2025年高考數(shù)學(xué)必刷題分類：第7講、函數(shù)的性質(zhì)（學(xué)生版）

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第7講函數(shù)的性質(zhì)

知識(shí)梳理

1、函數(shù)的單調(diào)性

（1）單調(diào)函數(shù)的定義

一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)锳，區(qū)間DA：

如果對(duì)于內(nèi)的任意兩個(gè)自變量的值，當(dāng)時(shí)，都有，那么就

Dx1x2x1x2f(x1)f(x2)

說(shuō)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)．

如果對(duì)于內(nèi)的任意兩個(gè)自變量的值，，當(dāng)時(shí)，都有，那么

Dx1x2x1x2f(x1)f(x2)

就說(shuō)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)．

①屬于定義域A內(nèi)某個(gè)區(qū)間上；

②任意兩個(gè)自變量，且；

x1x2x1x2

③都有或；

f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)

④圖象特征：在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左向右是上升的，減函數(shù)的圖象從左向右是

下降的．

（2）單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間

①單調(diào)區(qū)間的定義：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù)f(x)

在區(qū)間D上具有單調(diào)性，D稱為函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間．

②函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)．

（3）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵從“同增異減”，即在對(duì)應(yīng)的取值區(qū)間上，外層函數(shù)是增（減）函數(shù)，

內(nèi)層函數(shù)是增（減）函數(shù)，復(fù)合函數(shù)是增函數(shù)；外層函數(shù)是增（減）函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是減（增）

函數(shù)，復(fù)合函數(shù)是減函數(shù).

2、函數(shù)的奇偶性

函數(shù)奇偶性的定義及圖象特點(diǎn)

奇偶性定義圖象特點(diǎn)

如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有關(guān)于y軸對(duì)

偶函數(shù)

f(x)f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)稱

如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有關(guān)于原點(diǎn)對(duì)

奇函數(shù)

f(x)

f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)稱

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判斷f(x)與f(x)的關(guān)系時(shí)，也可以使用如下結(jié)論：如果f(x)f(x)0或

f(x)f(x)

1(f(x)0)，則函數(shù)f(x)為偶函數(shù)；如果f(x)f(x)0或1(f(x)0)，

f(x)f(x)

則函數(shù)f(x)為奇函數(shù)．

注意：由函數(shù)奇偶性的定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)前提條件是：對(duì)于定義域內(nèi)的

任意一個(gè)x，x也在定義域內(nèi)(即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)．

3、函數(shù)的對(duì)稱性

(1)若函數(shù)yf(x＋a)為偶函數(shù)，則函數(shù)yf(x)關(guān)于xa對(duì)稱．

(2)若函數(shù)yf(x＋a)為奇函數(shù)，則函數(shù)yf(x)關(guān)于點(diǎn)(a，0)對(duì)稱．

(3)若f(x)f(2ax)，則函數(shù)f(x)關(guān)于xa對(duì)稱．

(4)若f(x)＋f(2ax)2b，則函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)(a，b)對(duì)稱．

4、函數(shù)的周期性

（1）周期函數(shù)：

對(duì)于函數(shù)yf(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有

f(xT）f(x)，那么就稱函數(shù)yf(x)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期.

（2）最小正周期：

如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么稱這個(gè)最小整數(shù)叫做

f(x)的最小正周期.

【解題方法總結(jié)】

1、單調(diào)性技巧

（1）證明函數(shù)單調(diào)性的步驟

①取值：設(shè)，是定義域內(nèi)一個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)量，且；

x1x2f(x)x1x2

②變形：作差變形(變形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商變形；

③定號(hào)：判斷差的正負(fù)或商與1的大小關(guān)系；

④得出結(jié)論．

（2）函數(shù)單調(diào)性的判斷方法

①定義法：根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，按照“取值—變形—判斷符號(hào)—下結(jié)論”進(jìn)行判

斷．

②圖象法：就是畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的上升或下降趨勢(shì)，判斷函數(shù)的單調(diào)性．

③直接法：就是對(duì)我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接寫

出它們的單調(diào)區(qū)間．

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（3）記住幾條常用的結(jié)論：

①若f(x)是增函數(shù)，則f(x)為減函數(shù)；若f(x)是減函數(shù)，則f(x)為增函數(shù)；

②若f(x)和g(x)均為增(或減)函數(shù)，則在f(x)和g(x)的公共定義域上f(x)g(x)為增

(或減)函數(shù)；

1

③若f(x)0且f(x)為增函數(shù)，則函數(shù)f(x)為增函數(shù)，為減函數(shù)；

f(x)

1

④若f(x)0且f(x)為減函數(shù)，則函數(shù)f(x)為減函數(shù)，為增函數(shù)．

f(x)

2、奇偶性技巧

(1)函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

(2)奇偶函數(shù)的圖象特征.

