上海交通大學(xué)物理競賽試題解答

第八屆上海交通大學(xué)大學(xué)生物理競賽試題及參考答案上海交通大學(xué)物理協(xié)會版權(quán)所有，未經(jīng)授權(quán)不得修改、復(fù)制、翻錄、傳播、翻譯、匯編、公之于眾。

第一試1，一雨滴的初始質(zhì)量為，在重力的影響下，由靜止開始降落。假定此雨滴從云中得到質(zhì)量，其質(zhì)量的增長率正比于它的瞬時質(zhì)量和瞬時速度的乘積：式中為常量。試證明雨滴的速率實際上最后成為常量，并給出終極速率的表達式。忽略空氣的阻力。答：由變質(zhì)量的運動方程：，此處速度增加到右邊為0時，加速度為0，速度不再變化。2，考慮一個平面，一條直線把平面分為左右兩邊，質(zhì)點在兩邊的勢能分別為和，當一個質(zhì)點以速率斜入射并通過這條直線時，方向如何變化？答：設(shè)左右兩邊分界線為直線l，粒子運動速度與l的法線夾角為。當粒子經(jīng)過l后，速度為，與法線夾角。平行于界面動量不變：機械能守恒：由此解出：3，一個理想成像的薄凸透鏡，一個直的傍軸物體，與主光軸有一定傾斜角，它的像是直的還是彎的？請回答此問題并根據(jù)成像公式給出嚴格的數(shù)學(xué)證明。（只需在平面坐標下證明）你能從物理角度給出一個非常簡潔的的證明么？答：（1）設(shè)y軸為凸透鏡，焦距f，物所在直線方程為y=kx+b(x<0)。由成像公式：，且物處于y軸左側(cè)，有所以，像所在曲線方程仍為直線，所以成像是直的。（2）假設(shè)一束光通過此物體所有點，即沿著此物體傳播，那么此光線的折射光線仍然要沿著像上個點傳播。由于折射后光仍是直線傳播，所以成像必須是直的。4，已知哈雷彗星的周期為76年，試估計其軌道的長半軸。答：由開普勒第三定律：行星軌道半長軸的三次方與周期平方成正比。用a,T表示哈雷彗星軌道的半長軸和周期，用表示地球軌道的半長軸和周期。則：本題只要估計合理即可。如果了解光從太陽射到地球大概要8分鐘，對Au的數(shù)量級估計是不會錯的。5，一質(zhì)點在平面運動，受力其中為離開原點的距離，為橫向（垂直于位移矢量）單位矢量。試分析此力對質(zhì)點的做功情況，這個力是保守力還是非保守力？答：在平面極坐標下：做功W：此力做功僅和角度有關(guān)，為路徑繞過原點的角度。沿一條包圍原點的閉合路徑做功，則,所以F不能沿任何閉合路徑做功為零，所以F不是保守力。6，水的定壓比熱容為4.186，可近似看成與溫度無關(guān)。（a）在恒壓條件下，的1.0水突然與的熱庫接觸，當水達到時，求水和熱庫的總熵變。（b）在恒壓條件下，如果的1.0水先與的熱庫接觸，平衡后再與的熱庫接觸，求整個系統(tǒng)的熵變。附注：熵的定義：熵是一個狀態(tài)函數(shù)，記作S，它在狀態(tài)1、2之間的差值定義為：答：(a)對水:對熱庫:T=373K總熵變：0.184kJ/K(b)對水：熵變?nèi)詾?.306kJ/K對熱庫1：對熱庫2：總熵變：7，求解如圖所示用一根細線懸掛圓規(guī)時，圓規(guī)張開多大的角度可以使其旋轉(zhuǎn)點（即兩臂連接處）抬升得更高，假定圓規(guī)兩臂的長度相等。假定圓規(guī)臂上質(zhì)量分布均勻。答：arccos(1/3)如圖，A為懸掛點，0為旋轉(zhuǎn)點，B為另一腳端點。可知，兩腳的重心為它們的中點E、C，整個圓規(guī)重心在EC中點F，懸掛時繩的延長線肯定過F，做OH垂直于AF，則AH代表了O的高度，想讓O最高，則使AH最短。在直角三角形AHO中，AH=AOcos(A),這樣就僅需求出角A的最大值。因為OE=OC,F為CE中點，所以O(shè)F垂直于EC，所以無論B點如何變動，角OFC總為直角，這樣，F(xiàn)的軌跡為圓，CO為此圓直徑，如上圖。當AF與此圓O’相切時，角A最大，如下圖。FO’垂直于AF，且AO’=3FO’,所以cos(FO’A)=1/3。因為F、O’為CE，CO中點，所以FO’平行于EO，所以角FO’C=角EOA,即圓規(guī)的張角。這樣，想讓圓規(guī)旋轉(zhuǎn)點最高，要使張角為arccos(1/3)。8，兩塊平行的導(dǎo)電平板，面積均為S，兩者內(nèi)壁相距，它們由一個導(dǎo)電彈簧連接，該彈簧的松弛長度為，勁度系數(shù)為k，整個系統(tǒng)是電中性的。最初彈簧處于松弛狀態(tài)，且遠小于平板尺度。