2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《二次函數(shù)中菱形的存在性問(wèn)題》專項(xiàng)檢測(cè)卷附答案

第第頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《二次函數(shù)中菱形的存在性問(wèn)題》專項(xiàng)檢測(cè)卷附答案學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________1．如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，(1)求此拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)P是直線下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不點(diǎn)B、C重合），過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交直線于點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m；①用含m的代數(shù)式表示線段的長(zhǎng)．②連接、，求的面積最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與交于點(diǎn)E，點(diǎn)M是拋物線的對(duì)稱軸上一點(diǎn)，N為y軸上一點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)M和點(diǎn)N，使得以點(diǎn)C、E、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？如果存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．2．如圖，拋物線交直線于坐標(biāo)軸上兩點(diǎn)，交軸于另一點(diǎn)，連接．

(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線，交軸于點(diǎn)．連接，求面積的最大值；(3)若在直線上存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，求點(diǎn)的坐標(biāo)．3．如圖，一次函數(shù)的圖象與軸和軸分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，并與軸交于點(diǎn)點(diǎn)是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，分別與二次函數(shù)圖象和直線相交于點(diǎn)和點(diǎn)，連接．(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式．(2)①求、的值（用含的代數(shù)式表示）．②當(dāng)以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，求的值．(3)點(diǎn)是平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在以，，，為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過(guò)點(diǎn)，且交x軸于點(diǎn)，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．

(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)P是直線上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交直線于點(diǎn)E，求周長(zhǎng)的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在（2）中周長(zhǎng)取得最大值的條件下，將該拋物線沿射線方向平移個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)M為平移后的拋物線的對(duì)稱軸上一點(diǎn)．在平面內(nèi)確定一點(diǎn)N，使得以點(diǎn)A，P，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，寫出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)，并寫出求解點(diǎn)N的坐標(biāo)的其中一種情況的過(guò)程．5．如圖1，一段高架橋的兩墻A，B由拋物線一部分連接，為確保安全，在拋物線一部分內(nèi)修建了一個(gè)菱形支架，拋物線的最高點(diǎn)C到的距離米，，點(diǎn)D，E在拋物線一部分上，以所在的直線為x軸，OC所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，確定一個(gè)單位長(zhǎng)度為1米．

(1)求此拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．(2)如圖2，現(xiàn)在將菱形做成廣告牌，且在菱形內(nèi)再做一個(gè)內(nèi)接矩形廣告牌，設(shè)邊長(zhǎng)度為m米，試求內(nèi)接矩形的面積S．（用含m的式子表示）；(3)若已知矩形廣告牌的價(jià)格為80元/米2，廣告牌其余部分的價(jià)格為160元/米2，試求完成菱形廣告牌所需的最低費(fèi)用．6．如圖，直線．與拋物線交于，兩點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)在拋物線上，且的面積為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)在拋物線上，交直線于點(diǎn)，點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)，當(dāng)以為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．7．如圖，經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)的拋物線與y軸交于點(diǎn)C．

(1)求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)若線段上有一動(dòng)點(diǎn)M（不與B，C重合），過(guò)點(diǎn)M作軸交拋物線于點(diǎn)N．①當(dāng)線段的長(zhǎng)度最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；②是否存在一點(diǎn)M，使得四邊形為菱形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．8．已知如圖：拋物線交軸于點(diǎn)、點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)、點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱．

