2025屆湖南省長郡中學高三適應性演練一數(shù)學含答案

長郡中學2025屆高三考前適應性演練（一）數(shù)學本試卷共4頁。滿分150分，考試時間120分鐘。注意事項：1．答題前，考生務必將自己的準考證號、姓名、考場號、座位號等填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，考生將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，則A．364 B．365 C．728 D．7302．在數(shù)列中，則“”是“數(shù)列為等差數(shù)列”的A．充分不必要條件B．必要不充分條件 C．充要條件D．既不充分又不必要條件3．已知集合，且，則集合B可以是A． B． C． D．4．已知，則A． B． C． D．5．在棱長為4的正方體中，分別是棱的中點，過作平面，使得，則直線與平面所成角的正弦值為A． B． C． D．6．已知拋物線的焦點為，過上一點作的準線的垂線，垂足為，若，則A． B． C． D．27．記的內(nèi)角所對的邊分別為，若，則邊上的中線長度的最小值為A． B． C． D．8．探究函數(shù)，下列說法正確的是A．有且只有一個極大值點 B．在上單調遞增C．存在實數(shù)，使得 D．有最小值，最小值為二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．已知為隨機事件，，，則下列結論正確的有A．若為互斥事件，則B．若為互斥事件，則C．若相互獨立，則D．若，則10．三角形的布洛卡點是法國數(shù)學家克洛爾于1816年首次發(fā)現(xiàn)，當三角形ABC內(nèi)一點滿足條件：時，則稱點為三角形ABC的布洛卡點，角為布洛卡角.如圖，在三角形ABC中，角所對的邊分別為，記三角形ABC的面積為，點是三角形ABC的布洛卡點，布洛卡角為，則A．當時，B．當且時，C．當時，D．當時11．已知拋物線的焦點為，準線為，點在上，，垂足為，直線與相交于，兩點．若為的三等分點，則A． B． C． D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知向量，滿足，，，則.13．若關于的不等式在上恒成立，則正數(shù)的最小值為．14．設，為平面上兩點，定義，已知點為拋物線上一動點，點是直線上一動點，則的最小值為四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．(13分)已知函數(shù).(1)若曲線在點處的切線的斜率為，求的值；(2)討論的零點個數(shù)，并證明.16．(15分，改編題)如圖所示，在直三棱柱中，，為中點，且，，.(1)求證：；(2)求平面與平面夾角的余弦值.17．(15分)向“新”而行，向“新”而進，新質生產(chǎn)力能夠更好地推動高質量發(fā)展.如人工智能中的大語言模型DeepSeek（以下簡稱DeepSeek）.為調查DeepSeek的應用是否會對相關從業(yè)人員的數(shù)量產(chǎn)生影響，某學校研究小組隨機抽取了150名視頻從業(yè)人員進行調查，結果如下表所示：DeepSeek的應用情況相關從業(yè)人員合計減少未減少應用5472沒有應用42合計90150(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成上表，并判斷是否有95%的把握認為的應用與相關從業(yè)人員的減少有關？(2)某公司視頻部現(xiàn)有員工100人，公司擬開展DeepSeek培訓，分三輪進行，每位員工第一輪至第三輪培訓達到“優(yōu)秀”的概率分別為，每輪相互獨立，有二輪及以上獲得“優(yōu)秀”的員工才能應用DeepSeek.（ⅰ）求員工經(jīng)過培訓能應用DeepSeek的概率.（ⅱ）已知開展DeepSeek培訓前，員工每人每年平均為公司創(chuàng)造利潤6萬元；開展DeepSeek培訓后，能應用DeepSeek的員工每人每年平均為公司創(chuàng)造利潤10萬元；DeepSeek培訓平均每人每年成本為1萬元.根據(jù)公司發(fā)展需要，計劃先將視頻部的部分員工隨機調至其他部門，然后剩余員工開展DeepSeek培訓，現(xiàn)要求培訓后視頻部的年利潤不低于員工調整前的年利潤，則視頻部最多可以調多少人到其他部門？附：其中，）18．(17分)已知雙曲線的對稱中心在原點，以坐標軸為對稱軸，兩條漸近線分別為和，其右焦點為.(1)求雙曲線的方程；(2)直線與雙曲線交于兩點（在的上方），過點分別作的平行線相交于點，過作的平行線與雙曲線交于兩點（在的上方），再過點分別作的平行線相交于點，這樣一直操作下去，可以得到一系列點.證明：①共線；②為定值，.19．(17分)已知等差數(shù)列的前n項和為，且，.當時，.