黃金卷05-【贏在高考·黃金8卷】2024年高考數(shù)學(xué)模擬卷（新高考Ⅰ卷專(zhuān)用）含解析

【贏在高考?黃金8卷】備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)模擬卷（新高考I卷專(zhuān)用）

黃金卷05

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿(mǎn)分：150分）

第I卷（選擇題）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要

求的。

1.設(shè)集合A={X，21},8={W），=2'},則（）

A.[0,+8）B.[0,1]C.（0,1]D.[0,1）

2.設(shè)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則復(fù)數(shù)z?（l+if°對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.在平行四i力形A8C。中，￡是的中點(diǎn).尸是CO的中點(diǎn)，與B廠相交于點(diǎn)G,貝”AG=（）

2-2-21111-2-

A.-AB+-ADB.-AB+-ADC.-AB+-ADD.-AB+-AD

33333333

4.某地投資“億元進(jìn)行基礎(chǔ)建設(shè)，，年后產(chǎn)生的社會(huì)經(jīng)濟(jì)效益為/（，）=〃/,億元，若該地投資基礎(chǔ)建設(shè)4年

后產(chǎn)生的社會(huì)經(jīng)濟(jì)效益是投資額的2倍,且再過(guò)。年,該項(xiàng)投資產(chǎn)生的社會(huì)經(jīng)濟(jì)效益是投資額的16倍?，則/,=

（）

A.4B.8C.12D.16

5.某大學(xué)強(qiáng)基測(cè)試有近千人參加，每人做題最終是否正確相互獨(dú)立，其中一道選擇題有5個(gè)選項(xiàng)，假設(shè)若

會(huì)做此題則必能答對(duì).參加考試的同學(xué)中有一部分同學(xué)會(huì)做此題；有一半的同學(xué)完全不會(huì)，需要在5個(gè)選項(xiàng)

中隨機(jī)蒙一個(gè)選項(xiàng)；剩余同學(xué)可以排除一個(gè)選項(xiàng)，在其余四個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)蒙一個(gè)選項(xiàng)，最終統(tǒng)計(jì)該題的正

答率為30%,則真會(huì)做此題的學(xué)生比例最可能為（）

A.5%B.10%C.15%D.20%

6.設(shè)函數(shù)/*）=sin（&x+e）（6y>DJ夕（卷兀兀）=7,且/⑴在（一*自）上單調(diào)，則下列

結(jié)論不正確的是（）

A.是/*）的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心

B.函數(shù)/（x）的圖象關(guān)于直線1=9對(duì)稱(chēng)

6

C.函數(shù)/（X）在區(qū)間卷，;上的值域?yàn)槿?，：

D.先將N=sinK的圖象的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的;，然后向左平移展個(gè)單位得到了⑶的圖象

7.已知〃b=gln2,c=\-—，貝IJ()

ci—￡-x29

A.b>c>aB.b>a>c

C.a>b>cD.c>b>a

8.油紙傘是中國(guó)傳統(tǒng)工藝品，至今已有1000多年的歷史，為宣傳和推廣這一傳統(tǒng)工藝，北京市文化宮開(kāi)

展油紙傘文化藝術(shù)節(jié)活動(dòng)中，某油紙傘撐開(kāi)后擺放在戶(hù)外展覽場(chǎng)地上，如圖所示，該傘傘沿是一個(gè)半徑為2

的圓，圓心到傘柄底端距離為2,當(dāng)陽(yáng)光與地面夾角為60時(shí)，在地面形成了一個(gè)橢圓形影子，且傘柄底端

正好位于該橢圓的長(zhǎng)軸上，若該橢圓的離心率為e,則/=()

A.1B.7-2芯C.3-2x/2D.3^-5

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的

要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得。分。

9.在棱長(zhǎng)為2的正方體加2。-4/￡/［中，分別是棱3CC。的中點(diǎn)，則()

A.耳。與石尸是異面直線

B.存在點(diǎn)P,使得4夕=2夕產(chǎn)，且AC”平面川省

C.A/與平面片E8所成角的余弦值為邁

3

4

D.點(diǎn)4到平面AE尸的距離為二

10.己知函數(shù)/(x)=sin3x-sin2Mxe(0,2冗))，則()

A.4引=。B.“X)恰有5個(gè)零點(diǎn)

C./(“必有極值點(diǎn)D.小)在依竄上單調(diào)遞減

11.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，r為拋物線￡：產(chǎn)=2戈的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P(2,0)的直線交E于A、R兩點(diǎn),直線質(zhì)、

分別交E于C、。，則()

A.E的準(zhǔn)線方程為x=-gB./AOB=9()

C|砌十|冏的最小值為4D.|AC|+2忸。的最小值為3+噂

12.在平面直角坐標(biāo)系中，將函數(shù)y=/(x)的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。(0。<。<90。)后，所得曲線

仍然是某個(gè)函數(shù)的圖象，則稱(chēng)/(工)為旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，則()

A.存在“90。旋轉(zhuǎn)函數(shù)''

B.“70。旋轉(zhuǎn)函數(shù)”一定是“80。旋轉(zhuǎn)函數(shù)”

C.若g(x)=ar+5為"45。旋轉(zhuǎn)函數(shù)”,則a=l

Xr

AV

D.若力(6=-7為“45。旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，則iW〃這0

第n卷(非選擇題)

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.己知〃eZ,fi3<?<6,若卜-g)的展開(kāi)式中存在常數(shù)項(xiàng)，則展開(kāi)式中的系數(shù)為.

