)鍵．由平面圖形的折疊及正方體的展開(kāi)圖解題．【詳解】根據(jù)正方體的展開(kāi)圖可知，只有D選項(xiàng)的圖形不能還原成一個(gè)正方體．故選：D．4.下列計(jì)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)整式的加減，多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，積的乘方解答即可．【詳解】解：A.，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；不符合題意；B.，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；不符合題意；C.，此選項(xiàng)正確，符合題意；D.，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的加減，多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，積的乘方，平方差公式，熟練掌握公式和運(yùn)算的法則是解題的關(guān)鍵．5.如圖，直線，的頂點(diǎn)在直線上，且．若，，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，先由三角形內(nèi)角和定理得，再由外角的性質(zhì)得，再由平行線的性質(zhì)得，最后由可得答案．【詳解】解：如圖，∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴．故選：C．6.谷子，古稱(chēng)稷、粟，亦稱(chēng)梁，谷穗一般成熟后呈金黃色，卵圓形籽實(shí)，粒小且多為黃色，去皮后俗稱(chēng)小米，山西就是谷物的故鄉(xiāng)之一．某校學(xué)生小坤在一塊谷子試驗(yàn)田中隨機(jī)抽取了10棵成熟期的谷子，測(cè)量其谷穗長(zhǎng)度，并制成如下統(tǒng)計(jì)表．谷穗編號(hào)①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩谷穗長(zhǎng)度/cm16172019182020172118則關(guān)于谷穗長(zhǎng)度這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）A.17，18 B.18，19 C.20， D.20，18【答案】C【解析】【分析】本題考查的是眾數(shù)，中位數(shù)的含義，掌握“求解一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)，中位數(shù)”是解本題的關(guān)鍵．分別計(jì)算這一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)，中位數(shù)，從而可得答案．【詳解】解：隨機(jī)抽取了10棵成熟期的谷子，測(cè)量其谷穗長(zhǎng)度，按照從小到大的順序排列后為：16，17，17，18，18，19，20，20，20，21；第5個(gè)，第6個(gè)數(shù)據(jù)分別為18，19，所以中位數(shù)是；出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)是20，所以眾數(shù)是，故選：C7.如圖，點(diǎn)，分別是的邊，的中點(diǎn)，分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)，，作直線，交于點(diǎn)，連接，，經(jīng)測(cè)量得，，則（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的作法，三角形中位線定理和直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟悉掌握尺規(guī)作圖和相關(guān)性質(zhì)定理．根據(jù)題干描述得知為線段的垂直平分線，即是斜邊上的中線，，是的中位線，．【詳解】解：根據(jù)題意可知：為線段的垂直平分線，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，，是直角三角形，∴是斜邊上的中線，，∵點(diǎn)，分別是的邊，的中點(diǎn)，∴是的中位線，．故答案為：．8.算籌是在珠算發(fā)明以前我國(guó)獨(dú)創(chuàng)并且有效的計(jì)算工具，為我國(guó)古代數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了很大的貢獻(xiàn)．算籌有縱式和橫式兩種，如圖（1）是利用算籌表示1-9這9個(gè)數(shù)字．規(guī)定個(gè)位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，以此類(lèi)推．如：圖（2）所示的算籌表示128．則圖（3）所示的算籌表示的數(shù)是（）A.5423 B.3245 C.7649 D.9467【答案】C【解析】【分析】根據(jù)提供的數(shù)字表示方法，結(jié)合數(shù)位解答即可．本題考查了數(shù)的認(rèn)識(shí)，正確認(rèn)識(shí)數(shù)的表示是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)題意，千位上數(shù)字是7，百位上數(shù)字是6，十位上的數(shù)字是4，各位上的數(shù)字是9，于是得到一個(gè)四位數(shù)7649，故選：C．