2025年高考數(shù)學(xué)必刷題分類：第32講、解三角形（學(xué)生版）

第32講解三角形

知識梳理

知識點一：基本定理公式

（1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外

接圓半徑，則

定理正弦定理余弦定理

a2b2c22bccosA；

abc

公式==2Rb2c2a22accosB；

sinAsinBsinC

c2a2b22abcosC．

b2c2a2

cosA；

（1）a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC；2bc

abcc2a2b2

常見變形（2）sinA，sinB，sinC；cosB；

2R2R2R2ac

a2b2c2

cosC．

2ab

（2）面積公式：

111

SABCabsinCbcsinAacsinB

222

abc1

SABC(abc)r（r是三角形內(nèi)切圓的半徑，并可由此計算R，r．）

4R2

知識點二：相關(guān)應(yīng)用

（1）正弦定理的應(yīng)用

①邊化角，角化邊a:b:csinA:sinB:sinC

②大邊對大角大角對大邊

abABsinAsinBcosAcosB

③合分比：

abcabbcacabc

2R

sinAsinBsinCsinAsinBsinBsinCsinAsinCsinAsinBsinC

（2）△ABC內(nèi)角和定理：ABC

①sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinBcacosBbcosA

同理有：abcosCccosB，bccosAacosC．

②cosCcos(AB)cosAcosBsinAsinB；

③斜三角形中，

tanAtanB

tanCtan(AB)tanAtanBtanCtanAtanBtanC

1tanAtanB

ABCABC

④sin()cos；cos()sin

2222

2

⑤在ABC中，內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列B,AC．

33

知識點三：實際應(yīng)用

（1）仰角和俯角

在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角

（如圖①）．

（2）方位角

從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點的方位角為α（如圖②）．

（3）方向角：相對于某一正方向的水平角．

（1）北偏東α，即由指北方向順時針旋轉(zhuǎn)α到達目標(biāo)方向（如圖③）．

（2）北偏西α，即由指北方向逆時針旋轉(zhuǎn)α到達目標(biāo)方向．

（3）南偏西等其他方向角類似．

（4）坡角與坡度

（1）坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)（如圖④，角θ為坡角）．

（2）坡度：坡面的鉛直高度與水平長度之比（如圖④，i為坡度）．坡度又稱為坡比．

【解題方法總結(jié)】

1、方法技巧：解三角形多解情況

在△ABC中，已知a，b和A時，解的情況如下：

A為銳角A為鈍角或直角

圖形

bsinAabab

關(guān)系式absinAabab

解的個

一解兩解一解一解無解

數(shù)

2、在解三角形題目中，若已知條件同時含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦

定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則常用：

（1）若式子含有sinx的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“角化邊”；

（2）若式子含有a,b,c的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“邊化角”；

（3）若式子含有cosx的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理，“角化邊”；

（4）代數(shù)變形或者三角恒等變換前置；

（5）含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理使用；

（6）同時出現(xiàn)兩個自由角（或三個自由角）時，要用到ABC．

3、三角形中的射影定理

在ABC中，abcosCccosB；bacosCccosA；cbcosAacosB．

必考題型全歸納

題型一：正弦定理的應(yīng)用

例1．（2024·福建龍巖·高三校聯(lián)考期中）在ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，

π5π

若a4,A,C，則b（）

412

A．23B．25C．26D．6

abc

例2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在ABC中，設(shè)命題p：，命題q：

sinCsinAsinB

ABC是等邊三角形，那么命題p是命題q的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

例3．（2024·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，

πca

c，若sinAsinBcosC且c23，A，則（）

6sinCsinA

A．83B．43C．8D．4

變式1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c，若

acosBbcosAc，且C，則B（）

5

32

A．B．C．D．

105105

變式2．（2024·河南鄭州·高三鄭州外國語中學(xué)?？茧A段練習(xí)）a，b，c分別為ABC內(nèi)

