8.1 平方根（第1課時(shí)）2025年春初中數(shù)學(xué)人教版七年級(jí)下冊(cè)教案

8.1平方根第1課時(shí)一、教學(xué)目標(biāo)1.了解平方根的概念,掌握平方根的特征.2.能利用開(kāi)平方與平方互為逆運(yùn)算的關(guān)系，求某些非負(fù)數(shù)的平方根.二、課型新授課三、課時(shí)第1課時(shí)共3課時(shí)四、教學(xué)重難點(diǎn)【教學(xué)重點(diǎn)】 理解平方根的概念，會(huì)用符號(hào)表示一個(gè)正數(shù)的平方根.【教學(xué)難點(diǎn)】 理解平方根的意義.五、課前準(zhǔn)備 教師：課件、三角尺、直尺等.學(xué)生：三角尺、鉛筆、練習(xí)本.六、教學(xué)過(guò)程（一）導(dǎo)入新課填空：(1)32=_______，（－3）2=_______；(2)232=________(3)0.82=_______，（-0.8）2=_______．【討論】反過(guò)來(lái)，如果已知一個(gè)數(shù)的平方，怎樣求這個(gè)數(shù)？（二）探索新知1.探究平方根的概念及性質(zhì)教師問(wèn)：要做一張邊長(zhǎng)是3分米的方桌面，它的面積是多少？學(xué)生答：它的面積是9平方分米.教師問(wèn)：這個(gè)問(wèn)題實(shí)際上就是求：32=?這是已知底數(shù)和指數(shù),求冪的運(yùn)算.這是什么運(yùn)算？學(xué)生答：這是平方運(yùn)算.教師問(wèn)：反過(guò)來(lái)，要做一張面積是9平方分米的方桌面，它的邊長(zhǎng)是多少分米？學(xué)生答：它的邊長(zhǎng)是3分米.教師問(wèn)：實(shí)際上就是要求出一個(gè)數(shù)，使它的平方等于9，即：（）2=9，應(yīng)該填什么呢？學(xué)生答：顯然，括號(hào)里應(yīng)是±3.教師問(wèn)：桌子的邊長(zhǎng)為何是3分米？學(xué)生答：－3不符題意.∴方桌面的邊長(zhǎng)應(yīng)是3分米.教師問(wèn)：你還能得到什么問(wèn)題呢？學(xué)生問(wèn)：如果一個(gè)數(shù)的平方等于9，這個(gè)數(shù)是多少？教師答：由于（±3）2=9，所以這個(gè)數(shù)是3或-3.教師問(wèn)：想一想：3和-3有什么特征？學(xué)生答：3和-3互為相反數(shù)，只有符號(hào)不同.教師問(wèn)：3和-3互為相反數(shù)，會(huì)不會(huì)是巧合呢?學(xué)生答：猜想不一定是巧合，需要實(shí)例吧！做一做,想一想:教師問(wèn)：填一填，想一想:寫(xiě)出左圈和右圈中的“？”表示的數(shù)：學(xué)生答：如下圖所示：總結(jié)點(diǎn)撥：根據(jù)上述問(wèn)題，即要找出一個(gè)數(shù)，使它的平方等于給定的數(shù).我們抽象出下述概念：一般地，如果有一個(gè)數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個(gè)數(shù)x叫作a的平方根或二次方根.例如：(±3)2=9，±3是9的平方根.平方根的性質(zhì)：如果x是正數(shù)a的一個(gè)平方根，那么a的平方根有且只有兩個(gè)：x與-x.即平方根互為相反數(shù).教師問(wèn)：121的平方根是什么？（出示課件9）學(xué)生答：121的平方根是±11.教師問(wèn)：0的平方根是什么？學(xué)生答：0的平方根是0.教師問(wèn)：1649的平方根是什么？學(xué)生答：1649的平方根是±4教師問(wèn)：-9有沒(méi)有平方根？為什么？學(xué)生答：沒(méi)有，因?yàn)橐粋€(gè)數(shù)的平方不可能是負(fù)數(shù).教師問(wèn)：通過(guò)這些題目的解答，你能發(fā)現(xiàn)什么?學(xué)生答：有些數(shù)有兩個(gè)平方根，有些數(shù)有一個(gè)平方根，有些數(shù)沒(méi)有平方根.教師問(wèn)：正數(shù)有幾個(gè)平方根？學(xué)生答：正數(shù)有2個(gè)平方根.教師問(wèn)：0有幾個(gè)平方根？學(xué)生答：0有1個(gè)平方根.教師問(wèn)：有沒(méi)有一個(gè)數(shù)的平方是負(fù)數(shù)？學(xué)生答：沒(méi)有一個(gè)數(shù)的平方是負(fù)數(shù).教師問(wèn)：負(fù)數(shù)有幾個(gè)平方根呢？學(xué)生答：負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根.教師問(wèn)：為何負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根呢？學(xué)生答：因?yàn)槿魏螌?shí)數(shù)的平方都為非負(fù)數(shù)，所以負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根.總結(jié)點(diǎn)撥：平方根的性質(zhì)：

1.正數(shù)有兩個(gè)平方根，兩個(gè)平方根互為相反數(shù).

2.0的平方根還是0.