(1)求拋物線解析式．(2)點(diǎn)是拋物線上對(duì)稱軸右側(cè)一點(diǎn)，連接，面積最大時(shí)，求出最大面積和此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．(3)點(diǎn)在對(duì)稱軸上，點(diǎn)是第一象限內(nèi)一點(diǎn)，以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．9．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖甲，在y軸上找一點(diǎn)D，使為等腰三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)如圖乙，點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，是否存在P、Q兩點(diǎn)使以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．10．如圖，拋物線過(guò)點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(2)設(shè)點(diǎn)是直線上方拋物線上一點(diǎn)，求出的最大面積及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在以為邊，點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．11．如圖，拋物線與x軸交于A，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，直線的解析式為．(1)求拋物線的解析式；(2)已知k為正數(shù)，當(dāng)時(shí)，y的最大值和最小值分別為m，n，且，求k的值；(3)點(diǎn)P是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，在拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．12．如圖，拋物線與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，與x軸正半軸交于點(diǎn)B，與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，，，．(1)點(diǎn)C的坐標(biāo)為______；拋物線的函數(shù)表達(dá)式為______；(2)點(diǎn)D是上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、O重合），過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3)設(shè)拋物線的對(duì)稱軸l交x軸于點(diǎn)G，在（2）的條件下，點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，點(diǎn)N是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)M、N，使以A、E、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．若存在，直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．13．如圖，拋物線與軸交于A、兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)左邊），與軸交于點(diǎn)．直線經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)拋物線上的點(diǎn)的在下方運(yùn)動(dòng)時(shí)，求面積的最大值．(3)連接，把沿著軸翻折，使點(diǎn)落在的位置，四邊形能否構(gòu)成菱形，若能，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，如不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；14．如圖，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，，，連接和．(1)求拋物線的解析式；(2)在拋物線對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)使得的周長(zhǎng)最小，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)若點(diǎn)是軸上的動(dòng)點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)，使以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．15．如圖，拋物線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)、C兩點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與重合)，過(guò)點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)連接和，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及的最大面積；(3)在平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)，使得以點(diǎn)A，M，N，P為頂點(diǎn)，以為邊的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案1．(1)(2)①；②(3)存在，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或或．【分析】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，菱形的性質(zhì)等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想解決問(wèn)題是關(guān)鍵．（1）利用待定系數(shù)法，將點(diǎn)和點(diǎn)代入拋物線解析式，求出、的值，即可求解；（2）①先確定直線解析式，根據(jù)過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交直線于點(diǎn)D，可用含m的式子表示出P和D的坐標(biāo)，即可求解；②用含m的代數(shù)式表示出的面積，得到S關(guān)于m的二次函數(shù)，即可求解；（3）先求出拋物線的對(duì)稱軸，進(jìn)而得到點(diǎn)的坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，得到，，根據(jù)菱形的性質(zhì)，分兩種情況討論：①當(dāng)為菱形的對(duì)角線時(shí)，；②當(dāng)為菱形的邊時(shí)，，即可得出點(diǎn)M的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，，解得，拋物線解析式為；（2）解：如圖：①在拋物線中，令，則，即，設(shè)直線的解析式為，將將點(diǎn)、代入得：，解得：，直線的解析式為：，設(shè)，則，故用含m的代數(shù)式表示線段的長(zhǎng)為；②，點(diǎn)是直線下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，S有最大值，此時(shí)，，故的面積最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為；（3）解：存在這樣的點(diǎn)M和點(diǎn)N，使得以點(diǎn)C、E、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，理由如下：，拋物線的對(duì)稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，，，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，，，，以點(diǎn)C、E、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，①當(dāng)為菱形的對(duì)角線時(shí)，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，，；②當(dāng)為菱形的邊時(shí)，此時(shí)，，，故使得以點(diǎn)C、E、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或或．2．(1)(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)直線，求出，，再代入二次函數(shù)解析式即可．（2）根據(jù)二次函數(shù)解析式，得到，從而得出，再根據(jù)直線，設(shè)，將代入得，得出，則，從而得出，得出面積最大值．（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)進(jìn)行分類討論，①，根據(jù)，得出，求出的值從而求解；②，，，得出，求出的值從而求解．【詳解】（1）直線于坐標(biāo)軸上兩點(diǎn)，，，拋物線的圖象過(guò)兩點(diǎn)，代入得，，解得，拋物線的解析式為：；（2）如圖，拋物線的解析式為：，當(dāng)時(shí)，，解得：，，，，直線，設(shè)，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，設(shè)，代入得，，，，，，當(dāng)時(shí)，有最大值．

（3）存在，理由如下：，，，以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，①，，，，，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，，直線，以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，，，②，，，，當(dāng)時(shí)，與點(diǎn)重合，不符合題意，舍去，當(dāng)時(shí)，，直線，以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，，，綜上所述：的坐標(biāo)為或

