湖北省鄂東南五校一體聯(lián)盟聯(lián)考2023-2024學年高三下學期3月一?？荚嚁?shù)學試題

湖北省鄂東南五校一體聯(lián)盟聯(lián)考2022-2023學年高三下學期3月一?？荚嚁?shù)學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．一袋中裝有個紅球和個黑球（除顏色外無區(qū)別），任取球，記其中黑球數(shù)為，則為（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)的圖像上有且僅有四個不同的點關于直線的對稱點在的圖像上，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．3．已知集合，，則集合的真子集的個數(shù)是（）A．8 B．7 C．4 D．34．如圖，在中，點為線段上靠近點的三等分點，點為線段上靠近點的三等分點，則（）A． B． C． D．5．“紋樣”是中國藝術寶庫的瑰寶，“火紋”是常見的一種傳統(tǒng)紋樣.為了測算某火紋紋樣（如圖陰影部分所示）的面積，作一個邊長為3的正方形將其包含在內，并向該正方形內隨機投擲200個點，己知恰有80個點落在陰影部分據(jù)此可估計陰影部分的面積是（）A． B． C．10 D．6．如圖，設為內一點，且，則與的面積之比為A． B．C． D．7．已知復數(shù)，則對應的點在復平面內位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限8．已知集合，，則（）A． B．C． D．9．設直線的方程為，圓的方程為，若直線被圓所截得的弦長為，則實數(shù)的取值為A．或11 B．或11 C． D．10．某高中高三（1）班為了沖刺高考，營造良好的學習氛圍，向班內同學征集書法作品貼在班內墻壁上，小王，小董，小李各寫了一幅書法作品，分別是：“入班即靜”，“天道酬勤”，“細節(jié)決定成敗”，為了弄清“天道酬勤”這一作品是誰寫的，班主任對三人進行了問話，得到回復如下：小王說：“入班即靜”是我寫的；小董說：“天道酬勤”不是小王寫的，就是我寫的；小李說：“細節(jié)決定成敗”不是我寫的.若三人的說法有且僅有一人是正確的，則“入班即靜”的書寫者是（）A．小王或小李 B．小王 C．小董 D．小李11．已知集合，，若AB，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．12．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的結果為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．下圖是一個算法流程圖，則輸出的S的值是______.14．若實數(shù)滿足不等式組，則的最小值是___15．三對父子去參加親子活動，坐在如圖所示的6個位置上，有且僅有一對父子是相鄰而坐的坐法有________種（比如：B與D、B與C是相鄰的，A與D、C與D是不相鄰的）.16．在平面直角坐標系xOy中，若圓C1：x2＋（y－1）2＝r2（r>0）上存在點P，且點P關于直線x－y＝0的對稱點Q在圓C2：（x－2）2＋（y－1）2＝1上，則r的取值范圍是________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（1）當時，證明，在恒成立；（2）若在處取得極大值，求的取值范圍.18．（12分）在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，已知曲線C的極坐標方程為．（1）求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標方程；（2）設點，直線l與曲線C交于不同的兩點A、B，求的值．19．（12分）已知函數(shù)f(x)=ex-x2-kx（其中e為自然對數(shù)的底，k為常數(shù)）有一個極大值點和一個極小值點．（1）求實數(shù)k的取值范圍；（2）證明：f(x)的極大值不小于1．20．（12分）如圖，三棱柱中，與均為等腰直角三角形，，側面是菱形.（1）證明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.21．（12分）如圖，三棱柱中，側面是菱形，其對角線的交點為，且．（1）求證：平面；（2）設，若直線與平面所成的角為，求二面角的正弦值．22．（10分）在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，將曲線經(jīng)過伸縮變換后得到曲線.在以原點為極點，軸正半軸為極軸的極坐標系中，直線的極坐標方程為.（1）說明曲線是哪一種曲線，并將曲線的方程化為極坐標方程；（2）已知點是曲線上的任意一點，又直線上有兩點和，且，又點的極角為，點的極角為銳角.求：①點的極角；②面積的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．A【解析】

由題意可知，隨機變量的可能取值有、、、，計算出隨機變量在不同取值下的概率，進而可求得隨機變量的數(shù)學期望值.【詳解】由題意可知，隨機變量的可能取值有、、、，則，，，.因此，隨機變量的數(shù)學期望為.故選：A.【點睛】本題考查隨機變量數(shù)學期望的計算，考查計算能力，屬于基礎題.2．A【解析】

可將問題轉化，求直線關于直線的對稱直線，再分別討論兩函數(shù)的增減性，結合函數(shù)圖像，分析臨界點，進一步確定的取值范圍即可【詳解】可求得直線關于直線的對稱直線為，當時，，，當時，，則當時，，單減，當時，，單增；當時，，，當，,當時，單減，當時，單增；根據(jù)題意畫出函數(shù)大致圖像，如圖：當與（）相切時，得，解得；當與（）相切時，滿足，解得，結合圖像可知，即，故選：A【點睛】本題考查數(shù)形結合思想求解函數(shù)交點問題，導數(shù)研究函數(shù)增減性，找準臨界是解題的關鍵，屬于中檔題3．D【解析】