3.負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根.考點(diǎn)1：求平方根求下列各數(shù)的平方根：(1)64；(2)9100；(3)0.01.師生共同討論解答如下：教師依次展示學(xué)生解答過(guò)程：學(xué)生1解：(1)∵(±8)2＝64，∴64的平方根是±8；學(xué)生2解：(2)∵(±310)2＝9100，∴9100的平方根是學(xué)生3解：(3)∵(±0.1)2＝0.01，∴0.01的平方根是±0.1.方法總結(jié)：正確理解平方根的概念，明確是求哪一個(gè)數(shù)的平方根．學(xué)生自主練習(xí)后口答，教師訂正.2.探究平方根的讀法和表示教師問(wèn)：非負(fù)數(shù)a的平方根表示為什么呢？學(xué)生答：非負(fù)數(shù)a的平方根表示為±a.教師問(wèn)：±a的各部分表示什么意思呢？師生一起解答：正數(shù)a的正的平方根記為“a”，讀作“根號(hào)a”.a叫作被開(kāi)方數(shù).正數(shù)a的負(fù)的平方根，可用“-a”表示，讀作“負(fù)根號(hào)a”.合起來(lái)，一個(gè)正數(shù)a的平方根就用“±a”表示，讀作“正、負(fù)根號(hào)a”.如下圖所示.出示課件15，學(xué)生自主練習(xí)后口答，教師訂正.考點(diǎn)2：利用平方根的表示求平方根求下列各數(shù)的平方根：（1）36；（2）259；（3）1.21學(xué)生獨(dú)立思考后，師生共同分析后解答.教師依次展示學(xué)生解答過(guò)程：學(xué)生1解:（1）由于（±6）2=36，因此36的平方根是6與-6.即±36=±6.學(xué)生2解:（2）由于（±53）2=259，因此259的平方根是53與-5即±259=±5學(xué)生3解:（3）由于（±1.1）2=1.21，因此1.21的平方根是1.1與-1.1.即±1.21=±1.1.學(xué)生自主練習(xí)后口答，教師訂正.考點(diǎn)3利用平方根解形如x2=a（a≥0）的方程求下列各式中x的值：（1）x2=361；（2）（2x-1）2=25.學(xué)生獨(dú)立思考后，師生共同分析后解答.教師依次展示學(xué)生解答過(guò)程：學(xué)生1解:（1）因?yàn)閤2=361，所以x=±361=±19；學(xué)生2解：（2）因?yàn)椋?x-1）2=25，所以2x-1=±25=±5.當(dāng)2x-1=5時(shí)，解得x=3;當(dāng)2x-1=-5時(shí)，解得x=-2;所以x=3或x=-2.學(xué)生自主練習(xí)后口答，教師訂正.3.探究平方與開(kāi)方的關(guān)系教師出示問(wèn)題：請(qǐng)完成下面的題目：學(xué)生答：答案如下圖所示：教師問(wèn)：上面的運(yùn)算是平方運(yùn)算，什么是平方運(yùn)算呢？學(xué)生答：已知一個(gè)數(shù)，求它的平方的運(yùn)算，叫作平方運(yùn)算.教師問(wèn)：反之，已知一個(gè)數(shù)的平方，求這個(gè)數(shù)的運(yùn)算是什么？

師生一起解答：求一個(gè)數(shù)的平方根的運(yùn)算，叫作開(kāi)平方.教師問(wèn)：開(kāi)平方與平方是什么關(guān)系？學(xué)生答：互為逆運(yùn)算.教師總結(jié)點(diǎn)撥：已知底數(shù)和指數(shù)求冪已知冪和指數(shù)求底數(shù)教師與學(xué)生一起完成下面的題目：運(yùn)算符號(hào)適用范圍運(yùn)算結(jié)果名稱(chēng)性質(zhì)開(kāi)方±a正數(shù)與零平方根正數(shù)有2個(gè)平方根,它們互為相反數(shù),零的平方根是0,負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根.平方a2任何數(shù)冪正數(shù)的平方是正數(shù)；零的平方是0；負(fù)數(shù)的平方是正數(shù).考點(diǎn)4：開(kāi)平方的有關(guān)計(jì)算下列各數(shù)有平方根嗎？如果有，求它的平方根；如果沒(méi)有，說(shuō)明理由.（出示課件25）（1）0.36；（2）-5；（3）（-4）2.學(xué)生獨(dú)立思考后，師生共同分析后解答.教師依次展示學(xué)生解答過(guò)程：學(xué)生1解：（1）因?yàn)?.36是正數(shù)，所以0.36有兩個(gè)平方根，±0.36=±0.6；學(xué)生2解：（2）因?yàn)?5是正數(shù)，所以-5沒(méi)有平方根；學(xué)生3解：（3）因?yàn)椋?4）2=16是正數(shù)，所以（-4）2有兩個(gè)平方根，±（-4）2學(xué)生自主練習(xí)，教師給出答案.方法點(diǎn)撥：只有當(dāng)a大于或等于0時(shí)，a有意義；而當(dāng)a小于0時(shí)，a沒(méi)有有意義.教師：學(xué)了前面的知識(shí)，接下來(lái)做幾道練習(xí)題看看你掌握的怎么樣吧.（三）課堂練習(xí)略（四）課堂小結(jié)平方根平方根的概念平方根的性質(zhì)開(kāi)平方及相關(guān)運(yùn)算（五）課前預(yù)習(xí)預(yù)習(xí)下節(jié)課（8.1第