（高三數(shù)學(xué)資料）專題16圓錐曲線解答題特訓(xùn)（5年高考+3年模擬）解析版

專題16圓錐曲線解答題特訓(xùn)(5年高考+3年模擬)

■真題實(shí)戰(zhàn)演練____________________

1.(2023?全國?高考真題)已知直線x-2y+\=0與拋物線C:/=2px(p>0)交于AB兩點(diǎn),且

|4昨4廂.

⑴求〃；

⑵設(shè)尸為C的焦點(diǎn),⑼N為C'上兩點(diǎn)，.*=0,求八MFN面積的最小值.

【答案】⑴P=2

⑵12-80

【分析】(1)利用直線與拋物線的位置關(guān)系，聯(lián)立直線和拋物線方程求出弦長即可得出〃；

(2)設(shè)直線MN：x=my+nt),汽(孫必)，利用尸M.川=0,找到孫〃的關(guān)系，以及△MFN的面積我

達(dá)式，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可求出其最小值.

【詳解】⑴設(shè)A?,y〃),8(%,%),

j-2v+l=0,

由v,可得，y~-4〃)，+2p=D,所以)0+%=4p,)?8=2p,

lr=2Px

所以I『=&從-媼=+=4715,

即2p，-p-6=0,因?yàn)椤?gt;0,解得：/-?=2.

⑵因?yàn)镕(LO),顯然直線MN的斜率不可能為零，

設(shè)直線MN：*=〃獷+〃，〃(％,)1),可&,%)，

由，’i"可得，_/-4加)，-4八=0,所以，yi+y2=^yiy2=-4n,

x=my+n

△=16〃『+16〃>0=?72+z:>0,

因?yàn)閚w?尸N=o,所以(現(xiàn)-1)(巧t)+y%=°,

即+〃-1)(〃。‘2+"-1)+乂)'2=0，

亦即(+1)y%+W(/?-1)(>>)+>',)+(.7-i)?=0,

將y+兌=4〃?,y必=代入得,

4m2=w2-6/1+1,4(/n2+?)=(?-1)2>0,

所以〃工1,且/?一6〃+120,解得〃A3+2&或〃?3-2&?

設(shè)點(diǎn)F到直線MN的距離為d,所以d=-fcL,

：22

\MN=yj(xl-x2)+(Vj-y2)=Vl+w|>'!-y2|=++16〃

=Jl+/小4(〃-'-6〃+1)+16〃=2,1+〃?|n-l|,

所以△MEN的面積S='x|MMxd=：x-^211Tx=(〃_]'?，

22Vl+w2

而“23+2夜或“W3-2&,所以，

當(dāng)〃=3-2夜時(shí)，AWW的面積Smin=(2-2夜丫=12—8五.

【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是根據(jù)向量的數(shù)量積為零找到犯〃的關(guān)系，一是為了減元，二是通過相互的制約關(guān)系

找到各自的范圍,為得到的?:角形面萩公式提供定義域支持,從而求出面積的最小值.

2.(2023?全國?高考真題)已知橢HU[■+]=l(a>b>0)的離心率是在，點(diǎn)八(-2,0)在C上.

a'b~3

(D求C的方程；

(2)過點(diǎn)(-2,3)的直線交。于P,Q兩點(diǎn)，直線AP,AQ與)，軸的交點(diǎn)分別為M,N,證明：線段MN的中點(diǎn)為定

點(diǎn).

【答案】⑴《十二=1

94

(2)證明見詳解

【分析】(1)根據(jù)題意列式求解a，Ac,進(jìn)而可得結(jié)果；

(2)設(shè)直線PQ的方程，進(jìn)而可求點(diǎn)M,N的坐標(biāo)，結(jié)合韋達(dá)定理驗(yàn)證當(dāng)產(chǎn)為定值即可.

b-2a=3

【詳解】⑴由題意可得解得6=2,

a3

所以橢圓方程為4+上=1.

94

(2)由題意可知:直線P。的斜率存在，設(shè)。。：產(chǎn)無。+2)+3,尸&,刈,。仁,為)，

y=A(x+2)+3

聯(lián)立方程丁丁，消去y得：(4/+9)/+8左(22+3).*+16僅2+3攵)=0,

---H-----=1

94

則△=64公(24+3)2-64(4代+9)(y+3&)=-1728左＞0,解得太＜0,

8M2左+3)16伙2+3攵)

可得X+W

軟2+9'**=45+9

因?yàn)?(-2,0),則直線AP：y=-^T(A+2),

.V|十乙

令x=o,解得尸二2、，即“0,3

8+2為+2,1

同理可得N(0,3],

IX2+2)

2,?2y2

貝|J藥+2+x2+2_+2)+3]+[4(％2+2)+3]

2%+2X2+2

[依+(2&+3)](工2+2)+[鋪+(2A+3)](X]+2)2依占+(4Z+3)(X[+*2)+4(24+3)

(A,+2)(x,+2)大/+2(./+占)+4

學(xué)憶嘰8M4y)(2叱%+3)

=4公+94F+9')108

16僅2+3”)16〃(2&+3)1~36

4/+94r+9+

所以線段MN的中點(diǎn)是定點(diǎn)(0,3).