轉化條件得，利用元素個數(shù)為n的集合真子集個數(shù)為個即可得解.【詳解】由題意得，，集合的真子集的個數(shù)為個.故選：D.【點睛】本題考查了集合的化簡和運算，考查了集合真子集個數(shù)問題，屬于基礎題.4．B【解析】

，將,代入化簡即可.【詳解】.故選：B.【點睛】本題考查平面向量基本定理的應用，涉及到向量的線性運算、數(shù)乘運算，考查學生的運算能力，是一道中檔題.5．D【解析】

直接根據(jù)幾何概型公式計算得到答案.【詳解】根據(jù)幾何概型：，故.故選：.【點睛】本題考查了根據(jù)幾何概型求面積，意在考查學生的計算能力和應用能力.6．A【解析】

作交于點，根據(jù)向量比例，利用三角形面積公式，得出與的比例，再由與的比例，可得到結果.【詳解】如圖，作交于點，則，由題意，，，且，所以又，所以，，即，所以本題答案為A.【點睛】本題考查三角函數(shù)與向量的結合，三角形面積公式，屬基礎題，作出合適的輔助線是本題的關鍵.7．A【解析】

利用復數(shù)除法運算化簡，由此求得對應點所在象限.【詳解】依題意，對應點為，在第一象限.故選A.【點睛】本小題主要考查復數(shù)除法運算，考查復數(shù)對應點的坐標所在象限，屬于基礎題.8．A【解析】

根據(jù)對數(shù)性質可知，再根據(jù)集合的交集運算即可求解.【詳解】∵，集合，∴由交集運算可得.故選：A.【點睛】本題考查由對數(shù)的性質比較大小，集合交集的簡單運算，屬于基礎題.9．A【解析】

圓的圓心坐標為（1，1），該圓心到直線的距離，結合弦長公式得，解得或，故選A．10．D【解析】

根據(jù)題意，分別假設一個正確，推理出與假設不矛盾，即可得出結論.【詳解】解：由題意知，若只有小王的說法正確，則小王對應“入班即靜”，而否定小董說法后得出：小王對應“天道酬勤”，則矛盾；若只有小董的說法正確，則小董對應“天道酬勤”，否定小李的說法后得出：小李對應“細節(jié)決定成敗”，所以剩下小王對應“入班即靜”，但與小王的錯誤的說法矛盾；若小李的說法正確，則“細節(jié)決定成敗”不是小李的，則否定小董的說法得出：小王對應“天道酬勤”，所以得出“細節(jié)決定成敗”是小董的，剩下“入班即靜”是小李的，符合題意.所以“入班即靜”的書寫者是：小李.故選：D.【點睛】本題考查推理證明的實際應用.11．D【解析】

先化簡，再根據(jù)，且AB求解.【詳解】因為，又因為，且AB，所以.故選：D【點睛】本題主要考查集合的基本運算，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.12．D【解析】循環(huán)依次為直至結束循環(huán)，輸出，選D.點睛：算法與流程圖的考查，側重于對流程圖循環(huán)結構的考查.先明晰算法及流程圖的相關概念，包括選擇結構、循環(huán)結構、偽代碼，其次要重視循環(huán)起點條件、循環(huán)次數(shù)、循環(huán)終止條件，更要通過循環(huán)規(guī)律，明確流程圖研究的數(shù)學問題，是求和還是求項.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

根據(jù)流程圖，運行程序即得.【詳解】第一次運行，；第二次運行，；第三次運行，；第四次運行；所以輸出的S的值是.故答案為：【點睛】本題考查算法流程圖，是基礎題.14．-1【解析】作出可行域，如圖：由得,由圖可知當直線經(jīng)過A點時目標函數(shù)取得最小值，A（1,0）所以-1故答案為-115．192【解析】

根據(jù)題意，分步進行分析：①，在三對父子中任選1對，安排在相鄰的位置上，②，將剩下的4人安排在剩下的4個位置，要求父子不能坐在相鄰的位置，由分步計數(shù)原理計算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，分步進行分析：①，在三對父子中任選1對，有3種選法，由圖可得相鄰的位置有4種情況，將選出的1對父子安排在相鄰的位置，有種安排方法；②，將剩下的4人安排在剩下的4個位置，要求父子不能坐在相鄰的位置，有種安排方法，則有且僅有一對父子是相鄰而坐的坐法種；故答案為：【點睛】本題考查排列、組合的應用，涉及分步計數(shù)原理的應用，屬于基礎題．16．【解析】