14.已知圓。:(％-6)2+()，-8)2=1和兩點(diǎn)4(0,-〃?)，8(0,m)(〃?>0).若圓。上存在點(diǎn)2，使得/428=90。，

則陽(yáng)的最大值為.

15.已知“X)是定義域?yàn)?-4,4)的奇函數(shù).若以點(diǎn)(2,0)為圓心，半徑為2的圓在x軸上方的部分恰好是

>=/(X)圖像的一部分，則“X)的解析式為.

16.如圖，對(duì)于曲線G所在平面內(nèi)的點(diǎn)。，若存在以。為頂點(diǎn)的角。，使得對(duì)于曲線G上的任意兩個(gè)不同

的點(diǎn)人I恒有NAO84a成立，則稱(chēng)角。為曲線G的相對(duì)于點(diǎn)。的“界角”，并稱(chēng)其中最小的“界角”為曲線G

xex~l+\,x>0

的相對(duì)于點(diǎn)。的“確界角''.已知曲線cy=[1,(其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，

—x'+l,x<0

U6

曲線C的相對(duì)于點(diǎn)。的“確界角”為《，則sinp=.

AG

B

0

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及驗(yàn)算步驟。

17.(10分)已知數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)和為S.,且5；=〃、〃.

(1)求｛為｝的通項(xiàng)公式；

為奇數(shù)

(2)若數(shù)列他｝滿(mǎn)足2=%,求數(shù)列也｝的前2〃項(xiàng)和T2n.

2"〃為偶數(shù)

18.(12分)在D48c中，內(nèi)角A,3,C的對(duì)邊分別為a,且向晟/"=,/r=(sin4-sinC,sin4+sinB),

tn±n?

(1)求角人的大??；

(2)若。為AC上一點(diǎn)，且BC=3,求△8CZ)面積的最大值.

19.(12分)如圖，己知四邊形A8C￡>和CDE尸都是直角梯形，AB//DC,DC//EF,A8=5,0c=3,EF=1,

ZBAD=ZCDE=60°,Fl二面角F-￡>C-8的大小為60°.

(1)證明：平面461.平面ABC。；

(2)在線段AE上是否存在點(diǎn)使得二面角例-AC-廠的大小為45。，若存在，清求出點(diǎn)的位置；若不存

在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

20.(12分)己知/(x)=e”Tx,xeR.

(1)函數(shù)/(力有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求，的取值范圍.

⑵當(dāng)/=1時(shí)，證明：*w(a,b)(其中〃>()),使得〃b)—/(A=eJl.

b-a

21.(12分)己知?jiǎng)狱c(diǎn)尸到定點(diǎn)*0,4)的距離和它到直線y=l距離之比為2；

(1)求點(diǎn)P的軌跡。的方程；

(2)直線/在x軸上方與x軸平行，交曲線。于人B兩點(diǎn),直線/交1y軸于點(diǎn)D設(shè)。。的中點(diǎn)為例，是否存

在定直線/,使得經(jīng)過(guò)M的直線與C交于P,Q,與線段AB交于點(diǎn)MPM=/IPN，MQ=AQV均成立；若

存在，求出/的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22.(12分)某種植物感染病毒/極易死亡，當(dāng)?shù)厣镅芯克鶠榇搜邪l(fā)出了一種抗病毒/的制劑.現(xiàn)對(duì)20

株感染了病毒/的該植株樣木進(jìn)行噴霧試驗(yàn)測(cè)試藥效.測(cè)試結(jié)果分“植株死亡”和“植株存活''兩個(gè)結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)

計(jì)，并對(duì)植株吸收制劑的量(單位：毫克)進(jìn)行統(tǒng)計(jì).規(guī)定植株吸收在6亳克及以上為“足量”，否則為“不

足量現(xiàn)對(duì)該20株植株樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其中“植株存活”的13株，對(duì)制劑吸收量統(tǒng)計(jì)得下表.已知“植株存

(2)現(xiàn)假設(shè)該植物感染病毒/后的存活日數(shù)為隨機(jī)變量X(X可取任意正整數(shù)).研究人員統(tǒng)計(jì)大量數(shù)據(jù)后

發(fā)現(xiàn)：對(duì)于任意的AeN“，存活日數(shù)為(4+1)的樣本在存活日數(shù)超過(guò)攵的樣本里的數(shù)量占比與存活日數(shù)為1

的樣本在全體樣本中的數(shù)量占比相同，均等于0.1,這種現(xiàn)象被稱(chēng)為“幾何分布的無(wú)記憶性”.試推導(dǎo)

P(X=k火kuN)的表達(dá)式，弁求該植物感染病毒y后存活口數(shù)的期望E(X)的值.

