高考數(shù)學(xué) 立體幾何初步難題專項(xiàng)訓(xùn)練 文

年高考數(shù)學(xué)（文）難題專項(xiàng)訓(xùn)練:立體幾何初步

1.（年河南省十所名校高三第三次送考，12,5分）四面體ABCD中，AD與BC互相垂直，且AB+BD

=AC+CD,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A.若分別作aBAD和aCAD的邊AD上的高，則這兩條高所在直線異面

B.若分別作aBAD和ACAD的邊AD上的高，則這兩條高長(zhǎng)度相等

C.AB=AC且DB=DC

I）.Z.DAB=Z.DAC

2.（北京西城區(qū)高三三月模擬，8,5分）如圖，正方體加4RG叫中，s是棱4G的中點(diǎn).

動(dòng)點(diǎn)P在底面ZBCD內(nèi)，且二4=4尺，則點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)形成的圖形是（）

（A）線段（B）圓弧（C）橢圓的一部分（D）拋物線的一部分

3.（北京海淀區(qū)一月期末，8,b分）如圖，在校長(zhǎng)為1的正方體4版。-48￡。中，點(diǎn)瓦戶分別是

棱8CCC的中點(diǎn)，〃是側(cè)面內(nèi)一點(diǎn)，若平面在匕則線段4『長(zhǎng)度的取值范圍是

'：）

用咚.6I)..⑸

4.（山西大學(xué)附中十月月考，12,5分已知正方體/8。0-44。。1的棱長(zhǎng)為2,長(zhǎng)為2的線段A/.V

的一個(gè)端點(diǎn)”在棱上運(yùn)動(dòng)，另一端點(diǎn)N在正方形.481'。內(nèi)運(yùn)動(dòng)，貝ij.XV的中點(diǎn)的軌跡的面

積（）

A.B.2JTc.XD.y

5.（東北三省四市第二次聯(lián)考，12,5分）四棱錐S-ABCD的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，底面ABCD

是正方形且和球心。在同一平面內(nèi)，當(dāng)此四棱錐的體積取得最大值時(shí)，它的表面積等于4+4百，

球0的體積等于（）

4^280167232虎

A.----B.------------乃C------7D.------7

3333

6.（福建省高中畢業(yè)班質(zhì)量檢測(cè)，11,5分）一只螞蟻從正方體一四°。一N/IGA的頂點(diǎn)M處出發(fā)'經(jīng)

正方體的表面，按最短路線爬行到達(dá)頂點(diǎn)Ci位置，則下列圖形中可以表示正方體及螞蟻?zhàn)疃膛佬新?/p>

線的正視圖是（）

7.（沈陽高三模擬，12,5分）一個(gè)球的內(nèi)接正四棱柱的側(cè)面積與上下兩底面面積的和之比為4：

1,且正四棱柱的體積是4、2則這個(gè)球的體積是（）

A."nB.2v^nC.3m無D.

8.（云南高三二模，12,5分）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-ABCD中，點(diǎn)E、F分別是棱AB、

BC的中點(diǎn)，則異面直線AE與BF所成的角的余弦值等于（）

34

35

D.

9.在正方體ABCD-ABCD中,E、F分別為棱AAgCG的中點(diǎn),則在空間中與三條直線AD、EF、CD

都相交的直線（）

A.不存在B.有且只有兩條C.有且只有三條I）.有無數(shù)條

10.（全國(guó)I,11,5分）已知三棱柱ABC-ABG的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等，Ai在底面ABC內(nèi)的射影為

△ABC的中心，則AB】與底面ABC所成角的正弦值等于（）

12

33

D.

11.已知二面角a-1-0為60。，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別在面a、B內(nèi)，F(xiàn)到B的距離為、⑶Q到a的距

離為2#，則P、Q兩點(diǎn)之間距離的最小值為（）

A.A/2B.2C.2#D.4

12.半徑為R的球0的直徑AB垂直于平面。，垂足為B,ABCD是平面。內(nèi)邊長(zhǎng)為R的正三角形，線

段AC、AD分別與球面交于點(diǎn)11、N,那么M、N兩點(diǎn)間的球面距離是（）

14

C3RnR

71D.T5

13.已知三棱錐S-ABC的各頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為「的球面上，球心。在AB上，SO_L底面ABC,AC=&r.