9.將拋物線向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，所得拋物線的表達(dá)式為，則，的值為（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖形的平移，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握二次函數(shù)圖形平移的規(guī)律．根據(jù)“上加下減，左加右減”的原則，求出平移前后的二次函數(shù)的解析式，即可解答．【詳解】將拋物線向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的拋物線的表達(dá)式為，所以，，，故選：A．10.某仿古墻上原有一個(gè)矩形的門(mén)洞，現(xiàn)要將它改為一個(gè)圓弧形的門(mén)洞，圓弧所在的圓外接于矩形，如圖．已知矩形的寬為，高為，則改建后門(mén)洞的圓弧長(zhǎng)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用勾股定理先求得圓弧形的門(mén)洞的直徑BC，再利用矩形的性質(zhì)證得是等邊三角形，得到，進(jìn)而求得門(mén)洞的圓弧所對(duì)的圓心角為，利用弧長(zhǎng)公式即可求解．【詳解】如圖，連接，，交于點(diǎn)，∵，∴是直徑，∴，∵四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，∴門(mén)洞的圓弧所對(duì)的圓心角為，∴改建后門(mén)洞的圓弧長(zhǎng)是(m)，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了弧長(zhǎng)公式，矩形的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，從實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型是解題的關(guān)鍵．第II卷非選擇題（共90分）二、填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題3分，共15分）11.寫(xiě)出一個(gè)比3大且比小的無(wú)理數(shù)________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)無(wú)理數(shù)的意義，利用3和的平方作答即可，答案不是唯一的．【詳解】∵，，∴，∴比3大且比小的無(wú)理數(shù)可以是，故答案為：（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題考查了無(wú)理數(shù)、實(shí)數(shù)大小比較，熟練掌握實(shí)數(shù)大小比較是解題原則．12.不等式組的解集是______．【答案】【解析】【分析】本題考查的是解一元一次不等式組，分別求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．熟知“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．【詳解】解：由①得，，由②得，，∴原不等式組的解集為：，故答案為：．13.如圖，四邊形是正方形，點(diǎn)是反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，若點(diǎn)A的坐標(biāo)是，則______．【答案】3【解析】【分析】本題考查反比例函數(shù)與幾何綜合，涉及求反比例函數(shù)的解析式、全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形等知識(shí)，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解答的關(guān)鍵．過(guò)A作軸于E，過(guò)C作交延長(zhǎng)線于F，利用正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定證明，利用坐標(biāo)與圖形性質(zhì)得到，，進(jìn)而求得點(diǎn)C坐標(biāo)為，利用待定系數(shù)法求解k值即可．【詳解】解：過(guò)A作軸于E，過(guò)C作交延長(zhǎng)線于F，則軸，，∵四邊形是正方形，∴，，∴，∴，∴，，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是，∴，，∴點(diǎn)C坐標(biāo)，∵點(diǎn)是反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，∴，故答案為：3．14.如圖，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，每次跳躍隨機(jī)繞正五邊形順時(shí)針或逆時(shí)針跳動(dòng)1步或2步（每步長(zhǎng)與長(zhǎng)相等），則點(diǎn)跳躍兩次后，恰好落在點(diǎn)處的概率為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】畫(huà)出樹(shù)狀圖，找出符合結(jié)果的個(gè)數(shù)，用公式即可求解．