高中數(shù)學空間幾何體的表面積和體積專項練習

高中數(shù)學空間幾何體的表面積和體積專項練習

【要點精講】

1.多面體的面積和體積公式

名稱側(cè)面積（S惻）全面積（S全）體積（V）

棱棱柱直截面周長X1s底力二S直截面,h

s惻+2S底

柱直棱柱chS底出

棱錐各側(cè)面積之和

棱1.

s側(cè)+S底底-h

錐正棱錐—ch'

2

棱臺各側(cè)面面積之和

棱~h（S上底+S卜底

s側(cè)+S上底+S下底

臺1

正棱臺-(c+c川+Js下底，s下底）

表中S表示面積，c\c分別表示上、下底面周長，h表斜高，h，表示斜高，1表示側(cè)棱長。

2.旋轉(zhuǎn)體的面積和體積公式

名稱圓柱圓錐圓臺球

s側(cè)2兀117irl7i(ri+r2)l

22

S全2;ir(l+r)兀r(l+r)7i(ri+r2)l-Hi(ri+r2)4KR2

V兀&(即TIT21)—7ir2h—7th(r2i+rir2+r22)-7lR3

33

表中1、h分別表示母線、高，r表示圓柱、圓錐與球冠的底半徑，小垣分別表示圓臺上、

下底面半徑，R表示半徑

四.【典例解析】

題型1：柱體的體積和表面積

例1.一個長方體全面積是20cm2,所有棱長的和是24cm,求長方體的對角線長.

解：設(shè)長方體的長、寬、高、對角線長分別為xcm、ycm、zcm、1cm

2(盯+yz+zx)=20(1)

依題意得：＜

4(x+y+z)=24⑵

由(2)2得：x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36(3)

由⑶—(1)得x?+y2+z2=16

即P=16

所以/=4(cm)0

點評：涉及棱柱面積問題的題目多以直棱柱為主，而直棱柱中又以正方體、長方體的表

面積多被考察。我們平常的學習中要多建立一些重要的幾何要素(對角線、內(nèi)切)與面積、

體積之間的關(guān)系。

例2.如圖1所示，在平行六面體ABCD—ABCiDi中，已知AB=5,AD=4,AAi=3,

Tl

AB±AD,ZA,AB=ZAiAD=—o

3

(1)求證：頂點Ai在底面ABCD上的射影。在/BAD的平分線上；

(2)求這個平行六面體的體積

解析：(1)如圖2,連結(jié)AQ,則AQ_L底面ABCD。作OMLAB交AB于M,作ON

_LAD交AD于N,連結(jié)AiM,AiNo由三垂線定得得AiM_LAB,AiN±ADoVZAiAM=Z

AiAN,

RtAAiNA之R3A1MA,AiM=AiN,

從而OM=ON。

...點。在/BAD的平分線上。

JT13

(2)VAM=AAicos一=3x—=—

322

AM3rz

???AO=--------二一J2o

兀2

cos—

4

99

又在RSAOAi中，AiO2=AAi2-AO2=9——=—

22

?，?AiO=季，平行六面體的體積為V=5x4x2g=30V2。

22

題型2:柱體的表面積、體積綜合問題

例3.一個長方體共一頂點的三個面的面積分別是亞，百，后，這個長方體對角線的長是

（）

A.2-73B.3叵C.6D.V6

解析：設(shè)長方體共一頂點的三邊長分別為a=l,b=42,c=43,則對角線I的長為

222

1=y/a+b+c=V6;答案Do

點評：解題思路是將三個面的面積轉(zhuǎn)化為解棱柱面積、體積的幾何要素一棱長。

例4.如圖，三棱柱ABC—AiBiCi中，若E、F分別為AB、AC的中點，平面EBCi將

三棱柱分成體積為Vl、V2的兩部分，那么V1：V2=o

解：設(shè)三棱柱的高為h,上下底的面積為S,體積為V,則丫="+丫2=$11。

：E、F分別為AB、AC的中點,

??SAAEF——S,

4

Vi=-h(S+-S+AS--)=—Sh

34V412

V2=Sh-Vi=—Sh,

12

AVi:V2=7:5o

點評：解題的關(guān)鍵是棱柱、棱臺間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，建立起求解體積

的幾何元素之間的對應(yīng)關(guān)系。最后用統(tǒng)一的量建立比值得到結(jié)論即可

題型3:錐體的體積和表面積

例5.7.（2009山東卷理）一空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體

的體積為（）.

