《備考指南 理科數(shù)學(xué)》課件-第8章 第6講

第八章第6講[A級基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．(2018年株洲模擬)已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，－1,0)，C(0,1，－2)，若eq\o(CD,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為()A．(－2,3，－2) B．(2，－3,2)C．(－2,1,2) D．(2，－1，－2)【答案】D【解析】因?yàn)閑q\o(CD,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0,1，－2)＋2(1，－1,0)＝(2，－1，－2)．故選D．2．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b與2a－b互相垂直，則實(shí)數(shù)k的值是()A．－1 B．eq\f(4,3)C．eq\f(5,3) D．eq\f(7,5)【答案】D【解析】由題意得ka＋b＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)，所以(ka＋b)·(2a－b)＝3(k－1)＋2k－2×2＝5k－7＝0，解得k＝eq\f(7,5).3．已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于m，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，則eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))的值為()A．m2 B．eq\f(1,2)m2C．eq\f(1,4)m2 D．eq\f(\r(3),4)m2【答案】C【解析】如圖，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，則|a|＝|b|＝|c|＝m，且a，b，c三向量兩兩夾角為60°.eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)c，所以eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)·eq\f(1,2)c＝eq\f(1,4)(a·c＋b·c)＝eq\f(1,4)(m2cos60°＋m2cos60°)＝eq\f(1,4)m2.4．(2018年龍巖月考)已知向量{a，b，c}是空間的一個單位正交基底，向量{a＋b，a－b，c}是空間另一個基底，若向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(1,2)，3))，則p在基底{a，b，c}下的坐標(biāo)為________．【答案】(1,2,3)【解析】因?yàn)橄蛄縫在基底{a＋b，a－b，c}下的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(1,2)，3))，所以向量p＝eq\f(3,2)(a＋b)－eq\f(1,2)(a－b)＋3c＝a＋2b＋3c，故p在基底{a，b，c}下的坐標(biāo)為(1,2,3)．5．已知空間中三點(diǎn)A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，設(shè)a＝eq\o(AB,\s\up6(→))，b＝eq\o(AC,\s\up6(→)).(1)若|c|＝3，且c∥eq\o(BC,\s\up6(→))，求向量c；(2)求向量a與向量b的夾角的余弦值．【解析】(1)因?yàn)閏∥eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－3,0,4)－(－1,1,2)＝(－2，－1，2)，所以c＝meq\o(BC,\s\up6(→))＝m(－2，－1,2)＝(－2m，－m,2m)，所以|c|＝eq\r(－2m2＋－m2＋2m2)＝3|m|＝3，所以m＝±1.所以c＝(－2，－1,2)或(2,1，－2)．(2)因?yàn)閍＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，所以a·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1.又因?yàn)閨a|＝eq\r(12＋12＋02)＝eq\r(2)，|b|＝eq\r(－12＋02＋22)＝eq\r(5)，所以cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(－1,\r(10))＝－eq\f(\r(10),10)，即向量a與向量b的夾角的余弦值為－eq\f(\r(10),10).[B級能力提升]6．若向量c垂直于不共線的向量a和b，d＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，則()A．c∥dB．c⊥dC．c不平行于d，c也不垂直于dD．以上三種情況均有可能【答案】B【解析】由題意得，c垂直于由a，b確定的平面．因?yàn)閐＝λa＋μb，所以d與a，b共面．所以c⊥d.7．在空間四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝()A．－1 B．0C．1 D．不確定【答案】B【解析】eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＋eq\o(AC,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＋eq\o(AD,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0.8．(2018年麗水模擬)已知空間向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1,0,0)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(1,1,0)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(0,0,1)，向量eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))，且4x＋2y＋z＝4，則|eq\o(OP,\s\up6(→))|不可能是()A．eq\f(1,2) B．1C．eq\f(3,2) D．4【答案】A【解析】eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1,0,0)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(1,1,0)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(0,0,1)，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))＝(x＋y，y，z)，且4x＋2y＋z＝4，所以eq\o(OP,\s\up6(→))2＝(x＋y)2＋y2＋z2＝(x＋y)2＋y2＋(4－4x－2y)2＝17x2＋6y2＋18xy－32x－16y＋16＝17eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(9y－16,17)))2＋eq\f(21,17)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(8,21)))2＋eq\f(16,21)≥eq\f(16,21).所以|eq\o(OP,\s\up6(→))|≥eq\r(\f(16,21))＞eq\f(1,2)，所以|eq\o(OP,\s\up6(→))|不可能是eq\f(1,2).故選A．9．如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，CD的中點(diǎn)，計算：(1)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))；(2)EG的長；(3)異面直線AG與CE所成角的余弦值．【解析】設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c.則|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，(1)eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)c－eq\f(1,2)a，eq\o(BA,\s\up6(→))＝－a，eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)c－\f(1,2)a))·(－a)＝eq\f(1,2)a2－eq\f(1,2)a·c＝eq\f(1,4).(2)eq\o(EG,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋b－a＋eq\f(1,2)c－eq\f(1,2)b＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c，|eq\o(EG,\s\up6(→))|2＝eq\f(1,4)a2＋eq\f(1,4)b2＋eq\f(1,4)c2－eq\f(1,2)a·b＋eq\f(1,2)b·c－eq\f(1,2)c·a＝eq\f(1,2)，則|eq\o(EG,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(2),2).(3)eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c，eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝－b＋