角A，B，C的對邊．已知a4，absinAsinCcsinB，則ABC外接圓的面積為（）

A．16B．64πC．128D．256

變式3．（2024·甘肅蘭州·高三蘭州五十一中?？计谥校〢BC的三個內(nèi)角A，B，C所對

b

的邊分別為a，b，c，若asinAsinBbcos2A3a，則△（）

a

A．2B．3C．22D．23

變式4．（2024·寧夏·高三六盤山高級中學(xué)?？计谥校┰贏BC中，內(nèi)角A，B，C所對的

2sin2Bsin2A

邊分別是a，b，c．若a2b，則的值為（）

sin2A

111

A．B．C．1D．

242

變式5．（2024·河南·洛寧縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對

邊分別為a，b，c，已知bcosAa3cosB，a2，則c＝（）

A．4B．6C．22D．23

【解題方法總結(jié)】

（1）已知兩角及一邊求解三角形；

（2）已知兩邊一對角；．

大角求小角一解（銳）

兩解－sinA（1一銳角、一鈍角）

小角求大角－一解－sinA1（直角）

無解－sinA1

（3）兩邊一對角，求第三邊．

題型二：余弦定理的應(yīng)用

例4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c滿足

b

b2c2a2bc且a3，則（）

sinB

A．2B．3

C．4D．23

例5．（2024·河南·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，若

sinBsinC

tanA，則A（）

sin2Bsin2Csin2A

52

A．B．C．或D．或

346633

例6．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，

若sinAsinB，且c22a21sinC，則△C（）

ππ3

A．B．C．D．

6434

變式6．（2024·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí)）在ABC中，角A，B，C的

222111△

對邊分別為a，b，c，ab3c，則（）

tanAtanBtanC

1

A．0B．1C．2D．

2

變式7．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且

cosBcosCsinA

，則b的值為（）

bcsinC

3

A．1B．3C．D．2

2

【解題方法總結(jié)】

（1）已知兩邊一夾角或兩邊及一對角，求第三邊．

（2）已知三邊求角或已知三邊判斷三角形的形狀，先求最大角的余弦值，

0,則ABC為銳角三角形

若余弦值0,則ABC為直角三角形.

0,則ABC為鈍角三角形

題型三：判斷三角形的形狀

例7．（2024·甘肅酒泉·統(tǒng)考三模）在ABC中內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，若

a2sinAcosB

，則ABC的形狀為（）

b2sinBcosA

A．等腰三角形B．直角三角形

C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形

例8．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，

且cbcosA0，則ABC形狀為（）

A．銳角三角形B．直角三角形

C．鈍角三角形D．等腰直角三角形

bcosC1cos2B

例9．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在ABC中，若，則ABC的形狀

ccosB1cos2C

為（）

A．等腰三角形B．直角三角形

C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形

變式8．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，

若b2c2a2ca，且sinA2sinC，則ABC的形狀為（）

A．銳角三角形B．直角三角形

C．鈍角三角形D．等腰三角形

變式9．（2024·河南周口·高三?？茧A段練習(xí)）已知ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分

別為a,b,c．若sin2AcsinAsinAsinBbsinC，則該三角形的形狀一定是（）

A．鈍角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．銳角三角形

變式10．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，

若a2cosAsinBb2sinAcosB,則ABC的形狀為（）

A．等腰三角形B．等腰三角形或直角三角形

C．直角三角形D．銳角三角形

變式11．（2024·北京·高三101中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊

分別為a，b，c，若a2cosAsinBb2sinAcosB，則ABC的形狀為（）

A．等腰直角三角形B．直角三角形

C．等腰三角形或直角三角形D．等邊三角形

【解題方法總結(jié)】

（1）求最大角的余弦，判斷ABC是銳角、直角還是鈍角三角形．

（2）用正弦定理或余弦定理把條件的邊和角都統(tǒng)一成邊或角，判斷是等腰、等邊還是

直角三角形．

題型四：正、余弦定理與的綜合

例10．（2024·河南南陽·統(tǒng)考二模）銳角ABC是單位圓的內(nèi)接三角形，角A,B,C的對邊

分別為a,b,c，且a2b2c24a2cosA2accosB，則a等于（）

A．2B．22C．3D．1

例11．（2024·河北唐山·高三開灤第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在ABC中，角A，B，C所

absinAabsinB

對的邊分別為a，b，c，a2b2c2.

