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文檔簡介

第85講計(jì)數(shù)原理

知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)1、分類加法計(jì)數(shù)原理

完成一件事,有類辦法,在第類辦法中有種不同的辦法,在第類辦法中有種

n1m12m2

不同的方法,,在第類辦法中有種不同的方法,那么完成這件事共有:

…nmn

種不同的方法.

Nm1m2mn

知識(shí)點(diǎn)2、分步乘法計(jì)數(shù)原理

完成一件事,需要分成個(gè)步驟,做第步有種不同的方法,做第步有種不同

n1m12m2

的方法,,做第步有種不同的方法,那么完成這件事共有:種不同

…nmnNm1m2mn

的方法.

注意:兩個(gè)原理及其區(qū)別

分類加法計(jì)數(shù)原理和“分類”有關(guān),如果完成某件事情有n類辦法,這n類辦法之間是互

斥的,那么求完成這件事情的方法總數(shù)時(shí),就用分類加法計(jì)數(shù)原理.

分步乘法計(jì)數(shù)原理和“分步”有關(guān),是針對(duì)“分步完成”的問題.如果完成某件事情有n個(gè)

步驟,而且這幾個(gè)步驟缺一不可,且互不影響(獨(dú)立),當(dāng)且僅當(dāng)依次完成這n個(gè)步驟后,

這件事情才算完成,那么求完成這件事情的方法總數(shù)時(shí),就用分步乘法計(jì)數(shù)原理.

當(dāng)然,在解決實(shí)際問題時(shí),并不一定是單一應(yīng)用分類計(jì)數(shù)原理或分步計(jì)數(shù)原理,有時(shí)可

能同時(shí)用到兩個(gè)計(jì)數(shù)原理.即分類時(shí),每類的方法可能運(yùn)用分步完成;而分步后,每步的方

法數(shù)可能會(huì)采取分類的思想求方法數(shù).對(duì)于同一問題,我們可以從不同的角度去處理,從而

得到不同的解法(但方法數(shù)相同),這也是檢驗(yàn)排列組合問題的很好方法.

知識(shí)點(diǎn)3、兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用

如果完成一件事的各種方法是相互獨(dú)立的,那么計(jì)算完成這件事的方法數(shù)時(shí),使用分類

計(jì)數(shù)原理.如果完成一件事的各個(gè)步驟是相互聯(lián)系的,即各個(gè)步驟都必須完成,這件事才告

完成,那么計(jì)算完成這件事的方法數(shù)時(shí),使用分步計(jì)數(shù)原理.

必考題型全歸納

題型一:分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用

例1.(2024·全國·高三專題練習(xí))如果一條直線與一個(gè)平面垂直,那么稱此直線與平面構(gòu)成

一個(gè)“正交線面對(duì)”.在一個(gè)正方體中,由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的

“正交線面對(duì)”的個(gè)數(shù)是()

A.48B.18C.24D.36

【答案】D

【解析】正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線有棱、面對(duì)角線、體對(duì)角線,

對(duì)于每一條棱,都可以與兩個(gè)側(cè)面構(gòu)成“正交線面對(duì)”,這樣的“正交線面對(duì)”有21224(個(gè));

對(duì)于每一條面對(duì)角線,都可以與一個(gè)對(duì)角面構(gòu)成“正交線面對(duì)”,這樣的“正交線面對(duì)”有12

個(gè),

不存在四個(gè)頂點(diǎn)確定的平面與體對(duì)角線垂直,

所以正方體中“正交線面對(duì)”共有241236(個(gè)).

故選:D

例2.(2024·四川成都·雙流中學(xué)??寄M預(yù)測(cè))如圖,小黑圓表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點(diǎn),結(jié)點(diǎn)之間的

連線表示它們有網(wǎng)線相連.連線上標(biāo)注的數(shù)字表示該段網(wǎng)線單位時(shí)間內(nèi)可以通過的最大信息

量.現(xiàn)從結(jié)點(diǎn)A向結(jié)點(diǎn)B傳遞信息()

A.26B.24C.20D.19

【答案】D

【解析】根據(jù)題意,結(jié)合圖形知,

從A到B傳播路徑有4條,如圖所示;

途徑①傳播的最大信息量為3,途徑②傳播的最大信息量為4;

途徑③傳播的最大信息量為6,途徑④傳播的最大信息量為6;

所以從A向B傳遞信息,單位時(shí)間內(nèi)傳遞的最大信息量為346619,

故選:D.

