高中數(shù)學(xué)人教A版高中選修4-5第一講不等式和絕對值不等式-4 基本不等式及其應(yīng)用

基本不等式及其應(yīng)用

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1、能熟記基本不等式及適用范圍

2、能運(yùn)用基本不等式分析和解決相關(guān)問題

二、學(xué)習(xí)重點(diǎn)：

運(yùn)用基本不等式分析和解決相關(guān)問題

三、學(xué)習(xí)探究：

(-)知識梳理

1.基本不等式4茄

(1)基本不等式成立的條件：a>0,b>0.

(2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號.

2.幾個重要的不等式

(l)a2+&2^2aft(?,Z?GR).(2)~+^^2(?,人同號).

(a+b\a2+b2(a+b\

(3)abW|----(a,Z?GR).(4)—^—》----(a,b^R).

I2Jy2J

以上不等式等號成立的條件均為a=b.

3.算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)

設(shè)a>0,b>0,則a,b的算術(shù)平均數(shù)為竽，幾何平均數(shù)為我，基本不等式可敘述為兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不

小于它們的幾何平均數(shù).

4.利用基本不等式求最值問題

已知x>0,v>0,貝ij

(1)如果積孫是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時,x+y有最小值2g.(簡記：積定和最小)

(2)如果和x+y是定值°,那么當(dāng)且僅當(dāng)正工時，xy有最大值￡.(簡記：和定積最大)

(二)知識拓展

不等式的恒成立、能成立、恰成立問題

(1)恒成立問題：若人X)在區(qū)間。上存在最小值，則不等式./U)>A在區(qū)間。上恒成立0HX)min>A(Xd。)；

若火x)在區(qū)間D上存在最大值，則不等式在區(qū)間D上恒成立o*x)max<B(xG￡>).

(2)能成立問題：若式X)在區(qū)間D上存在最大值，則在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)X使不等式式X)>A成立O")max>A(xW。)；

若兀c)在區(qū)間D上存在最小值，則在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)X使不等式兀0<8成立Q/U)min<B(xG￡>).

(3)恰成立問題：不等式式x)>A恰在區(qū)間D上成立。叭x)>A的解集為D；

不等式恰在區(qū)間D上成立o/(x)<8的解集為D.

思考辨析

判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉癑”或“X”)

(1)函數(shù)y=x+：的最小值是2.(X)

41T

(2)函數(shù)/(x)=cos尤工￡(0，5)的最小值等于4<X)

V-vlo人乙

⑶“x>0且)，>0”是個+》2”的充要條件.(X)

yx

⑷若〃>0,則〃+點(diǎn)的最小值為2也.(X)

(5)不等式。2+從22岫與卓2》/石有相同的成立條件.(X)

⑹兩個正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們的等比中項(xiàng).(V)

(三)學(xué)前測評

1.(教材改編)設(shè)x>0,)>0,且x+y=18,則xy的最大值為()

A.80B.77C.81D.82

答案C

角翠析)>o,???甘

即孫W(-^2)2=81,

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=9時，（xy）max=81.

2.已知貝x）=x+F—2（x<0）,則/（》）有（）

A.最大值為0B.最小值為0

C.最大值為一4D.最小值為一4

答案C

解析-2yj-x-（-^）-2=-4,

當(dāng)且僅當(dāng)X=-1時，/U）max=-4.

3.若〃>0,/?>0,且o+b=4,則下列不等式恒成立的是（）

q+尸1

》2D.a2+b2^S

答案D

解析當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立），即/i^W2,abW4,表》/選項(xiàng)A,C不成立;1a-\~b

bab

4

=標(biāo)21,選項(xiàng)B不成立；/+/=3+勿2-2出?=16—2a匕>8,選項(xiàng)D成立.

4.（教材改編）已知x,y均為正實(shí)數(shù)，且x+4y=l,則xy的最大值為.

答案七

解析1=x+4y^2y/4xy=4y/^9

?爾啕2$,

心，

當(dāng)且僅當(dāng)x=4y==即J]時，（xy）max=]^.

〔尸0

5.（教材改編）若把總長為20m的籬笆圍成一個矩形場地，則矩形場地的最大面積是n?.

答案25

解析設(shè)矩形的一邊為xm,

則另一邊為￡x(20—2x)=(10—x)m,

x+(10-x)

???y=x(10—x)W[—：----午9=25,

當(dāng)且僅當(dāng)X=10—X,即X=5時，ymax—25.

