中考數(shù)學一輪復習備考知識清單18 多邊形和平行四邊形

知識梳理一、多邊形的內(nèi)角和與外角和多邊形及其相關概念名稱概念多邊形在平面內(nèi)，由一些線段首位順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形.內(nèi)角多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的內(nèi)角.外角多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角.對角線連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段叫做多邊形的對角線.凸多邊形畫出多邊形的任何一條邊所在直線，如果整個多邊形都在這條直線的同一側(cè)，那么這個多邊形叫做凸多邊形正多邊形各個角都相等、各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形.【拓展延伸】（1）多邊形有幾條邊就是幾邊形，且頂點個數(shù)、內(nèi)角個數(shù)均與邊數(shù)相同，外角個數(shù)是邊數(shù)的2倍.（2）從邊形的一個頂點可以引出條對角線，引出的對角線將邊形分成個三角形，邊形有個頂點，共有條對角線.【易錯點津】（1）三角形沒有對角線.（2）正多邊形必須滿足定義中的兩個條件：①各個角都相等；②各條邊都相等.二者不可缺一.如果一個多邊形的各個角都相等或每條邊都相等，那么這個多邊形不一定是正多邊形，如長方形.多邊形的內(nèi)角和內(nèi)容推理過程應用方法圖形邊形內(nèi)角和等于.方法1：如圖所示，從邊形的一個頂點引出條對角線，這條對角線把邊形分成個三角形，每個三角形的內(nèi)角和是，所以變形的內(nèi)角和是.（1）已知邊數(shù)，求內(nèi)角和.（2）已知內(nèi)角和，求邊數(shù).（3）已知正邊形每個內(nèi)角的度數(shù).求邊數(shù)和內(nèi)角和.方法2：如圖所示，在邊形內(nèi)任取一點P，連接，把邊形分成個三角形，這個三角形的內(nèi)角和為，再減去一個周角，即得邊形的內(nèi)角和是.方法3：如圖所示，在邊形的一邊上任取一點P與各頂點相連，得個三角形，邊形內(nèi)角和等于這個三角形的內(nèi)角和減去在點P處的一個平角，即.【拓展延伸】利用多邊形的內(nèi)角和公式求邊數(shù)（此類題都隱含著邊數(shù)為正整數(shù)這個條件），相當于解一元一次方程.【規(guī)律方法】（1）多邊形內(nèi)角和公式的推理過程是將多邊形的內(nèi)角進行分割，然后把它們放到三角形中，隨著點P的位置不同所得三角形個數(shù)也不同，但以上幾種證明方法都是把多邊形的問題轉(zhuǎn)化為三角形的問題進行解決.（2）任意多邊形的內(nèi)角和是的整數(shù)倍，且多邊形每增加一條邊，它的內(nèi)角和就增加，正邊形每個內(nèi)角的度數(shù)是.多邊形的外角和內(nèi)容推導過程應用多邊形的外角和等于多邊的每個內(nèi)角和與它相鄰的外角都是鄰補角，所以邊形的內(nèi)角和加上外角和為，外角和等于（1）已知外角度數(shù)求正多邊形的邊數(shù).（2）已知正多邊形的邊數(shù)求外角度數(shù).【拓展延伸】（1）多邊形的外角和恒等于，與邊數(shù)多少無關.（2）正邊形的每個內(nèi)角都相等，則每個外角也相等，其外角和為，所以正變形的每個外角度數(shù)都為.（3）正多邊形的內(nèi)角相等，隱含著外角也相等這一條件，利用這種隱含關系求正多邊形的邊數(shù)比直接利用內(nèi)角和求邊數(shù)要簡單.（4）添加：根據(jù)多邊形外角和是可推得多邊形的外角中最多有三個鈍角，與之對應，多邊形的內(nèi)角中最多有三個銳角.二、平行四邊形平行四邊形的定義1.平行四邊形：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.2.表示方法：如圖所示，平行四邊形用“”表示，平行四邊形記作“”，讀作“平行四邊形”.【注意】（1）表示平行四邊形時，一定要按照順時針或逆時針方向依次書寫各頂點字母，不能打亂順序；（2）“”作為表示平行四邊形的符號，其后要緊跟表示平行四邊形四個頂點的字母，不能單獨使用它來代替“平行四邊形”.3.平行四邊形的基本元素：基本元素主要內(nèi)容圖示邊鄰邊和，和，和，和，共有四組.對邊和，和，共有兩組.角鄰角和，和，和，和，共有四組.對角和,和，共有兩組.對角線和。共有兩條【拓展延伸】（1）平行四邊形的定義有兩個要素：①是四邊形；②兩組對邊分別平行.