現(xiàn)將此系統(tǒng)置于一方向和導(dǎo)電平板垂直的均勻電場中，則兩板之間的平衡距離為L。試求L作為，，k和S的函數(shù)關(guān)系。答：因為兩塊極板被導(dǎo)電彈簧連接，所以兩極板等電勢，兩板間電場強度為0，僅在兩塊導(dǎo)體外側(cè)存在感應(yīng)電荷。由于遠小于平板尺度，導(dǎo)體板可以看作無限大帶電平面。由對稱性，兩極板面電荷密度大小相等，設(shè)帶正電的極板面電荷密度為。曲一個直圓柱形高斯面，包圍一小塊極板外表面，兩底平行于極板，底面積為S’。由高斯定理：另一塊極板在此極板處產(chǎn)生場強：E’外界產(chǎn)生的總場強E：此極板受電場力F：由胡克定律：所以l為：本題也可以用虛功原理求極板受的電場力。9，如本題圖，以剛性桿的固有長度恰好與柵欄的間隔相等。桿與柵欄保持平行，向前高速運動，同時具有一個向柵欄靠攏的微小橫向速度。當桿飛臨柵欄所在的平面時，正好對準了一個空檔。因洛侖茲收縮效應(yīng)，它此刻的長度比柵欄間隔略小，竟未受任何阻礙而順利通過。如果我們變換到桿的靜止參考系類去看問題，則發(fā)現(xiàn)柵欄的間隔因洛侖茲收縮而變得比鋼桿的長度小些，桿還通的過嗎？答：如果選v方向為x軸，那么長度收縮只發(fā)生在x方向，y方向長度不會發(fā)生變化。設(shè)在不發(fā)生相對論效應(yīng)時，桿的傾斜方向與速度方向成角。桿和柵欄在y方向的長度（即高度）均為，剛好通過。所以，當發(fā)生相對論效應(yīng)是，無論以誰為參照系，無論x方向長度收縮多少，兩者在y方向的分量相同，桿均可以順利通過柵欄間的空間。下面具體分析。假設(shè)桿相對于柵欄速度為v，取v方向為x方向，柵欄與x軸夾角為，柵欄間距l(xiāng)。在柵欄參照系下，觀察到一根桿長度為l的桿，以傾角沿x軸，以速度v通過柵欄。設(shè)柵欄兩端為a,b;桿兩端為a’,b’.在柵欄參照系下，a,a’重合與b,b’重合是同時發(fā)生的。一個高度為的桿通過一個高度的柵欄，理所當然；從長度角度看，一個長為l的桿通過一個寬為l的柵欄，也是理所當然。這時，可以計算桿的固有長度固有長度分量：可以看出，它與x軸夾角并不是，而是比小，設(shè)為。在桿的參照系下，柵欄的長度也發(fā)生了變化，如下：柵欄間距變小了，與x軸夾角卻變大了，設(shè)為。這樣，在桿參照系下，b,b’先重合，a,a’后重合，這兩個事件不是同時的，所以它是斜著穿過柵欄的。從y方向看，一個高度為的桿通過一個高度的柵欄，理所當然；從長度角度看，雖然柵欄間距比桿小，但桿是斜著穿過的，也是理所當然的。所以，無論從哪個參照系下看此事件，都不違背任何物理規(guī)律。10，在基于物理學(xué)的雜技表演中，同樣密度、半徑分別為r和R=2r的兩個圓柱，被放置在一個質(zhì)量為M=6kg的小車上，小圓柱的質(zhì)量為m=1kg，兩圓柱之間以及圓柱與小車之間的靜摩擦系數(shù)達到足以保證兩者之間保持為無滑滾動，在初始狀態(tài)下，大圓柱的軸線位于小車的中間位置，并且三者相對靜止。小車受到一個水平拉力F，方向如圖所示，運動過程中兩圓柱的軸連線與水平方向成固定。（1）求外力F的大小；（2）要維持這種狀態(tài)1秒鐘，小車至少要多長；（3）角有等于0度的可能嗎？試分析。答：由兩個圓柱的體積關(guān)系，可得大圓柱的質(zhì)量為4m。由已知，小車質(zhì)量M=6m。設(shè)小圓柱和大圓柱的角加速度為，兩圓柱共同的水平方向線加速度為，小車的加速度為。當兩圓柱以及大圓柱與小車均作無滑的無粘滯阻力的滾動時，我們有和由于，因此（1）大小兩圓柱的轉(zhuǎn)動慣量分別為和。受力分析如圖。有如下動力學(xué)方程：由（4），（6）由（5），（6），（7），（8），（9）：兩式相除，又由（1），可解出：把此結(jié)果代回（10），可解出：把以上兩結(jié)果代回（1），可解出：把以上結(jié)果和式（9）代回（2），可解出：由已知，初始時圓柱位于小車中點，要維持一秒，則小車長l滿足：若，則：一切加速度，角加速度，力都是有意義的，所以可以實現(xiàn)。因為題中給出條件，接觸表面絕對粗糙，保證無相對滑動，所以無須考慮摩擦力與正壓力的關(guān)系。如果考慮到實際情況，想達到時的平衡，必須要使靜摩擦系數(shù)大于1。