_n(ad-bc)2

其中〃=a+〃+c+d：當(dāng)〃足夠大時(shí)，〃X0.9"H0.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.0100.0050.001

Xa6.6357.87910.828

【贏在高考?黃金8卷】備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)模擬卷(新高考I卷專(zhuān)用)

黃金卷05

(考試時(shí)間：120分鐘試卷滿(mǎn)分：150分)

第I卷(選擇題)

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要

求的。

1.設(shè)集合A={X，21},8={W)，=2'},則AC8=()

A.[0,+8)B.[0,1]C.(0,1]D.[0,1)

【答案】C

【分析】解分式不等式、指數(shù)函數(shù)值域求集合，再由集合的交運(yùn)算求結(jié)果.

?、

【詳解】由題設(shè)A={X|F?O}={X|OVXH},B={y\y>0}f

所以A1B=(O,1].

故選：C

2.設(shè)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則復(fù)數(shù)z?(l+if°對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【分析】由i的周期性化簡(jiǎn)(1+》°°,計(jì)算后判斷所求復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的象限.

【詳解】由復(fù)數(shù)z?(l+if°對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，

貝IJ設(shè)z=a+/?i(a>0出<0),

由(1+i)@=[(1+i)2]50=⑵戶(hù)=2當(dāng)50=2叼=-250

l005054)50

^z.(l+i)=-?,(rt4-W)=-96Z-?./>i,

由davOT5%>。,

得復(fù)數(shù)z-(l+i)m對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限.

故選：B.

3.在平行四邊形48co中，E是BC的中點(diǎn)，尸是C。的中點(diǎn)，DE與BF相交于點(diǎn)G,則4G=()

2-2-91-1-1-I.9?

A.-AB+-ADB.-AB+-ADC.-AB+-ADD.-AB+-AD

33333333

【答案】A

【分析】根據(jù)題意可知：G為△以%＞的重心，結(jié)合向量的線性運(yùn)算結(jié)合重心的性質(zhì)分析求解.

【詳解】設(shè)ACBD=O,

由題意可知：G為△BCD的重心，且。為AC的中點(diǎn)，

可知AO,G,C四點(diǎn)共線，且AO=OC=3OG,

uuo7ltt??/11111m*0\9llin2UUD

所以4G=34C=3（A8+AC）=3A8+：AO.

故選：A.

4.某地投資”億元進(jìn)行基礎(chǔ)建設(shè)，，年后產(chǎn)生的社會(huì)經(jīng)濟(jì)效益為/（，）=〃e"億元，若該地投資基礎(chǔ)建設(shè)4年

后產(chǎn)生的社會(huì)經(jīng)濟(jì)效益是投資額的2倍，且再過(guò)乙年,該項(xiàng)投資產(chǎn)生的社會(huì)經(jīng)濟(jì)效益是投資額的16倍，則％=

（）

A.4B.8C.12D.16

【答案】C

【分析】由"4）=2〃求出4的值，再令=求出，從而求出乙.

【詳解】依題意/（4）=優(yōu)=二%，顯然。工0,即e"=2,所以4/l=ln2,則4=竽，

所以人。=訛苧，令/（，）=16%即比苧=16〃，所以野，二lnl6，

即年f=41n2,所以，=16,所以該地投資基礎(chǔ)建設(shè)16年后產(chǎn)生的社會(huì)經(jīng)濟(jì)效益是投資額的16倍，

4

所以“16-4=12.

故選：C

5.某大學(xué)強(qiáng)基測(cè)試有近千人參加，每人做題最終是否正確相互獨(dú)立，其中一道選擇題有5個(gè)選項(xiàng)，假設(shè)若

會(huì)做此題則必能答對(duì).參加考試的同學(xué)中有一部分同學(xué)會(huì)做此題；有一半的同學(xué)完全不會(huì)，需要在5個(gè)選項(xiàng)

中隨機(jī)蒙一個(gè)選項(xiàng)；剩余同學(xué)可以排除一個(gè)選項(xiàng)，在其余四個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)蒙一個(gè)選項(xiàng)，最終統(tǒng)計(jì)該題的正

答率為30%,則真會(huì)做此題的學(xué)生比例最可能為（）

A.5%B.10%C.15%D.20%

【答案】B

【分析】設(shè)測(cè)試總?cè)藬?shù)為〃，真會(huì)做此題的學(xué)生人數(shù)為孫再由已知列式計(jì)算得解.

【詳解】設(shè)測(cè)試總?cè)藬?shù)為〃，真會(huì)做此題的學(xué)生人數(shù)為》,

11J、1

依題意，入+5〃、+（5”小4_笛/，解得±=io%.