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解定值問題的三個(gè)步驟

(1)由特例得出一個(gè)值,此值一般就是定值；

(2)證明定值，布.時(shí)可直接證明定值，有時(shí)將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與參數(shù)(某些變量)無關(guān)；乜

可令系數(shù)等于零，得出定值；

(3)得出結(jié)論.

3.(2023?天津?高考真題)已知橢圓「+與=1("人＞0)的左右頂點(diǎn)分別為凡小，右焦點(diǎn)為兒已知

a~b-

14q=3,|4日=1.

(1)求橢圓的方程和離心率；

(2)點(diǎn)P在橢圓上(異于橢圓的頂點(diǎn))，直線交)'軸于點(diǎn)。，若三角形A/。的面積是三角形&PF而枳的二

倍,求直線&P的方程.

【答案】(1)橢圓的方程為《+$=1,離心率為e=1.

432

(2)y=±^y(x-2).

【分析】

a+c3

(DS，解得a-2,c-l,從而求出〃=百，代入橢圓方程即可求方程，再代入離心率公式即求離心率.

⑵允設(shè)白線4P的方程，與橢圓方程聯(lián)立,消去兒再由韋達(dá)定理可得以?與,從而得到P點(diǎn)和Q點(diǎn)坐標(biāo),由

s&創(chuàng)=SA.+sA&L25+SA&P得2網(wǎng)=3|?|,即可得到關(guān)于k的方程,解出3代入直線&P的方程

即可得到答案.

【詳解】(1)

如圖,

ac3

由題意得《一.，解得〃=2,c=l,所以〃=在二了=百，

6i-C=1

所以橢圓的方程為=i,離心率為。=￡=工

43a2

⑵

由題意得，直線&P斜率存在，由橢圓的方程為工+亡=1可得4(2,0),

43

設(shè)直線4P的方程為)，=太(廠2),

￡￡=1

聯(lián)立方程組43~，消去V整理得：（3+4r）/-16/工+16公-12=0,

y=k（x-2]

81—6

由韋達(dá)定理得心?與小;產(chǎn)所以/=

3+4K3+4二'

’8代-6-\2k

所以P,。（0,-2牡

3+4公'3+4S

所以S人3=Jx4x|，U，Sw=；x】M)，/,sW=；x4x|)，/,

所以SA0A=S.+SAAp=2SA+S人人八

所以2|%卜3|以|,即2|2對(duì)-3\2k

3+4改'

解得％=±乎，所以直線AP的方程為),=土乎"一2).

4.(2023?全國?高考真題)已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn),左焦點(diǎn)為(-26,0),離心率為6.

(1)求C的方程;

(2)記C的左、右頂點(diǎn)分別為A,4,過點(diǎn)(T,0)的直線與6?的左支交于MA,兩點(diǎn),V在第二象限，直線MA與

N4交于點(diǎn)A證明；點(diǎn)P在定直線上.

【答案】(D--4=1

416

(2)證明見解析.

【分析】

(1)日題意求得。，〃的值即可確定雙曲線方程：

(2)設(shè)出直線方程,與雙曲線方程聯(lián)立，然后由點(diǎn)的坐標(biāo)分別寫出直線M4「與“的方程,聯(lián)立直線方程,消去

兒結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算可得一=-；,即交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值,據(jù)此可證得點(diǎn)P在定直線X=-1上.

【詳解】(1)

設(shè)雙曲線方程為力＞0),由焦點(diǎn)坐標(biāo)可知c=2。，

則由e=￡=75可得〃=2,〃=＞］c2-az=4，

a

雙曲線方程為工-g=l.

416

(2)

由⑴可得A(-N0)，4(2,0),設(shè)M(x，yJ,N(孫必)，

顯然直線的斜率不為0,所以設(shè)直線MN的方程為x=〃r-4,IL-

與?嘖=1聯(lián)立可得(4w2-l).v2-32沖+48=0,且A=64(4"『+3)＞0,

直線AM,的方程為y=±(x+2),直線NA］的方程為y=-%(?-2).

聯(lián)立直線MA與直線N4的方程可得：

x+2=%（司+2）=AW）=:畔方-2（y+北）+2y

x-2y（占-2）y（〃少2-6）myty2-6y,

48r32/〃c-16zzz,_

4〃廣一14〃廣一1”2

48448"?,

mx——z----6v.,一6y3

4/n2-l1

由言T可得I,即/r

據(jù)此可得點(diǎn)。在定直線4-I上運(yùn)動(dòng).