【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、面積最值、平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)之間的距離等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，知曉兩直線平行，斜率相等是解決本題的關(guān)鍵．3．(1)；(2)①，；②或；(3)存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．【分析】（1）利用直線求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，代入二次函數(shù)，利用待定系數(shù)法求解；（2）由點(diǎn)，可得點(diǎn)，點(diǎn)，利用兩點(diǎn)的距離公式即可求解；分情況討論當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解；（3）當(dāng)以，，，為頂點(diǎn)的四邊形為菱形時(shí)，討論畫出所有的情況，再利用菱形的四邊相等，求解對(duì)應(yīng)的值，從而得到點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：將代入一次函數(shù)得：，點(diǎn)坐標(biāo)，將代入一次函數(shù)得：，點(diǎn)坐標(biāo)，將點(diǎn)、代入拋物線得，，解得，拋物線．（2）解：設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，，，，；，，，將代入拋物線，解得，，點(diǎn)坐標(biāo)，，軸，，當(dāng)時(shí)，，即，解得，當(dāng)時(shí)，，即，解得，綜合上述，當(dāng)以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，的值為或．（3）解：存在，以，，，為頂點(diǎn)的四邊形為菱形時(shí)，需滿足以下三種情況：由可得，點(diǎn)，，，∴，，，當(dāng)時(shí)，，解得，舍去，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，，解得或舍去，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，，解得舍去，，舍去，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；綜合上述，存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，一次函數(shù)上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，二次函數(shù)上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，菱形的性質(zhì)，三角形相似的性質(zhì)，本題的解題關(guān)鍵是分情況討論，做到不重不漏．4．(1)(2)周長(zhǎng)的最大值，此時(shí)點(diǎn)(3)以點(diǎn)A，P，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)或或【分析】（1）把、代入計(jì)算即可；（2）延長(zhǎng)交軸于，可得，進(jìn)而得到，，求出的最大值即可；（3）先求出平移后的解析式，再設(shè)出M，N的坐標(biāo)，最后根據(jù)菱形的性質(zhì)和判定計(jì)算即可．【詳解】（1）把、代入得，，解得，∴拋物線的表達(dá)式為；（2）延長(zhǎng)交軸于，

∵過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交直線于點(diǎn)E，∴，，∴，∴，∴，∴當(dāng)最大時(shí)周長(zhǎng)的最大∵拋物線的表達(dá)式為，∴，∴直線解析式為，設(shè)，則∴，∴當(dāng)時(shí)最大，此時(shí)∵周長(zhǎng)為，∴周長(zhǎng)的最大值為，此時(shí)，即周長(zhǎng)的最大值，此時(shí)點(diǎn)；（3）∵將該拋物線沿射線方向平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可以看成是向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度再向下平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，∴平移后的解析式為，此拋物線對(duì)稱軸為直線，∴設(shè)，∵，∴，，，當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，此時(shí)以點(diǎn)A，P，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形∴與互相平分，且∴，解得∵中點(diǎn)坐標(biāo)為，中點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，解得，此時(shí)；當(dāng)為邊長(zhǎng)且和是對(duì)角線時(shí)，此時(shí)以點(diǎn)A，P，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形∴與互相平分，且∴，解得∵中點(diǎn)坐標(biāo)為，中點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，解得，此時(shí)或；同理，當(dāng)為邊長(zhǎng)且和是對(duì)角線時(shí)，此時(shí)以點(diǎn)A，P，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形∴和互相平分，且，此方程無(wú)解；綜上所述，以點(diǎn)A，P，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)或或；【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法，相似三角形的性質(zhì)與判定，菱形的性質(zhì)及應(yīng)用，中點(diǎn)坐標(biāo)公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是用含字母的代數(shù)式表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)及相關(guān)線段的長(zhǎng)度．5．(1)(2)(3)元【分析】（1）過(guò)點(diǎn)D作軸于點(diǎn)M，作軸于點(diǎn)N，在中，軸，，勾股定理得出的長(zhǎng)，進(jìn)而得出，根據(jù)得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；（2）待定系數(shù)法求出直線的解析式，直線的解析式，設(shè)矩形中，米，則，代入和，得，由軸對(duì)稱得，得出，根據(jù)的長(zhǎng)度列得，求出，得到，再根據(jù)求出函數(shù)解析式；（3）根據(jù)（1）可得，求出菱形的面積，再求出總費(fèi)用W與m的函數(shù)關(guān)系式，利用函數(shù)的性質(zhì)解答即可．【詳解】（1）解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作軸于點(diǎn)M，作軸于點(diǎn)N，

