2025年高考數(shù)學(xué)必刷題分類：第70講、弦長問題（學(xué)生版）

第70講弦長問題

知識梳理

1、弦長公式的兩種形式

①若A，B是直線ykxm與圓錐曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，且由兩方程消去y后得到一元二

次方程px2qxr0，則PQ1k2xx1k2．

12|p|

②若A，B是直線xmyn與圓錐曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，且由兩方程消去x后得到一元二

次方程py2qyr0，則AB1m2yy1m2．

AB|p|

必考題型全歸納

題型一：弦長問題

例1．（2024·陜西西安·西安市大明宮中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知直線l與圓O:x2y21相切，

x2y26

且交橢圓C:1于Ax1,y1,Bx2,y2兩點(diǎn)，若y1y2，則|AB|．

437

x2π

例2．（2024·全國·高三對口高考）已知橢圓y21，過左焦點(diǎn)F作傾斜角為的直線交

96

橢圓于A、B兩點(diǎn)，則弦AB的長為．

x2y2

例3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C:1(ab0)，C的上頂點(diǎn)為A，兩

a2b2

1

個(gè)焦點(diǎn)為F，F(xiàn)，離心率為．過F且垂直于AF的直線與C交于，兩點(diǎn)，V的

12212DEADE

周長是13，則DE．

x2

變式1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線C：y21，若直線l的傾斜角為60°，

3

3

且與雙曲線C的右支交于M，N兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)P，若MN，則點(diǎn)P的坐標(biāo)

2

為.

22

變式2．（2024·貴州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知雙曲線C:xmy1m0的左、右焦點(diǎn)分別為F1，

F2，點(diǎn)A，B分別在雙曲線C的左支與右支上，且點(diǎn)A，B與點(diǎn)F2共線，若

AB:AF1:BF12:2:3，則AB.

變式3．（2024·四川巴中·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：過焦點(diǎn)的光線經(jīng)拋物

線反射后得到的光線平行于拋物線的對稱軸；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物

線反射后必過拋物線的焦點(diǎn)．已知拋物線y24x的焦點(diǎn)為F，一條平行于x軸的光線從點(diǎn)

A5,4射出，經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)B反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點(diǎn)C射出，則

BC．

變式4．（2024·河南鄭州·高三鄭州外國語學(xué)校校考階段練習(xí)）已知拋物線y28x的焦點(diǎn)為F，

準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為C，過點(diǎn)C的直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若AFBCFB，則

|AF|．

變式5．（2024·新疆喀什·?？寄M預(yù)測）已知雙曲線C兩條準(zhǔn)線之間的距離為1，離心率為

2，直線l經(jīng)過C的右焦點(diǎn)，且與C相交于A、B兩點(diǎn).

(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線l與該雙曲線的漸近線垂直，求AB的長度.

變式6．（2024·湖南邵陽·高三湖南省邵東市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知拋物線

1

y22px(p0)的準(zhǔn)線方程是x.

2

(1)求拋物線的方程；

(2)設(shè)直線yk(x2)(k0)與拋物線相交于M，N兩點(diǎn)，若MN210，求實(shí)數(shù)k的值.

題型二：長度和問題

x2y2

例4．（2024·寧夏銀川·銀川一中?？家荒＃┤鐖D所示，由半橢圓C:1y0和兩

14b2

2222

個(gè)半圓C2:x1y1y0、C3:x1y1y0組成曲線C:Fx,y0，其中

點(diǎn)A1,A2依次為C1的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)B為C1的下頂點(diǎn)，點(diǎn)F1,F2依次為C1的左、右焦點(diǎn)．若

點(diǎn)F1,F2分別為曲線C2,C3的圓心．

(1)求C1的方程；

(2)若過點(diǎn)F1,F2作兩條平行線l1,l2分別與C1,C2和C1,C3交與M,N和P,Q，求MNPQ的最

小值．

例5．（2024·河南安陽·安陽一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）定義：一般地，當(dāng)0且1時(shí)，我們

x2y2x2y2

把方程ab0表示的橢圓C稱為橢圓1ab0的相似橢圓．已

a2b2a2b2

2

x2

知橢圓C:y1，橢圓C（0且1）是橢圓C的相似橢圓，點(diǎn)P為橢圓C上異

4

于其左、右頂點(diǎn)M,N的任意一點(diǎn)．

，，

(1)當(dāng)2時(shí)，若與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線l1l2恰好相交于點(diǎn)P，直線l1l2的