例3.(2024·江蘇鎮(zhèn)江·高三揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)??茧A段練習(xí))定義:“各位數(shù)字之和為7

的四位數(shù)叫好運(yùn)數(shù)”,比如1006,2203,則所有好運(yùn)數(shù)的個(gè)數(shù)為()

A.82B.83C.84D.85

【答案】C

【解析】因?yàn)楦魑粩?shù)字之和為7的四位數(shù)叫好運(yùn)數(shù),所以按首位數(shù)字分別計(jì)算:

當(dāng)首位數(shù)字為7,則剩余三位數(shù)分別為0,0,0,共有1個(gè)好運(yùn)數(shù);

當(dāng)首位數(shù)字為6,則剩余三位數(shù)分別為1,0,0,共有3個(gè)好運(yùn)數(shù);

當(dāng)首位數(shù)字為5,則剩余三位數(shù)分別為1,1,0或2,0,0,共有336個(gè)好運(yùn)數(shù);

3

當(dāng)首位數(shù)字為4,則剩余三位數(shù)分別為3,0,0或2,1,0或1,1,1,共有3A3110個(gè)

好運(yùn)數(shù);

當(dāng)首位數(shù)字為3,則剩余三位數(shù)分別為4,0,0或3,1,0或2,2,0或2,1,1,

3

共有3A33315個(gè)好運(yùn)數(shù);

當(dāng)首位數(shù)字為2,則剩余三位數(shù)分別為5,0,0或4,1,0或3,2,0或3,1,1或2,2,

1,

33

共有3A3A33321個(gè)好運(yùn)數(shù);

當(dāng)首位數(shù)字為1,則剩余三位數(shù)分別為6,0,0或5,1,0或4,2,0或4,1,1或3,3,

0或3,2,1或2,2,2,

333

共有3A3A333A3128個(gè)好運(yùn)數(shù);

所以共有1361015212884個(gè)好運(yùn)數(shù),

故選:C

變式1.(2024·全國·高三專題練習(xí))從1,2,3,4,5,6中選取4個(gè)數(shù)字,組成各個(gè)數(shù)位

上的數(shù)字既不全相同,也不兩兩互異的四位數(shù),記四位數(shù)中各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字從左往右依次

為a,b,c,d,且要求abcd,則滿足條件的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為.

【答案】105

2

【解析】由題意可知,只用2個(gè)不同的數(shù)字時(shí),有C615(種)選法,

按照位數(shù)要求,每種數(shù)字組合組成的符合要求的四位數(shù)有3個(gè),比如數(shù)字1和2,可以構(gòu)成

的四位數(shù)有1222,1122,1112,所以共有15345(個(gè))符合要求的四位數(shù).

3

只用3個(gè)不同的數(shù)字時(shí),有C620(種)選法,

按照位數(shù)要求,每種數(shù)字組合組成的符合要求的四位數(shù)有3個(gè),比如數(shù)字1,2,3,可以構(gòu)

成的四位數(shù)有1123,1223,1233,所以共有20360(個(gè))符合要求的四位數(shù).

故符合要求的四位數(shù)總共有4560105(個(gè)).

故答案為:105

變式2.(2024·全國·高三專題練習(xí))已知直線方程AxBy0,若從0、1、2、3、5、7這

六個(gè)數(shù)中每次取兩個(gè)不同的數(shù)分別作為A、B的值,則AxBy0可表示條不同的

直線.

【答案】22

【解析】當(dāng)A0時(shí),可表示1條直線;當(dāng)B0時(shí),可表示1條直線;

當(dāng)AB0時(shí),A有5種選法,B有4種選法,可表示5420條不同的直線.