本題考查了用畫(huà)樹(shù)狀圖求概率，掌握解法是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：畫(huà)樹(shù)狀圖得共有種等可能結(jié)果，點(diǎn)跳躍兩次后，恰好落在點(diǎn)處有種結(jié)果，；故答案為：．15.如圖，在中，，，點(diǎn)在邊上，連接，以為斜邊在其上方作等腰直角三角形，與交于點(diǎn)，連接．若，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】##【解析】【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，熟練掌握以上知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)題意證明，可得，求出，，在中，由勾股定理得：，所以，證明可得，設(shè)，則，所以，在中，由勾股定理得：，即，解出的值，即可得到答案．【詳解】解：由題意知，，又，，，又，，，在中，由勾股定理得：，，，，，，設(shè)，則，，在中，由勾股定理得：，即，解得：（舍去），，，故答案為：．三、解答題（本大題共8個(gè)小題，共75分）16（1）計(jì)算：．（2）化簡(jiǎn)：．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】本題主要考查了實(shí)數(shù)的混合計(jì)算，分式的混合計(jì)算，零指數(shù)冪．（1）先根據(jù)數(shù)的乘方，絕對(duì)值的性質(zhì)及開(kāi)方法則，零指數(shù)冪分別計(jì)算出各數(shù)，再根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；（2）先把除法化為乘法，再約分即可．【詳解】解：（1）原式；（2）原式．17.在活動(dòng)課上，興趣小組同學(xué)用一根質(zhì)地均勻的輕質(zhì)木桿和若干個(gè)鉤碼做實(shí)驗(yàn)．如圖所示，在輕質(zhì)木桿上的點(diǎn)處用一根細(xì)線懸掛，左端處掛一重物，質(zhì)量為，右端處掛有3個(gè)鉤碼，每個(gè)鉤碼質(zhì)量是．已知，若使輕質(zhì)木桿水平位置平衡，則動(dòng)力臂的長(zhǎng)是多少？（溫馨提示：動(dòng)力動(dòng)力臂阻力阻力臂）【答案】動(dòng)力臂的長(zhǎng)為【解析】【分析】設(shè)的長(zhǎng)為，則的長(zhǎng)為，根據(jù)杠桿平衡條件，構(gòu)建一元一次方程，解答即可．本題考查了數(shù)學(xué)與物理的跨學(xué)科綜合，一元一次方程的應(yīng)用，熟練掌握解方程是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)的長(zhǎng)為，則的長(zhǎng)為．根據(jù)題意，得，整理，得，解得，即．答：動(dòng)力臂的長(zhǎng)為．18.在校園藝術(shù)節(jié)來(lái)臨之際，為了更好地了解全校3500名學(xué)生最喜愛(ài)的藝術(shù)節(jié)目類(lèi)型，學(xué)校節(jié)目策劃組設(shè)計(jì)了如下的調(diào)查問(wèn)卷，隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下統(tǒng)計(jì)圖和統(tǒng)計(jì)表（均不完整）．“校園藝術(shù)節(jié)”最喜愛(ài)的藝術(shù)節(jié)目調(diào)查問(wèn)卷請(qǐng)?jiān)谙铝羞x項(xiàng)中選擇您最喜愛(ài)的藝術(shù)節(jié)目，在其后的“（）”內(nèi)打“√”，非常感謝您的參與（每名同學(xué)必須選擇且只能選擇一類(lèi)）．A．歌曲類(lèi)節(jié)目（）B．舞蹈類(lèi)節(jié)目（）C．樂(lè)器類(lèi)節(jié)目（）D．課本劇節(jié)目（）節(jié)目類(lèi)型歌曲舞蹈樂(lè)器課本劇人數(shù)282032請(qǐng)根據(jù)圖表提供的信息，解答下列問(wèn)題：（1）統(tǒng)計(jì)表中，扇形統(tǒng)計(jì)圖中課本劇所對(duì)應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)為；（2）請(qǐng)補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖；（3）請(qǐng)估計(jì)該校3500名學(xué)生中對(duì)舞蹈類(lèi)節(jié)目最喜愛(ài)的學(xué)生有多少人；（4）學(xué)校節(jié)目策劃組要根據(jù)以上調(diào)查報(bào)告合理編排節(jié)目，假如你是該策劃組的成員，請(qǐng)結(jié)合以上調(diào)查數(shù)據(jù)寫(xiě)出一條合理化建議．