∵四邊形是菱形，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，在中，軸，，∴，，∴，∵，∴，設(shè)拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為，將，代入得，解得，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；（2）設(shè)直線的解析式為，將代入，得，解得，∴直線的解析式為；設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)，代入得，解得，∴直線的解析式為；設(shè)矩形中，米，則，代入和，得，∴，由軸對(duì)稱得，∵軸，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，解得，∴，∴內(nèi)接矩形的面積；

（3）由（2）得，內(nèi)接矩形的面積，由（1）可得，∴菱形的面積，∴總費(fèi)用，∴當(dāng)時(shí)，W最小，最小值為，∴完成菱形廣告牌所需的最低費(fèi)用為元．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，菱形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正確掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．(1)(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或；(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或；【分析】（1）將、代入二次函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法即可解答；（2）根據(jù)題意分當(dāng)點(diǎn)在直線上方時(shí)和點(diǎn)在的下方兩種情況即可解答；（3）設(shè)點(diǎn)根據(jù)菱形的性質(zhì)分情況討論即可解答．【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，兩點(diǎn)，∴，∴解得，∴拋物線的解析式為；（2）解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，如圖1，當(dāng)點(diǎn)在直線上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，連接，

∴點(diǎn)，∵，，∴，，∴，∴，∴點(diǎn)在直線上，∵點(diǎn)在拋物線上，∴點(diǎn)是直線與拋物線的交點(diǎn)，∴，解得：，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)或；設(shè)直線的解析式為：，則，解得：，∴，∴直線是直線向上平移2個(gè)單位得到的，∴將直線向下平移2個(gè)單位，得到直線，與拋物線的交點(diǎn)與點(diǎn)組成的三角形的面積也為3，即：當(dāng)點(diǎn)在直線下方時(shí)，為直線與拋物線的交點(diǎn)，

∴，解得：，；∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或．（3）解：由（2）知：直線為，設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，

當(dāng)時(shí)，，∴直線與軸的交點(diǎn)為：，∴，∴，設(shè)點(diǎn)，則：點(diǎn)，∵以為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，當(dāng)為邊，則：，即：點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：2，點(diǎn)在點(diǎn)上方時(shí)：①如圖，當(dāng)時(shí)，

∵，∴，∴，∴，∴，∴軸，∵，∴點(diǎn)，∴，∴點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)作，則：，

∵，∴，又，∴，解得：(舍)，，∴，∴；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)下方時(shí)：如圖：

同上②法可得：，解得：(舍)，，∴，∴；當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，如圖，則：，∴軸，即點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，設(shè)相交與點(diǎn)，

∵，∴，∴，∴，即：，解得：或（舍去）；∴，∴；綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用．熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵.7．(1)拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2)①點(diǎn)M的坐標(biāo)為；②不存在點(diǎn)M使得四邊形為菱形．理由見解析【分析】（1）利用待定系數(shù)法解答，即可求解；（2）①先求出直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，可點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則點(diǎn)，從而得到，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；②假設(shè)存在點(diǎn)M使得四邊形是菱形，則，可得，從而得到點(diǎn)N的坐標(biāo)為，進(jìn)而得到，即可．【詳解】（1）解：將點(diǎn)，代入，得，解得，∴拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為．當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)C的坐標(biāo)為．（2）解：①設(shè)直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為，將點(diǎn)代入，得，解得，∴直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為．設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則點(diǎn)，∴．∵，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為．②不存在．理由：假設(shè)存在點(diǎn)M使得四邊形是菱形，則，∴，解得，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為．∵，∴不存在點(diǎn)M使得四邊形為菱形．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，線段最值問(wèn)題，菱形的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．(1)(2)當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，面積最大為．(3)，．【分析】（1）由已知條件，設(shè)拋物線解析式為：，將點(diǎn)代入得：，求出的值，最終得到拋物線解析式；（2）根據(jù)題意，點(diǎn)是拋物線上對(duì)稱軸右側(cè)一點(diǎn)，設(shè)，，連接，，設(shè)過(guò)，的直線解析式為，求出直線的解析式為：，設(shè)與軸交于點(diǎn)，則，分兩種情況，點(diǎn)在軸上方時(shí)，，求出最大面積，此時(shí)的點(diǎn)坐標(biāo)；點(diǎn)在軸下方時(shí)，，即便時(shí)，，從而得到當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，面積最大為．（3）由題意知，點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)在軸下方，利用菱形的性質(zhì)，可以證明，求出；當(dāng)點(diǎn)在軸上方，同理可證，求出．【詳解】（1）解：拋物線交x軸于點(diǎn)、點(diǎn)，設(shè)拋物線解析式為：將點(diǎn)代入得：，拋物線解析式為：即．（2）點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，對(duì)稱軸為，點(diǎn)是拋物線上對(duì)稱軸右側(cè)一點(diǎn)，設(shè)，，連接，，設(shè)過(guò)，的直線解析式為，，即，，，即過(guò)，的直線解析式為，設(shè)與軸交于點(diǎn)，則，如圖，點(diǎn)在軸上方，