由分類加法計(jì)數(shù)原理,知共可表示112022條不同的直線.

故答案為:22

變式3.(2024·遼寧·高三校聯(lián)考開學(xué)考試)某迷宮隧道貓爬架如圖所示,B,C為一個(gè)長方

體的兩個(gè)頂點(diǎn),A,B是邊長為3米的大正方形的兩個(gè)頂點(diǎn),且大正方形由完全相同的9

小正方形拼成.若小貓從A點(diǎn)沿著圖中的線段爬到B點(diǎn),再從B點(diǎn)沿著長方體的棱爬到C點(diǎn),

則小貓從A點(diǎn)爬到C點(diǎn)可以選擇的最短路徑共有條.

【答案】120

【解析】小貓要從A點(diǎn)爬到C點(diǎn),需要先從A點(diǎn)爬到B點(diǎn),需要走3橫3豎,則可選的路徑

3

共有C620條,

再從B點(diǎn)爬到C點(diǎn)的路徑共6條,用分步乘法計(jì)數(shù)原理可得小貓可以選擇的最短路徑有

20×6=120條.

故答案為:120.

【解題方法總結(jié)】

分類標(biāo)準(zhǔn)的選擇

(1)應(yīng)抓住題目中的關(guān)鍵詞、關(guān)鍵元素、關(guān)鍵位置.根據(jù)題目特點(diǎn)恰當(dāng)選擇一個(gè)分類

標(biāo)準(zhǔn).

(2)分類時(shí)應(yīng)注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類,并且分別屬于不同

種類的兩種方法是不同的方法,不能重復(fù),但也不能有遺漏.

題型二:分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用

例4.(2024·廣東深圳·高三??茧A段練習(xí))甲、乙、丙3個(gè)公司承包6項(xiàng)不同的工程,甲承

包1項(xiàng),乙承包2項(xiàng),丙承包3項(xiàng),則共有種承包方式(用數(shù)字作答).

【答案】60

1

【解析】由題意得,不同的承包方案分步完成,先讓甲承包1項(xiàng),有C66種,再讓乙承包

2

2項(xiàng),有C510,剩下的3項(xiàng)丙承包,

所以由分步乘法原理可得共有61060種方案,

故答案為:60

例5.(2024·全國·高三專題練習(xí))若一個(gè)三位數(shù)同時(shí)滿足:①各數(shù)位的數(shù)字互不相同;②任

意兩個(gè)數(shù)位的數(shù)字之和不等于9,則這樣的三位數(shù)共有個(gè).(結(jié)果用數(shù)字作答)

【答案】432

【解析】從百位開始討論:

(1)百位數(shù)字為1,十位數(shù)字有0,2,3,4,5,6,7,9,(除1,8外所有數(shù)字);

當(dāng)十位數(shù)字為0時(shí),個(gè)位數(shù)字為2,3,4,5,6,7,(除1,0,8,9外所有數(shù)字),所以對(duì)應(yīng)的三位數(shù)

有8648種;

(2)百位數(shù)字為2,3,4,5,6,7,8,9,情況同(1);

綜上這樣的三位數(shù)共有:948432種;

故答案為:432.

例6.(2024·安徽亳州·高三蒙城第一中學(xué)??茧A段練習(xí))將3名男生,2名女生排成一排,

要求男生甲必須站在中間,2名女生必須相鄰的排法種數(shù)有()

A.4種B.8種C.12種D.48種

【答案】B

【解析】先讓甲站好中間位置,再讓2名女生相鄰有兩種選法,最后再排剩余的2名男生,

22

根據(jù)分步乘法原理得,有2A2A28種不同的排法.