(四)典例解析

題型一利用基本不等式求最值

命題點(diǎn)1通過配湊法利用基本不等式

例1⑴已知04<1,則x(4—3x)取得最大值時x的值為

(2)已知x<1,則於)=以一2+不，的最大值為.

f+2

(3)函數(shù)y=：Y(x>l)的最小值為.

答案(1)3(2)1(3)2小+2

1A3x+(4—3元)，4

斛析(1)x(4—3x)=1(3幻(4—3x)Wy[------3----午=?

2

當(dāng)且僅當(dāng)3x=4—3x,即x=g時，取等號.

(2)因?yàn)椴凰?—4式>0,

則火x)=4x—2+^^=—(5-4x+^^)+3W—2+3=1.

當(dāng)且僅當(dāng)5—4x=—y,即x=l時，等號成立.

5—4%

故4x)=4x-2+1片的最大值為1.

7+2(x2—2x+l)+(2x-2)+3

⑶尸X—]=X-\

Q-l）~+2（x-1）+3

x—1

3

=（x—1）+（_]+222^5+2.

當(dāng)且僅當(dāng)（五一1）=屋工，即x=$+l時，等號成立.

命題點(diǎn)2通過常數(shù)代換法利用基本不等式

例2已知a>0,b>0,a+b-1,則:十看的最小值為

答案4

解析-：a>0,b>0,a+b=l,

11+b+TA

QP-4

十

一

-一

6人

Qa4人

22+2\^=4,即5+:的最小值為4,當(dāng)且僅當(dāng)“=b=；時等號成立.

引申探究

1.條件不變，求（1+$（1+力的最小值.

解（1+%1+/）=（1+等）（1+皇）=（2+，2+3

=5+2§+325+4=9.

當(dāng)且僅當(dāng)。=》=/時，取等號.

2.已知。>0,b>0,：+春=4,求a+6的最小值.

解由5+H%得.+尢=>

???。+，=&+力3+切=；+5+為，^+2^/^=「

當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.

3.將條件改為。+2/?=3,求的最小值.

解???。+26=3,

：.^a+^b=\,

+-A+|)(L+|/7)=|+|+^+|-

la2b2也

>1+2\)3b'3a1

3-

當(dāng)且僅當(dāng)a=@b時,取等號.

思維升華(1)應(yīng)用基本不等式解題一定要注意應(yīng)用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所謂“一正”是指

正數(shù)，“二定”是指應(yīng)用基本不等式求最值時，和或積為定值，“三相等”是指滿足等號成立的條件.

(2)在利用基本不等式求最值時，要根據(jù)式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數(shù)的形式，然后再利用基本不

等式.

(3)條件最值的求解通常有兩種方法：一是消元法，即根據(jù)條件建立兩個量之間的函數(shù)關(guān)系，然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)

化為函數(shù)的最值求解；二是將條件靈活變形，利用常數(shù)“1”代換的方法構(gòu)造和或積為常數(shù)的式子，然后利用基

本不等式求解最值.

跟蹤訓(xùn)練1(1)若正數(shù)x,y滿足x+3y=5盯，則3x+4y的最小值是

(2)已知x,yG(O,+°°),2廠3=(如若;十堂心0)的最小值為3,則〃?=

答案(1)5(2)4

13

解析⑴方法一由x+3y=5xy可得八+.=1，

13

3x+4y=(3x+4y)與+可)

9,4,3x,12.

=”弓+弓+步亍+亍=5.

3x12y,,即時，等號成立,

當(dāng)且僅當(dāng)x=l,y=￡

5y~5x

???3x+4)，的最小值是5.

方法二由x+3y=5xy得

VJV>O,y>o,

194

9y13GL

3"4產(chǎn)石士+4尸j+-

瑞+225=5*

當(dāng)且僅當(dāng)y=；時等號成立，.??(3x+4y)min=5.

⑵由2廠3=卬＞得x+y=3,

1,m1,_1,m

一+―=￥(zx+y)(一+一)

xyJ八xyf

=；(l+*+當(dāng)

2/1+m+2gi)

(當(dāng)且僅當(dāng)+=半，即y=＜贏時取等號)，

xy

；?；(1+/n+2yl~in)=3,

解得771=4.

題型二基本不等式的實(shí)際應(yīng)用

例3某工廠某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬元，每生產(chǎn)工千件，需另投入成本為C(x),當(dāng)年產(chǎn)量不足80千件

時，C(x)=++10x(萬元).當(dāng)年產(chǎn)量不小于80千件時，C(x)=51x+&平一1450(萬元).每件商品售價為萬元.通

過市場分析，該廠生產(chǎn)的商品能全部售完.