函數(shù)f(x)是偶函數(shù)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；

函數(shù)f(x)是奇函數(shù)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱.

(3)若奇函數(shù)yf(x)在x0處有意義，則有f(0)0；

偶函數(shù)yf(x)必滿足f(x)f(|x|).

(4)偶函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相反；奇函數(shù)在其定義域內(nèi)

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相同.

(5)若函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)f(x)能表示成一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)

11

的和的形式.記g(x)[f(x)f(x)]，h(x)[f(x)f(x)]，則f(x)g(x)h(x).

22

(6)運(yùn)算函數(shù)的奇偶性規(guī)律：運(yùn)算函數(shù)是指兩個(gè)（或多個(gè)）函數(shù)式通過(guò)加、減、乘、除

四則運(yùn)算所得的函數(shù)，如f(x)g(x),f(x)g(x),f(x)g(x),f(x)g(x).

對(duì)于運(yùn)算函數(shù)有如下結(jié)論：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；

奇()奇=偶；奇()偶=奇；偶()偶=偶.

(7)復(fù)合函數(shù)yf[g(x)]的奇偶性原來(lái)：內(nèi)偶則偶，兩奇為奇.

(8)常見(jiàn)奇偶性函數(shù)模型

ax1ax1

奇函數(shù)：①函數(shù)f(x)m()(x0)或函數(shù)f(x)m()．

ax1ax1

②函數(shù)f(x)(axax)．

xm2mxm2m

③函數(shù)f(x)loglog(1)或函數(shù)f(x)loglog(1)

axmaxmaxmaxm

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22

④函數(shù)f(x)loga(x1x)或函數(shù)f(x)loga(x1x)．

2m2m

注意：關(guān)于①式，可以寫成函數(shù)f(x)m(x0)或函數(shù)f(x)m(mR)．

ax1ax1

偶函數(shù)：①函數(shù)f(x)(axax)．

mx

②函數(shù)f(x)log(amx1)．

a2

③函數(shù)f(|x|)類型的一切函數(shù)．

④常數(shù)函數(shù)

3、周期性技巧

函數(shù)式滿足關(guān)系（xR）周期

f(xT)f(x)T

f(xT)f(x)2T

11

f(xT);f(xT)2T

f(x)f(x)

f(xT)f(xT)2T

f(xT)f(xT)4T

f(ax)f(ax)

2(ba)

f(bx)f(bx)

f(ax)f(ax)

2a

f(x)為偶函數(shù)

f(ax)f(ax)

2(ba)

f(bx)f(bx)

f(ax)f(ax)

2a

f(x)為奇函數(shù)

f(ax)f(ax)

4(ba)

f(bx)f(bx)

f(ax)f(ax)

4a

f(x)為奇函數(shù)

f(ax)f(ax)

4a

f(x)為偶函數(shù)

4、函數(shù)的的對(duì)稱性與周期性的關(guān)系

（1）若函數(shù)yf(x)有兩條對(duì)稱軸xa，xb(ab)，則函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，且

T2(ba)；

（2）若函數(shù)yf(x)的圖象有兩個(gè)對(duì)稱中心(a,c),(b,c)(ab)，則函數(shù)yf(x)是周

期函數(shù)，且T2(ba)；

（3）若函數(shù)yf(x)有一條對(duì)稱軸xa和一個(gè)對(duì)稱中心(b,0)(ab)，則函數(shù)yf(x)

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是周期函數(shù)，且T4(ba).