2sinB2sinA

π

(1)求證：0C；

3

111

(2)若，求cosA.

tanBtanAtanC

例12．（2024·重慶·統(tǒng)考三模）已知ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，

sin(AB)tanCsinAsinB．

a2c2

(1)求；

b2

2

(2)若cosB，求sinA．

3

變式12．（2024·山東濱州·統(tǒng)考二模）已知ABC的三個角A，B，C的對邊分別為a，b，

c，且2cosBCcosAcos2A12cosAcosBC．

(1)若BC，求A；

b2c2

(2)求的值．

a2

變式13．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在ABC中，(ac)(sinAsinC)b(sinAsinB)，

則C（）

ππ2π5π

A．B．C．D．

6336

變式14．（2024·青?！ばＢ?lián)考模擬預(yù)測）在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對應(yīng)的邊分別是a，

3b2c2a2

b，c，若ABC的面積是，則A（）

4

π2ππ5π

A．B．C．D．

3366

變式15．（2024·全國·校聯(lián)考三模）已知a，b，c分別為ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊，

222B2B

acac3cossin.

22

(1)求證：a，b，c成等比數(shù)列；

sin2B3

(2)若，求cosB的值.

sin2Asin2C4

變式16．（2024·天津武清·天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）在ABC中，角A，

BC

B，C所對的邊分別為a，b，c，已知csinasinC

2

(1)求角A的大??；

21

(2)若b1，sinB，求邊c及cos(2BA)的值．

7

【解題方法總結(jié)】

先利用平面向量的有關(guān)知識如向量數(shù)量積將向量問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)形式，再利用三角

函數(shù)轉(zhuǎn)化求解．

題型五：解三角形的實際應(yīng)用

方向1：距離問題

例13．（2024·全國·高三專題練習(xí)）山東省科技館新館目前成為濟南科教新地標(biāo)（如圖1），

其主體建筑采用與地形吻合的矩形設(shè)計，將數(shù)學(xué)符號“”完美嵌入其中，寓意無限未知?無

限發(fā)展?無限可能和無限的科技創(chuàng)新.如圖2，為了測量科技館最高點A與其附近一建筑物樓

頂B之間的距離，無人機在點C測得點A和點B的俯角分別為75°，30°，隨后無人機沿水

平方向飛行600米到點D，此時測得點A和點B的俯角分別為45°和60°（A，B，C，D在

同一鉛垂面內(nèi)），則A，B兩點之間的距離為______米.

例14．（2024·安徽阜陽·高三安徽省臨泉第一中學(xué)?？计谥校┮挥慰驮贏處望見在正北方

向有一塔B，在北偏西45°方向的C處有一寺廟，此游客騎車向西行1km后到達D處，這時

塔和寺廟分別在北偏東30°和北偏西15°，則塔B與寺廟C的距離為______km.

例15．（2024·河南鄭州·高三統(tǒng)考期末）如圖，為了測量A,C兩點間的距離，選取同一平

面上的B，D兩點，測出四邊形ABCD各邊的長度（單位：km）：AB5，BC8，CD3，

DA5，且A,B,C,D四點共圓，則AC的長為_________km.

