小學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)梳理

小學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)梳理

教材編寫組侍春雷

序言

小學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)梳理，對(duì)于小學(xué)奧數(shù)大綱建設(shè)尤其必要，不過，對(duì)于知識(shí)點(diǎn)

時(shí)概括很也許出現(xiàn)以偏概全掛一漏萬的現(xiàn)象，為此，本人參照了單尊主編的《小學(xué)數(shù)學(xué)

奧林匹克》、中國少年報(bào)社主編的《華杯賽教材》、《華杯賽集訓(xùn)指南》以及《寒假班

系列教材》和華羅庚學(xué)校的教材共五套教材，力圖打破原有體系，重新整合劃分，構(gòu)建十

七塊體系(其第十七為解題措施匯集，可補(bǔ)充對(duì)應(yīng)雜題)，原則上簡要扼要，努力刻畫小

學(xué)奧數(shù)知識(shí)的主樹干.

概述

一、計(jì)算

1.四則混合運(yùn)算繁分?jǐn)?shù)

(1)運(yùn)算次序

⑵分?jǐn)?shù)、小數(shù)混合運(yùn)算技巧

一般而言：

①加減運(yùn)算中，能化成有限小數(shù)的統(tǒng)一以小數(shù)形式；

②乘除運(yùn)算中，統(tǒng)一以分?jǐn)?shù)形式。

⑶帶分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)的互化

⑷繁分?jǐn)?shù)的化簡

2.簡便計(jì)算

⑴湊整思想

⑵基準(zhǔn)數(shù)思想

⑶裂項(xiàng)與拆分

⑷提取公因數(shù)

⑸商不變性質(zhì)

⑹變化運(yùn)算次序

①運(yùn)算定律的綜合運(yùn)用

②連減的性質(zhì)

③連除的J性質(zhì)

④同級(jí)運(yùn)算移項(xiàng)的性質(zhì)

⑤增減括號(hào)的性質(zhì)

⑥變式提取公因數(shù)

形如：％±％+〃±...

±atl+〃=(4±a2±........±atl)^b

3.估算

求某式的整數(shù)部分：擴(kuò)縮法

4.比較大小

①通分

a.通分母

b.通分子

②跟“中介”比

③運(yùn)用倒數(shù)性質(zhì)

若―L則-形如：處＞也＞”，則上

abc%/〃?】fn2m3

5.定義新運(yùn)算

6.特殊數(shù)列求和

運(yùn)用有關(guān)公式：

c-cn(n+1)

①1+2+3…〃=---------

2

(2)1~+2~+?-?+/!-=-^---------------2

6

③an=〃(〃+1)=1+n

④1+23+…+〃3=([+2+…〃)2=〃(/

⑤abcabc=abcx1001=abcx7xllxl3

@a2-b2=(a+/“a-h)

⑦1+2+3+4…(n-l)+n+(n-l)+…4+3+2+l=n?

數(shù)論

1.奇偶性問題

奇土奇二偶奇X奇:奇

奇士偶=奇奇X偶二偶

偶土偶;偶偶X偶;偶

2.位值原則

形如：〃/?c=100a+10b+c

3.數(shù)的整除特性:

整除數(shù)特征

2末尾是0、2、4、6、8

3各數(shù)位上數(shù)字的和是3的倍數(shù)

5末尾是0或5

9各數(shù)位上數(shù)字的和是9的倍數(shù)

11奇數(shù)位上數(shù)字的和與偶數(shù)位上數(shù)字的和，兩者之差是11的倍數(shù)

4和25末兩位數(shù)是4（或25）的倍數(shù)

8和125末三位數(shù)是8（或125）的倍數(shù)

7、11、13末三位數(shù)與前幾位數(shù)的差是7（或11或13）的倍數(shù)

4.整除性質(zhì)

①假如c|a、c|b,那么c|(a土b)。

②假如bc|a,那么b|a,c|ao

③假如b|a,c|a?且(b,c)=1,那么bc|a。

④假如c|b,b|a,那么c|a.

⑤a個(gè)持續(xù)自然數(shù)中必恰有一種數(shù)能被a整除,

④平方和。

10.孫子定理（中國剩余定理）

11.輾轉(zhuǎn)相除法

12.數(shù)論解題的常用措施：

枚舉、歸納、反證、構(gòu)造、配對(duì)、估計(jì)

三、幾何圖形

1.平面圖形

⑴多邊形的內(nèi)角和

N邊形的內(nèi)角和=（N-2）X180°

⑵等積變形（位移、割補(bǔ)）

①三角形內(nèi)等底等高的三角形

②平行線內(nèi)等底等高的三角形

③公共部分的傳遞性

④極值原理（變與不變）

⑶三角形面積與底的正比關(guān)系

⑷相似三角形性質(zhì)（份數(shù)