⑴寫出年利潤L(x)(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)解析式；

(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？

解(1)因?yàn)槊考唐肥蹆r為萬元，則x千件商品銷售額為XI00(k萬元，依題意得：當(dāng)0令＜80時，

L(x)=1000xX-(1?+lOx)-250

=—^+40%—250；

當(dāng)x280時，

L(x)=\000.rX-(51.r+1()^()()-l450)-250

1200-(升嚶.

[-1r2+40x-250(0<X<80),

[1200-(x+?0^0°)(x^80).

(2)當(dāng)0<x<80時，L(X)=-1(X-60)2+950.

對稱軸為x=60,

即當(dāng)x=60時，L(x)最大=950(萬元)；

當(dāng)x，80時，L(x)=l200-(x+**0°)

<1200-2410000=1000(萬元),

當(dāng)且僅當(dāng)尤=100時，A(x)最大=1000(萬元)，

綜上所述，當(dāng)年產(chǎn)量為100千件時，年獲利潤最大.

思維升華(1)設(shè)變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù).

(2)根據(jù)實(shí)際問題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值.

(3)在求函數(shù)的最值時，一定要在定義域(使實(shí)際問題有意義的自變量的取值范圍)內(nèi)求解.

跟蹤訓(xùn)練2(1)某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為800元.若每批生產(chǎn)尤件，則平均倉儲時間為

9天，且每件產(chǎn)品每天的倉儲費(fèi)用為1元.為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉儲費(fèi)用之和最小，每批應(yīng)生

產(chǎn)產(chǎn)品件.

(2)某公司購買一批機(jī)器投入生產(chǎn)，據(jù)市場分析，每臺機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤y(單位：萬元)與機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)

時間x(單位：年)的關(guān)系為y=-f+18x—25(xGN*),則每臺機(jī)器為該公司創(chuàng)造的年平均利潤的最大值是

萬元.

答案(1)80(2)8

解析(1)設(shè)每件產(chǎn)品的平均費(fèi)用為〉元，由題意得

800,X、八800x~、

一

zy=x+?822T打20.

當(dāng)且僅當(dāng)迎=貂>0),即x=80時”="成立.

Xo

(2)年平均利潤為：=—x一7+18

25

=-(%+^)+18,

VX+—>2A0^=10,

X\jX

25

.,.,v^=18—(x+—)^18—10=8,

當(dāng)且僅當(dāng)x=§,即x=5時，取等號.

題型三基本不等式的綜合應(yīng)用

命題點(diǎn)1基本不等式與其他知識交匯的最值問題

41

例4(1)(2023?荷澤一模)已知直線〃x+/?y+c—1=0(6,c>0)經(jīng)過圓f+y2—2y—5=0的圓心，貝監(jiān)+［的最小值是

()

A.9B.8C.4D.2

(2)(2023?山西忻州一中等第一次聯(lián)考)設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差是d,其前〃項(xiàng)和是S,”若ai=d=l,則&弁的最

Cln

小值是.

答案(1)A(2)^

解析(1)圓x2+尸一2y—5=0化成標(biāo)準(zhǔn)方程，

得A2+(廠1>=6,

所以圓心為C(0,l).

因?yàn)橹本€ajc+by+c—\=0經(jīng)過圓心C,

所以“XO+hXl+c—1=0,即6+c=l.

41414cb

因此石+]=S+c)%+[=石+1+5.

因?yàn)槌餭>0,

所以與+於2\^=4.

當(dāng)且僅當(dāng)4點(diǎn)rfh時等號成立.

2141

由此可得b=2c,且人+c=l,即b=]，c=Q時，g+工取得最小值9.

、c〃(1+〃)

(2)斯=。]+(〃-1)u~72,Sn=2，

“(1+%X

.S“+82十*1,16,n>

??斯一n一2(〃+〃+D》

當(dāng)且僅當(dāng)〃=4時取等號.

.?.**的最小值是3

Cln乙

命題點(diǎn)2求參數(shù)值或取值范圍

例5(1)已知。>0,6>0,若不等式子+：2"左恒成立，則〃?的最大值為()

A.9B.12C.18D.24

11

(2)已知函數(shù)式x)=—一(《WR),若對于任意的xGN*,./(x)23恒成立，則。的取值范圍是

8

答案(1)B(2)[-y+8)

31Hl

解析⑴由L聲在方

得m^(a+3/>)(1+1)=y+^+6.

又學(xué)+￡+6,2強(qiáng)+6=12(當(dāng)且僅當(dāng)學(xué)=彳時等號成立),

.?.〃2<12,二?加的最大值為12.

v——I—ZJV"-4-1IQ

(2)對任意xGN*,/(x)23恒成立，即一IT,—》3恒成立，即知a》一(x+$+3.