斜率分別為k1,k2，求k1k2的值；

(2)當(dāng)e2（e為橢圓C的離心率）時(shí)，設(shè)直線PM與橢圓C交于點(diǎn)A,B，直線PN與橢圓C

交于點(diǎn)D,E，求ABDE的值．

x2y2

例6．（2024·江西九江·統(tǒng)考一模）如圖，已知橢圓C:1(ab0)的左右焦點(diǎn)分

1a2b2

△

別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)A為C1上的一個(gè)動點(diǎn)(非左右頂點(diǎn))，連接AF1并延長交C1于點(diǎn)B，且ABF2

△

的周長為8，AF1F2面積的最大值為2．

(1)求橢圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若橢圓C2的長軸端點(diǎn)為F1,F2，且C2與C1的離心率相等，P為AB與C2異于F1的交點(diǎn)，

直線PF2交C1于M,N兩點(diǎn)，證明：|AB||MN|為定值．

22

xy1

變式7．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓1ab0的離心率為，且點(diǎn)

a2b22

3

M1,在橢圓上.

2

(1)求橢圓的方程；

(2)過橢圓右焦點(diǎn)F2作兩條互相垂直的弦AB與CD，求ABCD的取值范圍.

題型三：長度差問題

例7．（2024·浙江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線C:y22px經(jīng)過點(diǎn)2,26，直線

l1:ykxm(km0)與C交于A，B兩點(diǎn)（異于坐標(biāo)原點(diǎn)O）．

(1)若OAOB0，證明：直線l1過定點(diǎn)．

(2)已知k2，直線l2在直線l1的右側(cè)，l1//l2，l1與l2之間的距離d5，l2交C于M，N兩

點(diǎn)，試問是否存在m，使得|MN||AB|10？若存在，求m的值；若不存在，說明理由．

2

例8．（2024·云南保山·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知拋物線C1：y4x的焦點(diǎn)為橢圓C2：

x2y25

1(ab0)的右焦點(diǎn)F，點(diǎn)P為拋物線C1與橢圓C2在第一象限的交點(diǎn)，且PF.

a2b23

(1)求橢圓C2的方程；

(2)若直線l過點(diǎn)F，交拋物線C1于A，C兩點(diǎn)，交橢圓C2于B，D兩點(diǎn)（A，B，C，D依次

30

排序），且ACBD，求直線l的方程.

11

題型四：長度商問題

x2y2

例9．（2024·重慶·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知雙曲線C:1(a0,b0)的離心率是5，點(diǎn)F

a2b2

是雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)，且點(diǎn)F到雙曲線C的一條漸近線的距離是2.

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

1

(2)設(shè)點(diǎn)M在直線x上，過點(diǎn)M作兩條直線l,l，直線l與雙曲線C交于A,B兩點(diǎn)，直線

4121

MAME

l與雙曲線C交于D,E兩點(diǎn).若直線AB與直線DE的傾斜角互補(bǔ)，證明：.

2MDMB

例10．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知圓A：（x2）2y29，圓B：（x2）2y21，圓

C與圓A、圓B外切，

(1)求圓心C的軌跡方程E;

(2)若過點(diǎn)B且斜率k的直線與E交與M、N兩點(diǎn)，線段MN的垂直平分線交x軸與點(diǎn)P，證

MN

明的值是定值.

PB

x2y2

例11．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線C:1a0,b0的右焦點(diǎn)為

a2b2

F3,0，過點(diǎn)F與x軸垂直的直線l1與雙曲線C交于M，N兩點(diǎn)，且MN4.