-------------------=/O〃

n

故選：B

6.設(shè)函數(shù)/（x）=sin（0r+e）（3>O,lel<3/信兀）=OJ（|兀=-1,且?。┰冢ㄒ唤?）上單調(diào)，則下列

結(jié)論不正確的是（）

A.卜畜0）是/*）的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心

B.函數(shù)/（?的圖象關(guān)于直線t=二對(duì)稱(chēng)

C.函數(shù)/*）在區(qū)間

D.先將y=sinx的圖象的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的然后向左平移己個(gè)單位得到/*）的圖象

【答案】C

【分析】先求得30，然后根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性、值域、三角函數(shù)圖象變換等知識(shí)求得正確答案.

/>

n57-12

北

2夕-[

I12

27一1

/312

!27-1

》

。

兀+

n3-23721

【詳解】依題意，1I<1?

兀

兀

12-.加

一

石>

->-

112

1@+9=&1兀，①

—co+（/）=2kyii,

32

兀5兀

，③

（O12

②-①并化簡(jiǎn)得刃=8右-秋+6,&&CZ,0是偶數(shù),

12

由③得0〈53V12,0＜OWY，所以3=2,

代人①得號(hào)x2+9=（兀，夕=（兀一生，KeZ,

126

而吃,所以吟,所以f（加叫2局.

26

77r7兀

A選項(xiàng),X2+?=-71,所以一后,0是/（X）的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，A選項(xiàng)正確.

Y26V12712

B選項(xiàng),7X2+7=7?所以函數(shù)八幻的圖象關(guān)于直線x=3對(duì)稱(chēng)，B選項(xiàng)正確.

6620

加,一冗冗,冗公元，2兀

C選項(xiàng),——<x<—,——<2x<—<2x+—<—,

244122463

所以呵2人弋卜

,所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

D選項(xiàng)，先將y=sinx的圖象的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的g,得到），=sin2x,

_21+圖>"2v

然后向左平移專(zhuān)個(gè)單位得到y(tǒng)=sin2

所以D選項(xiàng)正確.

故選：C

_.1I,11C

7.已知4=2工_27，力=502,c=l--,則()

2

A.b>c>aB.h>a>c

C.a>h>cD.c>b>a

【答案】C

【分析】對(duì)4。平方可得。＜。，再構(gòu)造8（力=1門(mén)-6+白（犬〉1）,對(duì)武工）求導(dǎo)，得出g（X）的單調(diào)性可知

g（*）＜g⑴=0,所以X＞1時(shí)皿＜?一亡，即可得比較〃M的大小，即可得出答案.

【詳自系】"2=2；-2+2==收-2+正=辿-2=

22

c*=l—>/2H—=-—>/2<c<ci,

22

在B,C中選，比較小。大小,

4-^(x)=lnx-Vx+-^(x>I),

x

令f(x)=2?-x-l,/'(工)=去一1<。在(1,+°0)上恒成立，

所以“力在(1,例)上單調(diào)遞減，所以⑴=0,所以

所以g(x)在(1，田>)上單調(diào)遞減，所以g(x)<g⑴=0，

所以X>1時(shí),lnx<4一t，貝”ln2,<2；-2：，即人<"，故a>)>c.

故選：C.

8.油紙傘是中國(guó)傳統(tǒng)工藝品，至今已有1000多年的歷史，為宣傳和推廣這一傳統(tǒng)工藝，北京市文化宮開(kāi)

展油紙傘文化藝術(shù)節(jié)活動(dòng)中，某油紙傘撐開(kāi)后擺放在戶(hù)外展覽場(chǎng)地上，如圖所示，該傘傘沿是一個(gè)半徑為2

的圓，圓心到傘柄底端距離為2,當(dāng)陽(yáng)光與地面夾角為60時(shí)，在地面形成了一個(gè)橢圓形影子，且傘柄底端

正好位于該橢圓的長(zhǎng)軸上，若該橢圓的離心率為e,則/=()

【答案】D

【分析】根據(jù)題意先求得短半軸長(zhǎng)力=2,再根據(jù)正弦定理求得。=血+且，進(jìn)而根據(jù)離心率的公式求解即

3

可

【詳解】因傘柄底端正好位于該橢圓的長(zhǎng)軸上，

由圖可知，橢圓的短半軸長(zhǎng)人=2：

在ABC中，NB=60,NC=45,|Aq=4,

由正弦定理得：

\BC\\AC\2a42a4

----=-----n—---------------=------=--------------------------=------

sinAsinBsin(180-60-45)sin60sin60cos45+cos60sin45sin60

2

所以/=二=a-b=1一與=1一=3癢5,

a-iTa-

碼J

故選：D.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的

要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得。分。

9.在棱長(zhǎng)為2的正方體ABC。-A8CA中，區(qū)尸分別是棱8CC。的中點(diǎn)，則()

A.與石尸是異面直線

B.存在點(diǎn)尸，使得A尸=2尸兒且BC//平面從尸片

c.4尸與平面4M所成角的余弦值為半

4

D.點(diǎn)用到平面4石廠的距離為三

【答案】BC

(242、

【分析】A選項(xiàng)，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)4g=2"得到44與所平行；B選項(xiàng)，先求出PKWG

[JJJ)

得到平面APg的法向量〃?=(1,0,-I),根據(jù)數(shù)量積為()得到8C_L/〃，得到5C//平面C選項(xiàng)，先求

出與平面所成角的正弦值，進(jìn)而求出余弦值；D選項(xiàng)，求出平面AE廠的法向量，根據(jù)點(diǎn)到平面距

離公式求出答案.

