高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試6（解析版）

高中學(xué)業(yè)水平考試6

一、選擇題(本大題共20題，每小題3分，共計60分.每小題列出的四個選項中只有一項是

最符合題目要求的)

1.已知復(fù)數(shù)=!，貝Uz的虛部為()

1+i

1

D.——

22

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算求出z,即可得到其虛部.

11-i11.

【詳解】：=下---------1

(l+i)(l-i)22

故虛部---，

2

故選：D

2.命題“Vxe(l,+8),f+x—2>o”的否定為()

A.Vxe(1,-H?),x2+x-2<0B.Vx(1,+oo),無?+%-2<0

2

C.3XG(1,+CO),X+X-2<0D.3XG(1,+CO),X?+%-2<0

【答案】D

【解析】

【分析】利用全程命題的否定形式，即可判斷選項.

【詳解】命題“Vxe(l,+8),f+x—2>?！睘槿Q量詞命題,則命題的否定為3xe(l,+<?),

%2+x—2<0,

故選：D.

3.已知集合4={—3,—2,1,2},B={X|X2+5X-6<0},則AB=()

A.{2}B.{1,2}C.{-3,-2}D.{-3,-2,1}

【答案】D

【解析】

【分析】由集合8的描述求集合，應(yīng)用集合的交集運算求AB.

【詳解】解：由無2+5%—6<0得(％+6)(x—1)40,解得一6WxWL所以B=[—6,1],

又人={—3,—2,1,2},所以AB={-3,-2,l},

故選：D

--1

4.已知兩個單位向量°與匕的夾角為。，則“夕=60?！笔恰啊１?5”的()

A,充分必要條件B.必要不充分條件

C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】用定義法，分充分性和必要性分別討論即可.

【詳解】充分性：若夕=60°,則由°、b是單位向量可知0方=|a|xWxcos6O°=lxlxg=g,即充分性

得證；

必要性：若=；，則。"=,卜卜卜以)5夕=3由°、b是單位向量可知cos6=g,因為0°W8W180°,

所以夕=60。,必要性得證.

所以“夕=60°”是“a必=L，的充分必要條件.

2

故選：A

5.若工〈工<0,則下列不等式中不正確的是（）

ab

A.a+b<abB.a>bC.a2>b1D.ab<b2

【答案】C

【解析】

【分析】結(jié)合不等式的性質(zhì)確定正確選項.

【詳解】由!<1<0,得b<a<0,故B項正確；ab<b2,故C項不正確，D項正確;

ab

Va+b<0,ab>0,a+b<ab,故A項正確.

故選：C

6.若角a的終邊經(jīng)過點P（—1,3）,貝Mana的值為（）

A」B.-3C.D.題

31010

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)正切函數(shù)的定義可得選項.

【詳解】解：：角a的終邊經(jīng)過點P（—1,3）,.?.tana=—3.

故選：B

7.已知sina+cosa=—,且。￡丁,；7,則cosa—sina=（）

2E2）

A.昱B.—BC.土BD.-

2222

【答案】B

【解析】

【分析】結(jié)合已知條件，對sintz+cosa=兩邊同時平方求出2sinacosa='，然后對cosa-sine

24

平方求值，結(jié)合1的范圍即可求解.

21

【詳解】V(sincr+costz)-=1+2sincrcostz=—,/.2sin?cosa=—,

v'44

cosa-sina『=l_2sinacoso=1--,

744

???cosa—sina=±且,

2

又：ae

?口J3

??0vcosoc<sincc,即coscc—sinct-------

2

故選：B.

8.某校為了解學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情況，采用分層抽樣的方法從高一600人、高二680人、高三720人中，抽取

50人進行問卷調(diào)查，則高一、高二、高三抽取的人數(shù)分別是（）

A.15,16,19B.15,17,18C.14,17,19D.14,16,20

【答案】B

【解析】

【分析】結(jié)合已知條件首先求出三個年級的總?cè)藬?shù)，然后利用樣本容量分別乘以各個年級的抽樣比即可求

解.