(1)求C的方程；

(2)過點(diǎn)A0,1的直線l2與雙曲線C的左?右兩支分別交于D，E兩點(diǎn)，與雙曲線C的兩條

漸近線分別交于G，H兩點(diǎn)，若GHDE，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

變式8．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線C的漸近線方程為y3x，右焦點(diǎn)F(c,0)

到漸近線的距離為3.

（1）求雙曲線C的方程；

（2）過F作斜率為k的直線l交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，線段AB的中垂線交x軸于D，求證：

|AB|

為定值.

|FD|

x2y2

變式9．（2024·河南鄭州·鄭州外國語學(xué)校?？寄M預(yù)測）已知橢圓C:1(ab0)的

a2b2

左?右焦點(diǎn)分別為F1,F2，且F1F24.過右焦點(diǎn)F2的直線l與C交于A,B兩點(diǎn)，ABF1的周長

為82.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

AB

(2)過原點(diǎn)O作一條垂直于l的直線l,l交C于P,Q兩點(diǎn)，求的取值范圍.

11PQ

x2y2

變式10．（2024·陜西·統(tǒng)考一模）在橢圓C：1ab0，c2，過點(diǎn)0,b與a,0

a2b2

3

的直線的斜率為．

3

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)F為橢圓C的右焦點(diǎn)，P為直線x3上任意一點(diǎn)，過F作PF的垂線交橢圓C于M，

MN

N兩點(diǎn)，當(dāng)取最大值時(shí)，求直線MN的方程．

PF

變式11．（2024·廣東佛山·華南師大附中南海實(shí)驗(yàn)高中?？寄M預(yù)測）在橢圓

x2y23

C:1(ab0)）中，c2，過點(diǎn)0,b與a,0的直線的斜率為.

a2b23

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)F為橢圓C的右焦點(diǎn)，P為直線x3上任意一點(diǎn)，過F作PF的垂線交橢圓C于M,N

|MN|

兩點(diǎn)，求的最大值.

|PF|

變式12．（2024·安徽·高三安徽省馬鞍山市第二十二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）平面直角坐標(biāo)系

xOy中，P為動點(diǎn)，PA與直線x3y垂直，垂足A位于第一象限，PB與直線x3y垂

3

直，垂足B位于第四象限，APB90且APBP，記動點(diǎn)P的軌跡為C.

4

(1)求C的方程；

(2)已知點(diǎn)M2,0，N2,0，設(shè)點(diǎn)T與點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)O對稱，MTN的角平分線為直線l，

PH

過點(diǎn)P作l的垂線，垂足為H，交C于另一點(diǎn)Q，求的最大值.

QH

變式13．（2024·四川南充·高三四川省南充高級中學(xué)校考階段練習(xí)）已知F1，F(xiàn)2為橢圓

x2y2

C:1ab0的兩個(gè)焦點(diǎn)．且F1F24，P為橢圓上一點(diǎn)，PF1PF226．

a2b2

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過右焦點(diǎn)F2的直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)為M,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OM交直

AB

線x3于點(diǎn)N．求的最大值．

NF2

變式14．（2024·海南?？凇じ呷y(tǒng)考期中）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M，N在拋物線C:x24y上，

且OMON4.

(1)證明：直線MN過定點(diǎn)；

MN

(2)設(shè)C在點(diǎn)M，N處的切線相交于點(diǎn)P，求2的取值范圍.

OP

變式15．（2024·四川綿陽·統(tǒng)考三模）過點(diǎn)A2,0的直線l與拋物線C:y22pxp0交于

π

點(diǎn)M，N（M在第一象限），且當(dāng)直線l的傾斜角為時(shí)，MN32.

4

(1)求拋物線的方程；

QN

(2)若B3,0，延長MB交拋物線C于點(diǎn)P，延長PN交x軸于點(diǎn)Q，求的值.