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求雙曲線方程的定直線問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中根據(jù)

設(shè)而不求的思想,利用韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系可以簡化運(yùn)算,是解題的關(guān)鍵.

2o

5.(2022?天津?高考真題)橢圓［4?斗=1(“＞力＞0)的右焦點(diǎn)為只右頂點(diǎn)為4上頂點(diǎn)為民且滿足

I嘰G

（1）求橢圓的離心率e；

⑵直線/與橢圓有唯一公共點(diǎn)M與j，軸相交于MN異于M.記。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若10Ml=|。兇，且，OMN的

面積為白，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【答案】（l）e=W

3

⑵二+f=]

62

【分析】（1）根據(jù)已知條件可得出關(guān)于。、b的等量關(guān)系，由此可求得該橢圓的離心率的值；

（2）臼（1）可知橢圓的方程為V+3）/=〃2,設(shè)直線/的方程為），=&+，〃，將直線/的方程與橢圓方程聯(lián)立，由

△=0可得出3評(píng)=“20+3&2）,求出點(diǎn)M的坐標(biāo),利用三角形的面積公式以及已知條件可求得片的值,即可

得出橢圓的方程.

⑵解：由⑴可知橢網(wǎng)的方程為f+39=a

易知直線/的斜率存在,設(shè)直線/的方程為>=心+,

聯(lián)立'I：；；：不得（1+3公卜2+6k樹+（3/-〃）=0,

由△=36公〃/一4（1+3k2）（3〃/一/）=0=>3〃/=片0+3六），①

3km,tn

-s——，=依M+〃？=-----r2,

3公+1'"必\+3k

,m2（9k2+l）

由10M卜\ON\可得療=-,②

IDK*11

由SOMV=6可得』時(shí)例=6,③

聯(lián)立①②③可得公=匕療=4,/=6,故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為占+與=1.

362

6.（2022?全國?高考真題）已知雙曲線4-，=1（〃>0力>0）的右焦點(diǎn)為/（2.0）,漸近線方程為

y=-y/5x.

⑴求C的方程；

⑵過尸的直線與。的兩條漸近線分別交于A,〃兩點(diǎn)，點(diǎn)P(N，X),Q(X2，)’2)在c上，且內(nèi)>占>0/>0.過

P且斜率為-6的直線與過。且斜率為6的直線交于點(diǎn)弘從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件,證明另外一

個(gè)成立：

①加在A8上；②PQ〃A8；③|的4RMB|.

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】⑴/-工=1

3

⑵見解析

【分析】⑴利用焦點(diǎn)坐標(biāo)求得。的值，利用漸近線方程求得。力的關(guān)系，進(jìn)而利用的平方關(guān)系求得&力

的值,得到雙曲線的方程；

(2)先分析得到直線AB的斜率存在目.不為零,設(shè)直線AB的斜率為匕欣物外),由③|力M=1網(wǎng)\等價(jià)分析得

到小+妙。=若；由直線/狎和QM的斜率得到直線方程,結(jié)合雙曲線的方程,兩點(diǎn)間距離公式得到直線PQ

的斜率，〃=漢，由②PQ//AB等價(jià)轉(zhuǎn)化為ky.=3%,由①M(fèi)在直線人8上等價(jià)于利二公(?％-2),然后選擇

兩個(gè)作為已知條件一個(gè)作為結(jié)論,進(jìn)行證明即可.

【詳解】⑴右焦點(diǎn)為尸(2,0),???c=2,???漸近線方程為

y=-y/3x,<*.—=5/3,b=6a,/?c2=a~+b2-4a2=4,，a=1,，〃=6.

a

，C的方程為：Y-三=1;

(2)自已知得直線PO的斜率存在且不為零,直線人8的斜率不為零，

若選由①②推③或選由②③推①：由②成立可知白線AB的斜率存在IL不為零；

若選①?推②，則M為線段AB的中點(diǎn)，假若直線A8的斜率不存在,則由雙曲線的對(duì)稱性可知M在X軸上，

即為焦點(diǎn)F,此時(shí)由對(duì)稱性可知P、。關(guān)于“軸對(duì)稱,與從而西=與，已知不符；

總之,直線AB的斜率存在且不為零.

設(shè)直線A8的斜率為A,直線AB方程為y=k(x-2),

則條件①M(fèi)在上,等價(jià)于%=刈七一2)=⑥。=犬U-2);

兩漸近線的方程合并為3——./=o.