A.In+2^/3B.4萬+2G

【解析】：該空間幾何體為一圓柱和一四棱錐組成的,

Zlitll/-7-^\Trfrl府1

所以該幾何體的體積為2乃H——.

答案:c

【命題立意】：本題考查了立體幾何中的空間想象能力,

由三視圖能夠想象得到空間的立體圖，并能準確地

計算出.幾何體的體積.

（2009四川卷文）如圖，已知六棱錐P-的底面是正六邊形,

PA1平面ABC,PA=2AB則下列結(jié)論正確的是

A.PB1AD

B.平面PA5±平面P3C

C.直線〃平面PAE

D.直線PD與平面ABC所成的角為45。

【答案】D

【解析】；AD與PB在平面的射影AB不垂直，所以A不成立，又，平面PABJ_平面PAE,

所以平面，平面P3C也不成立；BC〃AD〃平面PAD,.?.直線〃平面PAE也不

成立。在RrAPA。中，PA=AD=2AB,；./PDA=45。.，D正確

（2009全國卷H文）設(shè)OA是球。的半徑，M是OA的中點，過M且與OA成45。角的平面

77r

截球o的表面得到圓C。若圓C的面積等于丁，則球O的表面積等于X

4

答案：8兀

解析：本題考查立體幾何球面知識，注意結(jié)合平面幾何知識進行運算，由

例61.（2009年廣東卷文）（本小題滿分13分）

某高速公路收費站入口處的安全標識墩如圖4所示，墩的上半部分是正四棱錐P-EFGH,

下半部分是長方體ABCD—EFGH.圖5、圖6分別是該標識墩的正（主）視圖和俯視圖.

(1)請畫出該安全標識墩的側(cè)(左)視圖;

(2)求該安全標識墩的體積

(3)證明:直線BD_L平面PEG

圖4圖5圖6

【解析】(D側(cè)視圖同正視圖,如下圖所示.

(2)該安全標識墩的體積為：V=VP_EFGH=VABCD_EFGH

=1X402X60+402x20=32000+32000=64000(c/n2)

(3)如圖，連結(jié)EG,HF及BD,EG與HF相交于O,連結(jié)PO.

由正四棱錐的性質(zhì)可知,P。1平面EFGH,PO1HF

又EG工HFHF_L平面PEG

又BDPHFBDJL平面PEG

A

例7.ABCD是邊長為4的正方形，E、F分別是AB、AD的中點，GB垂直于正方形ABCD

所在的平面，且GC=2,求點B到平面EFC的距離?

解：如圖，取EF的中點。，連接GB、GO、CD、FB構(gòu)造三棱錐B-EFG。

設(shè)點B到平面EFG的距離為h,BD=4A/2,EF=2a,CO=-X4V2=372O

4

GO=4CO-+GC2=7（3A/2）2+22=J18+4=722。

而GCJ_平面ABCD,且GC=2。

l由t吟EFC=Vk。j—tELrFDB7，得—EF?GO*h=—cSZAArpLroD,

o3

點評：該問題主要的求解思路是將點面的距離問題轉(zhuǎn)化為

體積問題來求解。構(gòu)造以點B為頂點，AEFG為底面的三棱錐

是解此題的關(guān)鍵，利用同一個三棱錐的體積的唯一性列方程是

解這類題的方法，從而簡化了運算。

例8.已知三個球的半徑R2,R3滿足&+2R2=3凡，

則它們的表面積5,邑，S,,滿足的等量關(guān)系是__________.