QP

2

變式16．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線C：x2pyp0上的點(diǎn)2,y0到其焦

點(diǎn)F的距離為2．

(1)求拋物線C的方程；

(2)已知點(diǎn)D在直線l：y=3上，過點(diǎn)D作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，直線

AB與直線l交于點(diǎn)M，過拋物線C的焦點(diǎn)F作直線AB的垂線交直線l于點(diǎn)N，當(dāng)|MN|最小

AB

時(shí)，求的值．

MN

變式17．（2024·廣東揭陽·高三?？茧A段練習(xí)）已知拋物線E:y22pxp0的焦點(diǎn)為F，

13

點(diǎn)F關(guān)于直線yx的對稱點(diǎn)恰好在y軸上．

24

(1)求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)直線l:ykx2k6與拋物線E交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸交

AB

于點(diǎn)C，若D6,0，求的最大值．

CD

變式18．（2024·四川內(nèi)江·高三四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓與拋物線

2

y2pxp0有一個(gè)相同的焦點(diǎn)F21,0，橢圓的長軸長為2p．

(1)求橢圓與拋物線的方程；

(2)P為拋物線上一點(diǎn)，F(xiàn)1為橢圓的左焦點(diǎn)，直線PF1交橢圓于A，B兩點(diǎn)，直線PF2與拋物

AB

線交于P，Q兩點(diǎn)，求的最大值．

PQ

題型五：長度積問題

例12．（2024·山東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線C:x22py(p0)，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，

過點(diǎn)F的直線l與C交于H，I兩點(diǎn)，且在H，I兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)T，當(dāng)l與y軸垂直

時(shí)，|HI|4．

(1)求C的方程；

(2)證明：|FI||FH||FT|2．

例13．（2024·浙江·校考模擬預(yù)測）已知拋物線：y22pxp0，過其焦點(diǎn)F的直線與拋

x2

物線交于A、B兩點(diǎn)，與橢圓y21a1交于C、D兩點(diǎn)，其中OAOB3．

a2

(1)求拋物線方程；

(2)是否存在直線AB，使得CD是FA與FB的等比中項(xiàng)，若存在，請求出AB的方程及a；

若不存在，請說明理由．

22

xy1

例14．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C:1(ab0)的離心率為，且直線

1a2b22

xy

l:1被橢圓C1截得的弦長為7．

1ab

(1)求橢圓C1的方程；

(2)以橢圓C1的長軸為直徑作圓C2，過直線l2:y4上的動點(diǎn)M作圓C2的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)

為A,B，若直線AB與橢圓C1交于不同的兩點(diǎn)C，D，求|CD||AB|的取值范圍．

x2y2

變式19．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C:1(a0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，

a28

10

F，P為C上一點(diǎn)，且當(dāng)PFx軸時(shí)，PF.

2123

(1)求C的方程；

(2)設(shè)C在點(diǎn)P處的切線交x軸于點(diǎn)Q，證明：PF1QF2PF2QF1.

22

xy1

變式20．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓C：1ab0的離心率為，過點(diǎn)P1,0

a2b22

2b2

作x軸的垂線，與C交于A,B兩點(diǎn)，且AB．

a

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線l1與橢圓C交于D，E兩點(diǎn)，直線l2與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，且l1l2，l1，l2

交于點(diǎn)P，求DEMN的取值范圍．

x2y2

變式21．（2024·湖南岳陽·高三?？茧A段練習(xí)）已知橢圓C:1(ab0)經(jīng)過點(diǎn)

a2b2

222

，，左，右焦點(diǎn)分別為，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且．

PF1F2OPF1PF24

33

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)A為橢圓C的右頂點(diǎn)，直線l與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)，以MN為直徑的圓過點(diǎn)A，

求AMAN的最大值．

x2y2

變式22．（2024·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓C:1ab0的焦距為2，

a2b2

3

且經(jīng)過點(diǎn)P1,．

2

(1)求橢圓C的方程；

(2)經(jīng)過橢圓右焦點(diǎn)F且斜率為kk0的動直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，試問x軸上是否

