2025年高考數(shù)學(xué)必刷題分類(lèi)：第67講、圓錐曲線離心率題型全歸納（學(xué)生版）

第67講圓錐曲線離心率題型全歸納

知識(shí)梳理

求離心率范圍的方法

一、建立不等式法：

1、利用曲線的范圍建立不等關(guān)系．

x2y2

2、利用線段長(zhǎng)度的大小建立不等關(guān)系．F,F為橢圓1(ab0)的左、右焦

12a2b2

22

點(diǎn)，為橢圓上的任意一點(diǎn)，；為雙曲線xy的

PPF1ac,acF,F1(a0,b0)

12a2b2

左、右焦點(diǎn)，為雙曲線上的任一點(diǎn)，．

PPF1ca

x2y2

3、利用角度長(zhǎng)度的大小建立不等關(guān)系．F,F為橢圓1的左、右焦點(diǎn)，P為

12a2b2

橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，若FPF，則橢圓離心率e的取值范圍為sine1．

122

4、利用題目不等關(guān)系建立不等關(guān)系．

5、利用判別式建立不等關(guān)系．

6、利用與雙曲線漸近線的斜率比較建立不等關(guān)系．

7、利用基本不等式，建立不等關(guān)系．

二、函數(shù)法：

1、根據(jù)題設(shè)條件，如曲線的定義、等量關(guān)系等條件建立離心率和其他一個(gè)變量的函數(shù)

關(guān)系式；

2、通過(guò)確定函數(shù)的定義域；

3、利用函數(shù)求值域的方法求解離心率的范圍．

三、坐標(biāo)法：

由條件求出坐標(biāo)代入曲線方程建立等量關(guān)系．

必考題型全歸納

題型一：建立關(guān)于a和c的一次或二次方程與不等式

例1．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C1與雙曲線C2共焦

點(diǎn)，雙曲線C2實(shí)軸的兩頂點(diǎn)將橢圓C1的長(zhǎng)軸三等分，兩曲線的交點(diǎn)與兩焦點(diǎn)共圓，則雙曲

線C2的離心率為（）

A．3B．2C．5D．6

x2y2

例2．（2024·湖南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓C:1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分

a2b2

別為F1,F2，經(jīng)過(guò)F2的直線交橢圓C于P,Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且

OPOF2PQ0,PF22F2Q，則橢圓C的離心率為.

x2y2

例3．（2024·海南?？凇じ呷y(tǒng)考期中）已知雙曲線C:1a0,b0的左頂點(diǎn)為A，

a2b2

22

右焦點(diǎn)為Fc,0，過(guò)點(diǎn)A的直線l與圓xcy2ca相切，與C交于另一點(diǎn)B，且

π

BAF，則C的離心率為（）

6

53

A．3B．C．2D．

22

x2y2

變式1．（2024·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知右焦點(diǎn)為F的橢圓E：1ab0上

a2b2

的三點(diǎn)A，B，C滿足直線AB過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，若BFAC于點(diǎn)F，且BF3CF，則E的

離心率是（）

2731

A．B．C．D．

2522

變式2．（2024·福建龍巖·福建省龍巖第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知雙曲線C：

x2y2

1(a0,b0)的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F分別作C的兩條漸近線的平行線與C交于A，B兩

a2b2

點(diǎn)，若|AB|23b，則C的離心率為

x2y2

變式3．（2024·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）雙曲線C:1a,b0的左焦點(diǎn)為F，直

a2b2

2

線FD與雙曲線C的右支交于點(diǎn)D，A，B為線段FD的兩個(gè)三等分點(diǎn)，且OAOBa

2

（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線C的離心率為.

x2y2

變式4．（2024·河南開(kāi)封·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知A是雙曲線C:1(a0,b0)的右頂點(diǎn)，

a2b2

9

點(diǎn)P(2,3)在C上，F(xiàn)為C的左焦點(diǎn)，若APF的面積為，則C的離心率為．

2

變式5．（2024·遼寧沈陽(yáng)·東北育才學(xué)校?？家荒＃┤鐖D，在底面半徑為1，高為6的圓柱內(nèi)