【詳解】由題意可知，三個年級共有600+680+720=2000（人），

則高一抽取的人數(shù)為50x黑=15，

2000

高二抽取的人數(shù)為50x02=17,

2000

高三抽取的人數(shù)為50義」72^0=18.

2000

故選：B.

9.在同一個坐標(biāo)系下，函數(shù)y=2,與函數(shù)>=l0gl》的圖象都正確的是（）

2

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)圖象.

【詳解】解：指數(shù)函數(shù)y=2'是增函數(shù)，

對數(shù)函數(shù)y=i°g1x是減函數(shù)，

2

故選：A.

7T

10.若函數(shù)/（x）=4sin（ox—至）（0>0）的最小正周期為萬，則它的一條對稱軸是（）

.兀r\__TC27?"

A.x=-----B.x=0C.X-----D.x=

1263

【答案】A

【解析】

jrjr

【分析】由函數(shù)的最小正周期為"，可得@=2,令2%——=—+k7i,keZ,分析即得解

32

jr

【詳解】由題意，函數(shù)%）=4sin（s;—耳）3>0）的最小正周期為萬,

故T=——=71:,a)=2

冗

即/(x)=4sin(2x-—)

令2x----——kji,左￡Z

32

令左二一1,可得％二—故A正確;

BCD選項中，不存在左EZ與之對應(yīng)，故錯誤

故選：A

11.若函數(shù)“力是奇函數(shù)，且在(-8,0)上是增函數(shù)，又/(—2)=0,則#。)>。解集是()

A.(-2,0)1(2,+w)-^,-2)40,2)

D.(-2,0)(0,2)

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可.

【詳解】因為函數(shù)“可是奇函數(shù)，所以有人2)=—〃—2)=0,

因為奇函數(shù)〃龍)在(-8,0)上是增函數(shù)，所以該函數(shù)在(0,+8)上也是增函數(shù)，

當(dāng)x>0時，由#(x)>0n/(x)>0=/(2)=無>2,

當(dāng)x<0時，由4(%)>。=/(%)<。=/(一2)=>%<-2,

所以不等式的解集為-2)"2,+8)

故選：C

12.在_748。中，2cos5sinA=sinC,貝！J_ABC一定()

A,直角三角形B.鈍角三角形

C.等腰三角形D.等邊三角形

【答案】C

【解析】

【分析】利用sinC=sin(A+B)化簡可得sin(A—5)=0,即可判斷.

【詳解】2cosBsinA=sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,

.,.sinAcosB-cosAsinB=0,即sin(A-B)=0,

A6e(0㈤,

:.A-B^0,即A=5,

所以一ABC一定是等腰三角形.

故選：C.

13.函數(shù)/(x)="+i+2021(a>0,且awl)恒過定點()

A.(0,1)B,(0,2021)C.(-1,2022)D.(-1,0)

【答案】C

【解析】

【分析】利用指數(shù)函數(shù)恒過(0』)點即可求解.

【詳解】當(dāng)x=—1時，/(-I)=a1+1+2021=1+2021=2022,

所以函數(shù)恒過定點(-1,2022).

故選：C

14.A5C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,滿足a：c=2:4:5,則

【答案】D

【解析】

【分析】利用余弦定理可求cosC,再結(jié)合正弦定理即得.

【詳解】因為a:b:c=2:4:5,不妨設(shè)a=2k,b=4k,c=5k(k>0),

+[2—02_4左2+16左2—25左25

16

sinAcosC

所以

sinB2I16J32

故選：D

15.己知a="=l,向量°與b的夾角為60。，則3"4目=()

A.5B.V19C.372D.岳

【答案】D

［解析］____________________

【分析】由已知先求出心。，然后根據(jù)pa—40=24a?+16,2,代值即可求解.

【詳解】?.?口=M=1,向量a與匕的夾角為60。

d!-1cos60°=—

.43a—4”=^3?^4人了=,9”2—24。2+16}(=回12+16=而

故選：D.

16.某盒內(nèi)有十張標(biāo)有0到9的卡片，從中任取兩張，則取到卡片上的數(shù)字之和不小于6的概率是()

【答案】B

【解析】

【分析】基本事件總數(shù)〃==45,利用列舉法求出取到卡片上的數(shù)字之和小于6包含的基本事件有9個,

利用對立事件概率計算公式能求出取到卡片上的數(shù)字之和不小于6的概率.