（2）平行四邊形的定義既是性質(zhì)，又是判定.即四邊形是平行四邊形.平行四邊形的性質(zhì)性質(zhì)數(shù)學語言圖示邊平行四邊形的對邊相等四邊形是平行四邊形，角平行四邊形的對角相等四邊形是平行四邊形，對角線平行四邊形的對角線互相平分四邊形是平行四邊形，【拓展延伸】（1）證明平行四邊形的性質(zhì)時，一般通過作對角線把四邊形轉(zhuǎn)化為三角形來解答.（2）平行四邊形的性質(zhì)為證明線段平行或相等、角相等提供了理論依據(jù).（3）平行四邊形的每條對角線都將平行四邊形分成兩個全等的三角形.（4）平行四邊形被兩條對角線分成的四個小三角形的面積相等，每個小三角形的面積都等于平行四邊形面積的；相鄰兩個三角形周長之差的絕對值等于平行四邊形兩鄰邊之差的絕對值.【規(guī)律方法】（1）平行四邊形的鄰角互補；（2）若一條直線經(jīng)過平行四邊形兩條對角線的交點，則該直線平分平行四邊形的周長和面積.平行四邊形的判定方法判定方法數(shù)學語言圖形邊兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.（定義）四邊形是平行四邊形.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.四邊形是平行四邊形.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.（或），四邊形是平行四邊形.角兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.，四邊形是平行四邊形.對角線對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.四邊形是平行四邊形.方法點撥考向一多邊形1.解與多邊形內(nèi)角和有關的問題邊形的內(nèi)角和等于，多邊形的內(nèi)角和是的整數(shù)倍，多邊形的邊數(shù)每增加1，內(nèi)角和增加.利用它可解決三類問題，一是已知多邊形的邊數(shù)求內(nèi)角和，二是已知多邊形的內(nèi)角和求邊數(shù)，三是已知足夠的角度條件下求某一個內(nèi)角的度數(shù).2.解多邊形外角和的問題多邊形的外角和是，與多邊形的邊數(shù)無關，故在某些問題中用外角和公式會比內(nèi)角和公式求解簡單.涉及多邊形外角和的問題，常與多邊形的內(nèi)角和及正多邊形等關系結(jié)合考慮，通過列方程來解決.3.解多邊形的對角線問題關于多邊形對角線問題，主要根據(jù)多邊形的邊數(shù)與對角線的條數(shù)之間的關系進行求解.從邊形的一個頂點可以引出條對角線，個頂點可以引出條對角線，但是每條對角線計算了兩次，因此邊形共有條對角線.【方法總結(jié)】從邊形的一個頂點出發(fā)，分別連接這個點與其余與它不相鄰的各頂點，形成的三角形個數(shù)為.考向二平行四邊形1.解關于平行四邊形性質(zhì)的問題解與平行四邊形性質(zhì)有關的問題常運用平行四邊形的以下性質(zhì)：（1）平行四邊形的對邊平行且相等；（2）平行四邊形的對角相等；（3）平行四邊形的對角線互相平分；（4）平行四邊形的對角線分得的四個三角形中，相對的兩個三角形全等，且四個三角形的面積相等.通常根據(jù)平行四邊形的對邊平行，利用平行線的性質(zhì)證明角相等或角之間的關系，以及利用對邊相等證明線段相等或求邊長.【方法總結(jié)】在平行四邊形中求有關線段相等或三角形全等時，當看到其對角線相交于一點時，通常利用平行四邊形對角線互相平分這一性質(zhì)解答或增加中點條件下使用中位線來分析所求.2.解平行四邊形的判定問題一般地，要判定一個四邊形是平行四邊形有多重方法，主要有以下三種思路：（1）當已知條件中有關于索證四邊形的角時，可用“兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”來證明.（2）當已知條件中有關于所證四邊形的邊時，可選擇“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”或“兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”或“有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”來證明.（3）當已知條件中有關于所證四邊形的對角線時，可選擇“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”來證明.【方法總結(jié)】在證明一個四邊形是平行四邊形時，可以從邊、角、對角線三個方面考慮，在證明時，應根據(jù)已知條件或已知條件易