放置兩個(gè)球，使得兩個(gè)球與圓柱側(cè)面相切，且分別與圓柱的上下底面相切.一個(gè)與兩球均相

切的平面斜截圓柱側(cè)面，得到的截線是一個(gè)橢圓.則該橢圓的離心率為.

x2y2

變式6．（2024·陜西西安·?？既＃┮阎p曲線C：1a0,b0的左焦點(diǎn)為F，

a2b2

過(guò)F的直線與圓x2y2a2相切于點(diǎn)Q，與雙曲線的右支交于點(diǎn)P，若PQ2QF，則雙

曲線C的離心率為.

x2y2

變式7．（2024·河北·高三校聯(lián)考期末）雙曲線C：1(a0,b0)的左焦點(diǎn)為F，右頂

a2b2

點(diǎn)為A，過(guò)A且垂直于x軸的直線交C的漸近線于點(diǎn)P，PO恰為PFA的角平分線，則C的

離心率為．

題型二：圓錐曲線第一定義

x2y2

例4．（2024·湖南株洲·高三?？茧A段練習(xí)）已知F1,F2分別為雙曲線E:1(a0,b0)

a2b2

的左、右焦點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)O的直線l與E交于A,B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），延長(zhǎng)AF2交E于點(diǎn)

π

C，若BFAC,FBF，則雙曲線E的離心率為．

2123

x2y2

例5．（2024·山西大同·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知橢圓C1(ab0)的左、右焦點(diǎn)

1a2b2

分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P,Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，且|PQ||F1F2|，且四邊形PF1QF2

4

的面積為a2，則C的離心率為．

9

y2x2

例6．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓E:1ab0的上、下焦點(diǎn)分別為F1、

a2b2

F2，焦距為23，與坐標(biāo)軸不垂直的直線l過(guò)F1且與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P為線段AF2

的中點(diǎn)，若ABF2F2PB90，則橢圓E的離心率為．

x2y2

變式8．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）F1，F(xiàn)2是橢圓E：1ab0的左，右焦點(diǎn)，

a2

b2

點(diǎn)M為橢圓E上一點(diǎn)，點(diǎn)N在x軸上，滿足F1MNF2MN45，3NF14NF2，則

橢圓E的離心率為.

x2y2

變式9．（2024·四川巴中·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知雙曲線C:1(a0,b0)的左、右焦

a2b2

3

點(diǎn)分別為F,F，過(guò)F斜率為的直線與C的右支交于點(diǎn)P，若線段PF恰被y軸平分，則C

12141

的離心率為（）

123

A．B．C．2D．3

23

變式10．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線Ε：

x2y2

1a0,b0的左、右焦點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)O的直線l與E交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一

a2b2

π

象限），延長(zhǎng)AF交E于點(diǎn)C，若BFAC，F(xiàn)BF，則雙曲線E的離心率為（）

22123

A．3B．2C．5D．7

x2y2

變式11．（2024·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線C：1（a0，b0），

a2b2

斜率為3的直線l過(guò)原點(diǎn)O且與雙曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，且以PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)雙曲

線的一個(gè)焦點(diǎn)，則雙曲線C的離心率為（）

31

A．B．31C．231D．232

2

y2x2

變式12．（2024·河南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線E:1(a0)的上焦點(diǎn)為F1，點(diǎn)P

a28

在雙曲線的下支上，若A(4,0)，且PF1|PA|的最小值為7，則雙曲線E的離心率為（）

697697

A．2或B．3或C．2D．3

2525

變式13．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)，從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線

經(jīng)過(guò)雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).若雙曲線

x2y2

E:1(a0,b0)的左?右焦點(diǎn)分別為F1,F2，從F2發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)圖中的A，B兩點(diǎn)

a2b2

5

反射后，分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)C和D，且cosBAC,ABBD0，則E的離心率為（）