聯(lián)立消去y并化簡整理得：（公-3）%2-454+4犬=0

設(shè)40內(nèi)），*七，乂），線段中點(diǎn)為“億，％），則/=玉/=餐，*=&(4-2)=措

乙N一K一

設(shè)股（工0，%），

則條件③MM=|則等價(jià)于（現(xiàn)-玉）2+（先_必）2=小一汽）2+（）,。_

移項(xiàng)并利用平方差公式整理得：

（七一七）［2/一（占+S）］+（）廣乂）［2%-（以+”）］=。，

［2%-（七+%）］+:［2%一（月+兒）］=°,即％—4+&（%—）加）

X3-X4

,8產(chǎn)

QI1%+期'。=正與；

由題意知真線P/W的斜率為-石，直線。”的斜率為力，

???由y-%=一J5（不一天），力一%=并（%一%），

???）'「必=一石（七+七?2七）,

后（內(nèi)+工2―2%）

所以直線PQ的斜率〃?=＞二%

—內(nèi)一々

直線PM:y=Y(x—%)+為，即y=%+￡%_瓜，

代入雙曲線的方程3/-丁_3=0,即(△+)，)(".)，)=3中,

得?(汽+47)[26.(%+百%)]=3,

3y

H-T+JO.X+X-2X=--Ao

一3%)I20

3%

為'

???條件②P。//相等價(jià)于,〃=A=/=3%,

綜上所述:

條件①條在A8上,等價(jià)于機(jī)=爐5-2）；

條件②PQ//AB等價(jià)于ky°=3為；

條件③14Ml=忸閘等價(jià)于X。+小=念；

選①②推③：

"2QL-

由①②解得：%=”--=4x0=~~~-，，③成立；

選①③推②：

由①@解得：/=母f，6。=瓷，

KJK

.?.線=3.0,.?.②成立；

選②③推①：

由②③解得：/=丹，以=3，...同一2=*,

??.60=好（.％2）,??.①成比.

7.（2022?浙江?高考真題）如圖，已知橢圓《+）,2=1.設(shè)48是橢圓上異于汽04）的兩點(diǎn),且點(diǎn)。（0,；）在

線段AB上,直線PAPB分別交直線產(chǎn)-1+3于C〃兩點(diǎn).

（D求點(diǎn)尸到橢圓上點(diǎn)的距離的最大值;

（2）求I。。的最小值.

【答案】（1）Ml；

11

⑵竽.

【分析】(1)設(shè)H(2^cosasinO)是橢圓上任意一點(diǎn)，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出IP4已再根據(jù)二次函

數(shù)的性質(zhì)即可求出；

(2)設(shè)直線/切:y=M+；與橢圓方程聯(lián)立可得為看小+修，再將直線y=-；x+3方程與以、的方程

4乙

分別聯(lián)立，可解得點(diǎn)co的坐標(biāo)，再根羽兩點(diǎn)間的距離公式求出|3,最后代入化簡可得

，由柯西不等式即可求出最小值.

【詳解】(1)設(shè)H(2QCOSdsin。)是橢圓上任意一點(diǎn),PW),

|PW|2=12cos26>+(l-sin<9)2=13-llsin2^-2sin<9=-llfsin6?+—+吧W此，當(dāng)且僅當(dāng)sin，=-1時(shí)取

I\\)II1111

等號(hào)，故|尸”|的最大值是耳五.

⑵設(shè)直線仍：7=而+；,直線A8方程與橢圓紜+)，2=1聯(lián)立，可得(心+總./+依-3=0設(shè)

4，

人(玉,》),8(工2，%),所以

因?yàn)橹本€"J=-x+1與直線y=一％+3交于C,

x\2

4x4x一,4A\

則%=―n=777-77~~7,同理可得，M=-3~~彳=777~；~~~7?則

*+2yt-2(2K+IM-1x2+2y2-2(2k+1)%-I

I處后I-I=露黑一"急31

________________________=2后_____________■一-

[(2A-+l)x-l][(2A:+l)^-l]

l(2k+\yx}x2-(2k+])(.v]+A*2)+1

3Q5"163+16&'I，公+丫］6討＞6石VV4AX4+IXJ64,

=-------------=--------------------N----x---------------=----

2|3左+1|5段+1|5|3火+1|5

當(dāng)且僅當(dāng)％時(shí)取等號(hào)，故|cq的最小值為竽.

【點(diǎn)睛】本題主要考查最值的計(jì)算,第一間利用橢圓的參數(shù)方程以及二次函數(shù)的性質(zhì)較好解決,第二問思路

簡單,運(yùn)算量較大,求最值的過程中還使用到柯西不等式求最值,對(duì)學(xué)生的綜合能力要求較高,屬于較難題.

8.(2022?全國?高考真題)設(shè)拋物線Uy?=2〃x(〃>0)的焦點(diǎn)為片點(diǎn)Q(p.O),過/；的直線交。于M*兩

點(diǎn).當(dāng)直線屹垂直于*軸時(shí)，|MF|=3.

(D求。的方程；

(2)設(shè)直線MDN。與。的另一個(gè)交點(diǎn)分別為記直線MM/W的傾斜角分別為以/?.當(dāng)。一夕取得最大

值時(shí),求直線/步的方程.

