中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)備考專題18：多邊形與平行四邊形（講義）

專題十八多邊形與平行四邊形（講義）——中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)備考合集考情分析命題點命題形式命題熱度命題特點平行四邊形1.平行四邊形的有關(guān)證明與計算☆☆☆本專題主要從平行四邊形的性質(zhì)、判定，多邊形的有關(guān)計算方面命題，多以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，解答題常見題型為平行四邊形的有關(guān)證明與計算，要求學(xué)生熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)與判定定理，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的核心素養(yǎng).多邊形6.多邊形的有關(guān)計算☆☆講解一：多邊形一、多邊形及其有關(guān)概念名稱概念多邊形在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形.內(nèi)角多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的內(nèi)角.外角多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角.對角線連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段叫做多邊形的對角線.凸多邊形畫出多邊形的任何一條邊所在直線，如果整個多邊形都在這條直線的同一側(cè)，那么這個多邊形叫做凸多邊形正多邊形各個角都相等、各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形.【拓展延伸】（1）多邊形有幾條邊就是幾邊形，且頂點個數(shù)、內(nèi)角個數(shù)均與邊數(shù)相同，外角個數(shù)是邊數(shù)的2倍.（2）從邊形的一個頂點可以引出條對角線，引出的對角線將邊形分成個三角形，邊形有個頂點，共有條對角線.【易錯點津】（1）三角形沒有對角線.（2）正多邊形必須滿足定義中的兩個條件：①各個角都相等；②各條邊都相等.二者不可缺一.如果一個多邊形的各個角都相等或每條邊都相等，那么這個多邊形不一定是正多邊形，如長方形.二、多邊形的內(nèi)角和內(nèi)容推理過程應(yīng)用方法圖形邊形內(nèi)角和等于.方法1：如圖所示，從邊形的一個頂點引出條對角線，這條對角線把邊形分成個三角形，每個三角形的內(nèi)角和是，所以變形的內(nèi)角和是.（1）已知邊數(shù)，求內(nèi)角和.（2）已知內(nèi)角和，求邊數(shù).（3）已知正邊形每個內(nèi)角的度數(shù).求邊數(shù)和內(nèi)角和.方法2：如圖所示，在邊形內(nèi)任取一點P，連接，把邊形分成個三角形，這個三角形的內(nèi)角和為，再減去一個周角，即得邊形的內(nèi)角和是.方法3：如圖所示，在邊形的一邊上任取一點P與各頂點相連，得個三角形，邊形內(nèi)角和等于這個三角形的內(nèi)角和減去在點P處的一個平角，即.【規(guī)律方法】（1）多邊形內(nèi)角和公式的推理過程是將多邊形的內(nèi)角進(jìn)行分割，然后把它們放到三角形中，隨著點P的位置不同所得三角形個數(shù)也不同，但以上幾種證明方法都是把多邊形的問題轉(zhuǎn)化為三角形的問題進(jìn)行解決.（2）任意多邊形的內(nèi)角和是的整數(shù)倍，且多邊形每增加一條邊，它的內(nèi)角和就增加，正邊形每個內(nèi)角的度數(shù)是.三、多邊形的外角和內(nèi)容推導(dǎo)過程應(yīng)用多邊形的外角和等于多邊的每個內(nèi)角和與它相鄰的外角都是鄰補(bǔ)角，所以邊形的內(nèi)角和加上外角和為，外角和等于（1）已知外角度數(shù)求正多邊形的邊數(shù).（2）已知正多邊形的邊數(shù)求外角度數(shù).【拓展延伸】（1）多邊形的外角和恒等于，與邊數(shù)多少無關(guān).（2）正邊形的每個內(nèi)角都相等，則每個外角也相等，其外角和為，所以正邊形的每個外角度數(shù)都為.（3）正多邊形的內(nèi)角相等，隱含著外角也相等這一條件，利用這種隱含關(guān)系求正多邊形的邊數(shù)比直接利用內(nèi)角和求邊數(shù)要簡單.命題精練命題形式1多邊形的有關(guān)計算1.（2024·西藏·中考真題）已知正多邊形的一個外角為，則這個正多邊形的內(nèi)角和為（）A． B． C． D．【答案】B解析：∵正多邊形的一個外角為，∴正多邊形的邊數(shù)為，∴這個正多邊形的內(nèi)角和為，故選：B．【題型分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和外角，先求出正多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式計算即可得解，根據(jù)多邊形的外角求出邊數(shù)是解此題的關(guān)鍵．2．（2024·山東青島·中考真題）為籌備運動會，小松制作了如圖所示的宣傳牌，在正五邊形和正方形中，，的延長線分別交，于點M，N，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】B解析：∵五邊形是正五邊形，∴，∵四邊形為正方形，∴，，∴，，∴，故選：B．3.