5、對(duì)稱性技巧

（1）若函數(shù)yf(x)關(guān)于直線xa對(duì)稱，則f(ax)f(ax)．

（2）若函數(shù)yf(x)關(guān)于點(diǎn)(a，b)對(duì)稱，則f(ax)f(ax)2b．

（3）函數(shù)yf(ax)與yf(ax)關(guān)于y軸對(duì)稱，函數(shù)yf(ax)與yf(ax)關(guān)

于原點(diǎn)對(duì)稱．

必考題型全歸納

題型一：函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用

fxxx

例1．已知函數(shù)的定義域是R，若對(duì)于任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)1，2，總有

fxfx

210成立，則函數(shù)fx一定是（）

x2x1

A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)C．增函數(shù)D．減函數(shù)

f(a)-f(b)

例2．若定義在R上的函數(shù)f(x)對(duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)a，b，總有>0成立，則

a-b

必有（）

A．f(x)在R上是增函數(shù)B．f(x)在R上是減函數(shù)

C．函數(shù)f(x)先增后減D．函數(shù)f(x)先減后增

例3．下列函數(shù)中，滿足“fxyfxfy”的單調(diào)遞增函數(shù)是

1

3

A．fxx2B．fxx

x

1x

C．fxD．fx3

2

2

變式1．函數(shù)fxx3x2的單調(diào)遞增區(qū)間是（）

33

A．,B．1,和2,

22

33

C．,1和,2D．,和2,

22

變式2．（江蘇省泰州市海陵區(qū)2024學(xué)年高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)

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2x

f(x),x(0,)．

x1

(1)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，并利用定義證明；

(2)若f2m1f1m，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

ax1

變式3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)a0，a1，證明：函數(shù)x是x的增函數(shù)

x

x0．

2xa

變式4．（2024·上海靜安·高三?？计谥校┮阎瘮?shù)f(x)(a0)，且f(0)0.

a2x

(1)求a的值，并指出函數(shù)f(x)的奇偶性；

(2)在（1）的條件下，運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性的定義，證明函數(shù)f(x)在(,)上是增函數(shù).

【解題總結(jié)】

函數(shù)單調(diào)性的判斷方法

①定義法：根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，按照“取值—變形—判斷符號(hào)—下結(jié)論”進(jìn)行判

斷．

②圖象法：就是畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的上升或下降趨勢(shì)，判斷函數(shù)的單調(diào)性．

③直接法：就是對(duì)我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接寫

出它們的單調(diào)區(qū)間．

題型二：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷

例4．函數(shù)yx23x的單調(diào)遞減區(qū)間為（）

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33

A．,B．,

22

C．0,D．,3

2

例5．（陜西省寶雞市金臺(tái)區(qū)2024學(xué)年高三下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）函數(shù)ylog2(2xx)的

單調(diào)遞減區(qū)間為（）

A．(1,2)B．1,2

C．(0,1)D．0,1

例6．（陜西省榆林市2024學(xué)年高三下學(xué)期階段性測(cè)試）函數(shù)ylg2cosx3的單調(diào)遞增

區(qū)間為（）

11

A．2k,2k2kZB．2k，2kkZ

6

C．2k,2kkZD．2k,2kkZ

66

【解題總結(jié)】

討論復(fù)合函數(shù)yf[g(x)]的單調(diào)性時(shí)要注意：既要把握復(fù)合過(guò)程，又要掌握基本函數(shù)的

單調(diào)性．一般需要先求定義域，再把復(fù)雜的函數(shù)正確地分解為兩個(gè)簡(jiǎn)單的初等函數(shù)的復(fù)合，

然后分別判斷它們的單調(diào)性，再用復(fù)合法則，復(fù)合法則如下：

1、若ug(x)，yf(u)在所討論的區(qū)間上都是增函數(shù)或都是減函數(shù)，則yf[g(x)]為

增函數(shù)；

2、若ug(x)，yf(u)在所討論的區(qū)間上一個(gè)是增函數(shù)，另一個(gè)是減函數(shù)，則

yf[g(x)]為減函數(shù)．列表如下：

ug(x)yf(u)yf[g(x)]

增增增

增減減

減增減

減減增

復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可簡(jiǎn)記為“同增異減”，即內(nèi)外函數(shù)的單性相同時(shí)遞增；單性相異時(shí)遞減．

題型三：利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值

例7．（河南省2024屆高三下學(xué)期仿真模擬考試數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)fx為定義在R上的

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x

單調(diào)函數(shù)，且ffx22x10，則fx在2,2上的值域?yàn)開(kāi)_____．

ax

例8．（上海市靜安區(qū)2024屆高三二模數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)fx(a0)為偶函數(shù)，

2x1

則函數(shù)fx的值域?yàn)開(kāi)__________.