【詳解】A選項(xiàng)，以A作坐標(biāo)原點(diǎn)，AB.ARAA,所在直線分別為xy,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

B1(2,0,2),D1(0,2,2),E(2,l,0),F(l,2,0),^(0,0,2),B(2,0,0),C(2,2,0),

則BQ=(-2,2,0)，所=(-11,0),由于5a=2E尸,故與。與EE平行，A錯(cuò)誤;

B選項(xiàng)，設(shè)尸(x,y,z),因?yàn)槿霊?hù)=2尸產(chǎn)，所以(為)0-2)=2(1-工,2-乂-7),

x=2-2x

242故喉狀

即)，=4-2y,解得X=Q,)，=1.Z=

z-2=-2z'3

設(shè)平面AP片的法向量為=

242

m.*=(如)停翡=-a+-b+-c=0

則333

m-A用=(a,Ac)?(2,0,2)=2a+2c=0

令a=l,則。=0,c=-l,則〃7=(1,0,-1),

因?yàn)?c?〃z=(020)(l,0,-l)=0,故8C〃平面AP。,

故存在點(diǎn)P，使得=且BC〃平面APS，B正確；

C選項(xiàng)，平面用EB的法向量為；?=(l,0,0),

|人產(chǎn)詞二|(1,2,-2).(100)|j

故A1與平面B、EB所成角的正弦值為

卜丹忖-71+4+4-3

則A尸與平面B.EB所成角的余弦值為卜([=半,C正確；

D選項(xiàng)，設(shè)平面AE尸的法向量為％=(%,人馬)，

ln,-A1E=(xlfy?zl)-(2,l,-2)=2x1-byl-2zl=0

則1/\/\,

勺?石尸=(內(nèi)，y,zJ?(_l,l,0)=一再+y=0

3(3、

令％=1,則)1=1,4=；,故〃?=[1,1,5),

A耳同(2。。)(唱4后

則點(diǎn)用到平面AE廣的距離為上」=_\"二過(guò)LD錯(cuò)誤.

/-,….917

C

故選：BC

10.已知函數(shù)/（x）=sin3x-sin2Mxe（0,2兀）），則（）

A.d）=。B./（力恰有5個(gè)零點(diǎn)

C.〃力必有極值點(diǎn)D.7（力在信上單調(diào)遞減

【答案】BCD

【分析】代入求值判斷A,根據(jù)零點(diǎn)定義結(jié)合余弦函數(shù)方程根判斷B,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)、單調(diào)性

判斷CD.

.6丸,4n.兀兀T=3喂n工。，錯(cuò)誤;

【詳解】對(duì)于A,fsin----sin一=sin兀+一-sin

5555

sin3x-sin2x=sin(5-x+-1x|-sinf-x--x

對(duì)于B,〃x)==2cos-xsin-x,

U22222

令f(力=0得cos'lxsingx：。，所以singx=°或cos^IxuO,又xe(0,2;r),

VUI.I5兀53兀-5571T57兀少597r

所以H==或K=X■或二戶(hù)不"或xH=k或M

2222222222

解得彳=］或彳=?^或X=7l或X=?或X?，即/（X）恰有5個(gè)零點(diǎn)，正確;

JJJ

對(duì)于C,因?yàn)椤▁)=sin3x-sin2x,所以r(x)=3cos3x_2cos2x,

對(duì)于D，當(dāng)臼聲4，。，

時(shí)，cos3xecos2xe

所以/'(x)=3cos3x-2cos2x<0,

所以3cos3xw-3,-^—,-2cos2xe(0,l),所以r(x)=3cos3x-2cos2x<0,

\z

所以xe(*)時(shí)，所以r(x)=-cos2x<0,所以/(x)在信④上單調(diào)遞減，正確.

故選：BCD

11.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，尸為拋物線E：y2=2式的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸（2,0）的直線交石于A、3兩點(diǎn)，直線4/、

斯分別交上于C、。，貝ij（）

A.E的準(zhǔn)線方程為工=-《

B.NAOB=90

D.|AC|+2忸。的最小值為3+3瞽

C.|必|+|用的最小值為4

【答案】ABD

【分析】利用拋物線的方程求出準(zhǔn)線方程，可判斷A選項(xiàng)：設(shè)出直線A3的方程，將該直線的方程與拋物線

的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可為斷B選項(xiàng)；利用拋物線的焦半徑以及基本

不等式可判斷C選項(xiàng)；利用韋達(dá)定理結(jié)合基本不等式可判斷D選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，對(duì)于拋物線E,2〃=2,可得〃=1,