（2024·吉林長春·中考真題）在剪紙活動中，小花同學(xué)想用一張矩形紙片剪出一個正五邊形，其中正五邊形的一條邊與矩形的邊重合，如圖所示，則的大小為（）A． B． C． D．【答案】D解析：，故選：D．4.（2024·河北·中考真題）直線l與正六邊形的邊分別相交于點M，N，如圖所示，則（）A． B． C． D．【答案】B解析：正六邊形每個內(nèi)角為：，而六邊形的內(nèi)角和也為，∴，∴，∵，∴，故選：B．5.（2024·云南·中考真題）一個七邊形的內(nèi)角和等于（）A． B． C． D．【答案】B解析：一個七邊形的內(nèi)角和等于，故選：B．6.（2024·江蘇宿遷·中考真題）如圖，已知正六邊形的邊長為2，以點E為圓心，長為半徑作圓，則該圓被正六邊形截得的的長為．【答案】【思路點撥】本題主要考查了正多形的內(nèi)角和以及弧長公式，根據(jù)六邊形是正六邊形，根據(jù)正多邊內(nèi)角和等于，求出內(nèi)角，再根據(jù)弧長公式即可得出答案．解析：∵六邊形是正六邊形，∴，∴，故答案為：．7.（2024·青海·中考真題）正十邊形一個外角的度數(shù)是．【答案】解析：正十邊形的一個外角的大小是，故答案為：．講解二：平行四邊形一、平行四邊形的定義1.平行四邊形：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.平行四邊形的定義既是性質(zhì)，又是判定.2.表示方法：如圖所示，平行四邊形用“”表示，平行四邊形記作“”，讀作“平行四邊形”.【注意】（1）表示平行四邊形時，一定要按照順時針或逆時針方向依次書寫各頂點字母，不能打亂順序；（2）“”作為表示平行四邊形的符號，其后要緊跟表示平行四邊形四個頂點的字母，不能單獨使用它來代替“平行四邊形”.3.平行四邊形的基本元素：基本元素主要內(nèi)容圖示邊鄰邊和，和，和，和，共有四組.對邊和，和，共有兩組.角鄰角和，和，和，和，共有四組.對角和,和，共有兩組.對角線和，共有兩條二、平行四邊形的性質(zhì)性質(zhì)數(shù)學(xué)語言圖示邊平行四邊形的對邊相等四邊形是平行四邊形，角平行四邊形的對角相等四邊形是平行四邊形，對角線平行四邊形的對角線互相平分四邊形是平行四邊形，【拓展延伸】（1）平行四邊形的每條對角線都將平行四邊形分成兩個全等的三角形.（2）平行四邊形被兩條對角線分成的四個小三角形的面積相等，每個小三角形的面積都等于平行四邊形面積的；相鄰兩個三角形周長之差的絕對值等于平行四邊形兩鄰邊之差的絕對值.三、平行四邊形的判定方法判定方法數(shù)學(xué)語言圖形邊兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.（定義）四邊形是平行四邊形.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.四邊形是平行四邊形.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.（或），四邊形是平行四邊形.角兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.，四邊形是平行四邊形.對角線對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.四邊形是平行四邊形.命題精練命題形式2平行四邊形的有關(guān)證明與計算1．（2024·四川巴中·中考真題）如圖，的對角線相交于點，點是的中點，．若的周長為12，則的周長為（）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】B解析：∵四邊形是平行四邊形，∴O是中點，又∵E是中點，∴OE是的中位線，∴，，∵的周長為12，，∴，∴的周長為．故選：B.2．（2024·遼寧·中考真題）如圖，的對角線，相交于點，，，若，，則四邊形的周長為（）A．4 B．6 C．8 D．16【答案】C【思路點撥】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．由四邊形是平行四邊形得到，，再證明四邊形是平行四邊形，則，即可求解周長．解析：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴周長為：，故選：C．3.（2024·浙江·中考真題）如圖，在中，相交于點O，．過點A作的垂線交于點E，記長為x，長為y．當(dāng)x，y的值發(fā)生變化時，下列代數(shù)式的值不變的是（）A． B． C． D．【答案】C解析：過點D作交的延長線于點F，∵的垂線交于點E，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴∴，由勾股定理可得，，，∴，∴∴即，解得，∴當(dāng)x，y的值發(fā)生變化時，代數(shù)式的值不變的是，故選：C4.（2024·貴州·中考真題）如圖，的對角線與相交于點O，則下列結(jié)論一定正確的是（）A． B． C． D．【答案】B解析：∵是平行四邊形，∴，故選B．5.（2024·河南·中考真題）如圖，在中，對角線，相交于點O，點E為的中點，交于點F．若，則的長為（）A． B．1 C． D．2【答案】B解析：∵四邊形是平行四邊形，∴，∵點E為的中點，∴，∵，∴，∴，即，∴，故選：B．6.（2024·寧夏·中考真題）如圖，在中，點在邊上，，連接并延長交的延長線于點，連接并延長交的延長線于點F．求證：．小麗的思考過程如下：參考小麗的思考過程，完成推理．【答案】見解析證明：四邊形是平行四邊形，，，同理可得，，∴又，即，又，．7.（2024·湖南·中考真題）如圖，在四邊形中，，點E在邊上，．請從“①；②，”這兩組條件中任選一組作為已知條件，填在橫線上（填序號），再解決下列問題：