故選:B

變式4.(2024·四川成都·高三統(tǒng)考開學(xué)考試)“數(shù)獨(dú)九宮格”原創(chuàng)者是18世紀(jì)的瑞士數(shù)學(xué)家

歐拉,它的游戲規(guī)則很簡單,將1到9這九個(gè)自然數(shù)填到如圖所示的小九宮格的9個(gè)空格里,

每個(gè)空格填一個(gè)數(shù),且9個(gè)空格的數(shù)字各不相同,若中間空格已填數(shù)字5,且只填第二行和

第二列,并要求第二行從左至右及第二列從上至下所填的數(shù)字都是從小到大排列的,則不同

的填法種數(shù)為()

A.72B.108

C.144D.196

【答案】C

【解析】按題意,5的上方和左邊只能從1,2,3,4中選取,5的下方和右邊只能從6,7,

8,9中選?。谝徊?,填上方空格,有4種方法;第二步,填左方空格,有3種方法;第

三步,填下方空格,有4種方法;第四步,填右方空格,有3種方法.

由分步計(jì)數(shù)原理得,填法總數(shù)為4343144.

故選:C.

變式5.(2024·全國·高三專題練習(xí))三棱柱各面所在平面將空間分成不同部分的個(gè)數(shù)為()

A.18B.21C.24D.27

【答案】B

【解析】三棱柱的三個(gè)側(cè)面將空間分成7部分,三棱柱的兩個(gè)底面將空間分成3部分.

故三棱柱各面所在平面將空間分成不同部分的個(gè)數(shù)為3721.

故選:B.

變式6.(2024·河北石家莊·高三校聯(lián)考期中)臨近春節(jié),某校書法愛好小組書寫了若干副春

聯(lián),準(zhǔn)備贈(zèng)送給四戶孤寡老人.春聯(lián)分為長聯(lián)和短聯(lián)兩種,無論是長聯(lián)或短聯(lián),內(nèi)容均不相

同.經(jīng)過調(diào)查,四戶老人各戶需要1副長聯(lián),其中乙戶老人需要1副短聯(lián),其余三戶各要2

副短聯(lián).書法愛好小組按要求選出11副春聯(lián),則不同的贈(zèng)送方法種數(shù)為()

A.15120B.7560C.12520D.12160

【答案】A

4

【解析】4副長聯(lián)內(nèi)容不同,贈(zèng)送方法有A424種;

1

從剩余的7副短聯(lián)中選出1副贈(zèng)送給乙戶老人,有A77種方法,

再將剩余的6副短聯(lián)平均分為3組,最后將這3組贈(zèng)送給三戶老人,

C2C2C2

6423222

方法種數(shù)為3A3C6C4C290.

A3

所以所求方法種數(shù)為2479015120.

故選:A

變式7.(2024·北京東城·高三北京市廣渠門中學(xué)校考開學(xué)考試)魚缸里有8條熱帶魚和2條

冷水魚,為避免熱帶魚咬死冷水魚,現(xiàn)在把魚缸出孔打開,讓魚隨機(jī)游出,每次只能游出1

條,直至2條冷水魚全部游出就關(guān)閉出孔,若恰好第3條魚游出后就關(guān)閉了出孔,則不同游

出方案的種數(shù)為()

A.16B.32C.36D.48

【答案】B

【解析】由題意得,前2條魚游出1條冷水魚,1條熱帶魚,第3條為另一條冷水魚,

11

先選出一條熱帶魚,有C8種,再選出一條冷水魚,有C2種,

兩條魚可在第一條魚和第二條魚順序上進(jìn)行全排列,

112

則不同游出方案的種數(shù)為C8C2A232.

故選:B

變式8.(2024·湖南·高三臨澧縣第一中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試)在如圖所示的表格中填寫1,2,

3三個(gè)數(shù)字,要求每一行、每一列均有這3個(gè)數(shù)字,則不同的填法種數(shù)為().

A.6B.9C.12D.18

【答案】C

3

【解析】先填第一行,有A36種填法;再填第二行,有2種填法;最后填第三行,只有1種

填法;

不同的填法種數(shù)為62112種.

故選:C.

變式9.(2024·黑龍江佳木斯·高三??奸_學(xué)考試)甲、乙分別從4門不同課程中選修1門,

且2人選修的課程不同,則不同的選法有()種.

A.6B.8C.12D.16

【答案】C

【解析】甲從4門課程中選擇1門,有4種選法;乙再從甲未選的課程中選擇1門,有3種選

法;

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得:不同的選法有4312種.

故選:C.