則球的體積與三棱錐體積之比是（）

A.nB.2nC.3nD.4n

14.若三棱柱的一個(gè)側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的正方形，另外兩個(gè)側(cè)面都是有一個(gè)內(nèi)角為60°的菱形，則該

棱柱的體積等于（）

A.蠹2點(diǎn)C.3班D.4A/2

15.已知平面a截一球面得圓立過圓心M且與a成60°二面角的平面3截該球面得圓N.若該

球面的半徑為4,圓M的面積為4丸，則圓N的面積為（）

A.7nB.9nC.11nD.13八

16.（遼寧，10,5分）已知球的直徑SC=4,A,B是該球球面上的兩點(diǎn)，AB=2,乙ASC=4BSC=45"則

棱錐S-ABC的體積為（）

D.呼

B.￥c.￥

17.如圖，模塊①=⑤均由4個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正方體構(gòu)成，模塊⑥由15個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正方體構(gòu)成.

現(xiàn)從模塊①T⑤中選出三個(gè)放到模塊⑥上，使得模塊⑥成為一個(gè)棱長(zhǎng)為3的大正方體.則下列選擇

方案中，能夠完成任務(wù)的為（）

模塊①

模塊④模塊⑥

A.模塊①:,②,模塊①、③，⑤，C.模塊②，④，⑤D.模塊③,

④，⑤

18.已知球的半徑為2,相互垂直的兩個(gè)平面分別截球面得兩個(gè)圓.若兩圓的公共弦長(zhǎng)為2,則兩圓

的圓心距等于（）

A.1B.A/2C.4D.2

19.在正四棱柱ABCD-A.B.C,D,中，頂點(diǎn)Bi到對(duì)角線BD1和到平面A.BCD.的距離分別為h和d,則下列

命題中正確的是（）

h

若側(cè)棱的長(zhǎng)小于底面的邊長(zhǎng)，則d的取值范圍為⑹1）

h他2病

B.若側(cè)棱的長(zhǎng)小于底面的邊長(zhǎng)，則d的取值范圍為

若側(cè)棱的長(zhǎng)大于底面的邊長(zhǎng)，則）的取值范圍為（與士”2）

C.

若側(cè)棱的長(zhǎng)大于底面.的邊長(zhǎng)，貝A的取值范圍為（攣+8）

D.

2（）.紙制的正方體的六個(gè)面根據(jù)其方位分別標(biāo)記為上、下、東、南、西、北.現(xiàn)在沿該正方體的一

些棱將正方體剪開、外面朝上展平，得到右側(cè)的平面圖形，則標(biāo)“△”的面的方位是（）

A.南

B.北

C.西

D.下

21.如圖，正方體ABCD-ABCD的棱長(zhǎng)為1,線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E,F,且EF=Z則下列結(jié)論中

揩誤的是（）

A.AC1BE

B.EF〃平面ABCD

C.三棱錐A-BEF的體積為定值

【）.AAEF的面積與ABEF的面積相等

22.如圖，M是正方體ABCD-ABGD：的棱DDi的中點(diǎn)，給出下列四個(gè)命題:

①過M點(diǎn)有且只有一條直線與直線AB,BC都相交；

②過M點(diǎn)有且只有一條直線與直線AB,BC都垂直；

③過M點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與直線AB,BC都相交；

④過M點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與直線AB,BC都平行.

其中真命題是（）

A.②③④B.①@④C.①②@D.①②③

23.與正方體ABCD-ABCD的三條凄AB、CG、AD所在直線的距離相等的點(diǎn)（）

A.有且只有1個(gè)B.有且只有2個(gè)C.有且只有3個(gè)D,有無數(shù)個(gè)

24.（武漢市畢業(yè)生4月調(diào)研.16、5分）已知球的直徑SC=4,A,B是該球球面上的兩點(diǎn)，AB=2.