變式17．（2024·山東東營·高三廣饒一中?？茧A段練習(xí)）如圖，一條巡邏船由南向北行駛，

在A處測得燈塔底部C在北偏東15方向上，勻速向北航行20分鐘到達B處，此時測得燈

塔底部C在北偏東60方向上，測得塔頂P的仰角為60，已知燈塔高為23km．則巡邏

船的航行速度為______km/h．

方向2：高度問題

例16．（2024·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，某中學(xué)某班級課外學(xué)習(xí)興趣小組為了測量某座

山峰的高度，先在山腳A處測得山頂C處的仰角為60，又利用無人機在離地面高300m的

M處（即MD300m），觀測到山頂C處的仰角為15，山腳A處的俯角為45，則山高

BC_________m．

例17．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）中國古代數(shù)學(xué)名著《海島算經(jīng)》記錄了一個計算山

高的問題（如圖1）：今有望海島，立兩表齊，高三丈，前后相去千步，令后表與前表相直.

從前表卻行一百二十三步，人目著地取望島峰，與表末參合.從后表卻行百二十七步，人目

著地取望島峰，亦與表末參合.問島高及去表各幾何?假設(shè)古代有類似的一個問題，如圖2，

要測量海島上一座山峰的高度AH，立兩根高48丈的標(biāo)桿BC和DE，兩竿相距BD=800步，

D，B，H三點共線且在同一水平面上，從點B退行100步到點F，此時A，C，F(xiàn)三點共線，

從點D退行120步到點G，此時A，E，G三點也共線，則山峰的高度AH=_________步.（古

制單位:180丈=300步）

例18．（2024·全國·高三專題練習(xí)）為了培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和應(yīng)用能力，某校數(shù)學(xué)興趣

小組對學(xué)校雕像“月亮上的讀書女孩”進行測量，在正北方向一點測得雕塑最高點仰角為30°，

在正東方向一點測得雕塑最高點仰角為45°，兩個測量點之間距離約為43米，則雕塑高為

______

變式18．（2024·全國·模擬預(yù)測）山西應(yīng)縣木塔（如圖1）是世界上現(xiàn)存最古老、最高大

的木塔，是中國古建筑中的瑰寶，是世界木結(jié)構(gòu)建筑的典范．如圖2，某校數(shù)學(xué)興趣小組為

測量木塔的高度，在木塔的附近找到一建筑物AB，高為73米，塔頂P在地面上的射影為

D，在地面上再確定一點C（B，C，D三點共線），測得BC約為57米，在點A,C處測得

塔頂P的仰角分別為30°和60°，則該小組估算的木塔的高度為__________米．

方向3：角度問題

例19．（2024·福建廈門·高三廈門一中校考期中）足球是一項很受歡迎的體育運動．如圖，

某標(biāo)準(zhǔn)足球場的B底線寬AB72碼，球門寬EF8碼，球門位于底線的正中位置．在比賽

過程中，攻方球員帶球運動時，往往需要找到一點P，使得EPF最大，這時候點P就是最

佳射門位置．當(dāng)攻方球員甲位于邊線上的點O處(OAAB,OAAB)時，根據(jù)場上形勢判斷，

有OA、OB兩條進攻線路可供選擇．若選擇線路OB，則甲帶球______碼時，到達最佳射門

位置．

例20．（2024·全國·高三專題練習(xí)）當(dāng)太陽光線與水平面的傾斜角為60時，一根長為2m

的竹竿，要使它的影子最長，則竹竿與地面所成的角________．

例21．（2024·全國·高三專題練習(xí)）游客從某旅游景區(qū)的景點A處至景點C處有兩條線路．線

路1是從A沿直線步行到C，線路2是先從A沿直線步行到景點B處，然后從B沿直線步

11

行到C．現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處同時出發(fā)勻速步行，甲的速度是乙的速度的倍，甲

9

走線路2，乙走線路1，最后他們同時到達C處．經(jīng)測量，AB＝1040m，BC＝500m，則sin

∠BAC等于________．

變式19．（2024·全國·高三專題練習(xí)）最大視角問題是1471年德國數(shù)學(xué)家米勒提出的幾

何極值問題，故最大視角問題一般稱為“米勒問題”.如圖，樹頂A離地面a米，樹上另一點B

離地面b米，在離地面ccb米的C處看此樹，離此樹的水平距離為___________米時看A，

B的視角最大.