所以，拋物線E的準(zhǔn)線方程為x=-g,A對(duì)；

對(duì)十B選項(xiàng)，若直線44與工軸重合，此時(shí)，直線AK與拋物線E只有一個(gè)公共點(diǎn)，不合乎題意,

設(shè)直線人8的方程為工=沖+2,設(shè)點(diǎn)A（X1,y）、4（%,%），

y2—2犬

聯(lián)立/-c，可得丁一2/世一4=。，A=4/H2+16>0,

x=my+2

所以，）1+必=2〃】，=-4,

則。A.OB=M/+y），2=^i+yy2=^--4=0，則ZAO8=%，B對(duì);

|必|+|必|=%+3+%2+3=女+5+拒2^^+

對(duì)于C選項(xiàng),1=,必|+1=5,

當(dāng)且僅當(dāng)「；；，T時(shí)，即當(dāng)））=±2時(shí)，等號(hào)成立，故|E4|+|/詞的最小值為5,C錯(cuò);

對(duì)干D選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)。（玉,％）、。（七，乂），

f_（￡

設(shè)直線AF的方程為x=）+!，聯(lián)立，=0+5可得丁-2fy-l=0,

2[y2=2x

判別式為Ai=4『+4＞（）,由韋達(dá)定理可得）”必=2，，y,y3=-i,同理可得先以二T，

）222

|Ac|=%+w+i=n■產(chǎn)+1，同理可得，忸必=區(qū)手+I9

所以，|AC|+2|叫=4+上+4+4+3=*+上+與+2+3

22弁$22y；弁16

當(dāng)且僅當(dāng)篝=&時(shí)，即當(dāng)y=±科時(shí)，等號(hào)成立,

所以，WC+2忸。的最小值為3+號(hào)，D對(duì).

故選:ABD.

12.在平面直角坐標(biāo)系xO.v中，將函數(shù)y=/（x）的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。（00＜。490。）后，所得曲線

仍然是某個(gè)函數(shù)的圖象，則稱(chēng)〃力為旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，則（）

A.存在“90。旋轉(zhuǎn)函數(shù)”

B.“70。旋轉(zhuǎn)函數(shù)”一定是“80。旋轉(zhuǎn)函數(shù)”

C.若g（x）=ar+：為“45。旋轉(zhuǎn)函數(shù)"，則。=1

Av

D.若力（%）=-；?為“45。旋轉(zhuǎn)函數(shù)”,則YWbWO

【答案】ACD

【分析】對(duì)A,舉例說(shuō)明即可；對(duì)B,舉反例判斷即可；根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合“。旋轉(zhuǎn)函數(shù)”的定義逐個(gè)判

斷即可；對(duì)CD,將45。旋轉(zhuǎn)函數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)與任意斜率為1的函數(shù)最多一個(gè)交點(diǎn)，再聯(lián)立函數(shù)與直線的方

程，分析零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷即可.

【詳解】對(duì)于A,如），=工，旋轉(zhuǎn)90。后為y=-x滿(mǎn)足條件，故A正確；

對(duì)干B,如傾斜角為10。的直線是70。旋轉(zhuǎn)函數(shù)，不是80。旋轉(zhuǎn)函數(shù)，故B錯(cuò)誤；

對(duì)與C,若與X）="+'為45。旋轉(zhuǎn)函數(shù),

X

則根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可得，g（x）=av+i逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后，

X

不存在與X軸垂直的直線，使得直線與函數(shù)有1個(gè)以上的交點(diǎn).

故不存在傾斜角為45。的直線與ga）=or+J的函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn).

X

即y=x+Z?SeR）與g（x）=av+2至多1個(gè)交點(diǎn).

X

1

V=CIXH--

聯(lián)立'X,可得（〃-1）/_以+1=0.

y=x+b

當(dāng)〃=1時(shí)，一6+1=0最多1個(gè)解，滿(mǎn)足題意；

當(dāng)。工1時(shí)，（4-1）--方x+l=0的判別式△=〃一4（。一1）,

對(duì)任意的。，都存在6使得判別式大于0,不滿(mǎn)足題意，故a=L故C正確；

Av

對(duì)與D,同C,力（幻=與與y=x+a（aeR）的交點(diǎn)個(gè)數(shù)小于等于1,

e

即對(duì)任意的〃，〃至多1個(gè)解，故儀幻="-x為單調(diào)函數(shù)，

ee

由/（1）=處0—1,⑴=—1<0,故/（幻="巴-1V0恒成立，即e'N-g-l）恒成立.

即？=e'圖象在y=-〃（x-l）上方，故T*0,即〃K0.

當(dāng)"e，與y=-/X-1）相切時(shí)，可設(shè)切點(diǎn)（均?。?，

對(duì)：/=e'求導(dǎo)有y=e「故J=e"，解得勺=2,此時(shí)。=-€%=-2,故Y2<〃W0.故D正確.

故迄ACD.

【點(diǎn)睛】數(shù)學(xué)中的新定義題目解題策略：①仔細(xì)閱讀，理解新定義的內(nèi)涵；②根據(jù)新定義，對(duì)對(duì)應(yīng)知識(shí)進(jìn)

行再遷移.