【答案】（1）20，（2）見(jiàn)解析（3）700人（4）從調(diào)查報(bào)告中可知，喜歡課本劇節(jié)目的同學(xué)最多，所以可以適當(dāng)多安排幾個(gè)課本劇節(jié)目【解析】【分析】本題考查了統(tǒng)計(jì)圖表的綜合應(yīng)用，包括根據(jù)部分?jǐn)?shù)據(jù)求總體、計(jì)算占比和圓心角度數(shù)、補(bǔ)全圖表以及利用樣本估計(jì)總體等知識(shí)，解題關(guān)鍵在于熟練掌握統(tǒng)計(jì)量之間的關(guān)系，通過(guò)已知數(shù)據(jù)準(zhǔn)確計(jì)算未知數(shù)據(jù)．（1）根據(jù)喜愛(ài)歌曲類(lèi)節(jié)目人數(shù)除以占比即可得出總?cè)藬?shù)，用總?cè)藬?shù)減去其余三項(xiàng)即可得出m的值，用乘以課本劇B社團(tuán)的占比即可求出對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)．（2）分別求出課本劇和舞蹈的占比，然后補(bǔ)全條形分布即可．（3）用樣本估計(jì)總體即可得出結(jié)論．（4）根據(jù)各類(lèi)節(jié)目的占比提出建議即可．【小問(wèn)1詳解】解：，，課本劇所對(duì)應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)：．故答案為：20，；【小問(wèn)2詳解】舞蹈：；課本劇：；補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖如下．【小問(wèn)3詳解】（人）．答：估計(jì)該校3500名學(xué)生中對(duì)舞蹈類(lèi)節(jié)目最喜愛(ài)的學(xué)生有700人．【小問(wèn)4詳解】從調(diào)查報(bào)告中可知，因?yàn)橄矚g課本劇和歌曲類(lèi)節(jié)目的學(xué)生相對(duì)較多，可以適當(dāng)增加課本劇和歌曲類(lèi)節(jié)目的數(shù)量和表演形式；同時(shí)，也不能忽視舞蹈和樂(lè)器類(lèi)節(jié)目，可以通過(guò)創(chuàng)新表演方式來(lái)吸引更多學(xué)生的關(guān)注，使藝術(shù)節(jié)節(jié)目更加豐富多樣，滿(mǎn)足不同學(xué)生的興趣需求．（答案不唯一）19.如圖是某風(fēng)景區(qū)的局部簡(jiǎn)化示意圖，風(fēng)軒亭在翠微亭的正南方向，兩亭被一座小山隔開(kāi)，該風(fēng)景區(qū)計(jì)劃在，之間修建一條直通的景觀隧道．為測(cè)量，兩點(diǎn)之間的距離，在一條東西方向的小路上的點(diǎn)，處分別觀測(cè)點(diǎn)，，測(cè)得點(diǎn)在點(diǎn)的北偏東方向上，點(diǎn)在點(diǎn)的北偏東方向上，米，米．求，兩點(diǎn)之間的距離．（結(jié)果精確到米．參考數(shù)據(jù)：，，，，）【答案】，兩點(diǎn)之間的距離約為米【解析】【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用—方向角問(wèn)題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出、的長(zhǎng)，從而求出的長(zhǎng)，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，再利用線段的和差關(guān)系，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則，在中，，，，，，，，在中，，，，答：，兩點(diǎn)之間的距離約為米．20.為建設(shè)新農(nóng)村，某村從某廠商購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種太陽(yáng)能路燈．已知每盞甲種路燈的價(jià)格比每盞乙種路燈的價(jià)格貴80元，用12000元購(gòu)買(mǎi)甲種路燈的數(shù)量恰好與用10000元購(gòu)買(mǎi)乙種路燈的數(shù)量相同．（1）求甲、乙兩種路燈每盞的價(jià)格分別是多少元．（2）該村計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)這兩種太陽(yáng)能路燈共60盞．為支持新農(nóng)村建設(shè)，該廠商對(duì)兩種路燈進(jìn)行了優(yōu)惠：甲種路燈每盞降價(jià)50元，乙種路燈打九折．若要求甲種路燈的數(shù)量不得少于乙種路燈數(shù)量的一半，則購(gòu)買(mǎi)這批路燈最少需要花費(fèi)多少元？【答案】（1）乙種路燈每盞的價(jià)格為元，則甲種路燈每盞的價(jià)格為元（2）購(gòu)買(mǎi)這批路燈最少需要花費(fèi)元【解析】【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，理解題意，正確列出方程和一次函數(shù)解析式是解此題的關(guān)鍵．（1）設(shè)乙種路燈每盞的價(jià)格為元，則甲種路燈每盞的價(jià)格為元，根據(jù)“用12000元購(gòu)買(mǎi)甲種路燈的數(shù)量恰好與用10000元購(gòu)買(mǎi)乙種路燈的數(shù)量相同”列出分式方程，解方程即可得出答案；（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)這批路燈花費(fèi)元，其中購(gòu)買(mǎi)甲種路程盞，則購(gòu)買(mǎi)乙種路燈盞，根據(jù)題意得出關(guān)于的關(guān)系式，再根據(jù)“甲種路燈的數(shù)量不得少于乙種路燈數(shù)量的一半”求出的取值范圍，最后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案．