變式10.(2024·陜西西安·西安市第三十八中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè))從六人(含甲)中選四人完

成四項(xiàng)不同的工作(含翻譯),則甲被選且甲不參加翻譯工作的不同選法共有()

A.120種B.150種C.180種D.210種

【答案】C

【解析】依題意可得,甲需從除翻譯外的其他三項(xiàng)工作中任選一項(xiàng),有3種選法,

3

再從其余五人中選三人參加剩下的三項(xiàng)工作,有A560種選法,

3

所以滿足條件的不同選法共有3A5180種.

故選:C

變式11.(2024·貴州黔東南·凱里一中??寄M預(yù)測(cè))某足球比賽有A,B,C,D,E,F(xiàn),

G,H,J共9支球隊(duì),其中A,B,C為第一檔球隊(duì),D,E,F(xiàn)為第二檔球隊(duì),G,H,

J為第三檔球隊(duì),現(xiàn)將上述9支球隊(duì)分成3個(gè)小組,每個(gè)小組3支球隊(duì),若同一檔位的球隊(duì)

不能出現(xiàn)在同一個(gè)小組中,則不同的分組方法有()

A.27種B.36種C.72種D.144種

【答案】B

【解析】根據(jù)題意,先排A,B,C,共有1種排法;

3

再排D,E,F,共有A36種不同的排法;

3

最后排G,H,J,共有A36種不同的排法,

由分步計(jì)數(shù)原理得,共有16636種不同的排法.

故選:B.

【解題方法總結(jié)】

利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解題的策略

(1)明確題目中的“完成這件事”是什么,確定完成這件事需要幾個(gè)步驟,且每步都是

獨(dú)立的.

(2)將這件事劃分成幾個(gè)步驟來完成,各步驟之間有一定的連續(xù)性,只有當(dāng)所有步驟

都完成了,整個(gè)事件才算完成.

題型三:兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用

例7.(2024·全國·高三專題練習(xí))第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)于6月26日至7月7日在成

都舉辦,現(xiàn)在從6男4女共10名青年志愿者中,選出3男2女共5名志愿者,安排到編號(hào)為1、

2、3、4、5的5個(gè)賽場(chǎng),每個(gè)賽場(chǎng)只有一名志愿者,其中女志愿者甲不能安排在編號(hào)為1、

2的賽場(chǎng),編號(hào)為2的賽場(chǎng)必須安排女志愿者,那么不同安排方案有()

A.1440種B.2352種C.2880種D.3960種

【答案】D

【解析】分以下兩種情況討論:

31

①女志愿者甲被選中,則還需從剩余的9人中選出3男1女,選法種數(shù)為C6C360,

則女志愿者甲可安排在3號(hào)或4號(hào)或5號(hào)賽場(chǎng),另一位女志愿者安排在2號(hào)賽場(chǎng),

3

余下3個(gè)男志愿者隨意安排,此時(shí),不同的安排種數(shù)為603A31080;

32

②女志愿者甲沒被選中,則還需從剩余9人中選出3男2女,選法種數(shù)為C6C360,

編號(hào)為2的賽場(chǎng)必須安排女志愿者,只需從2名女志愿者中抽1人安排在2號(hào)賽場(chǎng),

4

余下4人可隨意安排,此時(shí),不同的安排方法種數(shù)為602A42880.

由分類加法計(jì)數(shù)原理可知,不同的安排方法種數(shù)為108028803960種.

故選:D.

例8.(2024·江蘇南京·高三校聯(lián)考階段練習(xí))從2位男生,3位女生中安排3人到三個(gè)場(chǎng)館

做志愿者,每個(gè)場(chǎng)館各1人,且至少有1位男生入選,則不同安排方法有()種

A.16B.36C.54D.96

【答案】C

123

【解析】當(dāng)選擇一個(gè)男生,二個(gè)女生時(shí),不同的安排方法有C2C3A336;

213

當(dāng)選擇二個(gè)男生,一個(gè)女生時(shí),不同的安排方法有C2C3A318,

所以不同安排方法有361854種,

故選:C

例9.(2024·上海黃浦·高三上海市敬業(yè)中學(xué)??奸_學(xué)考試)三位同學(xué)參加跳高、跳遠(yuǎn)、鉛球

項(xiàng)目的比賽,若每人只選擇一個(gè)項(xiàng)目,則同一個(gè)項(xiàng)目最多只有2人參賽的情況共有種.