第II卷(非選擇題)

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知〃eZ,且3K〃W6,若卜-gj的展開(kāi)式中存在常數(shù)項(xiàng)，則展開(kāi)式中『的系數(shù)為.

【答案】6

【分析】根據(jù)展開(kāi)式通項(xiàng)公式及存在常數(shù)項(xiàng)確定〃=4,再求出展開(kāi)式中含工-’的項(xiàng)即可得解.

【詳解】卜T)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為"(FC--DC""…，3<n<6

因?yàn)榇嬖诔?shù)項(xiàng)，所以〃=4-，故只有當(dāng)「=1,〃=4時(shí)滿(mǎn)足題意，

即求「-4］展開(kāi)式中含入'的項(xiàng)的系數(shù)，

令4-4r=-4,即「=2,

所以展開(kāi)式中含L的項(xiàng)為(T)2C*T=6.尸,

所以展開(kāi)式中廠4的系數(shù)為6.

故答案為：6

14.已知圓。:(彳-6)2+()，-8)2=1和兩點(diǎn)4(0,一〃?)，*0,〃。(〃?>0).若圓。上存在點(diǎn)夕，使得/428=90。，

則陽(yáng)的最大值為.

【答案】11

【分析】首先判斷點(diǎn)尸在以月8為直徑的圓上(不能是兩點(diǎn))，將問(wèn)題化為兩圓有交點(diǎn)求參數(shù)范圍，即

可得最大值.

【詳解】由題意得：圓。:(“一6『+()，-8)2=1的圓心。(6,8),半徑4=1,

???乙4肥=90。，則點(diǎn)尸在以A3為直徑的圓上(不能是A8兩點(diǎn))，

以A8為直徑的圓的圓心為0(0,0),半徑弓=m(〃7>0),

注意到圓心。(6,8)到)，軸的距離為6>乙，即)，軸與圓C相離，

由題意得：圓C與圓。有公共點(diǎn)(由于y軸與圓C相離，公共點(diǎn)不可能為A8),且[0[=病謖=10,

則心一與閆困<4+4，即|1-小1041+叫加>0,解得9K/MK11,故”的最大值為11.

故答案為：11

15.已知/‘(X)是定義域?yàn)?T,4)的奇函數(shù).若以點(diǎn)(2,0)為圓心，半徑為2的圓在x軸上方的部分恰好是

>=〃力圖像的一部分，則/("的解析式為.

仁丁+4X,XC[0,4)

【答案】/")=

V-X2-4X,X€(-4,0)

【分析】求出給定圓的方程，再根據(jù)給定條件結(jié)合奇函數(shù)的定義求出“X)的解析式.

【詳解】以點(diǎn)(2,0)為圓心，半徑為2的圓的方程為(x-2)2+y2=4,

則該圓在x軸上方的部分的方程為)，=J-d+4x(0<x<4),

由f(x)是奇函數(shù)，得/(())=(),當(dāng)xc(-4,0)時(shí)，-XG(0,4),

/(-V)==-卜一爐+4(T)=-J-x2-4x,

/、/、(\/-X2+4XXG[0,4)

所以的解析式為/(6=/——5L7.

A/-X2-4X,xe(-4,0)

,XG[0,4)

故答案為：/W=

X,X€(-4,0)

16.如圖，對(duì)于曲線G所在平面內(nèi)的點(diǎn)。，若存在以。為頂點(diǎn)的角。，使得對(duì)于曲線G上的任意兩個(gè)不同

的點(diǎn)A3恒有乙403工。成立，則稱(chēng)角。為曲線G的相對(duì)于點(diǎn)。的“界角”，并稱(chēng)其中最小的“界角”為曲線G

xe'1+l,x>0

的相對(duì)于點(diǎn)。的“確界角''.已知曲線C：y=\i、八（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn),

—x2+l,x<0

U6

曲線C的相對(duì)于點(diǎn)。的“確界角”為尸，則sin/?=.

0

【答案】1

【分析】求過(guò)原點(diǎn)曲線的兩條切線，求解兩切線的夾角即可.

xex-1+I,x>0

【詳解】函數(shù)），=12八，

—X2+1M<O

[16

因?yàn)閤>O,y'=（x+l）eJ>0,

所以該函數(shù)在（—,0）單調(diào)遞減，在（。,+8）單調(diào)遞增.