XI1兀

Q17

設(shè)g(x)=x+q,XCN*,則g(2)=6,g(3)=—.

17

,g(2)>g(3),??g(x)min-3,

.,J-8

???a)一Q全故a的取值范圍是[—*Q+8).

思維升華(1)應(yīng)用基本不等式判斷不等式是否成立：對所給不等式(或式子)變形，然后利用基本不等式求解.

(2)條件不等式的最值問題：通過條件轉(zhuǎn)化成能利用基本不等式的形式求解.

(3)求參數(shù)的值或范圍：觀察題目特點(diǎn)，利用基本不等式確定相關(guān)成立條件，從而得參數(shù)的值或范圍.

跟蹤訓(xùn)練3(1)(2023?福建四地六校聯(lián)考)已知函數(shù)危)=x+f+2的值域?yàn)?-8,0]54,+8),則a的值是()

C.1D.2

---14

(2)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛斯｝滿足47=拆+2的，若存在兩項(xiàng)即，如使得如￡=40,則2+彳的最小值為

()

答案(1)C(2)A

解析(1)由題意可得4>0,

①當(dāng)x>0時，|x)=x+f+222g+2,當(dāng)且僅當(dāng)％=”時取等號；

②當(dāng)x<0時，_/U)=X+￡+2W-2M；+2,

當(dāng)且僅當(dāng)x=一3時取等號，

(2~2\[a:=0,

所以VL解得4=1,故選C.

〔2也+2=4,

⑵由各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛〃“｝滿足"7=恁+2的，可得aM=a/+2aq4,

所以q2—勺-2=0,

解得q=2或q=-1（舍去）.

因?yàn)榱⑶兴?40,所以q〃「〃-2=16,

所以"+〃-2=2匕所以加+〃=6.

當(dāng)且僅當(dāng)2=當(dāng)時，等號成立,

又加+〃=6,解得〃7=2,〃=4,符合題意.

故1抖4飄最小值等于43

現(xiàn)場糾錯系列

9.利用基本不等式求最值

1?」

典例（1）已知心>0,y>0,且；+;=1,則x+y的最小值是

人y

3

（2）函數(shù)y=1-2￥一［（工<0）的值域?yàn)?

錯解展示

解析y>0,???1=1+：222

xyf

.\yfxy^2\[2,.\x+y^2y[xy=4yf2,

?*>x+y的最小值為4啦.

33

(2)\'2x+-^2yf6,：.y=I—2彳一六1一2班

3

函數(shù)y=l—2x—;(x<0)的值域?yàn)?-8,1—2^/6].

答案(1)4-72(2)(—8,1—2加]

現(xiàn)場糾錯

解析⑴。>0,y>0,

1?

???x+y=(x+y)q+p

=3+：+年23+2/(當(dāng)且僅當(dāng)y=g時取等號)，

.,.當(dāng)％=6+1,y=2+也時，(x+y)min=3+2吸.

(2)Vx<0,；.y=1一統(tǒng)—，=1+(—2x)+(一1+2yj(一法>±=1+2#,當(dāng)且僅當(dāng)》=一半時取等號，故函

數(shù)y=1—2x—t(x<0)的值域?yàn)閇1+2優(yōu)，+°°).

答案(1)3+2巾(2)[1+2#,+°°)

糾錯心得利用基本不等式求最值時要注意條件：一正二定三相等；多次使用基本不等式要臉證等號成立的條件.

四、學(xué)習(xí)評價

1.已知a,6WR,且HWO,則下列結(jié)論恒成立的是()

b

A.a+b^2\[ab+~^2

C.22D.層+廬〉？〃》

'ba

答案C

解析因?yàn)殪ot同號，所以陵+勺=電+自2

2.下列不等式一定成立的是()

A.愴(/+；)>愴內(nèi)>0)

B.sin兀，&￡Z)

C.X2+1^2M(XGR)

>l(%eR)

答案C

解析當(dāng)x>0時，/+；22止；=居

所以他儼+《刃g(shù)O3>0）,

故選項(xiàng)A不正確；

運(yùn)用基本不等式時需保證“一正”“二定“三相等”，

而當(dāng)xWE,z￡Z時，sin犬的正負(fù)不定，

故選項(xiàng)B不正確；

由基本不等式可知，選項(xiàng)C正確；

=

當(dāng)x。時，有5+]=19故選項(xiàng)D不正確.