第二試1：設(shè)粒子在一無窮深勢阱中運動，勢能為（1）求粒子的能級和波函數(shù)；（2）處于第個能級的粒子，求其位置平均值的和漲落；（3）求出經(jīng)典力學(xué)下的和并與（2）中的結(jié)果比較；（4）計算粒子處在區(qū)間[0，]內(nèi)的量子概率和經(jīng)典概率，比較其結(jié)果；（5）若在t=0時，粒子處在狀態(tài)求位置和動量隨時間的演化。（6）下面給出了氫原子電子在n=2,l=1狀態(tài)下的波函數(shù)（n為主量子數(shù)，l為角量子數(shù)，m為磁量子數(shù)）。表達式為求坐標下的表達式。請定性描述這種狀態(tài)下的各種可能電子云形狀，并通過一些簡單的計算支持你的觀點。（答題字數(shù)：500以上，前五問要給出盡量詳細的計算過程）答：（1）薛定諤方程把波函數(shù)方程的解寫為求解定態(tài)的薛定諤方程對于勢阱內(nèi)部，方程轉(zhuǎn)化為求解此微分方程有考慮邊界條件，波函數(shù)在處為零，即得常數(shù)，且有量子化條件于是定態(tài)的波函數(shù)解為作歸一化處理粒子波函數(shù)為（2）對于第n能級，位置平均值和漲落(3)在經(jīng)典力學(xué)下，粒子在陷阱中任一處都是等概率的即，所以可以看到，由量子力學(xué)解出的位置平均值和經(jīng)典力學(xué)下的結(jié)果是一樣的，這是由對稱性決定的。而量子力學(xué)解出的漲落在取的極限就是經(jīng)典力學(xué)下的解，可見經(jīng)典力學(xué)下的解不過是量子力學(xué)在取量子數(shù)趨向于無窮大的極限，這一點對位置平均值也是適用的。這恰好反映了波爾的對應(yīng)原理。(4)由對稱性，其結(jié)果顯然都為1/2。(5)對于，它并不是一個新的狀態(tài)。若粒子的波函數(shù)滿足以上等式，我們能肯定的只是粒子在任一時刻要么處在，要么處在，且二者必居其一。這實際上是粒子在不同能級間躍遷時所處的狀態(tài)?？紤]波函數(shù)的時間部分據(jù)此求解粒子位移和速度與時間的關(guān)系其中A，B為常數(shù)，。由上式可見，粒子位置的平均值是隨時間變化的，且形式為簡諧振子。由電磁輻射原理，若此粒子為電子，它會發(fā)出頻率為的光子，其能量恰好為。其中C，D，F(xiàn)為常數(shù)。取實部，可見其動量平均值亦符合簡諧振子的運動形式，角速度（6）根據(jù)計算可以得到p能態(tài)電子云應(yīng)該是繞z軸旋轉(zhuǎn)對稱的，經(jīng)計算，m=0的電子云主要分布在z軸附近，形狀類似于一個啞鈴，m=1或m=-1的電子云分布在xy平面，形狀如同中間薄邊緣厚的餅或面包圈。注：對應(yīng)原理。波爾認為，在原子范疇內(nèi)的現(xiàn)象與宏觀范圍內(nèi)的現(xiàn)象可以各自遵循本范圍內(nèi)的規(guī)律，但當把微觀范圍內(nèi)的規(guī)律延伸到經(jīng)典范圍內(nèi)時，則它所得到的數(shù)值結(jié)果應(yīng)該與經(jīng)典規(guī)律所得到的相一致。2：（1）如果一個物理過程在自然界中發(fā)生，它是滿足某一個物理規(guī)律。如果有一面鏡子，那么你在鏡子中將看到一個與這個過程“對稱”的過程在鏡子中發(fā)生。請問：在鏡子中的那個物理過程是否也滿足同一個物理規(guī)律？（2）把一塊牛排放在鏡子旁，在鏡子中會出現(xiàn)一個虛像。如果在現(xiàn)實生活中存在一塊與那個虛像全等的牛排，那么你吃下這塊牛排，將會對你造成什么影響？（3）如圖：一根直導(dǎo)線旁邊放一個磁針，那么磁針會在磁場的作用下旋轉(zhuǎn)。在這個系統(tǒng)旁邊放一塊鏡子，那么鏡子中的那個直導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場和原來的磁場時相同的，但你看到鏡子中的磁針卻像另一個方向偏轉(zhuǎn)。這是否說明在我們這個世界中適用的物理規(guī)律在鏡子中的那個“世界”是不適用的呢？請詳細分析。IIMI’（4）放開你的眼界，你能否找到一個現(xiàn)象，說明在我們這個世界中適用的規(guī)律在鏡子中的世界不適用。（5）談?wù)勀銓ΨQ性的理解（答題字數(shù)：500以上）3：（1）電影《黑客帝國》描述了未來人類與機器人發(fā)生戰(zhàn)爭的情景。人類為了戰(zhàn)勝機器，就引爆核彈