/ASC=^BSC=45°,則棱錐S-ABC的體積為.

25.（北京東城區(qū)模擬，14,5分）已知四棱柱X8CO-44C。中，側(cè)棱

億，底面46C0,14=2,底面48co的邊長(zhǎng)均大于2,且ND48=45,點(diǎn)P在底面/SCO

內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且在48.4〃上的射影分別為.“，.V,若pH-2,則三棱錐〃〃”丫體積的最大值為

26.（東北三省四市第一次聯(lián)考，16,5分）如圖所示，正方體18co44。。的棱長(zhǎng)為6,則以正

方體48（7）-"的中心為頂點(diǎn)，以平面.44"截正方體外接球所得的圓為底面的圓錐的全

面積為__________.

27.（高考仿真卷一，16,5分）如圖所示，正方體ABCD-ABCD的棱長(zhǎng)為6,則以正方體ABCD-ABCD

的中心為頂點(diǎn)，以平面ABD截正方體外接球所得的圓為底面的圓錐的表面積為.

28.如圖，正方體AG的棱長(zhǎng)為1,過點(diǎn)A作平面ABD的垂線，垂足為點(diǎn)H.有下列四個(gè)命題

A.點(diǎn)H是△ABD的垂心

B.AH垂直平面CBD

C.二面角C-BD-G的正切值為祝

3

D.點(diǎn)H到平面ABCD的距離為4

其中真命題的代號(hào)是.（寫出所有真命題的代號(hào)）

29.已知點(diǎn)0在二面角a-AB-3棱上，點(diǎn)P在a內(nèi)，且乙POB=45°.若對(duì)于B內(nèi)異于0的任意一

點(diǎn)Q,都有乙P0Q245°,則二面角.。-AB-B的大小是.

30.設(shè)0A是球。的半徑，M是0A的中點(diǎn)，過M且與0A成45°角的平面截球0的表面得到圓C.若

7n

圓C的面積等于4,則球0的表面積等于.

31.已知兩個(gè)圓錐有公共底面，且兩圓錐的頂點(diǎn)和底面的圓周都在同一個(gè)球面上.若圓錐底面面積

3

是這個(gè)球面面積的花，則這兩個(gè)圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比值為.

32.（.安徽，16,5分）已知點(diǎn)A,B,C,D在同一個(gè)球面上，AB_L平面ECD,BC1CD.若AB=6,AC=2J^,

AD=8,則B,C兩點(diǎn)間的球面距離是.

33.連結(jié)球面上兩點(diǎn)的線段稱為球的一條弦.半徑為4的球的兩條弦AB、CD的長(zhǎng)度分別等于2々、

4垂，每條弦的兩端都在球面上運(yùn)動(dòng)，則兩弦中點(diǎn)之間距離的最大值為.

34.（全國(guó)II,16,5分）平面內(nèi)的一個(gè)四邊形為平行四邊形的充要條件有多個(gè)，如兩組對(duì)邊分別平

行.類似地，寫出空間中的一個(gè)四棱柱為平行六面體的兩個(gè)充要條件：

充要條件①_；

充要條件②

（寫出你認(rèn)為正確的兩個(gè)充要條件）

35.對(duì)于四面體ABCD,下列命題正確的是（寫出所有正確命題的編號(hào)）.

①相對(duì)棱AB與CD所在的直線是異面直線；

②由頂點(diǎn)A作四面體的高，其垂足是△BCD三條高線的交點(diǎn);

③若分別作AABC和aABD的邊AB上的高，則這兩條高的垂足重合；

④任何三個(gè)面的面積之和都大于第四個(gè)面的面積；

⑤分別作三組相對(duì)棱中點(diǎn)的連線，所得的三條線段相交于一點(diǎn).

