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邯鄲市2024-2025學年第二學期高一3月月考數(shù)學試卷一、單選題1.若,則實數(shù)的值為()A. B. C.或 D.2.如圖,已知為平行四邊形內(nèi)一點,,則等于()A. B. C. D.3.已知的內(nèi)角所對的邊分別是,若,則()A. B. C. D.4.已知非零向量,滿足,若,則在方向上的投影向量坐標為()A. B. C. D.5.的直觀圖如圖所示,其中軸,軸,且,則的面積為()A. B.4 C. D.86.已知,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.充要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件7.已知與均為單位向量,其夾角為,若,則的取值范圍是()A. B. C. D.8.刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容.用曲率刻畫空間彎曲性,規(guī)定:多面體頂點的曲率等于與多面體在該點的面角之和的差(多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角,角度用弧度制),多面體面上非頂點的曲率均為零,多面體的總曲率等于該多面體各頂點的曲率之和.例如:正四面體在每個頂點有3個面角,每個面角是,所以正四面體在各頂點的曲率為,故其總曲率為,則正十二面體的總曲率為()A. B. C. D.二、多選題9.下列說法中正確的是()A.各側(cè)棱都相等的棱錐為正棱錐B.長方體是直四棱柱C.用一個平面去截圓錐,圓錐底面和截面之間的部分為圓臺;D.球面可以看作一個半圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面.10.已知為復(fù)數(shù),則下列結(jié)論正確的是()A若,則B.C.若,則為純虛數(shù)D.若,則的最小值為111.已知中,所對的邊分別為,且滿足,則下列說法正確的是()A.為等腰三角形 B.C.面積是 D.的周長是三、填空題12.若是關(guān)于的實系數(shù)方程的一個復(fù)數(shù)根,則__________.13.在中,若,,三角形的面積,則外接圓的直徑為__________.14.在邊長為4的正方形中,,以F為圓心,1為半徑作半圓與交于M,N兩點,如圖所示.點P為弧上任意一點,向量最大值為______.四、解答題15.(1)在中,已知,,.求.(2)在中,已知,,.求.(3)銳角中,角所對應(yīng)的邊分別為,,,,求;16.已知是平面內(nèi)兩個不共線非零向量,,,,且三點共線.(1)求實數(shù)的值;(2)若,,求坐標;(3)已知點,在(2)的條件下,若四點按逆時針順序構(gòu)成平行四邊形,求點的坐標.17.在中,內(nèi)角的對邊分別為,,,且.(1)求角的大??;(2)若,且這樣的有兩解,求的取值范圍.18.在中,角所對的邊分別為.(1)若,求的面積S;(2)若角C平分線與的交點為,求的最小值.19.三角形在數(shù)學中是十分常用的圖形,將向量運用在三角形中同時會迸發(fā)出火花!(1)如圖1,在中,,點是上一點,且滿足:,以點為圓心,的長為半徑作圓交于點,交于點.若,求的值.(2)如圖2,在中,點分所成的比為,點為線段上一動點,若,求的最小值.