【答案】(l)V=4x;

(2)AB:x=y［2y+4.

【分析】(D由拋物線的定義可得|河尸|=〃+/,即可得解；

(2)法一：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)及直線M/V:x=%，+1,由韋達(dá)定理及斜率公式可得&伸=238,再由差角的正切公式

及基本不等式可得輸=當(dāng)，設(shè)直線四:工=也》+勝，結(jié)合韋達(dá)定理可解.

【詳解】(1)拋物線的準(zhǔn)線為“=-5，當(dāng)與A?軸垂直時(shí)，點(diǎn)”的橫坐標(biāo)為〃，

此時(shí)|M叩〃+勺3,所以〃=2,

所以拋物線。的方程為V=4x；

(2)［方法一］:【最優(yōu)解】直線方程橫截式

設(shè)M至XN5.%A%%，8(￥，乂)，直線MN;X=my+\,

fx=wv+l,-八

由Jv2=4x可得?-4機(jī))，-4=0,A>0,y,y,=-4,

k二)'f二4二.一乂二4

由斜率公式可得‘,一+力，.-父_g_乃+”，

4444

直線MO:x=土2?y+2,代入拋物線方程可得V—Mi-).),_8=0,

,)1

△>。，y%=-8,所以為=2%，同埋可得北=2yl,

所以心=總=不%考

又因?yàn)橹本€?AB的傾斜角分別為尸，所以陽8=tan〃=警=詈，

若要使a-4最大，則夕《0,]]設(shè)勺，v==2Q0,則

/tana-tanZ?k\1V2

tan(or-/?)=-------------------=--------7=--------<-.=——4

1+lanata"1+2K32k2]^2k

當(dāng)且僅當(dāng)!=2★即攵=①時(shí),等號(hào)成仁

k2

所以當(dāng)[一夕最大時(shí)，砥8=孝，設(shè)直線48:x=&y+〃，

代入拋物線方程可得V-4衣），-4〃=0,

=76,所以〃=4,

所以直線AB:x=0y+4.

［方法二］:直線方程點(diǎn)斜式

由題可知，直線妙.的斜率存在.

設(shè)Ma，yJ,N（孫曠2），4（/,%），8（玉，％）直線.：5=2（1一1）

由1=1）得：公/一（2二+4）x+公=0,內(nèi)再=1,同理，

直線珈：y=34（x-2）,代入拋物線方程可得：8芭=4,同理，占七=4.

為-2

代入拋物線方程可得：=-8,所以％=2%,同理可得乂=2%,

二乂一為二2（心一y）二乃一y

由斜率公式可得；小lTN—)=拓

4--

1天

(下同方法一)若要使a-尸最大，則夕40,彳｝

/_小_tana-tan-_k_]]_也

設(shè)"MN=2晟8=2攵>0,則1+tanalan/1+2內(nèi)1+2k2^-2/:4，

當(dāng)且僅當(dāng)!=2無即￡=也時(shí)，等號(hào)成立,

k2

理,設(shè)直線AB.x-41y+n,

所以當(dāng)。一夕最大時(shí)，kAR=

代入拋物線方程可得V-40,，-4〃=0,△>0,%北=Yn=4y,y2=-16,所以〃=4,所以直線

AB:x=41y+4.

[方法三]:三點(diǎn)共線

設(shè)P〃o）,若凡M*三點(diǎn)共線，由PM=（?—"J，PN=?-,必

/2、

所以%=/■-/%，化簡得）/2=

反之,若y%=-山，可得即過定點(diǎn)億0）

因此由業(yè)M戶三點(diǎn)共線，得）/2=T,

由M〃、力三點(diǎn)共線，得y，3=-8,

由A；D、/三點(diǎn)共線,得力為=-8,

則>必=4Ky2=16,他過定點(diǎn)（4,0）

（下同方法一）若要使a-A最大,則左（0段），

/_小_tana-tan/?_k_]]_也

a

設(shè)“MN=2砥B=22>0,則1+tan<2tan1+2K1+2Z-2J：.2上4，

當(dāng)H僅當(dāng);=2女即氏=巫時(shí)，等號(hào)成立，

所以當(dāng)。一〃最大時(shí)，，所以直線A8:x=及y+4.

【整體點(diǎn)評(píng)】（2）法-：利用直線方程橫截式，簡化了聯(lián)立方程的運(yùn)算,通過尋找直線"MA8的斜率關(guān)系，

由基本不等式即可求出直線月8的斜率，再根據(jù)韋達(dá)定理求出直線方程,是該題的最優(yōu)解,也是通性通法；

法二：常規(guī)設(shè)直線方程點(diǎn)斜式,解題過程同解法一；

法三：通過設(shè)點(diǎn)由三點(diǎn)共線尋找縱坐標(biāo)關(guān)系,快速找到直線過定點(diǎn)，省去聯(lián)立過程,也不失為一種簡化運(yùn)

算的好方法.