36.(山西大學(xué)附中十月月考，20.12分)下圖是一幾何體的直觀圖、主視圖、俯視圖、左視圖.

(I)若尸為的中點(diǎn)，求證："F面〃CD；

(II)證明8?！姑娼?

37.如圖，正三棱錐0-ABC的三條側(cè)棱OA、OB、0C兩兩垂直，且長(zhǎng)度均為2.E、F分別是AB、AC

的中點(diǎn)，H是EF的中點(diǎn)，過EF的一個(gè)平面與側(cè)棱0A、(用、0C或其延長(zhǎng)線分別相交于A.,BlxC.,已

3

知0A]=2.

(I)求證:B￡_L平面0AH;

(II)求二面角0-AB-G的大小.

%P

38.如圖，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-ABCD的對(duì)角線BDi上，記曬A.當(dāng)乙APC為鈍角

時(shí)，求A的取值范圍.

39.如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形,SDJ_平面ABCD,SD=2a,AD=&a,點(diǎn)E是SD上的點(diǎn)，且

DE=、a(OCW2).

h)求證:對(duì)任意的XG(O,2],都有AC_LBE;

(11)設(shè)二面角(^^一口的大小為0,直線BE與平面ABCD所成的角為中.若tan。?tane=1,求

40.如圖，四棱錐STBCD中，底面ABCD為矩形，SD_L底面ABCD,止也DC=SD=2.點(diǎn)M在側(cè)棱SC

上，4ABM=60°.

'：I)證明:M是側(cè)棱SC的中點(diǎn)；

111)求二面角S-AM-B的大小.

41.如圖，直三棱柱ABC-ABG中，AC=BC,AA產(chǎn)AB,D為BBi的中點(diǎn),E為ABi上的一點(diǎn),AE=3EB(.

'：I)證明:DE為異面直線ABi與CD的公垂線;

3)設(shè)異面直線ABi與CD的夾角為45°,求二面角ALACLBI的大小.

42.如圖，ABCD與AMCD都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，平面MCD_L平面BCD,AB_L平面BCD,AB=24.

(I)求直線AM與平面BCD所成角的大小；

(II)求平面ACM與平面BCD所成二面角的正弦值.

43.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA_L底面ABCD,AB1AD,AC1CD,ZABC=60°,PA=AB=BC,E是PC

的中點(diǎn).

i|）求PB和平面PAD所成的角的大小;

小）證明.人￡_1平面PCD;

51）求二面角APDC的大小.-----------"

44.如圖，四棱錐S-ABCD中，AB/CD,BC1CD,側(cè)面SAB為等邊三角形.AB=BC=2,CD=SD=1.

（I）證明:SDJ.平面SAB;

，飲…

iII）求AB與平面SBC所成的角的大小.彳々------乂

45.如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱SD_L底面ABCD,E、F分別為AB、SC的

中點(diǎn).

（I）證明：EF〃平面SAD;

川）設(shè)SD=2DC,求二面角A-EF-D的大小.~~%

46.如圖，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE〃CF,ZBCF=ZCEF=90a,AD=價(jià)，EF=2.

'：I）求證:AE〃平面DCF;

ill）當(dāng)AB的長(zhǎng)為何值時(shí)，二面角A-EF-C的大小為60°?

47.如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-方BCD中,E,H分別是棱AB,DC上的點(diǎn)（點(diǎn)E與R不重合）,且EH〃

AIDL過EH的平面與棱BBI,CG相交，交點(diǎn)分別為F,G.

(I)證明:AD〃平面EFG1I;

（II）設(shè)AB=2AAk2a.在長(zhǎng)方體ABCD-ABCD內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)，記該點(diǎn)取自于幾何體A.ABFE-D^CGH

內(nèi)的概率為p當(dāng)點(diǎn)E,F分別在棱AH,BiB上運(yùn)動(dòng)且滿足EF=a時(shí),求p的最小值.