【答案】店+2疽=3后

【解析】S]=4碼2,店=，同理：戶=2木2年=2^3，即R1=工7^，

R2=*,R3=,，由鳥+2%=34得何+2病=3病

2^7171

例9.如圖，ABCD的邊長為2的正方形，直線1與平面ABCD平行，g和F式1上的兩個不

同點，且EA=ED,FB=FC,@和F'是平面ABCD內(nèi)的兩點，后戶和kF'都與平面ABCD

垂直,

(I)證明：直線ER'垂直且平分線段AD

(II)若NEAD=/EAB=60。，EF=2,求多面

體ABCDEF的體積。

【思路】根據(jù)空間線面關(guān)系可證線線垂直，由分割法可求得多面體體積，體現(xiàn)的是一種部分

與整體的基本思想

【解析】（1）由于EA=ED且EZT_L面ABC。:.E'D=E'C

.?.點E-在線段AD的垂直平分線上,同理點F-在線段BC

的垂直平分線上.

又ABCD是四方形

???線段BC的垂直平分線也就是線段AD的垂直平分線

即點EF-都居線段AD的垂直平分線上

所以，直線E-F一垂直平分線段AD.

⑵連接EB、EC由題意知多面體ABCD可分割成正四棱錐E—ABCD和正四面體E—BCF兩

部分.設(shè)AD中點為M,在RtAMEE-

ME=6.EE'=6.

二%—ABCD=g?S四方形ABC。?EE'=2?xg=苧

111-2A/2

XV^BCF=V-BEF=V-BEA=V-ABC=-5-EE'=-x-x2-9xy//2=------

EcCE3ABC323

多面體ABCDEF的體積為VE—ABCD+VE—BCF=272

例10.(1)如圖，在長方形ABC。中，A3=2,BC=\,E為0c的中點，F(xiàn)為線段EC

(端點除外)上一動點.現(xiàn)將AAFD沿AF折起，使平面ABD1平面ABC.在平面ABD內(nèi)

過點。作。KLA5,K為垂足.設(shè)AK=/,則的取值范圍

是.

（第17fl）

答案:加

【解析】此題的破解可采用二個極端位置法，即對于F位于DC的中點時，/=1,隨著F點

到C點時，因CB±AB,CB1DK,CB1平面ADB,即有，8。，對于

CD=2,BC=1,:.BD=6,又AD=1,A3=2,因此有A。，8。，則有f因此

2

____—的取值范圍是[）,1]

例H.3.若某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則此幾何體的體積是cm3.

【命題意圖】此題主要是考查了幾何體的三視圖，通過三視圖的考查充分體現(xiàn)了幾何體直觀

的考查要求，與表面積和體積結(jié)合的考查方法.

【解析】該幾何體是由二個長方體組成，下面體積為Ix3x3=9,上面的長方體體積為

3x3xl=9,因此其幾何體的體積為18

例12.直三棱柱ABC-43cl的各頂點都在同一球面上，若

AB=AC=AAi=2,ZBAC=120°,則此球的表面積等于。

解:在AABC中AB=AC=2,NB4C=120。,可得BC=273，由正弦定理，可得AABC

外接圓半徑r=2,設(shè)此圓圓心為0’，球心為0,在RTAOB。中,易得球半徑R=故此

球的表面積為4萬夫2=20萬.

例13.已知過球面上A,5,C三點的截面和球心的距離為球半徑的一半，且

AB=BC=CA=2,求球的表面積

解：設(shè)截面圓心為。'，連結(jié)設(shè)球半徑為R,

口，八八26C2^/3

則OA=-x——x2=------,

323

在RtAO'OA中，OA2=O'A2+O'O2,

??.”(”次,

2

S=4/rR—^-7io

9

點評：正確應(yīng)用球的表面積公式，建立平面圓與球的半徑之間的關(guān)系。

例14.如圖所示，球面上有四個點P、A、B、C,如果PA,PB,PC兩兩互相垂直，且

PA=PB=PC=a,求這個球的表面積。

解析：如圖，設(shè)過A、B、C三點的球的截面圓半徑為r,圓心為O，，球心到該圓面的距

離為d。

在三棱錐P—ABC中，：PA,PB,PC兩兩互相垂直，且PA=PB=PC=a,

AB=BC=CA=V5a,且P在AABC內(nèi)的射影即是AABC的中心01

H=2r,；.『必念

由正弦定理，得

sin6003

又根據(jù)球的截面的性質(zhì)，有。O」平面ABC,而POU平面ABC,

；.P、0、0,共線，球的半徑?C)7PA?一戶

.*.OO'=R--0=d=J。？一產(chǎn),(R-----a)2=R2-(—a)2,解得R=^a,

3332

S球=4nR2=3兀a2。

點評：本題也可用補形法求解。將P—ABC補成一個正方體，由對稱性可知，正方體內(nèi)