【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)乙種路燈每盞的價(jià)格為元，則甲種路燈每盞的價(jià)格為元，由題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合實(shí)際，∴，∴乙種路燈每盞的價(jià)格為元，則甲種路燈每盞的價(jià)格為元；【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)購(gòu)買(mǎi)這批路燈花費(fèi)元，其中購(gòu)買(mǎi)甲種路程盞，則購(gòu)買(mǎi)乙種路燈盞，由題意得：，由題意得：，解得：，∵，∴隨著的增大而增大，∴當(dāng)時(shí)，取最小值，最小值為，∴購(gòu)買(mǎi)這批路燈最少需要花費(fèi)元．21.閱讀以下材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．定義：若三角形一邊上的點(diǎn)將該邊分為兩條線段，且這兩條線段長(zhǎng)的積等于這個(gè)點(diǎn)與該邊所對(duì)頂點(diǎn)之間的距離的平方，則稱(chēng)這個(gè)點(diǎn)為三角形中該邊的“中頂點(diǎn)”．例：如圖（1），在中，點(diǎn)在上，若，則點(diǎn)為中邊的中頂點(diǎn)．任務(wù)：（1）如圖（2），的三個(gè)頂點(diǎn)是的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)），請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺作出中邊的一個(gè)中頂點(diǎn)，且點(diǎn)不是格點(diǎn)．（2）如圖（3），內(nèi)接于，點(diǎn)是中邊的中頂點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)．①求證：點(diǎn)是的中點(diǎn)．②若的半徑為5，，，與過(guò)點(diǎn)的切線垂直，垂足為點(diǎn)，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）①見(jiàn)解析；②【解析】【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作的垂線交與點(diǎn)D即可．根據(jù)，由相似三角形性質(zhì)即可得出．（2）①連接，證明，由相似三角形的性質(zhì)得出，再根據(jù)中頂點(diǎn)的定義得出，進(jìn)而可得出．②連接，根據(jù)，得出是的直徑，且為10，再根據(jù)勾股定理得出，再得出，再根據(jù)正弦的定義即可求解．【小問(wèn)1詳解】解：點(diǎn)如圖（1）所示．【小問(wèn)2詳解】解：①證明：如圖（2），連接．，，，，．點(diǎn)是中邊的中頂點(diǎn)，，，，即點(diǎn)是的中點(diǎn)．②如圖（2），連接．，是的直徑，．由①可知點(diǎn)是的中點(diǎn)，，．是的切線，，．，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了作垂線，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，解直角三角形的計(jì)算等知識(shí)，掌握“中頂點(diǎn)”的定義是解題的關(guān)鍵．22.綜合與實(shí)踐折紙是一項(xiàng)有趣的活動(dòng)，在折紙過(guò)程中，我們通過(guò)研究圖形的性質(zhì)可以發(fā)展空間觀念，在思考問(wèn)題的過(guò)程中建立幾何直觀．在一次綜合實(shí)踐課上，小麗嘗試將手中的矩形紙片進(jìn)行折疊．如圖（1），在矩形紙片中，，，折疊紙片使點(diǎn)落在點(diǎn)處，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)，得到折痕，把紙片展開(kāi)，連接，．【問(wèn)題解決】（1）如圖（2），連接，在折疊過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)恰好落在線段上時(shí)，求線段的長(zhǎng)．（2）如圖（3），連接，將矩形紙片折疊，使得點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在對(duì)角線上，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)，得到折痕，當(dāng)點(diǎn)也落在對(duì)角線上時(shí)：試判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由；求線段的長(zhǎng)．【拓展延伸】（3）如圖（4），當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，請(qǐng)直接寫(xiě)出與的數(shù)量關(guān)系和線段的長(zhǎng)．（溫馨提示：）【答案】（1）（2）四邊形是平行四邊形，見(jiàn)解析（3）與的數(shù)量關(guān)系