48.如圖,在平行四邊形ABCD中，AB=2BC,4ABe=120°,E為線段AB的中點(diǎn),將AADE沿直線DE

翻折成aA'DE,使平面A'DE平面BCD,F為線段A'C的中點(diǎn).

?I）求證:BF〃平面A'DE;

ill）設(shè)M為線段DE的中點(diǎn)，求直線FM與平面A'DE所成角的余弦值.

49.如圖，在三棱錐P-ABC中，是等邊三角形，ZPAC=ZPBC=90°

?I）證明：AB1PC;

（II）若PC=4,且平面PAC_L平面PBC,求三棱錐P-ABC的體積.

50.如圖，在正四棱柱ABCD-ABC）中，AA產(chǎn)2,AB=1,點(diǎn)N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)Y在CG上.設(shè)二面角

ALDN-M的大小為0.

⑴當(dāng)0=90°時(shí),求AM的長(zhǎng);

51.如圖所示的幾何體是將高為2,底面半徑為1的直圓柱沿過軸的平面切開后，將其中一半沿切

cCCC

面向右水平平移后得到的.A,A',B,B'分別為CD'CD'DE'DE的中點(diǎn)，ObO'h0%O'2分別為CD,C，D，,

DE,D'E'的中點(diǎn).

(I)證明：O\,A\O2,B四點(diǎn)共面；

(11)設(shè)6為八八’中點(diǎn)，延長(zhǎng)A'O'倒H',使得O'H=A'O'L證明:BO〉，平面H'B'G.

答案

LA2.B3.B4.D5.B6.C7.D8.D9.D10.BII.C12.A13.D

14.B5.D16.C17.A18.C19.C20.B21.D22.C23.D

24.，6x4=再

33

1(V2-I)

25.3

26.18>/2<+24<；

27.(18x1+24)n

28.A、B、C

29.90°

30.8n

1

31.3

4n

32.T

33.5

34.兩組相對(duì)側(cè)面分別平行:底面是平行四邊形;一組相對(duì)側(cè)面平行且全等;對(duì)角線交于一點(diǎn)

注:上面給出了四個(gè)充要條件.如果考生寫出其他正確答案，同樣給分.

35.①④⑤

36.(I)由幾何體的三視圖可知，底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形:PA_L面ABCD,PA〃EB.PA=AD=4.

EB=2.

取PD的中點(diǎn)F,如圖所示.

:PA=AD,

.,.AF1PD,

又???CD1DA,CD1PA,PACDA=A,

CD_L面ADP,

/.CD±AF.

又CI)nDP=D,

.,.AF_L面PCD.6分

(II)取PC的中點(diǎn)M,AC與BD的交點(diǎn)為N,連結(jié)MN、ME,如圖所示.

/.MN=2PA,MN#PA,

.,.MN=EB,MN〃EB,

.?四邊形BEMN為平行四邊形，.匚M〃BN,

又EMU面PEC,

BN〃,面PEC,

面PEC.-------------12分

37.解法一：(I)依題設(shè)，EF是aABC的中位線，所以EF〃BC,則EF〃平面OBC,所以EF〃BC.

又H是EF的中點(diǎn),所以AH_LEF,則AH_LBC.

因?yàn)镺AJ_OB,OA_LOC,所以O(shè)A_L平面OBC,則OAJLBC,因此OC」平面OAH.

(||)作(^_1_人同于風(fēng)連GN.

因?yàn)?C」平面0AB,根據(jù)三垂線定理知，C.NIA.B),乙ONG就是二面角O-AB-G的平面角.

0BiOAix3

作EMlOBi于M,則EM〃OA,則V是0B的中點(diǎn)，則EM=OM=L設(shè)03x,由叫=的得，式1=2解

得x=3,BPOBi=OC.=3.

________3OAOB3

OA+OBr1

在RtZXOAB中，AIB>=7II=2^,則0N「A#[=鄧

OCj

所以tanL0NCi=ON=x/5,故二面角O-AJ^-Ci的大小為arctanx/5.