存在異于點(diǎn)F的定點(diǎn)T，使AFBTBFAT恒成立？若存在，求出T點(diǎn)坐標(biāo)，若不存

在，說明理由．

題型六：長度的范圍與最值問題

2

例15．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線C1:y4x的焦點(diǎn)F也是橢圓

x2y246

C:1(ab0)的一個(gè)焦點(diǎn)，C1與C2的公共弦長為．

2a2b23

(1)求橢圓C2的方程；

(2)過橢圓C2的右焦點(diǎn)F作斜率為k(k0)的直線l與橢圓C2相交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的

|DP|

中點(diǎn)為P，過點(diǎn)P作垂直于AB的直線交x軸于點(diǎn)D，試求的取值范圍．

|AB|

x2y2

例16．（2024·黑龍江佳木斯·高三校考開學(xué)考試）已知橢圓C:1(ab0)的兩個(gè)焦

1a2b2

點(diǎn)F1，F(xiàn)2，動點(diǎn)P在橢圓上，且使得F1PF290的點(diǎn)P恰有兩個(gè)，動點(diǎn)P到焦點(diǎn)F1的距離

的最大值為22．

(1)求橢圓C1的方程；

(2)如圖，以橢圓C1的長軸為直徑作圓C2，過直線x22上的動點(diǎn)T作圓C2的兩條切線，

設(shè)切點(diǎn)分別為A，B，若直線AB與橢圓C1交于不同的兩點(diǎn)C，D，求弦|CD|長的取值范

圍．

x2y2

例17．（2024·陜西咸陽·校考三模）已知雙曲線C:1a0,b0的離心率為2，

a2b2

過雙曲線C的右焦點(diǎn)F且垂直于x軸的直線l與雙曲線交于A,B兩點(diǎn)，且|AB|2.

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)若直線m：ykx1與雙曲線C的左、右兩支分別交于P,Q兩點(diǎn)，與雙曲線的漸近線分

|PQ|

別交于M,N兩點(diǎn)，求的取值范圍.

|MN|

x2y2

變式23．（2024·湖南長沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）設(shè)橢圓E:1ab0

a2b2

2

x2

的左右焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線y1的左右頂點(diǎn)，且橢圓的右頂點(diǎn)到雙曲線的漸近線

4

210

的距離為.

5

(1)求橢圓E的方程；

(2)是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B，且

OAOB？若存在，寫出該圓的方程，并求AB的取值范圍，若不存在，說明理由.

x2y2

變式24．（2024·安徽滁州·安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知橢圓C:1(ab0)

a2b2

2

的左?右焦點(diǎn)分別為F1,F2，離心率為，過左焦點(diǎn)F1的直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)（A,B

2

△

不在x軸上），ABF2的周長為82.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

|OP|2

(2)若點(diǎn)P在橢圓C上，且OPABO為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的取值范圍.

AB

x2y22

變式25．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓E:1ab0的離心率為，焦

a2b22

距為2，過E的左焦點(diǎn)F的直線l與E相交于A、B兩點(diǎn)，與直線x2相交于點(diǎn)M．

(1)若M2,1，求證：MABFMBAF；

(2)過點(diǎn)F作直線l的垂線m與E相交于C、D兩點(diǎn)，與直線x2相交于點(diǎn)N．求

1111

的最大值．

MAMBNCND

x2y2

變式26．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知橢圓:1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，

184

且F1，F(xiàn)2的雙曲線2的頂點(diǎn)，雙曲線2的一條漸近線方程為yx，設(shè)P為該雙曲線2上

異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，直線PF1，PF2的斜率分別為k1，k2，且直線PF1和PF2與橢圓1的

交點(diǎn)分別為A，B和C，D．

(1)求雙曲線2的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)證明：直線PF1，PF2的斜率之積k1·k2為定值；

AB

(3)求的取值范圍．

CD

變式27．（2024·江蘇南京·校考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P到點(diǎn)F(2,0)的距離與

2

到直線x22的距離之比為．

2

(1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程；

1

(2)過點(diǎn)(0,1)且斜率為kk2的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)M，線段AB

2

|AB|

的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)N，求的取值范圍．

|MN|

x2

變式28．（2024·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓C：y21的左、右頂點(diǎn)是雙曲線

12

22

xy3：

C：（1a0，b0）的頂點(diǎn)，C1的焦點(diǎn)到C2的漸近線的距離為.直線lykxt

2a2b23

與C2相交于A，B兩點(diǎn)，OAOB3.

(1)求證：8k2t21

(2)若直線l與C1相交于P，Q兩點(diǎn)，求PQ的取值范圍.