13

173710

A．B．C．D．5

352

x2y2

變式14．（2024·甘肅酒泉·統(tǒng)考三模）已知雙曲線E:1(a0,b0)的右焦點(diǎn)為F，

a2b2

過(guò)點(diǎn)F的直線l與雙曲線E的右支交于B，C兩點(diǎn)，且CF3FB，點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)

點(diǎn)為點(diǎn)A，若AFBF0，則雙曲線E的離心率為（）

231010

A．3B．C．D．

332

x2y2

變式15．（2024·山西呂梁·統(tǒng)考二模）已知雙曲線C：1（a0，b0）的左、右

a2b2

焦點(diǎn)分別為，，直線與交于，兩點(diǎn)，，且△的面積為2，

F1F2ykxCPQPF1QF10PF2Q4a

則C的離心率是（）

A．3B．5C．2D．3

題型三：圓錐曲線第二定義

例7．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中描述了圓錐曲線

的共性，并給出了圓錐曲線的統(tǒng)一定義，他指出，平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的

比是常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線；當(dāng)0e1時(shí)，軌跡為橢圓；當(dāng)e1時(shí)，軌跡為拋物

(x4)2y21

線；當(dāng)e1時(shí)，軌跡為雙曲線.則方程表示的圓錐曲線的離心率e等于（）

254x5

145

A．B．C．D．5

554

x2y2

例8．（2024·北京石景山·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線1(a,b0)的左、右焦點(diǎn)分別

a2b2

為F1F2，P為左支上一點(diǎn)，P到左準(zhǔn)線的距離為d，若d、|PF1|、|PF2|成等比數(shù)列，則其

離心率的取值范圍是（）

A．[2，)B．(1，2]C．[12，)D．(1，12]

x2y2

例9．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線C:1a0,b0的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F

a2b2

且斜率為3的直線交C于A、B兩點(diǎn)，若AF4FB，則C的離心率為（）

5679

A．B．C．D．

8555

題型四：圓錐曲線第三定義（斜率之積）

x2y2

例10．（2024·云南曲靖·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線C：1a0,b0虛軸

a2b2

的一個(gè)頂點(diǎn)為D，直線x3a與C交于A，B兩點(diǎn)，若△ABD的垂心在C的一條漸近線上，

則C的離心率為.

x2y2

例11．（2024·陜西西安·西安市大明宮中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓C：1ab0

a2b2

的焦距為2c，左焦點(diǎn)為F，直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，P的橫

13

坐標(biāo)為c．若直線l與直線PF的斜率之積等于，則C的離心率為．

316

x2y2

例12．（2024·山東濟(jì)南·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知橢圓C：1ab0的上頂點(diǎn)為

a2b2

B，兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，線段BF2的垂直平分線過(guò)點(diǎn)F1，則橢圓的離心率為．

x2y2

變式16．（2024·山東青島·高三統(tǒng)考期末）已知雙曲線E:1a0,b0與直線

a2b2

ykx相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線E上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記直線PA，PB的斜率分別為k1，

1

k，若kk，且雙曲線E的右焦點(diǎn)到其一條漸近線的距離為1，則雙曲線E的離心率

2124

為．

x2y2

變式17．（2024·山東·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）如圖，A，B分別是橢圓C:1ab0

a2b2

的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)P在以AB為直徑的圓O上（點(diǎn)P異于A，B兩點(diǎn)），線段AP與橢圓C交

于另一點(diǎn)Q，若直線BP的斜率是直線BQ的斜率的4倍，則橢圓C的離心率為（）

3133

A．B．C．D．

3224

題型五：利用數(shù)形結(jié)合求解

例13．（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）如圖1所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的

光線經(jīng)過(guò)雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn).若雙曲線

x2y2

E:1(a0,b0)的左?右焦點(diǎn)分別為F1,F2，從F2發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)圖2中的A,B兩

a2b2

12

點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)C和D，且tanCAB，|BD|2AD·BD，則雙曲線E的離心率