解法二：(I)以直線OA、OC、OB分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oryz,則A(2,0,0),B(0,

0,2),C(0,2,0),E(l,0,1),F(l,1,0),H(LZ2,

所以Ah=口另)皿的眄=(o2,_2)>

所以Ail.RaO,oh.Bt=o.

所以BC_L平面OAH.

由EF〃BC,

所以B,Ci#BC則BC1平面OAH.

Hl)由已知設(shè)R(0,C,Z),

則A；E=G，O，I),E瓦=(_],0Z-1),

由A；E與E"共線得:存在入￡R使A；E=、E可得

l=A(z-l)=>z=3,

所以4(0,0,3),

同理:G(0,3,0),

Ai展傳。，3)，A4傳3,0)

所以

Ai^rni=0?

設(shè)m=(xi,yltzi)是平面ABG的一個(gè)法向量，則A；Cr\=0,

?：X]+3zi=0,

3

即+2X1+3yi=0,令X1=2得y產(chǎn)Zi=l,

所以m=(2,1,1).

又皿=(0,1,0)是平面OAB的一個(gè)法向量,

n']亞

nn

所以cos<m,n2>=liH2I=A/4+1+1=6(

由圖可知，所求二面角的大小為arccos

38.由題設(shè)可知，以1)入1直、D”為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz,則有

A(l,0,0),B(l,1,0),C(0,1,0),D.(0,0,1).1,T)得

DIP=ADIB=(X,X,-入),

所以*加i+D；A=(一人,-X,入)+(1,0,-1)

=(1-A，-X,X-1),

p&Pbi+DlJLL-X,X)+(0,1,-i)

=(-入，1-X,X-1).

顯然乙APC不是平角，所以4APC為鈍角等價(jià)于

COSZL/\PC=COS<PA,PC>=|PA|-|PC|<0,

這等價(jià)于演?P&0,

gp(l-X)(-X)+(-X)(l-X)+(X-l)

=(A-l)(3X-l)<0,得3c<1.

因此，人的取值范圍為G'i).

39.(I)證法一:連結(jié)BD,由底面ABCD是正方形可得

AC1BD.

???SD_L平面ABCD,/.BD是BE在平面ABCD上的射影，

由三垂線定理得ACJ.BE.

?II)解法一：?/SD1平面ABCD,CDc平面ABCD,

■??SD1CI).又底面ABCD是正方形.

,.CD1AD.又SDCAD=D,/.CD_L平面SAD.

過點(diǎn)D在平面SAD內(nèi)作DFLAE于F,連結(jié)CF,貝IJCF_LAE,

故乙CFD是二面角C-AET)的平面角，即4CFD=60°.

在RtaADE中，vAD=a,DE=Xa>AE=3A^+1,

AD-E——

于是，DF=F-=J￥+I.

DF-j4—

在RtzXCDF中，由cot60°=CD=VA+1,

得JX+i;號(hào),即」3，+3=3入.

DA,D'JD'S的方向分別作為x,,y,z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則【)(0,0,0),

A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),E(0,0,Xa),

AC=(-a,a,0),Bfe=(-a,-a,、a),EA=(a,0,-A.a),

Et=(0,a,-Xa).

At?Bfe=(-a,a,0)?(-a,-a,Xa)=a2-a*+0?Xa=0,

即對(duì)任意的入￡(0,1],都有AC1BE.

ill)解法二:D'C=(0,a,0)為平面ADE的一個(gè)法向量.

設(shè)平面ACE的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),

則n±EA,nlEC,

[nEA=0,fx-Az=0,

(nEC=0,即1y1z二0.

取z=l,得n=(',入，1).

22

.,.cos600=lDC|-|n|=v'2A+1<^x：2A+1=2X|.

由入E(0,1],解得X受

40.解法一:(I)作ME〃CD交SD于點(diǎn)E,則ME_L平面SAD.

連結(jié)AE,則四邊形ABME為直角梯形.