變式29．（2024·廣東深圳·高三校聯(lián)考期中）已知點(diǎn)Mx,y在運(yùn)動過程中，總滿足關(guān)系式：

22

x3y2x3y24.

(1)點(diǎn)M的軌跡是什么曲線？寫出它的方程；

(2)設(shè)圓O:x2y21，直線l:ykxm與圓O相切且與點(diǎn)M的軌跡交于不同兩點(diǎn)A,B，當(dāng)

1

OAOB且,1時(shí)，求弦長AB的取值范圍.

2

x2y2

變式30．（2024·四川遂寧·統(tǒng)考三模）已知橢圓C:1ab0的左、右頂點(diǎn)為A1,A2，

a2b2

2282

點(diǎn)G是橢圓C的上頂點(diǎn)，直線A2G與圓xy相切，且橢圓C的離心率為

32

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若點(diǎn)Q在橢圓C上，過左焦點(diǎn)F1的直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)（A,B不在x軸上）且

22AB

OQAB0,(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求2的取值范圍．

OQ

x2y2

變式31．（2024·江西宜春·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓C:1ab0過點(diǎn)0,3，

a2b2

1

且離心率為.

2

(1)求橢圓C的方程；

PMPN

(2)過點(diǎn)P1,1且互相垂直的直線l,l分別交橢圓C于M,N兩點(diǎn)及S,T兩點(diǎn).求

12PSPT

的取值范圍.

變式32．（2024·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動

2

點(diǎn)M(x,y)到定點(diǎn)F(2,0)的距離與動點(diǎn)M(x,y)到定直線l0:x22的距離的比值為，記

2

動點(diǎn)M的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)若動直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，且OAOB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求弦長|AB|的取

值范圍.

x2y23

變式．（湖北校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓過點(diǎn)A1,

332024··E:221(ab0).

ab2

1

(1)若橢圓E的離心率e0,，求b的取值范圍；

2

3

(2)已知橢圓E的離心率e，M，N為橢圓E上不同兩點(diǎn)，若經(jīng)過M，N兩點(diǎn)的直線與

2

圓x2y2b2相切，求線段MN的最大值.

x2y2

變式34．（2024·黑龍江哈爾濱·高三哈師大附中?？计谀┮阎獧E圓E:1ab0

a2b2

的左、右焦點(diǎn)分別為F11,0、F21,0，點(diǎn)P在橢圓E上，PF2F1F2，且PF13PF2．

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)直線l:xmy1mR與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)，與圓x2y22相交于C，D兩點(diǎn)，

2

求ABCD的取值范圍．

x2y2

變式35．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C：1（ab0）的短軸長為4，

a2b2

522

離心率為．點(diǎn)P為圓M：xy16上任意一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

3

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)記線段OP與橢圓C交點(diǎn)為Q，求PQ的取值范圍．

題型七：長度的定值問題

2

x2

例18．（2024·遼寧沈陽·高三沈陽二中?？茧A段練習(xí)）如圖，已知橢圓C:y1，C1的

13

左右焦點(diǎn)F1,F2是雙曲線C2的左右頂點(diǎn)，C2的離心率為2．點(diǎn)E在C2上（異于F1,F2兩點(diǎn)），

過點(diǎn)E和F1,F2分別作直線交橢圓C1于F,G和M,N點(diǎn)．

(1)求證：kFGkMN為定值；

11

(2)求證：為定值．

FGMN

x2

例19．（2024·北京順義·高三牛欄山一中?？计谥校E圓:y21．

4

(1)點(diǎn)C是橢圓上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)C與點(diǎn)D0,2兩點(diǎn)之間距離d的最大值和最小值；

(2)A和B分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)．P為橢圓上第三象限點(diǎn)．直線PA與y軸交于

22

PMPN

點(diǎn)，直線與x軸交于點(diǎn)．求．

MPBN

MANB

例20．（2024·吉林松原·高三前郭爾羅斯縣第五中學(xué)校考期末）已知橢圓C的右焦點(diǎn)與拋物

1

線E：y28x的焦點(diǎn)F重合，且橢圓C的離心率為．

2

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．

(2)過點(diǎn)F的直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，交拋物線E于P，Q兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)，