設圓C1上存在點P（x0，y0），則Q（y0，x0），分別滿足兩個圓的方程，列出方程組，轉化成兩個新圓有公共點求參數(shù)范圍.【詳解】設圓C1上存在點P（x0，y0）滿足題意，點P關于直線x－y＝0的對稱點Q（y0，x0），則，故只需圓x2＋（y－1）2＝r2與圓（x－1）2＋（y－2）2＝1有交點即可，所以|r－1|≤≤r＋1，解得.故答案為：【點睛】此題考查圓與圓的位置關系，其中涉及點關于直線對稱點問題，兩個圓有公共點的判定方式.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）證明見解析（2）【解析】

（1）根據(jù)，求導，令，用導數(shù)法求其最小值.設研究在處左正右負，求導，分，，三種情況討論求解.【詳解】（1）因為，所以，令，則，所以是的增函數(shù)，故，即.因為所以，①當時，，所以函數(shù)在上單調遞增.若，則若，則所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是，所以在處取得極小值，不符合題意，②當時，所以函數(shù)在上單調遞減.若，則若，則所以的單調遞減區(qū)間是，單調遞增區(qū)間是，所以在處取得極大值，符合題意.③當時，，使得，即，但當時，即所以函數(shù)在上單調遞減，所以，即函數(shù))在上單調遞減，不符合題意綜上所述，的取值范圍是【點睛】本題主要考查導數(shù)與函數(shù)的單調性和極值，還考查了轉化化歸的思想和運算求解的能力，屬于難題.18．（1），（2）【解析】

(1)利用極坐標與直角坐標的互化公式即可把曲線的極坐標方程化為直角坐標方程,利用消去參數(shù)即可得到直線的直角坐標方程;(2)由于在直線上,寫出直線的標準參數(shù)方程參數(shù)方程,代入曲線的方程利用參數(shù)的幾何意義即可得出求解即可.【詳解】（1）直線的普通方程為，即，根據(jù)極坐標與直角坐標之間的相互轉化，，，而，則，即，故直線l的普通方程為，曲線C的直角坐標方程（2）點在直線l上，且直線的傾斜角為，可設直線的參數(shù)方程為：（t為參數(shù)），代入到曲線C的方程得，，，由參數(shù)的幾何意義知．【點睛】熟練掌握極坐標與直角坐標的互化公式、方程思想、直線的參數(shù)方程中的參數(shù)的幾何意義是解題的關鍵,難度一般.19．（1）；（2）見解析【解析】

（1）求出，記，問題轉化為方程有兩個不同解，求導，研究極值即可得結果；（2）由（1）知，在區(qū)間上存在極大值點，且，則可求出極大值，記，求導，求單調性，求出極值即可.【詳解】（1），由，記，，由，且時，，單調遞減，，時，，單調遞增，，由題意，方程有兩個不同解，所以；（2）解法一：由（1）知，在區(qū)間上存在極大值點，且，所以的極大值為，記，則，因為，所以，所以時，，單調遞減，時，，單調遞增，所以，即函數(shù)的極大值不小于1.解法二：由（1）知，在區(qū)間上存在極大值點，且，所以的極大值為，因為，，所以.即函數(shù)的極大值不小于1.【點睛】本題考查導數(shù)研究函數(shù)的單調性，極值，考查學生綜合分析能力與轉化能力，是一道中檔題.20．（1）見解析（2）【解析】

（1）取中點，連接，，通過證明，得，結合可證線面垂直，繼而可證面面垂直.（2）設，建立空間直角坐標系，求出平面和平面的法向量，繼而可求二面角的余弦值.【詳解】解析：（1）取中點，連接，，由已知可得，，，∵側面是菱形，∴，，，即，∵，∴平面，∴平面平面.（2）設，則，建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，，，，設平面的法向量為，則，令得.同理可求得平面的法向量，∴.【點睛】本題考查了面面垂直的判定，考查了二面角的求解.一般在求二面角或者線面角的問題時，常建立空間直角坐標系，通過求面的法向量、線的方向向量，繼而求解.特別地，對于線面角問題，法向量與方向向量的余角才是所求的線面角，即兩個向量夾角的余弦值為線面角的正弦值.21．（1）見解析；（2）.【解析】

（1）根據(jù)菱形的特征和題中條件得到平面，結合線面垂直的定義和判定定理即可證明；

2建立空間直角坐標系，利用向量知識求解即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形是菱形，，平面平面，又是的中點，，又平面（2）∴直線與平面所成的角等于直線與平面所成的角．平面，∴直線與平面所成的角為，即．因為，則在等腰直角三角形中，所以．在中，由得，以為原點，分別以為軸建立空間直角坐標系．則所以設平面的一個法向量為，則，可得，取平面的一個法向量為，則，所以二面角的正弦值的大小為．（注：問題（2）可以轉化為求二面角的正弦值，求出后，在中，過點作的垂線，垂足為，連接，則就是所求二面角平面角的補角，先求出，再求出，最后在中求出．）【點睛】本題主要考查了線面垂直的判定以及二面角的求解，屬于中檔題．22．（1）曲線為圓心在原點，半徑為2的圓.的極坐標方程為（2）①②【解析】

（1）求得曲線伸縮變換后所得的參數(shù)方程，消參后求得的普通方程，