邯鄲市2024-2025學年第二學期高一3月月考數(shù)學試卷一、單選題1.若,則實數(shù)的值為()A. B. C.或 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件可得出關(guān)于的等式與不等式,即可解得實數(shù)的值.【詳解】因為,則,解得.故選:A.2.如圖,已知為平行四邊形內(nèi)一點,,則等于()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平面向量的線性運算可得結(jié)果.【詳解】∵,∴.故選:A.3.已知的內(nèi)角所對的邊分別是,若,則()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知得,再由正弦邊角關(guān)系即可得比值.【詳解】由,且,則,所以.故選:D4.已知非零向量,滿足,若,則在方向上的投影向量坐標為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)一個向量在另一個向量方向上的投影向量的公式計算.【詳解】首先,向量的坐標為(2,0),其模長為2,因此,根據(jù)條件,即它們的數(shù)量積為零:展開數(shù)量積:,即:因此:,代入已知條件:因此,在方向上的投影向量坐標為(2,0),故選:B.5.的直觀圖如圖所示,其中軸,軸,且,則的面積為()A. B.4 C. D.8【答案】B【解析】【分析】將直觀圖還原為原圖,然后即可求解.【詳解】將直觀圖還原為原圖,如圖所示,則是直角三角形,其中,,故的面積為,故選:B.6.已知,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.充要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由得,或,可知“”是“”充分不必要條件.【詳解】充分性:若,則;必要性:若則,則,得,或,故不滿足必要性綜上“”是“”充分不必要條件,故選:A7.已知與均為單位向量,其夾角為,若,則的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由向量的??汕蟮?,可求的取值范圍.【詳解】因為與均為單位向量,其夾角為,由,可得,所以,所以,所以,由,,所以,所以,所以,所以,又,所以,所以的取值范圍是.故選:D.8.刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容.用曲率刻畫空間彎曲性,規(guī)定:多面體頂點的曲率等于與多面體在該點的面角之和的差(多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角,角度用弧度制),多面體面上非頂點的曲率均為零,多面體的總曲率等于該多面體各頂點的曲率之和.例如:正四面體在每個頂點有3個面角,每個面角是,所以正四面體在各頂點的曲率為,故其總曲率為,則正十二面體的總曲率為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出面角,計算頂點處的曲率,結(jié)合頂點個數(shù)可得答案.【詳解】正十二面體在每個頂點有3個面角,每個面角是,所以正十二面體在各頂點的曲率為,由于正十二面體有20個頂點,故其總曲率為.故選:B二、多選題9.下列說法中正確的是()A.各側(cè)棱都相等的棱錐為正棱錐B.長方體是直四棱柱C.用一個平面去截圓錐,圓錐底面和截面之間的部分為圓臺;D.球面可以看作一個半圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)正棱錐概念判斷A;根據(jù)直四棱柱的概念判斷B;根據(jù)圓臺的概念判斷C;根據(jù)球的概念判斷D.【詳解】對于A,各側(cè)棱都相等,但無法保證底面為正多邊形,所以A錯誤;對于B,易知長方體的側(cè)棱和底面垂直,所以是直四棱柱,故B正確;對于C,根據(jù)圓臺的定義,用一個平行于底面的平面去截圓錐,圓錐底面和截面之間的部分為圓臺,故C錯誤;對于D,球面可以看作一個半圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面,故D正確.故選:BD10.已知為復(fù)數(shù),則下列結(jié)論正確的是()A.若,則B.C.若,則為純虛數(shù)D.若,則的最小值為1【答案】ABD【解析】【分析】A選項,計算出,根據(jù)模長公式得到;B選項,設(shè),,計算出;C選項,舉出反例;D選項,設(shè),,得到,,根據(jù),得到的最小值為1,故D正確.【詳解】A選項,因為,所以,故A正確;B選項,設(shè),,則,又,,所以成立,故B正確;C選項,當時,有成立,但此時為實數(shù),故C錯誤;D選項,設(shè),,由于,則,即,故,由,得,則,故當時,的最小值為1,故D正確.故選:ABD11.已知中,所對的邊分別為,且滿足,則下列說法正確的是()A.為等腰三角形 B.C.的面積是 D.