銳角三角函數(shù)課件人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)

第二十八章銳角三角函數(shù)28.1第1課時(shí)銳角三角函數(shù)的定義1.理解并掌握銳角正弦、余弦和正切的的定義并能進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算.．2.在直角三角形中求銳角的正弦值、余弦值和正切值．(重點(diǎn))3.能靈活運(yùn)用銳角三角函數(shù)進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算.（難點(diǎn)）情境引入為了綠化荒山，某地打算從位于山腳下的機(jī)井房沿著山坡鋪設(shè)水管，在山坡上建一座揚(yáng)水站，對(duì)坡面綠地進(jìn)行噴灌.先測(cè)得斜坡的坡腳（∠A）為30°，為使出水口的高度為35m,需要準(zhǔn)備多長(zhǎng)的水管？互動(dòng)探究問(wèn)題

同學(xué)們，從上述情境中，你可以找到一個(gè)什么數(shù)學(xué)問(wèn)題呢？能否結(jié)合數(shù)學(xué)圖形把它描述出來(lái)？ABC35m?如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=35m,求AB.30°已知直角三角形的邊長(zhǎng)求正弦值一ABC30°35m如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=35m,求AB.所以AB=2BC=70m.因?yàn)樵谥苯侨切沃校?0°的角所對(duì)的邊等于斜邊的一半問(wèn)題：如果出水的高度為50m,那么需要準(zhǔn)備多長(zhǎng)的水管？50m在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么無(wú)論這個(gè)直角三角形大小如何，這個(gè)角的對(duì)邊與斜邊的比都等于.歸納問(wèn)題：如果∠A=45°，那么BC與AB的比是一個(gè)定值嗎？因?yàn)椤螦=45°，則AC=BC，由勾股定理得AB2=AC2+BC2=2BC2.問(wèn)題：如果∠A=45°，那么BC與AB的比是一個(gè)定值嗎？ABC如圖，任意畫一個(gè)Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45計(jì)算∠A的對(duì)邊與斜邊的比

，你能得出什么結(jié)論？所以,因此歸納當(dāng)∠A

是任意一個(gè)確定的銳角時(shí)，它的對(duì)邊與斜邊的比是否也是一個(gè)固定值呢？在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于45°，那么無(wú)論這個(gè)直角三角形大小如何，這個(gè)角的對(duì)邊與斜邊的比都等于.任意畫Rt△ABC

和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么有什么關(guān)系．能解釋一下嗎？ABCA'B'C'因?yàn)椤螩＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC∽R(shí)t△A'B'C'.∴∴∴

這就是說(shuō)，在直角三角形中，當(dāng)銳角A的度數(shù)一定時(shí)，不管三角形的大小如何，∠A的對(duì)邊與斜邊的比也是一個(gè)固定值．定義

如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我們把銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫作∠A的正弦（sine），記作sinA

即例如，當(dāng)∠A＝30°時(shí)，我們有當(dāng)∠A＝45°時(shí)，我們有ABCcab∠A的對(duì)邊斜邊在圖中∠A的對(duì)邊記作a∠B的對(duì)邊記作b∠C的對(duì)邊記作c當(dāng)銳角A的度數(shù)變化時(shí)，∠A的對(duì)邊與斜邊的比隨之變化。注意：小剛說(shuō)：對(duì)于任意銳角α，都有你認(rèn)為他說(shuō)得對(duì)嗎？為什么？0＜

＜1議一議：

銳角α的對(duì)邊總會(huì)小于斜邊而又大于01.判斷對(duì)錯(cuò):A10m6mBC(1)

（）(2)

（）(3)sinA=0.6m（）(4)sinB=0.8

（）√√××sinA是一個(gè)比值（注意比的順序），無(wú)單位；2)如圖②，

（）×鞏固練習(xí)ABC1)

如圖①

圖①

圖②

2.在Rt△ABC中，銳角

A的對(duì)邊和斜邊同時(shí)擴(kuò)大100倍，sinA的值

()A.擴(kuò)大100倍B.縮小C.不變D.不能確定C3.如圖，在正方形網(wǎng)格中有△ABC，則sin∠ABC的值為

.例1

如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．解：（1）在Rt△ABC中，因此（2）在Rt△ABC中，因此素養(yǎng)考點(diǎn)1利用正弦的定義求有關(guān)角的正弦值A(chǔ)BC34（1）ABC135（2）