作MF_LAB,垂足為F,則AFME為矩形.

222

AE^ED+AD=A/(2-X)+2,

ME=AE=J(2-X)2+2,FB=2-X.

由MF=FB?tan60。,得\，(2-x)2+Z=、后(2-x),解得x=l

1

即ME=1,從而ME=2DC,所以M為側(cè)棱SC的中點(diǎn).

（||）MB=JBC2+MC2=2,又乙ABM=60°,AB=2,所以aABM為等邊三角形.

又由（I）知卜1為SC中點(diǎn),

SM=A/2,SA=X/6,AM=2,故SA-AM：ZSMA=90°.

取AM中點(diǎn)G,連結(jié)BG,取SA中點(diǎn)H,連結(jié)GH,則BGLAM,GH_LAM,由此知Z.BGH為二面角S-AM-B

的平面角.

連結(jié)BH.在ABGH中，

BG=￥AM=W,GH&M笠

BG2+GH2-BH2\吊

所以COSZ.BGH=2-BG-GH=-3.

二面角S-AM-B的大小為arccos(%).

解法二：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線DA為x軸正半軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系D-xyz.

設(shè)A(&,0,0),則B(&,2,0),C(0,2,0),S(0,0,2).

?I）設(shè)SM=AMe（入〉0）,則M（°'備ra）,

1他恪磊擊）.

又Ah=（o,2,0）,<MRAB〉=60°,

故MB?Afe=MB?Ah|cos60°,

即白」(#)2+(1J+傍/

解得入=1,即sM=Me.所以M為側(cè)棱sc的中點(diǎn).

G傍另）.

3)由M(0,1,1),A(&,0,0),得AM的中點(diǎn)

又G在傍犯)亦=(0-°,AM=(-V2,1,i).

Gfe?AM=O,MS?AM-O,

所以而J_AM,MS_LAM.

所以<GRMs》等于二面角S-AM-B的平面角.

GhMs范

因?yàn)閏os<Gh,Ms>=|GhHMs|=，.

所以二面角S-AM-B的大小為arccos

41.解法一：（I）連結(jié)MB,記AB與ABi的交點(diǎn)為F.

因?yàn)槊鍭ABB為正方形，故ABLW,且AF=FB、又AE=3EB〃所以FE=Efk又D為BBi的中點(diǎn)，故

DE//BF,DE±ABi.作CG_LAB,G為垂足，由AC=BC知，G為AB中點(diǎn).

又由底面ABC_L面AABB,得CG1.面AABB.

連結(jié)【町則l）G〃A瓦故DE1DG,由三垂線定理，得DE1CD.

所以DE為異面直線ABi與CD的公垂線.

3）因?yàn)镈G〃ABi,故乙CDG為異面直線ABi與CD的夾角，ZCDG=45a.

設(shè)Ab=2,則A&=2&,DG=&,CG=&,AC=?

作BH1AC,H為垂足.因?yàn)榈酌鍭BG1面AACC,故BJU面AACC又作HK1AG,K為垂足，連

結(jié)BK由三垂線定理，得B/_LA。，因此乙BMH為二面角A「AGF的平面角.

%瓦小凡)2

BiH=Aici

AA〔?HC12月

AC產(chǎn)j2?+(我2=yf7fHK=-=3^7,

B〔H

tanZBiKH=HK=V14,

所以二面角Ai-AC（-Bi的大小為arctan^l^.

解法二：（I）以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線BA為x軸正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系B-xyz.

又設(shè)C(l,0,c),貝IJEfE=GG，°[B]A=(2,一2,0),D‘C=(1,7,c).

于是D,E?B；生0,D'E?D'C=0,

故DE_LBADEIDC,

所以DE為異面直線AB.與CD的公垂線.

(Il)因?yàn)椋糂；A,D'C》等于異面直線AB,與CD的夾角，

故B；A.D‘C=|B；A|.|DC|cos450,

即2&X必辦*=4,

解得c=&,故A'C=(-1,0,A/2).