5

為（）

63721014

A．B．C．D．

5553

x2y2

例14．（2024·河北秦皇島·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知F1,F2是橢圓C:1(ab0)的

a2b2

2

兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，若的離心率，則使△為直角三角形的點(diǎn)有

MCCe,1MF1F2M

2

（）個(gè)

A．2B．4C．6D．8

例15．（2024·湖北武漢·高三武漢市第六中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）過(guò)雙曲線

x2y2

E:1(a0,b0)的左焦點(diǎn)F作x2y2a2的一條切線，設(shè)切點(diǎn)為T(mén)，該切線與雙

a2b2

曲線E在第一象限交于點(diǎn)A，若FA3FT，則雙曲線E的離心率為（）

1315

A．3B．5C．D．

22

變式18．（2024·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)Px0,y0是橢圓

x2y2

C:1(ab0)上的一點(diǎn)，F(xiàn)1,F2是C的兩個(gè)焦點(diǎn)，若PFPF0，則橢圓C的離

a2b212

心率的取值范圍是（）

2222

A．0,B．0,C．,1D．,1

2222

題型六：利用正弦定理

x2y2

例16．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓E:1ab0的兩個(gè)

a2b2

D=D

焦點(diǎn)，P是橢圓E上的點(diǎn)，PF1PF2，且sinPF2F13sinPF1F2，則橢圓E的離心率為（）

10105

A．B．C．5D．

2424

x2y2

例17．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)橢圓1ab0的左、右焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2作傾斜

a2b2

角分別為和的兩條直線l，l．若兩條直線的交點(diǎn)P恰好在橢圓上，則橢圓的離心率為

6312

（）

2

A．B．31

2

3151

C．D．

22

x2y2

例18．（2024·江蘇·揚(yáng)州中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）已知橢圓1a0,b0的左、右焦點(diǎn)

a2b2

分別為F1c,0，F(xiàn)2c,0，若橢圓上存在點(diǎn)P（異于長(zhǎng)軸的端點(diǎn)），使得

csinPF1F2asinPF2F1，則該橢圓離心率e的取值范圍是______．

變式19．（2024·廣西南寧·南寧市武鳴區(qū)武鳴高級(jí)中學(xué)?？级＃┰O(shè)F1、F2分別為橢圓

x2y2

1ab0的左、右焦點(diǎn)，橢圓上存在點(diǎn)M，MF1F2，MF2F1，使得離

a2b2

sin

心率e，則e取值范圍為．

sin

x2y2

變式20．（2024·江西吉安·高三吉安一中?？奸_(kāi)學(xué)考試）點(diǎn)P是雙曲線C1：1（a0，

a2b2

2222

b0）和圓C2：xyab的一個(gè)交點(diǎn)，且2PF1F2PF2F1，其中F1，F(xiàn)2是雙曲線C1

的兩個(gè)焦點(diǎn)，則雙曲線C1的離心率為．

x2y2x2y2

變式21．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓：1與雙曲線：1共焦點(diǎn)，

a2b2m2n2

F1、F2分別為左、右焦點(diǎn)，曲線與在第一象限交點(diǎn)為P，且離心率之積為1.若

sinF1PF22sinPF1F2，則該雙曲線的離心率為.