例9．（河南省部分學(xué)校大聯(lián)考2024學(xué)年高三下學(xué)期3月質(zhì)量檢測(cè)）已知函數(shù)

fxax3x1(a0且a1)，若曲線yfx在點(diǎn)0,f0處的切線與直線

x2y10垂直，則fx在1,2上的最大值為_(kāi)_________.

2xm

變式5．（新疆烏魯木齊市第八中學(xué)2024屆高三上學(xué)期第一次月考）若函數(shù)fx在

x1

區(qū)間0,1上的最大值為3，則實(shí)數(shù)m=_______.

【解題總結(jié)】

利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值時(shí)應(yīng)先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求最值．常用到下面的結(jié)論：

1、如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b]上是增函數(shù)，在區(qū)間[b，c)上是減函數(shù)，則函數(shù)

yf(x)(xa，c)在xb處有最大值f(b)．

2、如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b]上是減函數(shù)，在區(qū)間[b，c)上是增函數(shù)，則函數(shù)

yf(x)(xa，c)在xb處有最小值f(b)．

3、若函數(shù)yf(x)在[a，b]上是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)yf(x)在[a，b]上一定有最

大、最小值．

4、若函數(shù)yf(x)在區(qū)間[a，b]上是單調(diào)遞增函數(shù)，則yf(x)的最大值是f(b)，最

小值是f(a)．

5、若函數(shù)yf(x)在區(qū)間[a，b]上是單調(diào)遞減函數(shù)，則yf(x)的最大值是f(a)，最

小值是f(b)．

題型四：利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍

3a1x4a(x1)

xx

例10．已知函數(shù)fxa，滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù)1，2且x1x2，都有

x1

x

f(x1)f(x2)(x1x2)0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）

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11111

A．,1B．0,C．,D．,1

73636

3

例11．（吉林省松原市2024學(xué)年高三上學(xué)期第一次月考）若函數(shù)fxlogaxax（a0

1

且a1）在區(qū)間,0內(nèi)單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（）

2

1399

A．,1B．,1C．,D．1,

4444

例12．（四川省廣安市2024學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)

x2ax9,x1

fxa在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）

,x1

x

A．5,0B．(,2)

C．5,2D．(,0)

變式6．（江西省臨川第一中學(xué)2024屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（理）試題）已知函數(shù)

2

0,1a

fxlogaxax3在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）

A．0,1B．1,4

C．0,11,4D．2,4

變式7．（天津市復(fù)興中學(xué)2024學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)fxx22kx5

在2,4上具有單調(diào)性，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（）．

A．k4B．k2

C．k4或k2D．k4或k2

【解題總結(jié)】

若已知函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)a的取值范圍問(wèn)題，可利用函數(shù)單調(diào)性，先列出關(guān)于參數(shù)

a的不等式，利用下面的結(jié)論求解．

1、若af(x)在[m，n]上恒成立af(x)在[m，n]上的最大值．

2、若af(x)在[m，n]上恒成立af(x)在[m，n]上的最小值．

題型五：基本初等函數(shù)的單調(diào)性

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例13．（2024·天津河西·天津市新華中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)yfx2是R上的偶

fx1fx2

函數(shù)，對(duì)任意x1，x22,，且x1x2都有0成立．若aflog318，

x1x2

e2ln10

bfln，cfe2，則a，b，c的大小關(guān)系是（）

2

A．bacB．a(chǎn)bcC．cbaD．b<c<a

例14．（多選題）（甘肅省慶陽(yáng)市寧縣第一中學(xué)2024學(xué)年高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）已知函

數(shù)fx在區(qū)間5,5上是偶函數(shù)，在區(qū)間0,5上是單調(diào)函數(shù)，且f3f1，則（）

A．f(1)f(3)B．f0f(1)

C．f(1)f1D．f(3)f5

例15．（2024屆北京市朝陽(yáng)區(qū)高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在

區(qū)間(0,)上單調(diào)遞增的是（）

32|x|

A．yxB．yx1C．ylog2xD．y2

【解題總結(jié)】

1、比較函數(shù)值大小，應(yīng)將自變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函數(shù)單調(diào)性解決.

2、求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟為：①求函數(shù)定義域；②求簡(jiǎn)單函數(shù)單調(diào)區(qū)間；③

求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間(同增異減).

3、利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)時(shí)，通常要把參數(shù)視為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)圖像或單調(diào)性定義，

確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較，利用區(qū)間端點(diǎn)間關(guān)系求參數(shù).同時(shí)注意函數(shù)定義

域的限制，遇到分段函數(shù)注意分點(diǎn)左右端點(diǎn)函數(shù)值的大小關(guān)系.