【答案】24

【解析】三位同學(xué)參加跳高、跳遠(yuǎn)、鉛球項(xiàng)目的比賽,若每人只選擇一個(gè)項(xiàng)目,

同一個(gè)項(xiàng)目最多只有2人參賽有以下兩種情況:①同一個(gè)項(xiàng)目有且僅有兩人選擇;②每個(gè)項(xiàng)

目分別只有一人選擇;

211

有且僅有兩人選擇的項(xiàng)目完全相同有C3C3C218種;

3

每個(gè)項(xiàng)目分別只有一人選擇;A36種;

故同一個(gè)項(xiàng)目最多只有2人參賽的情況共有18624種.

故答案為:24.

變式12.(2024·廣東·高三河源市河源中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))現(xiàn)有5名同學(xué)從北京、上海、

深圳三個(gè)路線中選擇一個(gè)路線進(jìn)行研學(xué)活動(dòng),每個(gè)路線至少1人,至多2人,其中甲同學(xué)不

選深圳路線,則不同的路線選擇方法共有種.(用數(shù)字作答)

【答案】60.

【解析】每個(gè)路線至少1人,至多2人,則一個(gè)路線1人,另外兩個(gè)路線各2人,

12

若甲同學(xué)單獨(dú)1人時(shí),有C2C412種不同的選法;

1112

若甲同學(xué)與另外一個(gè)同學(xué)一起,則有C4C2C3A248種不同的選法,

則不同的選擇方法有60種.

故答案為:60.

變式13.(2024·浙江·高三舟山中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試)杭州亞運(yùn)會(huì)舉辦在即,主辦方開始對(duì)

志愿者進(jìn)行分配.已知射箭場(chǎng)館共需要6名志愿者,其中3名會(huì)說韓語,3名會(huì)說日語.目

前可供選擇的志愿者中有4人只會(huì)韓語,5人只會(huì)日語,另外還有1人既會(huì)韓語又會(huì)日語,

則不同的選人方案共有種.(用數(shù)字作答).

【答案】140

3321

【解析】若從只會(huì)韓語中選3人,則C4C5+C5C142080種,

213

若從只會(huì)韓語中選2人,則C4C1C561060種,

故不同的選人方案共有6080140種.

故答案為:140.

變式14.(2024·江蘇揚(yáng)州·高三儀征中學(xué)??茧A段練習(xí))已知如圖所示的電路中,每個(gè)開關(guān)

都有閉合、不閉合兩種可能,因此5個(gè)開關(guān)共有25種可能,在這25種可能中,電路從P到

Q接通的情況有種.

【答案】16

【解析】若電路從P到Q接通,共有三種情況:

(1)若1閉合,而4不閉合時(shí),可得分為:

①若1、2閉合,而4不閉合,則3、5可以閉合也可以不閉合,共有224種情況;

②若1、3、5閉合,而4不閉合,則2可以閉合也可以不閉合,有2種情況,

但①與②中都包含1、2、3、5都閉合,而4不閉合的情況,所以共有4215種情況;

(2)若4閉合,而1不閉合時(shí),可分為:

③若4、5閉合,而1不閉合,則2、3可以閉合也可以不閉合,有224種情況;

④若4、3、2閉合,而1不閉合,則5可以閉合也可以不閉合,有2種情況,

但③與④中,都包含4、2、3、5都閉合,而1不閉合的情況,所以共有4215種情況;

(3)若1、4都閉合,共有2228種情況,而其中電路不通有2、3、5都不閉合與2、

5都不閉合2種情況,則此時(shí)電路接通的情況有826種情況;

所以電路接通的情況有55616種情況.

故答案為:16.

變式15.(2024·湖北·高三校聯(lián)考開學(xué)考試)從

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