則，，當(dāng)時(shí)，有最大值，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；如圖，點(diǎn)在軸下方，

則，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，面積取值較大，即便時(shí)，，故當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，面積最大為．（3）由題意知：點(diǎn)在對(duì)稱軸上，點(diǎn)是第一象限內(nèi)一點(diǎn)，在，，若以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，則，如圖，當(dāng)點(diǎn)在軸下方，過(guò)點(diǎn)，作，過(guò)點(diǎn)作軸平行線，過(guò)點(diǎn)作軸平行線，交于點(diǎn),交軸于點(diǎn)，對(duì)稱軸交軸于點(diǎn)，

則，在中，，四邊形為矩形，，由四邊形是菱形知，，且，，，，,，，；如圖，當(dāng)點(diǎn)在軸上方，同理，在中，，作，過(guò)點(diǎn)作軸平行線，過(guò)點(diǎn)作軸平行線，交于點(diǎn)，

可證，，,由四邊形為矩形，，，綜上或．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式，二次函數(shù)的最值問(wèn)題，三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，利用二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，掌握菱形的性質(zhì)，分類討論所有情況，是解答本題的關(guān)鍵．9．(1)；(2)或或或；(3)存在，，或，或，或或【分析】（1）將，代入，求出,即可得出答案；（2）分別以點(diǎn)為頂點(diǎn)、以點(diǎn)為頂點(diǎn)、當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)，計(jì)算即可；（3）拋物線的對(duì)稱軸為直線，設(shè)，，求出，，，分三種情況：以為對(duì)角線或以為對(duì)角線或以為對(duì)角線．【詳解】（1）解：（1）∵，兩點(diǎn)在拋物線上，∴解得，，∴拋物線的解析式為：；（2）令，∴，由為等腰三角形，如圖甲，

當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)時(shí)，，點(diǎn)與原點(diǎn)重合，∴；當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)時(shí)，，是等腰中線，∴，∴；當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)時(shí)，∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為或，∴綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)為或或或．（3）存在，理由如下：拋物線的對(duì)稱軸為：直線，設(shè)，，∵，則，，，∵以為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，∴分三種情況：以為對(duì)角線或以為對(duì)角線或以為對(duì)角線，當(dāng)以為對(duì)角線時(shí)，則，如圖1，

∴，解得：，∴或∵四邊形是菱形，∴與互相垂直平分，即與的中點(diǎn)重合，當(dāng)時(shí)，∴，解得：，∴當(dāng)時(shí)，∴，解得：，∴以為對(duì)角線時(shí)，則，如圖2，

∴，解得：，∴，∵四邊形是菱形，∴與互相垂直平分，即與中點(diǎn)重合，∴，解得：，∴；當(dāng)以為對(duì)角線時(shí)，則，如圖3，

∴，解得：，∴，∵四邊形是菱形，∴與互相垂直平分，即與的中點(diǎn)重合，∴，解得：∴，綜上所述，符合條件的點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)為：，或，或，或或【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了解析式的求法、等腰三角形的判定、菱形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、分類討論等知識(shí)，熟練掌握菱形的性質(zhì)和坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．(1)(2)的最大面積為，(3)存在，或或，，見解析【分析】（1）利用待定系數(shù)法代入求解即可；（2）利用待定系數(shù)法先確定直線的解析式為，設(shè)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，得出，然后得出三角形面積的函數(shù)即可得出結(jié)果；（3）分兩種情況進(jìn)行分析：若為菱形的邊長(zhǎng)，利用菱形的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：將點(diǎn)代入解析式得：，解得：，∴拋物線的解析式為；（2）設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)B、C代入得：，解得：，∴直線的解析式為，∵，∴，設(shè)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，如圖所示：

