2025年高考數(shù)學必刷題分類：第9講、指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（學生版）

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第9講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

知識梳理

1、指數(shù)及指數(shù)運算

(1)根式的定義：

一般地，如果xna，那么x叫做a的n次方根，其中(n1，nN)，記為na，n稱

為根指數(shù)，a稱為根底數(shù)．

(2)根式的性質(zhì)：

當n為奇數(shù)時，正數(shù)的n次方根是一個正數(shù)，負數(shù)的n次方根是一個負數(shù).

當n為偶數(shù)時，正數(shù)的n次方根有兩個，它們互為相反數(shù).

(3)指數(shù)的概念：指數(shù)是冪運算an(a0)中的一個參數(shù)，a為底數(shù)，n為指數(shù)，指數(shù)位

于底數(shù)的右上角，冪運算表示指數(shù)個底數(shù)相乘.

(4)有理數(shù)指數(shù)冪的分類

n個

0

①正整數(shù)指數(shù)冪n；②零指數(shù)冪a1(a0)；

aaaaa(nN)

1

③負整數(shù)指數(shù)冪an(a0，nN)；④0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0，0的負分數(shù)指

an

數(shù)冪沒有意義．

(5)有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)

①amanam+n(a0，m，nQ)；②(am)namn(a0，m，nQ)；

mmmm

nm

③(ab)ab(a0，b0，mQ)；④aan(a0，m，nQ)．

2、指數(shù)函數(shù)

yax

0a1a1

圖

象

性①定義域R，值域(0，)

質(zhì)②a01，即時x0，y1，圖象都經(jīng)過(0，1)點

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③axa，即x1時，y等于底數(shù)a

④在定義域上是單調(diào)減函數(shù)在定義域上是單調(diào)增函數(shù)

⑤x0時，ax1；x0時，0ax1x0時，0ax1；x0時，ax1

⑥既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)

【解題方法總結(jié)】

1、指數(shù)函數(shù)常用技巧

(1)當?shù)讛?shù)大小不定時，必須分“a1”和“0a1”兩種情形討論．

當時，，；的值越小，圖象越靠近y軸，遞減的速度越快．

(2)0a1xy0a

當時，；的值越大，圖象越靠近y軸，遞增速度越快．

a1xy0a

1

(3)指數(shù)函數(shù)yax與y()x的圖象關(guān)于y軸對稱．

a

必考題型全歸納

題型一：指數(shù)運算及指數(shù)方程、指數(shù)不等式

73

37

【例】（海南省直轄縣級單位統(tǒng)考模擬預測）（）

12024··

27

13

A．9B．C．3D．

99

【對點訓練1】（2024·全國·高三專題練習）下列結(jié)論中，正確的是（）

43

．設則．若8，則8

Aa0,a3a4aBm2m2

114

．若1，則．4

Caa3a2a25D22

13

0.52

44

【對點訓練】（全國高三專題練習）923322（）

22024··(2π)2

1633

A．πB．2πC．4πD．6π

【對點訓練3】（2024·全國·高三專題練習）甲?乙兩人解關(guān)于x的方程2xb2xc0，甲

17

寫錯了常數(shù)b，得到的根為x2或x=log，乙寫錯了常數(shù)c，得到的根為x0或x1，

24

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則原方程的根是（）

A．x2或xlog23B．x1或x1

C．x0或x2D．x=1或x2

【對點訓練4】（2024·全國·高三專題練習）若關(guān)于x的方程9x3x1m10有解，則實數(shù)

m的取值范圍是（）

5

A．1,B．,C．,3D．1,3

4

3(x1)

x22x31

【對點訓練5】（2024·上海青浦·統(tǒng)考一模）不等式2的解集為______．

2

【對點訓練6】（2024·全國·高三專題練習）不等式10x6x3x1的解集為___________.

【解題總結(jié)】

利用指數(shù)的運算性質(zhì)解題.對于形如af(x)b，af(x)b，af(x)b的形式常用“化同底”

轉(zhuǎn)化，再利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性解決；或用“取對數(shù)”的方法求解.形如a2xBaxC0或

a2xBaxC0(0)的形式，可借助換元法轉(zhuǎn)化二次方程或二次不等式求解.