【詳解】解：某盒內(nèi)有十張標(biāo)有。到9的卡片，從中任取兩張，

基本事件總數(shù)〃=C［=45,

取到卡片上的數(shù)字之和小于6包含的基本事件有：

(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(0,5),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),共9個，

94

則取到卡片上的數(shù)字之和不小于6的概率P=1--=-.

455

故選：B.

17.如圖所示，P為矩形ABCO所在平面外一點，矩形對角線交點為。，/為尸8的中點，下列結(jié)論正確的

個數(shù)為()

①Q(mào)W//平面P8C②OM//平面PC。③OM//平面PDA④。M//平面P2A

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【解析】

【分析】證明0M//PD,即可證明②③正確；"e平面PBC,故①錯誤，"e平面故④錯誤.

【詳解】對于①，Me平面故①錯誤；

對于②，由于。為3。的中點，M為PB的中點，則。0/APD,平面PC。，PDu平面PCD,

則0M//平面PCD,故②正確；

對于③，由于。0//PD,衣平面QA。，PDu平面B4。，則OM//平面QA。，故③正確；

對于④，由于"G平面八1B，故④錯誤.

故選：B

18.如圖是長方體被一平面所截得到的幾何體，四邊形￡刀儂為截面，長方形ABCD為底面，則四邊形

EFGH的形狀為（）

A.梯形B.平行四邊形

C.可能是梯形也可能是平行四邊形D.不確定

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)長方體的性質(zhì)，結(jié)合面面平行的性質(zhì)有HG//EF,EH//FG,即知EFGH的形狀.

【詳解】由長方體的性質(zhì)：各對面平行，易知HGIIEF,EHIIFG,

/.EFGH為平行四邊形.

故選：B

19.如圖，在四面體。一4BC中，若AB=CB,AD^CD,E是AC的中點，則下列結(jié)論正確的是（）

D

A

A.平面A3C1,平面A3。

B.平面A8￡）_L平面BDC

C.平面ABCJ_平面且平面A￡）C_L平面8DE

D.平面ABCJ_平面ADC,且平面AQC_L平面BDE

【答案】C

【解析】

【分析】利用垂直關(guān)系，結(jié)合面面垂直的判斷定理，即可判斷選項.

【詳解】因為A8=C8,且E是AC的中點，所以同理有OELAC,于是AC,平面8OE.因為AC

在平面ABC內(nèi)，所以平面ABC_L平面8DE.又由于ACu平面ACD,所以平面ACD_L平面BDE

故選：C

20.已知函數(shù)=是R上的增函數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍是（）

（2—a）x+l,x<2

A.1,2jB.P,2jC.(1,2)D.

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)指數(shù)型函數(shù)和一次函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)進行求解即可.

【詳解】因為該函數(shù)為增函數(shù)，

a>\

4

所以2—6?>0=>—?〃<2,

3

2(2—o)+l<廣+1

故選：A

二、填空題(本題共5小題，每小題3分，共計15分)

21.已知向量〃二(一2,1),b=(m,m),若〃_!_(〃+/?),則實數(shù)機=.

【答案】5

【解析】

【分析】利用向量的加法求得〃+人的坐標(biāo)，再根據(jù)〃，(〃+〃)，利用數(shù)量積運算求解.

【詳解】因為向量〃=(一2,1),b=(m,m),

所以a+5=(加一2,機+1),

因為〃±(a+b),

所以(加一2)x(—2)+(zn+l)xl=0,

解得m=5,

故答案為：5

22.已知a>0,Z?>0,且2a+3〃=4,則次?的最大值為.

【答案】I

3

【解析】

【分析】利用基本不等式即可得到答案.

【詳解】因為。涉>。，所以2a+3b=422j^F，解得"V耳，當(dāng)且僅當(dāng)。=1,匕二^時，等號成

立.

一、、

故答案為1：2一.