∴，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，的最大面積為，，∴（3）存在，或或，，證明如下：∵，∵拋物線的解析式為，∴對(duì)稱軸為：，設(shè)點(diǎn)，若為菱形的邊長(zhǎng)，菱形，則，即，解得：，，∵，∴，∴，；若為菱形的邊長(zhǎng)，菱形，則，即，解得：，，∵，∴，∴，；綜上可得：或或，．【點(diǎn)睛】題目主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，包括待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，三角形面積問(wèn)題及特殊四邊形問(wèn)題，全等三角形的判定和性質(zhì)等，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．11．(1)(2)4(3)存在，或或或或【分析】（1）求出點(diǎn)A和點(diǎn)C坐標(biāo)，從點(diǎn)A和點(diǎn)B坐標(biāo)將拋物線的解析式設(shè)為交點(diǎn)式，將點(diǎn)C坐標(biāo)代入，進(jìn)一步求得結(jié)果；（2）先求出n的值，進(jìn)而求得m的值，進(jìn)而求得點(diǎn)k的值；（3）只需滿足三角形為等腰三角形即可．設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出，及，進(jìn)而根據(jù)，及，進(jìn)一步求得結(jié)果．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，∴，∴點(diǎn)，∴設(shè)，將點(diǎn)代入得，，∴，∴；（2）∵拋物線的對(duì)稱軸為直線：，∵，∴，∴當(dāng)時(shí)，∴當(dāng)時(shí)，，∵，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，（舍去），∴，∴；（3）設(shè)點(diǎn)，∵，，∴，，，①當(dāng)時(shí)，，∴，∴，，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，，綜上所述：或或或或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)及其圖象性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，點(diǎn)的坐標(biāo)平移特征等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是正確分類，準(zhǔn)確計(jì)算．12．(1)，(2)(3)存在：，，【分析】（1）證明，得到，求出，從而得到點(diǎn)坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法，求出函數(shù)解析式即可；（2）待定系數(shù)法求出直線的解析式，設(shè)，分別表示出的坐標(biāo)，進(jìn)而得到，利用，列式計(jì)算即可；（3）分是邊和是對(duì)角線兩種情況，進(jìn)行討論求解．【詳解】（1）解：由題意，，，，∵，∴，，，∴，∴，∴，∴，∴，分別把，，代入，得解得，∴；故答案為：，；（2）解：設(shè)直線函數(shù)關(guān)系式為，代入，得，，解得，∴，設(shè)，則：，∴，，由題意，解得，或（舍去），將代入得；∴；（3）解：存在，理由如下：當(dāng)以A、E、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，是等腰三角形．由題意，，，對(duì)稱軸為：，在中，由勾股定理得：，①當(dāng)是邊時(shí)：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)A到直線l的距離是：，∴此時(shí)點(diǎn)M不存在．當(dāng)時(shí)，如圖，此時(shí)菱形為：，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)H，，，在中，由勾股定理得，，∴或，∴；當(dāng)點(diǎn)時(shí)：由得：，即：，解得：，同理可得：，故點(diǎn)；同理可得：；②當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，此時(shí)，即，此時(shí)菱形為，即，設(shè)，則：，解得，∴，即點(diǎn)在軸上，則：，解得：，，∴；綜上：，，．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用．正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合，分類討論的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．13．(1)(2)的面積最大值為4(3)四邊形能構(gòu)成菱形，點(diǎn)的坐標(biāo)為或【分析】（1）先求出點(diǎn)，坐標(biāo)，再代入拋物線解析式中，即可得出結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，設(shè)，則，則，，再求解即可；（3）由翻折得，點(diǎn)、關(guān)于軸對(duì)稱，可得垂直平分，當(dāng)垂直平分時(shí)，四邊形能構(gòu)成菱形，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，代入求出的值，即可求解【詳解】（1）解：對(duì)于直線，令，則，，令，則，，，將點(diǎn)，坐標(biāo)代入拋物線中，得，，拋物線的解析式為；（2）解：過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，設(shè)，則，，，當(dāng)時(shí)，的值最大，最大值為4；（3）解：如圖，由翻折得，點(diǎn)、關(guān)于軸對(duì)稱，垂直平分，當(dāng)垂直平分時(shí)，四邊形能構(gòu)成菱形，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，，，四邊形能構(gòu)成菱形，點(diǎn)的坐標(biāo)為或【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查一次函數(shù)的應(yīng)用、翻折變換，菱形的判定