9.（2022?全國?高考真題）已知橢圓￡的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為了軸、y軸，且過八（0,-2）,哈，-1）兩

點(diǎn).

（1）求〃的方程；

⑵設(shè)過點(diǎn)網(wǎng)1,-2）的直線交E干M,N兩點(diǎn),過J/且平行于x軸的直線與線段47交于點(diǎn)7；點(diǎn)〃滿足

MT=TH,證明：直線〃V過定點(diǎn).

【答案】⑴『卜

(2)(0,-2)

【分析】（1）將給定點(diǎn)代入設(shè)出的方程求解即可;

（2）設(shè)出直線方程,與橢圓C的方程聯(lián)立,分情況討論斜率是否存在，即可得解.

【詳解】⑴解：設(shè)橢圓〃的方程為加+/=1,過小0,-2）,嗚,-1）,

4〃=1

則’91，解得〃]=[〃=：

—m+n=\34

14

所以橢圓〃的方程為：￡+二=1.

43

32

⑵A(0.-2),fi(--1)，所以AB:y+2=§

①若過點(diǎn).P。，-2）的直線斜率不存在,直線x=l.代入土+上=1,

34

可得M（l,—半），N（l,孚），代入［8方程y=|x-2,可得

?。ㄒ徊?3,—半），由MT=777得至明（一2"+5,—半）.求得〃V,方程:

y=(2+12,過點(diǎn)。-2）.

②若過點(diǎn)尸（12）的直線斜率存在，設(shè)公僅+2）=0,M（M，X）,N（J￡）.

kx-y-(k+2)=0

聯(lián)立x22，得(3公+4)x2-6k(2+k)x+3k(k+4)=0,

—+-y-1

I34

64(2+1)「8(2+4)

%+為51必3公+4

3k2+4

可得

3k(4+k)，4(4+44-2二1

33+4y%=-弘2+4

-24k

且百'k—L/毒（*）

y=y

聯(lián)立2r，可得丁(孕+女y),"i3M+6-M

y=-x-22

可求得此時(shí)HN:），一％=（X_X2）,

將(a-2)，代入整理得2(&+七)-6(?—%)+N必+于y_3yly2T2=0,

將（*）代入，得24k+12公+96+4弘-242-48-482+24公-36k2-48=0,

顯然成立，

綜上,可得直線/加過定點(diǎn)（。,-2）.

【點(diǎn)睛】求定點(diǎn)、定值問題常見的方法有兩種：

①從特殊入手,求出定值,再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；

②直接推理、計(jì)算,并在計(jì)算推理的過程中消去變量,從而得到定值.

10.（2022?北京?高考真題）已知橢圓E：:+￡=1（。＞〃＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)為AC0.1）,焦距為2右.

a'b'

⑴求橢圓￡的方程；

（2）過點(diǎn)P（-2.1）作斜率為k的直線與橢圓〃交于不同的兩點(diǎn)8,Ct直線他力。分別與x軸交于點(diǎn)禮N,當(dāng)

I仞V1=2時(shí)，求左的值.

【答案】⑴二+），2=1

4

⑵A7

b=l

【分析】（1）依題意可得2c=26，即可求出。，從而求出橢圓方程；

c2=a2-b:

⑵首先表示出直線方程，設(shè)8（如州）、。（&,力），聯(lián)立直線與橢圓方程，消元列出韋達(dá)定理，由直線從3、

4C的方程,表示出/、小，根據(jù)|叫=|,5-%|得到方程，解得即可；

【詳解】⑴解:依題意可得力=1,2C=2G,又。2=/一從，

所以。=2,所以橢圓方程為《+），=1;

4

（2）解：依題意過點(diǎn)P（一2,1）的直線為y—l=k（x+2）,設(shè)3（x5）、。國心），不妨令

y_]=A（x+2）

消去）'整理得0+4公）f+（16攵2+8k）x+16/+I6A=O,

由，X221

一+V=1

14

所以A=（l6k2+8Q」—4（1+軟2）（16女2+16女）＞0,解得左＜0,

16k2+8k16二+16左

所以X

+x2=-\+4k2'%占-1+4公，

直線A8的方程為yT=』二」X,令y=。，解得/=J-

直線AC的方程為y-1=-》,令尸。，解得心=產(chǎn)

x,1-y2

所以|例川=|/-%|="^---^-

［一必?一y

X,

1-[4(*2+2)+1]?一[&($+2)+1]

當(dāng)

T(x>+2)k(.q+2)

_(*+2)N72(X+2)

&(占+2)(馬+2)

2%一占|

1磯毛+2）（演+2）

所以后一到=|磯Z+2）（百+2）,

即+「2丫―4=七=岡[超為+2(%+$)+4]

'16芯+8女、/16公+16攵I,.16公+16攵J16公+弘

即-4x-------=\k\+2------;-+4

―_1+4公」1+4/\+4k21+叱

即/（1+附（八曲=黑06k2+16〃

7-2(16/+8A)+4(1+軟2)]

整理得8口=4閡，解得左二T

11.（2021?天津?高考真題）已知橢圓*+￡-的右焦點(diǎn)為尸，上頂點(diǎn)為A,離心率為半，旦

\BF\=45.