題型六：函數(shù)的奇偶性的判斷與證明

例16．利用圖象判斷下列函數(shù)的奇偶性：

x22x1,x0

(1)f(x)2

x2x1,x0

x2x,x0,

(2)f(x)2

xx，x0

1x

(3)y()；

2

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

(4)ylog2(x1)；

(5)yx22x1.

例17．（2024·北京·高三專題練習(xí)）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間0,上單調(diào)遞增的

是（）

1

A．ycosxB．yexC．ylgxD．y

x

例18．（多選題）（黑龍江省哈爾濱市第五中學(xué)校2024學(xué)年高三下學(xué)期開(kāi)學(xué)檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）

設(shè)函數(shù)fx,gx的定義域都為R，且fx是奇函數(shù)，gx是偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的

是（）

A．fxgx是偶函數(shù)B．fxgx是奇函數(shù)

C．fxgx是奇函數(shù)D．fxgx是偶函數(shù)

變式8．（北京市海淀區(qū)2024屆高三二模數(shù)學(xué)試題）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間0,1

上單調(diào)遞增的是（）

2

A．ylgxB．yC．y2|x|D．ytanx

x

【解題總結(jié)】

函數(shù)單調(diào)性與奇偶性結(jié)合時(shí)，注意函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的定義，以及奇偶函數(shù)圖像的對(duì)

稱性.

題型七：已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)

例19．（四川省成都市蓉城聯(lián)盟2024學(xué)年高三下學(xué)期第二次聯(lián)考）已知函數(shù)

xx

fxeaesin2x是偶函數(shù)，則a______．

例20．（江西省部分學(xué)校2024屆高三下學(xué)期一輪復(fù)習(xí)驗(yàn)收考試）若函數(shù)

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

x

fxlog2161ax是偶函數(shù)，則loga2__________．

例21．（湖南省部分學(xué)校2024屆高三下學(xué)期5月聯(lián)數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)fx2x2ax2，

若fx1是偶函數(shù)，則a______．

變式9．若函數(shù)fx2e2xae2x1為偶函數(shù)，則a__________.

【解題總結(jié)】

利用函數(shù)的奇偶性的定義轉(zhuǎn)化為f(x)f(x)，建立方程，使問(wèn)題得到解決，但是

在解決選擇題、填空題時(shí)還顯得比較麻煩，為了使解題更快，可采用特殊值法求解.

題型八：已知函數(shù)的奇偶性求表達(dá)式、求值

例22．（2024年高三數(shù)學(xué)押題卷五）已知函數(shù)fx是奇函數(shù)，函數(shù)gx是偶函數(shù)．若

2023π

fxgxxsinx，則f（）

2

2023π2023π

A．B．C．0D．1

22

x23x,x0,

例23．（廣東省湛江市2024屆高三二模數(shù)學(xué)試題）已知奇函數(shù)fx則

gx1,x0,

gx__________．

例24．已知函數(shù)fx是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，fxx24x3，則函數(shù)fx

的解析式為_(kāi)________．

變式10．設(shè)函數(shù)f(x)與g(x)的定義域是xRx1，函數(shù)f(x)是一個(gè)偶函數(shù)，g(x)是一

1

個(gè)奇函數(shù)，且f(x)g(x)，則f(x)等于（）

x1

12x222x

A．B．C．D．

x21x21x21x21

【解題總結(jié)】

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

抓住奇偶性討論函數(shù)在各個(gè)分區(qū)間上的解析式，或充分利用奇偶性得出關(guān)于f(x)的方

程，從而可得f(x)的解析式.

題型九：已知f(x)奇函數(shù)+M

例25．（寧夏銀川一中、昆明一中2024屆高三聯(lián)合二?？荚嚁?shù)學(xué)試題）已知函數(shù)

fxax5bsinxc，若f1f12，則c（）

2

A．B．0C．1D．

13

例26．（河南省濟(jì)洛平許2024屆高三第四次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）已知fx1在R上單調(diào)遞

12

增，且為奇函數(shù).若正實(shí)數(shù)a，b滿足fa4fb2，則的最小值為（）

ab

3233

A．B．2C．322D．2

4242

例27．（重慶市巴蜀中學(xué)2024屆高三高考適應(yīng)性月考數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)

f(x)cosxlnx1x2在區(qū)間[5,5]的最大值是M，最小值是m，則f(Mm)的值

4

等于()