求sinA就是要確定∠A的對(duì)邊與斜邊的比；求sinB就是要確定∠B的對(duì)邊與斜邊的比課本p64問(wèn)題引入

如圖所示，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°，則成立嗎？為什么？已知直角三角形的邊長(zhǎng)求余弦值和正切值一余弦一互動(dòng)探究我們來(lái)試著證明前面的問(wèn)題：∵∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°，∴∠B=∠E.從而所以∴Rt△ABC∽R(shí)t△DEF.∠A=∠D=α，∠C=∠F=

90°，∵∴∴法一：法二：由此可得，在有一個(gè)銳角等于α的所有直角三角形中，角α的鄰邊與斜邊的比值是一個(gè)常數(shù)，與直角三角形的大小無(wú)關(guān)．

如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我們把銳角A的鄰邊與斜邊的比叫作∠A的余弦（cosine），記作cosA

即ABCcab∠A的鄰邊斜邊數(shù)學(xué)·九年級(jí)全冊(cè)（R）第二十八章銳角三角函數(shù)返回導(dǎo)航下一頁(yè)上一頁(yè)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，求cosA和cosB的值．?dāng)?shù)學(xué)·九年級(jí)全冊(cè)（R）第二十八章銳角三角函數(shù)返回導(dǎo)航下一頁(yè)上一頁(yè)在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，求∠B的余弦值．解：在Rt△ABC中，∵BC＝2，AC＝4，正切二我們已經(jīng)知道，在直角三角形中，當(dāng)一個(gè)銳角的大小確定時(shí)，那么不管這個(gè)三角形的大小如何，這個(gè)銳角的對(duì)邊（或鄰邊）與斜邊的比值也就確定（是一個(gè)常數(shù)）.那么這個(gè)銳角的對(duì)邊與鄰邊的比值是否也是一個(gè)常數(shù)呢？想一想問(wèn)題如圖，△ABC

和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°，則成立嗎？為什么？∴Rt△ABC∽R(shí)t△DEF.即BC·DF=AC·EF

，∠A=∠D=α，∠C=∠F=

90°，∵∴∴

由此可得，在有一個(gè)銳角等于α的所有直角三角形中，角α的對(duì)邊與鄰邊的比值是一個(gè)常數(shù)，與直角三角形的大小無(wú)關(guān)．

角的對(duì)邊角的鄰邊如下圖，在直角三角形中，我們把銳角α的對(duì)邊與鄰邊的比叫作角α的正切，記作tanα，即由此可得，在有一個(gè)銳角等于α的所有直角三角形中，角α的對(duì)邊與鄰邊的比值是一個(gè)常數(shù)，與直角三角形的大小無(wú)關(guān)．

如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我們把銳角A的對(duì)邊與鄰邊的比叫作∠A的正切（tangent），記作tanA

即ABCcab∠A的鄰邊∠A的對(duì)邊數(shù)學(xué)·九年級(jí)全冊(cè)（R）第二十八章銳角三角函數(shù)返回導(dǎo)航下一頁(yè)上一頁(yè)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，AB＝2，求tanA和tanB的值．?dāng)?shù)學(xué)·九年級(jí)全冊(cè)（R）第二十八章銳角三角函數(shù)返回導(dǎo)航下一頁(yè)上一頁(yè)在Rt△ABC中∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c，c＝3a，tanA的值為(

)B例2

如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有一點(diǎn)

P(3，4)，連接

OP，求

OP與

x軸正方向所夾銳角

α的正弦值和余弦值.解：如圖，設(shè)點(diǎn)

A(3，0)，連接

PA.A(3，0)在Rt△APO中，由勾股定理得因此α探究新知素養(yǎng)考點(diǎn)2在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)求銳角的三角函數(shù)值

結(jié)合平面直角坐標(biāo)系求某角的正弦函數(shù)值，一般過(guò)已知點(diǎn)向

x軸或

y軸作垂線，構(gòu)造直角三角形，再結(jié)合勾股定理求解.數(shù)學(xué)·九年級(jí)全冊(cè)（R）第二十八章銳角三角函數(shù)返回導(dǎo)航下一頁(yè)上一頁(yè)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，求sinB的值．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，∴∠B＝45°，則AC＝BC,∴

AB＝

AC,數(shù)學(xué)·九年級(jí)全冊(cè)（R）第二十八章銳角三角函數(shù)返回導(dǎo)航下一頁(yè)