(1)求數(shù)列、的通項公式；(2)（?。┤?，求數(shù)列的前n項和；（ⅱ）根據(jù)（?。┰嚽蟪龅淖钚≈?長郡中學2025屆高三考前適應性演練（一）數(shù)學參考答案選擇題(8*5+3*6=58’)1234567891011BDCACACDACDABCACD6．A【詳解】由于的準線，所以，設準線與縱軸交于E點，根據(jù)拋物線定義可知，所以，易知，所以.7．C【詳解】由，得，所以，即，則由正弦定理得，因為，所以，所以，即，又，所以，因為，所以由余弦定理得，即.由題可得，所以，因為，所以，當且僅當時等號成立，所以，則，所以邊上的中線長度的最小值為.8．D【詳解】由，則，令，則，令，解得，當時，，在上單調遞減；當時，，在上單調遞增；由函數(shù)與復合而成，而在上單調遞增；故在上單調遞減，在上單調遞增；所以在處取極小值，且無極大值，又，故不存在實數(shù)，使得.故ABC錯誤，D正確.9．ACD【詳解】對于A，若為互斥事件，則，故A正確；對于B，若為互斥事件，則，，故B錯誤；對于C，若相互獨立，則，故C正確；對于D，若，則，所以，故D正確.10．ABC【詳解】對于A，當時，有，又因為，所以，又因為，所以，即，故A正確；對于B，由可得：，又因為，所以，取中點為，可得，又因為，所以，則，再由正弦定理可得：，展開化簡得：，再由，因為一定為銳角，所以，故B正確；對于C，由三角形面積關系可得：，因為，所以有，在中，由余弦定理可得：，，，三個式子相加得：，整理得：，代入可得：，故C正確；對于D，由前面可得：，，代換得：，再由余弦定理得：，代換得：，整理得，故D錯誤；11．ACD【詳解】不妨設拋物線的方程為，則，準線方程為．對于A，如圖，記為準線與軸的交點，設，則，過作準線的垂線，垂足為，則，故A正確；對于B，連接，則，又由A可知，，則為正三角形，．在中，由余弦定理得，故B錯誤；對于C，由圖易知，即，從而，，由二級結論得，，可得，故C正確；對于D，在中，，，由余弦定理得，，故D正確．12．4【詳解】由，可得，，解得.13．/【詳解】不等式，，當時，，令，依題意，，對函數(shù)求導得，函數(shù)在上單調遞增，則當時，恒成立，令函數(shù)，求導得，當時，；當時，，函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，，因此，所以正數(shù)的最小值為最小值為.14．【詳解】由，消去整理得，則，所以直線與拋物線無交點，如圖過點作軸交于點，過點作交于點，則（當、重合時取等號），設，，所以，當且僅當時取等號，15．（1）由題意可得，則，解得．（2）當時，有一個零點；當或時，有兩個零點；當時，有三個零點．證明如下：令，得或．設函數(shù)．①當時，恒成立，沒有零點，則有唯一的零點；②當時，，故是上的增函數(shù)，由得.∵，，∴有唯一的零點，則有兩個零點；③當時，．由，得，由，得，∴在上單調遞減，在上單調遞增，∴．若，則，，則，，則沒有零點，故有唯一的零點；若，則，，則有一個零點，故有兩個零點；若，則，，，，又，時，，∴在和內(nèi)各有一個零點，即有兩個大于0的零點，則有三個零點．綜上，當時，有一個零點；當或時，有兩個零點；當時，有三個零點．16．（1）由題意，為中點，且，所以，所以，解得，所以，所以，即，取中點，則，又面，所以面，又面，所以，所以兩兩互相垂直，故以點為坐標原點，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系：由題意，，，.所以，所以，所以，所以，即.（2）由（1）可知，所以，不妨設平面與平面的法向量分別為，所以，不妨取，解得，即可取平面的一個法向量為，同理有，不妨取，解得，即可取平面的一個法向量為，不妨設平面與平面夾角為，所以，即平面與平面夾角的余弦值為.17．（1）依題意，列聯(lián)表如下：DeepSeek的應用情況視頻從業(yè)人員合計減少未減少應用沒有應用合計零假設為：的應用與視頻從業(yè)人員的減少獨立，的應用前后視頻從業(yè)人員無差異，由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)得，.根據(jù)小概率值的的獨立性檢驗，推斷不成立，所以有的把握認為的應用與視頻從業(yè)人員的減少有關.（2）（i）設“員工第輪獲得優(yōu)秀”，且相互獨立.設“員工經(jīng)過培訓能應用”，則，所以員工經(jīng)過培訓能應用的概率是.（ii）設視頻部調人至其他部門，為培訓后視頻部能應用的人數(shù)，則，因此，調整后視頻部的年利潤為（萬元），令，解得，又，所以.所以視頻部最多可以調人到其他部門.18．（1）依題意可設，右焦點為，兩條漸近線分別為和，，解得，雙曲線的方程為；（2）①證明：設過平行于的直線為，與相交于兩點，聯(lián)立，可得，該方程有兩個不等正實根，故且，解得，由韋達定理可得，直線的方程為