2

使得為定值？若存在，求出這個(gè)定值和λ的值；若不存在，說明理由．

MNPQ

變式36．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知拋物線E：y22pxp0的焦點(diǎn)關(guān)于其準(zhǔn)線

x2y2

的對稱點(diǎn)為P3,0，橢圓C：1ab0的左，右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，且與E

a2b2

有一個(gè)共同的焦點(diǎn)，線段PF1的中點(diǎn)是C的左頂點(diǎn)．過點(diǎn)F1的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，且

線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)M．

(1)求C的方程；

F1M1

(2)證明：．

AB4

x2y2

變式37．（2024·天津紅橋·統(tǒng)考一模）設(shè)橢圓C:1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為

a2b2

1

F、F，離心率e，長軸為4，且過橢圓右焦點(diǎn)F的直線l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)．

1222

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若OMON2，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線l的斜率；

|AB|2

(3)若AB是橢圓C經(jīng)過原點(diǎn)O的弦，且MN//AB，判斷是否為定值？若是定值，請求

|MN|

出，若不是定值，請說明理由．

25

變式38．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線yx

5

x2y26

與橢圓C:1(ab0)交于P,Q兩點(diǎn)（P在x軸上方），且PQa，設(shè)點(diǎn)P在x軸

a2b25

25

上的射影為點(diǎn)N，VPQN的面積為，拋物線E:y22px(p0)的焦點(diǎn)與橢圓C的焦點(diǎn)

5

重合，斜率為k的直線l過拋物線E的焦點(diǎn)與橢圓C交于A,B兩，點(diǎn)，與拋物線E交于C,D

兩點(diǎn).

(1)求橢圓C及拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

5

(2)是否存在常數(shù)，使為常數(shù)？若存在，求的值；若不存在，說明理由.

|AB||CD|

x2y2

變式39．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知雙曲線C:1a0的左、右焦點(diǎn)分別

a2a2

為F1，F(xiàn)2.過F2的直線l交C的右支于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，M，N到C的一條

漸近線的距離之和為22.

(1)求C的方程；

MF1NF1

(2)證明：為定值.

MF2NF2

2

變式40．（2024·安徽淮北·統(tǒng)考二模）已知拋物線C1:y2px(p0)的焦點(diǎn)和橢圓

x2y2

C2:1(ab0)的右焦點(diǎn)F重合，過點(diǎn)F任意作直線l分別交拋物線C1于M,N，

a2b2

交橢圓C2于P,Q.當(dāng)l垂直于x軸時(shí)MN4，PQ3.

(1)求C1和C2的方程；

1m

(2)是否存在常數(shù)m，使為定值？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由.

MNPQ

x2y2

變式41．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C:1(ab0)的左右焦點(diǎn)分別為

a2b2

F1,F2,F1F22，連接橢圓C的四個(gè)頂點(diǎn)所成的四邊形的周長為47.

(1)求橢圓C的方程和離心率；

(2)已知過點(diǎn)F1的直線l1與橢圓交于P,Q兩點(diǎn)，過點(diǎn)F2且與直線l1垂直的直線l2與橢圓交于

PQMN

M,N兩點(diǎn)，求的值.

PQMN

變式42．（2024·北京順義·高三北京市順義區(qū)第一中學(xué)?？计谥校┮阎獧E圓C：

22

xy1

1ab0的長軸長為4，且離心率為.

a2b22

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)過點(diǎn)F1,0且斜率為k的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交x

AB

軸于點(diǎn)D.求證：為定值.

DF

x2y2

變式43．（2024·天津河北·高三統(tǒng)考期末）已知橢圓C:1點(diǎn)B0,2，且離心率

a2b2

6

e，F(xiàn)為橢圓C的左焦點(diǎn).

3

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)點(diǎn)T3,m，過點(diǎn)F的直線l交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，TFl，連接OT與PQ交于點(diǎn)

H.

①若m2，求PQ；

PH

②求的值.

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