A．0B．10C．D．

42

變式11．（福建省福州格致中學(xué)2024學(xué)年高三下學(xué)期期中考數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)

fxalnx1x2bsinx2，若f37，則f3（）

A．等于7B．等于5C．等于3D．無(wú)法確定

【解題總結(jié)】

已知f(x)奇函數(shù)+M，x[a,a]，則

（1）f(x)f(x)2M

（）

2f(x)maxf(x)min2M

題型十：函數(shù)的對(duì)稱性與周期性

例28．（多選題）（2024·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考二模）定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)f(4x)0，

f(22x)是偶函數(shù)，f(1)1，則（）

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

A．fx是奇函數(shù)B．f20231

100

C．fx的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱D．kf(2k1)100

k1

例29．（多選題）（2024·湖南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知定義在R上的函數(shù)fx和gx的

導(dǎo)函數(shù)分別是fx和gx，若fxgx21，fx2g2x，且gx2是

奇函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）

A．f41B．gx的圖像關(guān)于點(diǎn)1,0對(duì)稱

20242024

C．fk0D．fkgk10

k1k1

例30．（多選題）（2024·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx，gx的定義域均為R，導(dǎo)

函數(shù)分別為fx，gx，若f3xgx2，fxgx1，且g2xgx0，

則（）

A．4為函數(shù)gx的一個(gè)周期B．函數(shù)fx的圖象關(guān)于點(diǎn)2,2對(duì)稱

20242024

C．gn0D．fn4048

n1n1

變式12．（多選題）（2024·山東濱州·統(tǒng)考二模）函數(shù)yfx在區(qū)間,上的圖象是

一條連續(xù)不斷的曲線，且滿足f3xf3x6x0，函數(shù)f12x的圖象關(guān)于點(diǎn)0,1

對(duì)稱，則（）

A．fx的圖象關(guān)于點(diǎn)1,1對(duì)稱B．8是fx的一個(gè)周期

C．fx一定存在零點(diǎn)D．f101299

【解題總結(jié)】

（1）若函數(shù)yf(x)有兩條對(duì)稱軸xa，xb(ab)，則函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，且

T2(ba)；

（2）若函數(shù)yf(x)的圖象有兩個(gè)對(duì)稱中心(a,c),(b,c)(ab)，則函數(shù)yf(x)是周

期函數(shù)，且T2(ba)；

（3）若函數(shù)yf(x)有一條對(duì)稱軸xa和一個(gè)對(duì)稱中心(b,0)(ab)，則函數(shù)yf(x)

是周期函數(shù)，且T4(ba).

題型十一：類周期函數(shù)

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

例31．（2024·山西長(zhǎng)治·高三山西省長(zhǎng)治市第二中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）定義域?yàn)镽的函數(shù)

x2x,x(0,1)

x2t1

fx滿足fx22fx，fx1，若x(2,0]時(shí)，f(x)恒

,x1,22t

2

成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（）

A．[2,0)(0,1)B．[2,0)[1,)C．[2,1]D．(,2](0,1]

例32．（2024·江西南昌·高三校考期中）已知定義在0,上的函數(shù)f(x)滿足

12

f(x)f(x2)，且當(dāng)x0,2時(shí)，f(x)x2x.設(shè)f(x)在2n2,2n上的最大值為an

2

*

（nN），且數(shù)列an的前n項(xiàng)的和為Sn.若對(duì)于任意正整數(shù)n不等式kSn12n9恒

成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（）

137

A．0,B．,C．,D．,

326464

例33．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿足f(x2)3f(x)，當(dāng)x[0,2]

13

時(shí)，f(x)x22x，若x[4,2]時(shí)，f(x)(t)恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是()

18t

A．,10,3B．,30,3

C．1,03,D．3,03,

44x8,1x3

變式13．（多選題）（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)1x，則下

f,x3

23

列說(shuō)法正確的是（）

11

A．若函數(shù)yf(x)kx有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為,

183

1

．關(guān)于x的方程*有個(gè)不同的解

Bf(x)0nN2n1

2n3

C．對(duì)于實(shí)數(shù)x[1,)，不等式xf(x)80恒成立

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

n1

n1n*3

D．當(dāng)x3,3nN時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象與x軸圍成的圖形的面積為4

