《高考備考指南 數(shù)學(xué) 》課件-第3講　平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用

平面向量與復(fù)數(shù)第五章第3講平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用(本講對應(yīng)系統(tǒng)復(fù)習(xí)P139)課標要求考情概覽1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.2.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系.3.掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算.4.能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系.5.會用向量的方法解決某些簡單的平面幾何問題.6.會用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實際問題考向預(yù)測：從近三年高考情況來看，本講一直是高考中的一個熱點內(nèi)容.預(yù)測本年度高考將考查向量數(shù)量積的運算、模的最值、夾角的范圍.題型以客觀題為主，試題難度多為中檔題，有時也會與三角函數(shù)、解析幾何交匯出現(xiàn)于解答題中.學(xué)科素養(yǎng)：主要考查數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)運算的素養(yǎng)欄目導(dǎo)航01基礎(chǔ)整合

自測糾偏0302重難突破

能力提升配套訓(xùn)練基礎(chǔ)整合自測糾偏1

|a||b|cosθ

2.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標表示已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ，e是與b方向相同的單位向量.結(jié)論幾何表示坐標表示模|a|＝

夾角a⊥b充要條件

a·b＝0x1x2＋y1y2＝0結(jié)論幾何表示坐標表示|a·b|與|a||b|的關(guān)系|a·b|≤|a||b|，特別地，當(dāng)a與b同向時，a·b＝

，當(dāng)a與b反向時，a·b＝－|a||b|

|x1x2＋y1y2|≤

a·e與e·a的關(guān)系a·e＝e·a＝________

|a|cosθ|a||b|

3.平面向量數(shù)量積的運算律(1)a·b＝b·a(交換律).(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(結(jié)合律).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).【特別提醒】a⊥b?a·b＝0是對非零向量而言的，若a＝0，雖然a·b＝0，但不能說a⊥b.【常用結(jié)論】1.平面向量數(shù)量積運算的常用公式：(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(3)a2＋b2＝0?a＝b＝0.2.有關(guān)向量夾角的兩個結(jié)論：(1)若兩個向量a與b的夾角為銳角，則有a·b＞0，反之不成立(因為夾角為0時不成立)；(2)若兩個向量a與b的夾角為鈍角，則有a·b＜0，反之不成立(因為夾角為π時不成立).

BD

BACD5.(2022年甲卷)已知向量a＝(m，3)，b＝(1，m＋1)，若a⊥b，則m＝

.

對于實數(shù)a，b，c有(a·b)·c＝a·(b·c)，但對于向量a，b，c而言，(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立，即不滿足向量結(jié)合律.這是因為(a·b)·c表示一個與c共線的向量，而a·(b·c)表示一個與a共線的向量，而a與c不一定共線，所以(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立.重難突破能力提升2平面向量數(shù)量積的運算

BC

【解題技巧】求非零向量a，b的數(shù)量積的3種方法：直接法若兩向量共起點，則兩向量的夾角直接可得，根據(jù)定義即可求得數(shù)量積；若兩向量的起點不同，則需要通過平移使它們的起點重合，再計算幾何法根據(jù)圖形之間的關(guān)系，用長度和相互之間的夾角都已知的向量分別表示出向量a，b，然后根據(jù)平面向量的數(shù)量積的定義進行計算求解坐標法若圖形適合建立平面直角坐標系，可建立坐標系，求出a，b的坐標，通過坐標運算求解

011

平面向量數(shù)量積的性質(zhì)

考向1平面向量的模

考向2平面向量的夾角

D

考向3平面向量的垂直

BB(3)(2022年新高考Ⅱ卷)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，則t＝(

)A.－6B.－5C.5D.6C

平面向量與三角函數(shù)

【解題技巧】向量與三角函數(shù)綜合問題的特點與解題策略：(1)以向量為載體考查三角函數(shù)的綜合應(yīng)用題目，通過向量的坐標運算構(gòu)建出三角函數(shù)，然后再考查有關(guān)三角函數(shù)的最值、單調(diào)性、周期性等三角函數(shù)性質(zhì)問題，有時還加入?yún)?shù)，考查分類討論的思想方法.(2)向量與三角函數(shù)結(jié)合時，通常以向量為表現(xiàn)形式，實現(xiàn)三角函數(shù)問題，所以要靈活運用三角函數(shù)中的相關(guān)方法與技巧求解.(3)注意向量夾角與三角形內(nèi)角的區(qū)別與聯(lián)系，避免出現(xiàn)將內(nèi)角等同于向量夾角的錯誤.

向量在物理中的應(yīng)用

質(zhì)量為m的物體靜止地放在斜面上，斜面與水平面的夾角為θ，則斜面對物體的摩擦力的大小為

N，支持力的大小為

N.

mgcosθmgsinθ【解析】如圖所示，物體受三個力：重力G(豎直向下，大小為mg)，斜面對物體的支持力F(垂直于斜面，向上，大小為|F|)，摩擦力f(與斜面平行，向上，大小為|f|).由于物體靜止，故這三個力平衡，合力為0，即G＋F＋f＝0.①記垂直于斜面向下、大小為1

N的力為e1，平行于斜面向下、大小為1

N的力為e2，以{e1，e2}為基底，則F＝(－|F|，0)，f＝(0，－|f|)，由圖知e1與G的夾角為θ，則G＝(mgcos

θ，mgsin

θ).由①得G＋F＋f＝(mgcos

θ－|F|，mgsin

θ－|f|)＝(0，0)，所以mgcos

θ－|F|＝0，mgsin

θ－|f|＝0.故|F|＝