⑸燕尾定理

SAABG：SAAGC=SABGE：SAGEC=BE：EC；

SABGA：SABGC=SAAGF：SAGFC=AF：FC；

SAAGC：SABCG=SAADG：SADGB=AD：DB；

⑹差不變?cè)?/p>

知5?2=3,則圓點(diǎn)比方點(diǎn)多3。

⑺隱含條件的等價(jià)代換

例如弦圖中長短邊長的關(guān)系。

⑻組合圖形的思索措施

①化整為零

②先補(bǔ)后去

③正反結(jié)合

2.立體圖形

⑴規(guī)則立體圖形的表面積和體積公式

⑵不規(guī)則立體圖形的表面積

整體觀照法

⑶體積的等積變形

①水中浸放物體：V開水=丫物

②測啤酒瓶容積：V=V空氣+V水

⑷三視圖與展開圖

最短線路與展開圖形狀問題

⑸染色問題

幾面染色的塊數(shù)與“芯”、棱長、頂點(diǎn)、面數(shù)的關(guān)系。

四、經(jīng)典應(yīng)用題

1.植樹問題

①開放型與封閉型

②間隔與株數(shù)的關(guān)系

2.方陣問題

外層邊長數(shù)?2=內(nèi)層邊長數(shù)

（外層邊長數(shù)?1）乂4=外周長數(shù)

外層邊長數(shù)2-中空邊長數(shù)2=實(shí)面積數(shù)

3.列車過橋問題

①車長+橋長=速度X時(shí)間

②車長甲+車長乙=速度和X相遇時(shí)間

③車長甲+車長乙=速度差X追及時(shí)間

列車與人或騎車人或另一列車上的司機(jī)的相遇及追及問題

車長=速度和X相遇時(shí)間

車長:速度差X追及時(shí)間

4.年齡問題

差不變?cè)?/p>

5.雞兔同籠

假設(shè)法的解題思想

6.牛吃草問題

原有草量=（牛吃速度.草長速度）X時(shí)間

7.平均數(shù)問題

8.盈虧問題

分析差量關(guān)系

9.和差問題

10.和倍問題

11.差倍問題

12.逆推問題

還原法，從成果入手

13.代換問題

列表消元法

等價(jià)條件代換

五、行程問題

1.相遇問題

旅程和=速度和X相遇時(shí)間

2.追及問題

旅程差=速度差X追及時(shí)間

3.流水行船

順?biāo)俣?船速+水速

逆水速度=船速-水速

船速二（順?biāo)俣?逆水速度）+2

水速二（順?biāo)俣?逆水速度）4-2

4.多次相遇

線型旅程：甲乙共行全程數(shù)=相遇次數(shù)X2-1

環(huán)型旅程：甲乙共行全程數(shù);相遇次數(shù)

其中甲共行旅程=單在單個(gè)全程所行旅程X共行全程數(shù)

5.環(huán)形跑道

6.行程問題中正反比例關(guān)系的應(yīng)用

旅程一定，速度和時(shí)司成反比。

速度一定，旅程和時(shí)同成正比。

時(shí)間一定，旅程和速度成正比。

7.鐘面上的追及問題。

①時(shí)針和分針成直線；

②時(shí)針和分針成直角。

8.結(jié)合分?jǐn)?shù)、工程、和差問題的某些類型。

9.行程問題時(shí)常運(yùn)用“時(shí)光倒流”和“假定當(dāng)作”的思索措施。

六、計(jì)數(shù)問題

1.加法原理：分類枚舉

2.乘法原理：排列組合

3.容斥原理：

①總數(shù)量=A+B+C?（AB+AC+BC）+ABC

②常用：總數(shù)量=A+B?AB

4.抽屜原理:

至多至少問題

5.握手問題

在圖形計(jì)數(shù)中應(yīng)用廣泛

①角、線段、三角形，

②長方形、梯形、平行四邊形

③正方形

七、分?jǐn)?shù)問題

1.量率對(duì)應(yīng)

2.以不變量為“1”

3.利潤問題

4.濃度問題

倒三角原理

5.工程問題

①合作問題

②水池進(jìn)出水問題

6.按比例分派

八、方程解題

1.等量關(guān)系

①有關(guān)聯(lián)量的表達(dá)法

例:甲+乙=100甲+乙=3

100-x3x

②解方程技巧

恒等變形

2.二元一次方程組的求解

代入法、消元法

3.不定方程的分析求解

以系數(shù)大者為試值角度

4.不等方程的分析求解

九、找規(guī)律

⑴周期性問題

①年月日、星期幾問題

②余數(shù)的應(yīng)用

⑵數(shù)列問題

①等差數(shù)列

通項(xiàng)公式an=ai+(n-l)d

求項(xiàng)數(shù)："殳二幺+1

d

求和：

2

②等比數(shù)列

求和：s=K0

q-i

③裴波那契數(shù)列

⑶方略問題

①搶報(bào)30

②放硬幣

⑷最值問題

①最短線路

a.一種字符陣組的分線讀法

b.在格子路線上的最短走法數(shù)

②最優(yōu)化問題

a.統(tǒng)籌措施

b.烙餅問題

十、算式謎

1.填充型

2.替代型

3.填運(yùn)算符號(hào)

4.橫式變豎式

5.結(jié)合數(shù)論知識(shí)點(diǎn)

十一、數(shù)陣問題

1.相等和值問題

2.數(shù)列分組

⑴知行列數(shù)，求某數(shù)

⑵知某數(shù)，求行列數(shù)

3.幻方

⑴奇階幻方問題：

楊輝法羅伯法

⑵偶階幻方問題：

雙偶階：對(duì)稱互換法

單偶階：同心方陣法

十二、二進(jìn)制

1.二進(jìn)制計(jì)數(shù)法

①二進(jìn)制位值原則