的周長是【答案】AC【解析】【分析】通過正弦定理對已知條件進行轉(zhuǎn)化,再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求出三角形的內(nèi)角,進而求出三角形的面積和周長.【詳解】由正弦定理,知,又,則,將代入,得,,又,當且僅當時,等號成立.因為為三角形的內(nèi)角,所以,可得,故A正確,B錯誤.又由正弦定理知,則三角形的面積,周長為,故C正確,D錯誤.故選:AC三、填空題12.若是關(guān)于的實系數(shù)方程的一個復(fù)數(shù)根,則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)實系數(shù)方程虛根成對出現(xiàn)得另一根,再結(jié)合韋達定理求得結(jié)果.【詳解】因為是關(guān)于的實系數(shù)方程的一個復(fù)數(shù)根,所以是關(guān)于的實系數(shù)方程的另一個復(fù)數(shù)根,因此故答案為:13.在中,若,,三角形的面積,則外接圓的直徑為__________.【答案】【解析】【分析】由三角形面積以及余弦定理可求得,再由正弦定理即可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意可得,解得;則,即;所以外接圓的直徑為.故答案:14.在邊長為4的正方形中,,以F為圓心,1為半徑作半圓與交于M,N兩點,如圖所示.點P為弧上任意一點,向量最大值為______.【答案】【解析】【分析】過作交于點,可知當與半圓相切時,最大,再利用三角函數(shù)求解即可.【詳解】過作交于點,根據(jù)投影向量的概念可得,設(shè),所以,當與半圓相切時,取得最大值,此時最大,過作交于點,連接,當取得最大值時,且,因為,正方形邊長為4,則,,所以,所以,則,所以,得,所以的最大值為.所以最大值為.故答案為:24.四、解答題15.(1)在中,已知,,.求.(2)在中,已知,,.求.(3)銳角中,角所對應(yīng)的邊分別為,,,,求;【答案】(1);(2);(3)【解析】【分析】(1)利用余弦定理計算可得;(2)利用正弦定理計算可得;(3)利用正弦定理求出,從而求出,再由兩角和的正弦公式計算可得;【詳解】(1)在中,由余弦定理,可得,所以;(2)在中,由正弦定理得,因此.(3)在中,由正弦定理得,即,解得,又為銳角三角形,所以,所以.16.已知是平面內(nèi)兩個不共線的非零向量,,,,且三點共線.(1)求實數(shù)的值;(2)若,,求的坐標;(3)已知點,在(2)的條件下,若四點按逆時針順序構(gòu)成平行四邊形,求點的坐標.【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】(1)根據(jù)已知可得,結(jié)合三點共線可得,列方程組求參數(shù)即可;(2)根據(jù)平面向量線性運算的坐標表示求解即可;(3)根據(jù)平行四邊形中的坐標表示列方程組求解即可.【小問1詳解】因為,,所以,因為三點共線,所以存在實數(shù)使得,即,又因為是平面內(nèi)兩個不共線的非零向量,所以,解得.【小問2詳解】由(1)可知,,所以,若,,則.【小問3詳解】由四點按逆時針順序構(gòu)成平行四邊形可得,設(shè),則,由(2)得,所以,解得,所以.17.在中,內(nèi)角的對邊分別為,,,且.(1)求角的大??;(2)若,且這樣的有兩解,求的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)先根據(jù)余弦定理化角邊,再根據(jù)余弦定理求角;(2)先根據(jù)正弦定理得,再根據(jù)角范圍以及正弦函數(shù)圖象性質(zhì)得的取值范圍.【小問1詳解】因為,所以,所以,,因為,所以.小問2詳解】由正弦定理得,所以,所以,因為,所以,因為這樣的有兩解,即關(guān)于的三角方程在時有兩解,所以,所以.18.在中,角所對的邊分別為.(1)若,求的面積S;(2)若角C的平分線與的交點為,求的最小值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)先利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系,把化成,根據(jù)正弦定理可得,在根據(jù)余弦定理,可得角,再結(jié)合余弦定理,表示出,可得的值,進而利用可求面積.(2)根據(jù),結(jié)合可得:,再結(jié)合基本不等式,可求的最小值.【小問1詳解】由,得.由正弦定理得.所以,因為,所以.在中,,由余弦定理,得,解得.所以.即的面積S為.【小問2詳解】因為為角C平分線,,所以.在中,,所以,由,得,所以.因為,所以由基本不等式,得,所以,當且僅當時取等號.所以的最小值為.19.三角形在數(shù)學中是十分常用的圖形,將向量運用在三角形中同時會迸發(fā)出火花!(1)如圖1,在中,,點是上一點,且滿足:,以點為圓心,的長為
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