題型二：指數(shù)函數(shù)的圖像及性質(zhì)

a

【例2】（多選題）（2024·全國·高三專題練習）函數(shù)fx2xaR的圖象可能為（）

2x

A．B．C．

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D．

2

【對點訓練7】（2024·全國·高三專題練習）已知f(x)3x2axa1的定義域為R，則實

數(shù)a的取值范圍是______．

【對點訓練8】（2024·寧夏銀川·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)fx4x2x21，x0,3，則其

值域為_______．

【對點訓練9】（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)fxaxa0,a1在1,2內(nèi)的最大

fx1,x11

值是最小值的兩倍，且gx，則gg2______

log3x1,0x13

【對點訓練10】（2024·全國·高三專題練習）函數(shù)y(a2)2ax是指數(shù)函數(shù)，則（）

A．a(chǎn)1或a3B．a(chǎn)1C．a(chǎn)3D．a(chǎn)0且a1

2

【對點訓練11】（2024·全國·高三專題練習）函數(shù)fxeaxb的大致圖像如圖，則實數(shù)

a，b的取值只可能是（）

A．a(chǎn)0,b1B．a(chǎn)0,0b1

C．a(chǎn)0,b1D．a(chǎn)0,0b1

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-

【對點訓練12】（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)f(x)=ax4+1（a0且a1）的圖

12

象恒過定點A，若點A的坐標滿足關(guān)于x，y的方程mxny4m0,n0，則的最

mn

小值為（）

A．8B．24C．4D．6

【對點訓練13】（多選題）（2024·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預測）預測人口的變化趨勢有多種方法，

n

“直接推算法”使用的公式是PnP0(1k)(k1)，其中Pn為預測期人口數(shù)，P0為初期人口

數(shù)，k為預測期內(nèi)人口年增長率，n為預測期間隔年數(shù)，則（）

A．當k1,0，則這期間人口數(shù)呈下降趨勢

B．當k1,0，則這期間人口數(shù)呈擺動變化

1

C．當k,P2P時，n的最小值為3

3n0

11

D．當k,PP時，n的最小值為3

3n20

2x

【對點訓練14】（多選題）（2024·山東聊城·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)fx，則（）

2x1

A．函數(shù)fx是增函數(shù)

1

B．曲線yfx關(guān)于0,對稱

2

1

C．函數(shù)fx的值域為0,

2

1

D．曲線yfx有且僅有兩條斜率為的切線

5

【解題總結(jié)】

解決指數(shù)函數(shù)有關(guān)問題，思路是從它們的圖像與性質(zhì)考慮，按照數(shù)形結(jié)合的思路分析，

從圖像與性質(zhì)找到解題的突破口，但要注意底數(shù)對問題的影響.

題型三：指數(shù)函數(shù)中的恒成立問題

【例3】（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)f(x)2x,xR，若不等式f2(x)f(x)m0

在R上恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是________.

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2x2x

【對點訓練15】（2024·全國·高三專題練習）設fx，當xR時，

2

fx2mxf10恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是____________.

【對點訓練16】（2024·全國·高三專題練習）已知不等式4xa2x20，對于a(,3]恒

成立，則實數(shù)x的取值范圍是_________．

【對點訓練17】（2024·全國·高三專題練習）若x[1,)，不等式4xm2x10恒成立，

則實數(shù)m的取值范圍是______．

3xb

【對點訓練18】（2024·上海徐匯·高三位育中學?？奸_學考試）已知函數(shù)fx是定

3x1

義域為R的奇函數(shù).

(1)求實數(shù)b的值，并證明fx在R上單調(diào)遞增；

3

(2)已知a0且a1，若對于任意的x、x1,3，都有fxax22恒成立，求實數(shù)a

1212

的取值范圍.

【解題總結(jié)】

已知不等式能恒成立求參數(shù)值(取值范圍)問題常用的方法：

（1）函數(shù)法：討論參數(shù)范圍，借助函數(shù)單調(diào)性求解；

（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域或最值問題加以解決；

（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系

中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解．

題型四：指數(shù)函數(shù)的綜合問題

121

【例4】（2024·全國·合肥一中校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)fx1，

2x24x4x1

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則不等式f2x3fx2的解集為（）

A．2,11,B．1,13,

1

C．,13,D．3,13,

2

11

【對點訓練19】（2024·上海浦東新·華師大二附中校考模擬預測）