（D求橢圓的方程；

（2）直線/與橢圓有唯一的公共點(diǎn)M,與V軸的正半軸交于點(diǎn)N,過N與A尸垂直的直線交x軸于點(diǎn)P.若

凡求直線/的方程.

【答案】⑴］+9=］；⑵1_），+灰=0

【分析】（1）求出。的值,結(jié)合。的值可得出b的值,進(jìn)而可得出橢圓的方程;

⑵設(shè)點(diǎn)"（線，兒），分析出直線/的方程為苦+耳3=1,求出點(diǎn)P的坐標(biāo),根據(jù)M/力班'可得出M=%、求出

與、先的值，即可得出直線/的方程.

【詳解】⑴易知點(diǎn)尸（c,0）、B（o力），故|BF|=V?壽=＜=石,

因?yàn)闄E圓的離心率為e=￡=偵，故c=2,8=J7二7=I,

a5

因此橢圓的方程為《+尸=|.

5

⑵設(shè)點(diǎn).?/（%幾）為橢圓1+/=1上一點(diǎn)，

先證明直線MN的方程為號(hào)+為曠=I,

聯(lián)立,消去y并整理得V-2x°x+x；=0,△=4x：-4片=0,

因此橢圓］+），2=1在點(diǎn)必住，幾）處的切線方程為專+），”=I.

直線所的斜率為尢，=-2=、，所以,直線PN的方程為y=2x+—,

c2Jo

在宜線PN的方程中，令y=（）,可得”=一；，即點(diǎn)尸

.2y；=1

因?yàn)镸P//BF,則即二T一詬方一段，整理可得小+5%）2=0,

所以,%=-5＞，（＞,因?yàn)轼B+犬=6），：=「』＞0,故），0=也%=-地,

566

所以，直線/的方程為-巫X+在y=1,即x-y+G=0.

66

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：在利用橢圓的切線方程時(shí)，一般利用以下方法進(jìn)行直線:

⑴設(shè)切線方程為），="+〃，與橢圓方程聯(lián)立，由A=0進(jìn)行求解;

⑵橢圓J+￡=1在其上一點(diǎn)(Xo，)b)的切線方程為等+等=1,再應(yīng)用此方程時(shí)，首先應(yīng)證明直線

滬爺"橢吟+a相切.

12.(2021-全國?高考真題)己知橢圓。的方程為=\{a>〃>0),右焦點(diǎn)為r(3,0),且離心率為

旦

3

(1)求橢圓。的方程;

⑵設(shè)MA，是橢圓。上的兩點(diǎn)，直線與曲線Y+y2=〃(％>0)相切.證明：此川下三點(diǎn)共線的充要條件

是|MN|=>/J.

【答案】(1)[+):=1；(2)證明見解析.

【分析】(1)由離心率公式可得。=白,進(jìn)而可得從，即可得解;

(2)必要性：由三點(diǎn)共線及直線與圓柱切可得直線方程,聯(lián)立直線與橢圓方程可證|MN|=G；

充分性：設(shè)直線(如〈0),由直線與圓相切得>=公+],聯(lián)立直線與橢圓方程結(jié)合弦長公式

可得ViTM.蟲廿二白，進(jìn)而可得g士i,即可得解.

1+3/

【詳解】⑴由題意，橢圓半焦距c=&且e=￡=立，所以4=6,

a3

又戶=1—。2=],所以橢圓方程為1+),2=]；

(2)臼(1)得，曲線為x2+y2=l(x>0),

當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí),直線MN:x=l,不合題意；

當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí),設(shè)M(X，y)，N(w，%)，

必要性:

若M八"三點(diǎn)共線,可設(shè)直線MN:y=-近)即權(quán)-y-標(biāo)=0,

由直線MN與曲線W+產(chǎn)=l(v>0)相切可得J^L=|,解得A=±1,

y=±(x-⑹

聯(lián)立;2,可得4%2_6?1+3=0,所以M+占3

浮f4

所以|MN|=>/[7]]（占+々1―4$4=G,

所以必要性成立；

充分性：設(shè)直線MN:y=kx+m,[hn<0）即kx-y+/〃=0,

l/nl

由直線MN與曲線/+爐=13>0)相切可得-^」=1,所以/=&2+|,

yJk2+\

y=kx+m

2

聯(lián)立〈x、可得（1十3A）/+6k/tix+3〃/-3=0,

§+5=i

uui、i6km3/n2-3

所以百十XL-E'FF=K

3病-3

所以（）2）X.