題型七：利用余弦定理

例19．（2024·福建福州·高三福建省福州第八中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線

x2y2

C:1a0,b0的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2，P是C右支上一點(diǎn)，線段PF1與C的

a2b2

π

左支交于點(diǎn)M．若FPF，且PMPF，則C的離心率為．

1232

x2y2

例20．（2024·江蘇淮安·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）橢圓C:1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別

a2b2

為F1,F2，上頂點(diǎn)為A，直線AF1與橢圓C交于另一點(diǎn)B，若AF2B120，則橢圓C的離

心率為．

x2y2

例21．（2024·河北唐山·模擬預(yù)測(cè)）已知F1,F2是橢圓E:1(ab0)的左，右焦點(diǎn)，

a2b2

E上兩點(diǎn)A,B滿足3AF22F2B,AF12AF2，則E的離心率為．

x2y2

變式22．（2024·廣東湛江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線C:1a0,b0的離

a2b2

心率為2，左、右頂點(diǎn)分別為A1,A2，右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在C的右支上，且滿足PFFA2，

則tanA1PA2（）

1

A．B．1C．D．2

23

x2y2

變式23．（2024·河南·校聯(lián)考二模）已知雙曲線C:1a0,b0的左、右焦點(diǎn)分別

a2b2

是F1，F(xiàn)2，P是雙曲線C上的一點(diǎn)，且PF15，PF23，F(xiàn)1PF2120，則雙曲線C

的離心率是（）

777

A．7B．C．D．

234

x2y2

變式24．（2024·浙江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓C:1(ab0)的左、右焦點(diǎn)

a2b2

分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在C上，且PF1F1F2，直線PF2與C交于另一點(diǎn)Q，與y軸交于點(diǎn)M，

若，則的離心率為（）

MF22F2QC

334721

A．B．C．D．

7737

變式25．（2024·江西撫州·高三黎川縣第二中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知雙曲線C：

x2y2

1ab0的右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為c,0，點(diǎn)P在第一象限且在雙曲線C的一條漸近

a2b2

線上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OPc，PF2a，則雙曲線C的離心率為（）

A．3B．2C．5D．3

變式26．（2024·廣西百色·高三貴港市高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓C：

x2y21

1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在C上，若PF1a，PF1PF23b，

a2b22

則C的離心率為．

x2y2

變式27．（2024·廣東深圳·高三校聯(lián)考期中）設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：1a0,b0

a2b2

的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1的直線與C的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M在x軸上，4F2AMB，

BF2平分F1BM，則C的離心率為（）

1123

A．B．

33

334

C．D．

33

變式28．（2024·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線C：

x2y2

1a0,b0的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)F1作C的一條漸近

a2b2

線的垂線，垂足為M，且MF23OM，則C的離心率為（）

A．2B．2C．6D．22

題型八：內(nèi)切圓問(wèn)題

x2y2

例22．（2024·四川成都·高三成都七中?？茧A段練習(xí)）雙曲線H:1(a,b0)其左、

a2b2

π

右焦點(diǎn)分別為F,F，傾斜角為的直線PF與雙曲線H在第一象限交于點(diǎn)P，設(shè)△FPF內(nèi)

123212

切圓半徑為r，若PF223r，則雙曲線H的離心率的取值范圍為.

x2y2

例23．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）橢圓1(ab0)的四個(gè)頂點(diǎn)ABCD構(gòu)成菱形的

a2b2

內(nèi)切圓恰好過(guò)焦點(diǎn)，則橢圓的離心率e．

x2y2

例24．（2024·廣東深圳·?？级＃┮阎獧E圓1(ab0)的左?右焦點(diǎn)分別為

a2b2

△

F1(c,0)?F2(c,0)，P為橢圓上一點(diǎn)（異于左右頂點(diǎn)），PF1F2的內(nèi)切圓半徑為r，若r的最

c

大值為，則橢圓的離心率為.

3

x2y2

變式29．（2024·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙一中?？茧A段練習(xí)）雙曲線C:1(a0,b0)的左，

a2b2

△

右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，右支上有一點(diǎn)M，滿足F1MF290，F(xiàn)1MF2的內(nèi)切圓與y軸相切，

則雙曲線C的離心率為．

x2y2

變式30．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓C:1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為

a2b2

F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)，點(diǎn)Mx0,y0x0c是C上一點(diǎn)，點(diǎn)A是直線MF2與y軸的交點(diǎn)，AMF1