【解題方法總結(jié)】

根據(jù)題意畫出圖形，將題設(shè)已知、未知顯示在圖形中，建立已知、未知關(guān)系，利用三角

知識求解．

題型六：倍角關(guān)系

例22．（2024·全國·高三專題練習(xí)）記ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，已知

acosBb1cosA.

(1)證明：A2B；

(2)若c2b,a3，求ABC的面積.

例23．（2024·全國·模擬預(yù)測）在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c（a，b，

c互不相等），且滿足bcosC2bccosB.

（1）求證：A2B；

（2）若c2a，求cosB.

例24．（2024·江蘇·高三江蘇省前黃高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在ABC中，角A、B、

C的對邊分別為a、b、c，若A2B．

(1)求證：a2b2bc；

23

(2)若cosB，點D為邊AB上一點，ADDB，CD26，求邊長b．

34

變式20．（2024·陜西咸陽·武功縣普集高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知a,b,c分別是ABC的

角A,B,C的對邊，bsinBasinAsinC2bcos2Bc.

(1)求證：A2B；

c

(2)求的取值范圍.

a

變式21．（2024·四川·成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學(xué)?？既＃┮阎猘,b,c分別為銳

角ABC內(nèi)角A,B,C的對邊，b2acosCa．

(1)證明：C2A；

sinA

(2)求的取值范圍．

cosC

變式22．（2024·福建三明·高三統(tǒng)考期末）非等腰ABC的內(nèi)角A、B、C的對應(yīng)邊分別

acosBsinB

為a、b、c，且.

acosCsinC

(1)證明：a2bc；

2

(2)若B2C，證明：b.

3

題型七：三角形解的個數(shù)

例25．（2024·貴州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）ABC中，角A,B,C的對邊分別是a,b,c，A60，

a3.若這個三角形有兩解，則b的取值范圍是（）

A．3b2B．3b2

C．1b23D．1b2

例26．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在△ABC中，a=18，b=24，∠A=45°，此三角形解的

情況為（）

A．一個解B．二個解C．無解D．無法確定

例27．（2024·河南南陽·高三統(tǒng)考期中）在ABC中，C30，b2，cx.若滿足

條件的ABC有且只有一個，則x的可能取值是（）

13

A．B．C．1D．3

22

變式23．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，

則下列條件能確定三角形有兩解的是（）

A．a(chǎn)5,b4,A

6

B．a(chǎn)4,b5,A

4

5

C．a(chǎn)5,b4,A

6

D．a(chǎn)4,b5,A

3

變式24．（2024·北京朝陽·高三專題練習(xí)）在下列關(guān)于ABC的四個條件中選擇一個，能

夠使角A被唯一確定的是：（）

1

①sinA

2

1

②cosA；

3

1

③cosB,b3a；

4

④C45,b2,c3.

A．①②B．②③C．②④D．②③④

變式25．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)在ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，

c，若滿足a3,bm,B的ABC不唯一，則m的取值范圍為（）

6

3

A．,3B．(0,3)

2

131

C．,D．,1

222

變式26．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在ABC中，a2，B，若該三角形有兩個解，

6

則b邊范圍是（）

A．2,4B．3，4C．3，2D．1,2

變式27．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若滿足ABC,AC6,BCk的ABC恰有一個，

4

則實數(shù)k的取值范圍是（）

A．0,6B．0,662C．6,62D．6,62

【解題方法總結(jié)】

三角形解的個數(shù)的判斷：已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩

邊和一邊的對角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對大角定理

進行判斷．

題型八：三角形中的面積與周長問題

例28．（2024·全國·高三對口高考）在ABC中，若ABBC2，且B=60，則ABC

的面積為（）

3

A．23B．3C．D．6

2

例29．（2024·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，

π3

b，c，BAC，D為BC上一點，BD2DC，ADBD，則ABC的面積為（）

32

33939393

A．B．C．D．

3281632

例30．（2024·四川成都·校考模擬預(yù)測）在ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對

cosBb33

邊