|A/N|=Jl+-2-^Xj+.V2-4x=J1+：；；

1+3必

=標(biāo)售3

化簡得3儼-1『一0,所以4—JJ,

k--\

,=

所以—或i廣，所以直線MN:1y=x-0?k>-x+V2,

m--41m=>J2

所以直線MN過點(diǎn)F(>/2.0)..IZ、；廠三點(diǎn)共線，充分性成立;

所以M三點(diǎn)共線的充要條件是|MN|=6.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：

解決本翹的關(guān)鍵是直線方程與橢圓方程聯(lián)立及韋達(dá)定理的應(yīng)用，注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性是解題的重中之重.

13.(2021?浙江?高考真題)如圖，已知尸是拋物線)?=2內(nèi)(〃>0)的焦點(diǎn)，”是拋物線的準(zhǔn)線與*軸的交

點(diǎn)，且|明=2,

（1）求拋物線的方程；

⑵設(shè)過點(diǎn)外的直線交拋物線與力、〃兩點(diǎn),斜率為2的直線/與直線MA,MB,AB,x軸依次交于點(diǎn)f\Q&N,

且|RN『=|PNHQN|,求直線/在x軸上截距的范圍.

【答案】⑴/=4x;⑵（-oo,-7-46］U卜7+46,1>J（l,+oo）.

【分析】（1）求出〃的值后可求拋物線的方程.

（2）方法一：設(shè)八8"=）+1,4（不蘆）,8（占,%），N（兒0）,聯(lián)立直線相的方程和拋物線的方程后可得

=+北=今，求出直線MA,MB的方程,聯(lián)立各直線方程可求出外,用,以，根據(jù)題設(shè)條件可得

二從而可求〃的范圍，

（2/-1）

【詳解】⑴因?yàn)閨Mq=2,故〃=2,投拋物線的方程為：尸=4乩

（2）［方法一］:通式通法

設(shè)八B:x=）+1,A（N，y）,或庫,2），N（幾0）,

所以直線/：戈二弓+〃，由題設(shè)可得〃H1且L1

乙4

山，c”可得>2-40-4=0,故=-4,乂+必=4/,

?v?=4x

因?yàn)閨RN『=|尸N|.|QN|,故

y=—^―(.v+l),、

E可得“哭學(xué),

又M4:y-(x+1),由

x1+123+2r

2

同理

X

22+2—y2

x=ty+\

2(〃T)

由.可+〃可得X

2/-I

[2(〃+1)%>2(〃+l)y

所以

2%2+2-)？2&+2-y

整理得到=(21)2

(2x2+2-y,)(2x1+2-y1),

4(21y

2+2-%

272B-JI

4(2-1)-⑵『

223+4產(chǎn)

苧+(%+，『-)'2)1-xy%-2(力+力)+4

2_3+4產(chǎn)

故=(WJ

V4-1

令s=27—1,則/=fl.sH0,

lf3+4〃H+2S+4t2433

故7——1=———=!+-+—

(2/-1)-bss-44一4'

(n+\3即,

1〃-1/72*+14??+1>0

故

"1

解得〃工一7-46或一7+464〃<1或〃>1.

故包線/在x軸上的截距的范圍為〃4-7-46或一7+4G?〃<l或〃>1.

［方法二］:利用焦點(diǎn)弦性質(zhì)

設(shè)直線A8的方程為X=勺），+1,直線的方程為/=&了-1,直線的方程為工=%歹-1,直線/的方程為

X=《+〃?,AI，N(〃?,0),由題設(shè)可得Ww1且用工J.

由"得)2-4勺y-4=0,所以*+y2=4K,y[y2=-4.

y——■AT

尤+1

因?yàn)殓?且一=n+」_￡=&+-!_，

>14y-4乃

.?國+右=叢十_L+近十_L=—正十%上必=勺_勺=。

‘4^4%4)，跖’

+L叱江+，」7：一.

4)‘跖，為2

x=k2y-\,機(jī)+1

由，y

x=—+m

2

w+1

同理一r.

1a

x=k}y+\,

由y得)，=

x=—+m

2

因?yàn)閘/WfWPNHQNL

(M+1)2_(m+l)2

所以%=一力?%即T

k.--

'2>

令”用一；,則r+/+1i1,十字

―;-=-+-+!=+

7i44

所以"Ik"」解得心7-46或-7+4石"<1或">1.

故直線/在x軸上的截距的范圍為(HO,-7-48)J—7+46』)J(1,+?>).

［方法三］【最優(yōu)解】：

設(shè)44,2^3>0)192,2〃)，

由AFI三點(diǎn)共線得當(dāng)2=3=3,即必=—l.

b~-cra