的內(nèi)切圓與MF1相切于點(diǎn)N，若|MN|2F1F2，則橢圓C的離心率e．

x2y2

變式31．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓C：1ab0的左、右焦點(diǎn)分別

a2b2

1△

是F，F(xiàn)，斜率為的直線l經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn)F且交C于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），設(shè)AF1F2

1221

r

△1

的內(nèi)切圓半徑為r1，BF1F2的內(nèi)切圓半徑為r2，若2，則橢圓的離心率e．

r2

x2y2

變式32．（2024·福建泉州·高三?？茧A段練習(xí)）已知橢圓C:1ab0的左、右焦

a2b2

1

點(diǎn)分別是F，F(xiàn)，斜率為的直線l經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn)F且交C于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），

1221

r

△△1

設(shè)AF1F2的內(nèi)切圓半徑為r1，BF1F2的內(nèi)切圓半徑為r2，若3，則橢圓的離心率

r2

e．

變式33．（2024·山東聊城·統(tǒng)考一模）F1,F2是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓C上異于頂點(diǎn)的

△△△

一點(diǎn)，I是PF1F2的內(nèi)切圓圓心，若PF1F2的面積等于IF1F2的面積的3倍，則橢圓C的

離心率為.

題型九：橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)

例25．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，它們?cè)诘谝幌笙薜慕稽c(diǎn)為

P，設(shè)F1PF22，橢圓與雙曲線的離心率分別為e1，e2，則（）

cos2sin2sin2cos2

A．221B．221

e1e2e1e2

e2e2e2e2

C．121D．121

cos2sin2sin2cos2

例26．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，它們的交點(diǎn)P對(duì)兩公共焦

點(diǎn)F，F(xiàn)張的角為FPF.橢圓與雙曲線的離心率分別為e，e，則

1212312

3113

A．221B．221

4e14e24e14e2

4e24e2

C．14e21D．4e221

3213

x2y2

例27．（多選題）（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，P是橢圓C:1(ab0)與雙

1a2b2

x2y2

曲線C:1(m0,n0)在第一象限的交點(diǎn)，且C1,C2共焦點(diǎn)

2m2n2

F1,F2,F1PF2,C1,C2的離心率分別為e1,e2，則下列結(jié)論不正確的是（）

13

A．PF1ma,PF2maB．若60，則224

e1e2

b

C．若90，則e2e2的最小值為2D．tan

122n

x2y2

變式34．（多選題）（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，P是橢圓C:1(ab0)與

1a2b2

x2y2

雙曲線C:1（m0,n0)）在第一象限的交點(diǎn)，且C1,C2共焦點(diǎn)

2m2n2

F1,F2,F1PF2,C1,C2的離心率分別為e1,e2，則下列結(jié)論正確的是（）

A．PF1=a+m,PF2=a-m

13

B．若60，則224

e1e2

22

C．若90，則e1e2的最小值為2

b

D．tan

2n

x2y2

變式35．（多選題）（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，P是橢圓C:1(ab0)與

1a2b2

x2y2

雙曲線C:1(m0,n0)在第一象限的交點(diǎn)，且C1,C2共焦點(diǎn)

2m2n2

F1,F2,F1PF2,C1,C2的離心率分別為e1,e2，則下列結(jié)論正確的是（）

13

A．PF1=a+m,PF2=a-mB．若60，則224

e1e2

n

C．若90，則e2e2的最小值為2D．tan

122b

11

變式36．（2024·新疆·統(tǒng)考三模）在ABC中，cosA，AC3，AB7，橢圓C1和雙曲

14

線C2以A，B為公共焦點(diǎn)且都經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，則C1與C2的離心率之和為．

題型十：利用最大頂角

x2y2

例28．（2024·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓C：1(ab0)，點(diǎn)A，B是長(zhǎng)軸的

a2b2

兩個(gè)端點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)P，使得APB120，則該橢圓的離心率的取值范圍是（）

63

A．,1B．,1

32

23

C．0,D．0,

24

x2y2