接于球，則球的直徑就是正方體的對角線，易得球半徑R=一。，下略

題型9:球的面積、體積綜合問題

例15.(1)表面積為324乃的球，其內(nèi)接正四棱柱的高是14,求這個正四棱柱的表面積。

(2)正四面體ABCD的棱長為°,球。是內(nèi)切球，球Q是與正四面體的三個面和球。都相

切的一個小球，求球。1的體積。

解：(1)設(shè)球半徑為R,正四棱柱底面邊長為

則作軸截面如圖，AA'=14,AC=42a,

又...4"7?2=324萬,...尺=9,

AC=VAC,2-CC,2=872,.-.47=8,

S表=64x2+32x14=576

(2)如圖，設(shè)球。半徑為R,球Oi的半徑為r,E為C。中點，球。與平面AC。、BCD

切于點RG,球。1與平面AC。切于點”

由題設(shè)

AG=VAE2-GE2=—a

3

V6

---ci-R，得R=*a

3______

AAOF^AAEG

A/3

—a

2

V6

---a-2R-r/7

AAOiHs4AOF.*1-一，得/一a

?R24

—ci—R

3

4V6

=—713

331728

點評：正四面體的內(nèi)切球與各面的切點是面的中心，球心到各面的距離相等

題型10:球的經(jīng)緯度、球面距離問題

例19.(1)我國首都靠近北緯40-緯線，求北緯40-緯線的長度等于多少人根？(地球半

徑大約為6370左加)

(2)在半徑為13cm的球面上有A,B,C三點，

AB=BC=AC=12cm,求球心到經(jīng)過這三點的截面的距離。

解：(1)如圖，A是北緯40-上一點，AK是它的半徑，

???OK.LAK,

設(shè)C是北緯40八的緯線長，

??,NAOB=NOAK=40、

C=2TT-AK=2Tt-OA-cosZOAK=2^-OAcos40^

?2x3.14x6370x0.7660?3.066xlO4(M

答：北緯40-緯線長約等于3.066x1()4歷九.

(2)解：設(shè)經(jīng)過A5,C三點的截面為。

設(shè)球心為O,連結(jié)00',則。。'，平面ABC,

?：AO'=-xl2x-=4^3,

23

OO,=V<9A2-OA,2=11,

所以，球心到截面距離為.

例16.在北緯45-圈上有A,3兩點，設(shè)該緯度圈上A,3兩點的劣弧

歷

長為丁R（夫為地球半徑），求仙兩點間的球面距離

解：設(shè)北緯45一圈的半徑為則”「，設(shè)。,為北緯45一圈的

圓心，AAOB=a,

._V2.V2V2

??ccv-TVH,??Ra-7iH,

424

a=—,?-AB=>]2r=R,

2

n

AABC中，ZAOB=y,

TC

所以，兩點的球面距離等于gR.

點評：要求兩點的球面距離，必須先求出兩點的直線距離，再求出這兩點的球心角，進

而求出這兩點的球面距離

如圖，在直三棱柱ABC-4與G中，E、尸分別是43、4。的中點，點。在與G上,

4。1B?

求證：(1)EF〃平面ABC;

(2)平面4萬，平面

【解析】本小題主要考查直線與平面、平面與平面得位

置關(guān)系，考查空間想象能力、推理論證能力。滿分14分

證明：(D因為E,F分別是4笈，4。的中點，所以EBC,又E3

BCu面ABC,所以EF〃平面ABC;

⑵因為直三棱柱ABC-A^,所以BB11面4BQ1,_14刀,

又所以耳。1面BBQQ,

又4。(^面42，所以平面4尸DJ.平面B瓦G。

五.【思維總結(jié)】

1.正四面體的性質(zhì)設(shè)正四面體的棱長為a,則這個正四面體的

⑴全面積：S全=V^a2;

V2

(2)體積：V=-a3;

12

⑶對棱中點連線段的長：d=^a;