3.當(dāng)心>0時，函數(shù)yu）=W[有（）

A.最小值1B.最大值1

C.最小值2D.最大值2

答案B

?r22

解析危尸品"=號音=1,當(dāng)且僅當(dāng)X=1時取等號.

x十一

X

14

4.已矢口〃>0,Z?>0,a+h=2f貝ijy=,+g的最小值是（）

B.4D.5

答案C

解析依題意，得21+4：=水1》1+4》.（。+3

=z[5+（"+華）]制（5+2A華）=￡,

2L%。/」2'ab'2

(a+h=2,

‘I’,Ih4a24

當(dāng)且僅當(dāng)j廠不，即a=],0=§時取等號,

”>0,Z?>0,

149

十-

-一

人

〃2

5.(2023?平頂山至陽中學(xué)期中)若函數(shù)_/(x)=x+±(x>2)在x=a處取最小值，則a等于()

A.1+*\/2B.1+73

C.3D.4

答案C

解析當(dāng)x>2時，x-2>0,./(x)=(x-2)+±+2e2、/(x-2)X±+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)x-2=±(x>2),即x

=3時取等號，即當(dāng)兀0取得最小值時，x=3,即。=3,故選C.

6.已知x>0,y>0,且4孫一元一2y=4,則孫的最小值為()

B.2^2D.2

答案D

解析Vx>0,y>0,x+2y^2y[2xy9

4xy—(x+2y)^：4xy—2\j2xy,

4<4xy—2y[2xy,

即2)(y[2xy+1)20,

.?.、2xy22,*.xy^2.

1i1Q

*7.若正數(shù)小。滿足5+%=1,則一4+六的最小值是()

aba~1b~1

A.1B.6C.9D.16

答案B

解析?.?正數(shù)。"滿足J+E=l,.?方=’7>0,解得a>l.同理可得匕>1,所以-4+==-4+=^—

ciba—\a—\b—\a—1ci_a—1

a~1

+9(a-1)^2A/—3j--9(a-1)=6,當(dāng)且僅當(dāng)士=9(。-1),即時等號成立，所以最小值為6.故選B.

ci1a?。

8.(2023?唐山一模)已知x,且滿足*+2*>+4y2=6,則2=/+4/的取值范圍為.

答案[4,12]

解析'."2xy—6-(x1-\-4y2),而2xyW立舞-,

x2+4)P

，6—Q2+49戶-2~

；.*+4y224（當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時取等號）.

又（x+2y）2=6+2xy^0,

即2xy^-6,.'.z—x2+4y2—6—2xy^l2

（當(dāng)且僅當(dāng)x=-2y時取等號）.

綜上可知

“2

9.己知m〃為正實(shí)數(shù)，直線x+y+a=O與圓（x—力2+。-1）2=2相切，則址的取值范圍是

答案（0,+°°）

解析?.”+），+。=0與圓。一切2+。-1）2=2相切,

..\b+i+a\r-

?"一V2一匕

/.a+Z?+1—2,即a+b=l,

.?(IN3+1)2—4仍+1)+4

""b+i=b+1―6+1

=（b+1）+^7[-4》25-4=0.

又b為正實(shí)數(shù),

a2

的取值范圍是（0,+8）.

10.設(shè)a>0,歷>0,若小是3"與3〃的等比中項(xiàng)，貝七+頡最小值為

答案4

解析由題意知343〃=3,即3"+&=3,

：.a+b=\,Va>0,b>0,

：3+?弓+￡|（"+與

,b..八ba

、A

=2+a-+/b22+2\j~aTb=4,

當(dāng)且僅當(dāng)a=h=T時，等號成立.

*11.函數(shù)y=log，x+3)—l(G>0,且。/1)的圖象恒過定點(diǎn)A,若點(diǎn)A在直線=0上，其中根,〃均大于

0,則的最小值為.

答案8

解析y=loga(x+3)—1恒過定點(diǎn)A(—2,—1),

由A在直線twc+ny+\=0上.

則一2m—/?+1=0,即2根+〃=1.

誓+出戶4+粵+4/5+4=8(當(dāng)且僅當(dāng)A粵,即片；，〃巖時等號成立).

12.已知x>0,y>0,且2x+5y=20.

(1)求〃=lgx+lgy的最大值；

(2)求的最小值.

xy

解(l)Vx>0,y>0,

?,?由基本不等式，得2x+5y2y[\0xy.

V2x+5y=20,

???2標(biāo)致?20,叫<10,

當(dāng)且僅當(dāng)2x=5y時，等號成立.

2x+5y=20,亢=5,

因此有解得

2x=5y,