2

【解題總結(jié)】

1、類周期函數(shù)

若yf(x)滿足：f(xm)kf(x)或f(x)kf(xm)，則yf(x)橫坐標(biāo)每增加m個(gè)

單位，則函數(shù)值擴(kuò)大k倍．此函數(shù)稱為周期為m的類周期函數(shù)．

類周期函數(shù)圖象倍增函數(shù)圖象

2、倍增函數(shù)

x

若函數(shù)yf(x)滿足f(mx)kf(x)或f(x)kf()，則yf(x)橫坐標(biāo)每擴(kuò)大m倍，

m

則函數(shù)值擴(kuò)大k倍．此函數(shù)稱為倍增函數(shù)．

g(x)，x[1，m)

2

g(xm1)，x[m，m)

注意當(dāng)mk時(shí)，構(gòu)成一系列平行的分段函數(shù)，f(x)g(xm21)，x[m2，m3)．

n1n1n

g(xm1)，x[m，m)

題型十二：抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性

例34．（安徽省蚌埠市2024學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知定義在R上的函數(shù)fx，

gx滿足：①f01；②gx為奇函數(shù)；③x0,，g(x)0；④任意的x，yR，

fxyfxfygxgy.

（1）判斷并證明函數(shù)fx的奇偶性；

（2）判斷并證明函數(shù)fx在(0,+￥)上的單調(diào)性.

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

例35．（2024·河北石家莊·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)f(x)定義域?yàn)镽，f(x1)為奇函數(shù)，

f(x1)為偶函數(shù)，當(dāng)x(1,1)時(shí)，f(x)x21，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

73

A．fB．f(x7)為奇函數(shù)

24

C．f(x)在(6,8)上是減函數(shù)D．方程f(x)lgx0僅有6個(gè)實(shí)數(shù)解

例36．（2024·湖北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx是定義在R上的偶函數(shù)，對(duì)任意

fxfx

12

x1,x2[0,)，且x1x2，有0，若f10，則不等式x1fx0的解集是

x1x2

（）

A．1,11,B．1,1C．,11,D．,10,1

變式14．（四川省遂寧市2024學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）定義在R上的函數(shù)f(x)，對(duì)

任意x1,x2R，滿足下列條件：①f(x1x2)f(x1)f(x2)2②f(2)4

（1）是否存在一次函數(shù)f(x)滿足條件①②，若存在，求出f(x)的解析式；若不存在，說(shuō)明

理由.

（2）證明：g(x)f(x)2為奇函數(shù)；

變式15．（安徽省蚌埠市2024學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知定義在R上的函數(shù)fx，

gx滿足：

①f01；

②任意的x，yR，fxyfxfygxgy.

（1）求f2xg2x的值；

（2）判斷并證明函數(shù)fx的奇偶性.

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

變式16．（多選題）（2024·遼寧沈陽(yáng)·高三沈陽(yáng)二中?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)fx對(duì)任意

xR都有fx4fx2f2，若yfx1的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱，且對(duì)任意的

fx1fx2

x1，x20,2，且x1x2，都有0，則下列結(jié)論正確的是（）．

x1x2

A．fx是偶函數(shù)B．fx的周期T4

C．f20220D．fx在4,2單調(diào)遞減

【解題總結(jié)】

抽象函數(shù)的模特函數(shù)通常如下：

(1)若f(xy)f(x)f(y)，則f(x)xf(1)(正比例函數(shù))

(2)若f(xy)f(x)f(y)，則f(x)[f(1)]x(指數(shù)函數(shù))

若，則對(duì)數(shù)函數(shù)

(3)f(xy)f(x)f(y)f(x)logbx()

(4)若f(xy)f(x)f(y)，則f(x)xa(冪函數(shù))

(5)若f(xy)f(x)f(y)m，則f(x)xf(1)m(一次函數(shù))

(6)對(duì)于抽象函數(shù)判斷單調(diào)性要結(jié)合題目已知條件，在所給區(qū)間內(nèi)比較大小，有時(shí)需要

適當(dāng)變形.

題型十三：函數(shù)性質(zhì)的綜合

例37．（廣西2024屆高三畢業(yè)班高考模擬測(cè)試數(shù)學(xué)試題）已知定義在R上的函數(shù)fx在

,2上單調(diào)遞減，且fx2為偶函數(shù)，則不等式fx1f2x的解集為（）

55

A．,6,B．,1,

3