過(guò)原點(diǎn)作>'=+1的切線，設(shè)切點(diǎn)A（xpx1e''-'+1）,

由y=（x+l）ex_,,則切線。4的斜率為尢=（玉+l）e3，

直線04：尸（書(shū)e+1）=（演+1）一"一為）過(guò)（0,0）,

:,一4戶(hù)內(nèi)t-1=（一%；一芭）?t,:.“t_]=0（玉>0）,

即。行二匯2,由函數(shù)）,=eE與），=/的圖象在（0+。）有且只有..個(gè)交點(diǎn),

且當(dāng)％=1時(shí)滿(mǎn)足方程，故方程有唯一解玉=1,則吊=2；

過(guò)原點(diǎn)作y+i的切線，設(shè)切點(diǎn)+

由F=：x,得切線。8的斜率幺=：招，

8O

/I\1

則切線。8:），——X-+1=三占（X-超）過(guò)原點(diǎn)（0,0），

116；X

則有一Jx；-1=一：考（工2?。），***x2=-4,

16o

則為=-3，則有板2=-1，

???兩切線垂直，曲線C的相對(duì)于點(diǎn)。的“確界角”為夕,

則乃=],sin4=1.

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及驗(yàn)算步驟。

17.（10分）已知數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S”，且S0=，/+〃.

⑴求｛4｝的通項(xiàng)公式；

為奇數(shù)

⑵若數(shù)列也｝滿(mǎn)足a=%,求數(shù)列也｝的前2〃項(xiàng)和也.

2彳,〃為偶數(shù)

【答案】（1）4=2〃

,4"+,-4

（2）2/?+—^—

【分析】⑴根據(jù)仇=s“-Sz即可求解,

（2）根據(jù)分組求和，結(jié)合等差等比數(shù)列的求和公式即可求解.

2

【詳解】(1)當(dāng)〃22時(shí)，a?=Sn-Srt_,=/?+H-(H-1)-(H-1)=2n,

當(dāng)〃=1時(shí)，4=S=2,因?yàn)椋ヒ卜仙鲜?

所以巴=2〃.

2〃,〃為奇數(shù)

(2)由(1)可知”=?

2",〃為偶數(shù)

所以4”=(2+6+10+--+4〃-2)+(22+24+26+?一+22")

n(2+4n-2)4(1.4")

=~~2+-1^

18.(12分)在D48c中，內(nèi)角A,3,C的對(duì)邊分別為a,/),c,且向量〃z=(c,。一。)，n=(sin4-sinC,sin4+sinB),

in±n?

(1)求知A的大小：

(2)若。為AC上一點(diǎn)，且人￡>=4。，BC=3,求△8CZ)面枳的最大值.

【答案】(1)A=

⑵逆

【分析】(1)根據(jù)向量垂直得到而力=0,計(jì)算化簡(jiǎn)得到拙=加4?述-兒,根據(jù)余弦定理得到答案.

(2)根據(jù)余弦定理得到9?。2ICDBD,再利用均值不等式得到CZX8DV3,計(jì)算面積得到最值.

【詳解】(1)m±n?/fi-n=(c,a-b)■(sinB-sinC,sinA+sinB)=0,

即c(sinB-sinC)+(?-Z?)(sinA+sinB)=0,故c(b-c)+(a-b)(a+b)=0,

整理得到/=從+。2一反，g[JcosA=1,Ae(O,兀)，故A=

(2)AD=BD,A=p故△A8。為等邊三角形，即N8OC=1，

C

D/\

A

△8CO中：BC2=CD2+BD2-2CDBDcos—,

3

即9=CD2+BD1+CDRDN2CDBD+CDBD=3CDBD，

即CO8DW3,當(dāng)且僅當(dāng)8D=CD=G時(shí)等號(hào)成立.

c1Dn?.2n>/3Dnf-3G

S=—BDCD?sin——=——BDCD<.

2344

19.（12分）如圖，已知四邊形A8CD和。Ob都是直角梯形，ABHDC,DC//EF,AI3=5,DC=3,EF=1,

NBAD=NCDE=*°,且二面角廠一￡）C—4的大小為60。.

（l）i正明：平面BW_L平面ABC。；

⑵在線段人石上是否存在點(diǎn)“，使得二面角M-8C-廠的大小為45。，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的位置：若不存

在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

（2）存在點(diǎn)M,使得二面角-f的大小為45。，AM=|AE.

【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理法行證明即可；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用二面角的定義，結(jié)合空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅蜛BC。和月尸CO都是直角梯形，

所以DC_Lb,DC1CB,且CFC3=C,b,C8u平面8b,

所以，DC_L平面8b,

因?yàn)镈Cu平面ABC。，所以平面A8CD1平面86.

（2）過(guò)點(diǎn)E、。分別作直線。C、48的垂線EG、DH垂足為G、H.

由已知和平面幾何知識(shí)易知，DG=AH=2,NEFC=NDCF=4DCB=NABC=90。,

則四邊形ER7G和四邊形。C8”是矩形，所以在Rt.EGD和RiVOHA中，EG=DH=2超,

假設(shè)在4E上存在點(diǎn)M,使得二面角M-BC-F的大小為45°.

由（1）知QC_L平面4C產(chǎn)，則NBC"是二面角廠—力C—8的平面角，

所以N8C尸=60。，所以△8b是正三角形.

取8C的中點(diǎn)N,則RV_L8C',又HVu平面8C7,

所以柄_L平面A8CQ,過(guò)點(diǎn)N作A"平行線NK,

則以點(diǎn)N為原點(diǎn)，NK,N