3

，8

23.函數(shù)/'(x)=<FX'°,貝2)]=.

x(x-2),x<0

【答案】1

【解析】

【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式，結(jié)合所求函數(shù)值對應(yīng)自變量所在的定義域范圍選取解析式求值即可.

【詳解】2<0,

/(-2)=-2x(-2-2)=8,即/[/(-2)]=/(8),

V8>O,

O

???/(8)=f=L即/[/(—2)]=〃8)=1.

o

故答案為：1.

JT5

24.在ABC中，已知C=—,若CBCA=—,貝LABC的面積為_____.

32―

【答案】史

4

【解析】

【分析】先由CB-C4=g求出|C4|C4],然后再利用三角形的面積公式可求得結(jié)果

JT.5

【詳解】解：因為C=」，CBCA=-,

32

所以畫畫cosg=|,得冏畫=5,

所以SABC=||CB||G4|smC=1x5siny=1x5x^=^l,

故答案為：巫

4

(兀37r、

25.已知tana、tan用是方程Y—3百％+4=0的兩根，并且a、，"于萬卜則1的值是

8兀

【答案】

T

【解析】

【分析】由題可得tana+tan,=3百，tan?-tan/7=4,根據(jù)兩角和的正切公式即可求出.

713兀

【詳解】tan。、tan/7是方程必―3氐+4=0的兩根，并且a、/?e2*T

tana+tan/?=3百，tantz-tan/?=4,。+46（兀,3兀）.

tantz>tan/?均大于零，故a、〃e卜,與），&+尸?2兀,3兀）.

tana+tan尸_36/-八八2兀8兀

tan（tz+/7）=—y/3>/.CK+/?=271H——=

1-tana-tan1-4

故答案為：q.

三、解答題(本題共3小題，共25分)

26.已知函數(shù)/(x)=sin0x+Gcos0X(0>O)的最小正周期是".

(1)求。值；

(2)求/(X)的對稱中心;

(3)將/(弓的圖象向右平移!■個單位后，再將所得圖象所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變,

得到函數(shù)廣且⑸的圖象，求g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

(k兀冗\冗57r

【答案】(1)2；(2)—-----,0,kwZ；(3)2k/r——,Ikn+--,keZ.

<26JL66」

【解析】

【分析】⑴由/(x)=2sin(ox+工]且7=二="，即可求0值；

V3；①

(2)由(1)知/(x)=2sin[2x+g],結(jié)合正弦函數(shù)的對稱中心即可求/(%)的對稱中心；

(3)由函數(shù)平移知g(x)=2sin[x-結(jié)合正弦函數(shù)單調(diào)性即可求g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

【詳解】(1)/(x)=sin69x+V3cos69x=2sincox+—,又G>0,

2〃

——二71,

CD

①=2.

(2)由⑴知，/(x)=2sin^2x+yj,令2x+3=左"，解得x=?—

?，?/(%)的對稱中心是彳'°]'左GZ.

(3)將/(%)的圖像向右平移?個單位后可得：y=2sin|^2x-1^再將所得圖像橫坐標(biāo)伸長到原來的2

倍，縱坐標(biāo)不變得到：g(x)=2sin[x—1^,

TCTCTC7TJTC

由2左萬---<x------<2k7i+—,解得2左;r------<x<Ikn+——，keZ.

23266

冗57r

；?g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為2k7T--,2k7v+—,keZ.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：

(1)應(yīng)用輔助角公式求三角函數(shù)解析式，結(jié)合最小正周期求參數(shù).

(2)根據(jù)正弦函數(shù)的對稱中心，應(yīng)用整體代入求/(%)的對稱中心.

(3)由函數(shù)圖像平移得g(x)解析式，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，應(yīng)用整體代入求g(x)的單調(diào)增區(qū)間.

27.如圖，四棱錐尸-ABC。的底面是菱形，且面ABC。，E,尸分別是棱尸3,PC的中點.

求證：(1)EF//平面BW；

(2)面尸8。_1_面^4c.

【答案】(1)證明見詳解；(2)證明見詳解.

【解析】

【分析】(1)利用線面平行的判定定理即可證明.

(2)利用面面垂直的判定定理即可證明.

【詳解】(1)由E,尸分別是棱尸8