^AA1=B61=(0(2,0),

所以AC]=A*C+AAI=(T,2,a).

設(shè)平面AAC的法向量為m=(x,y,z),

則m?八。=0,m.AA[=O,

即-x+2y+&z=0且2y=0.

令x=或，則z=l,y=0,故m=(&.0,1).

設(shè)平面ABC的法向量為n=(p,q,r),

BA

則n?A《=0,n?i=0,

即-p+2q+&r=0,2p-2q=0.

令p:包則q=$，r=-l,故n=("熄，-1).

所以cos<m,n>=|m||n[=J15.

由于<m,n>等于二面角ALACLBI的平面角，

足

所以二面角ALACLBI的大小為arccos

42.解法一：（I）取CD中點(diǎn)0,連OB,0M,則OB_LCD,OM±CD.

又平面MCD_L平面BCD,則MO_L平面BCD,所以MO〃AB,A、B、0、M共面.

延長(zhǎng)AM、BO相交于E,則4AEB就是AM與平面BCD所成的角.bOB=MO=#,MO#

EOMO1

AB,則定二池二2,EO=OB=^,

所以EB=2展AB,故乙AEB=45°.

?.直線AM與平面BCD所成角的大小為45。.

(ll)CE是平面ACM與平面BCD的交線.

由(I)知，。是BE的中點(diǎn)，則BCED是菱形.

作BFJ.EC于F,連AF,則AF_1.EC,乙AFB就是二面角A-EC-B的平面角，設(shè)為。.

因?yàn)橐褺CE=120°,所以4BCF=6(T.

_AB2J5

BF=BC?sin60°=\l^,tan0=BF=2,sin0=□.

所以，所求二面角的正弦值是寸.

解法二:取CD中點(diǎn)0,連OB,OM,則OBJ_CD,0M1CD,

又平面MCD1平面BCD,則MO1平面BCD.

以。為原點(diǎn)，直線0C、BO、0M為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖.

0B=0M=A^,則各點(diǎn)坐標(biāo)分別為0(0,0,0兀C(l,0,0),M(0,0,嶼，B(0,-乖，0),A(0,-乖,

2?(I)設(shè)直線AM與平面BCD所成的角為□.因AM=(0,

-G),平面BCD的法向量為n=(0,0,1).則有sina=

AMn

Icos<AM>n>l=|AM|.|n|

所以a=45°.

二直線AM與平面BCD所成角的大小為45°.

(ll)C^(-l,0,聞%-l,g2褥.

設(shè)平面ACM的法向量為n產(chǎn)(x,y,z),由

色1%,水+履=0,

In^CA得卜x-J加+2辰=0,

解得x八后z,y=z,取m=(小，1,1).平面BCD的法向量為

n.]

n=(0,0,1).則cos〈m,n>=lnillnf=75.

設(shè)所求二面角為0,則sin

2代

所以，所求二面角的正弦值是F".

43.(I)在四棱錐P-ABCD中，因PAJ■底面ABCD,ABc平面ABCI),故PA1AB.

又AB_LAD,PAGAD=A,從而AB_L平面PAD,故PB在平面PAD內(nèi)的射影為PA,從而乙APB為PB和平

面PAD所成的角.

在RtaPAB中，AB=PA,故乙APB=45°.

所以PB和平面PAD所成的角的大小為45°

底面ABCD,CDu平面ABCD,故CDJ.PA.

由條件CD_LAC,PAAAC=A,J.CDJ.平面PAC.

又AEu平面PAC,AE1CD.

由PA=AB=I町zCABC=60°,可得AC=PA.

.JE是PC的中點(diǎn)，/.AE1PC.

又PCnCD=C,綜上得AE_L平面PCD.

川I)過點(diǎn)E作EM_LPD,垂足為虬連結(jié)AM.由(II)知，AE_L平面PCD,AM在平面PCD內(nèi)的射影是

EM,則AM_LPD.

因此乙AME是二面角A-PD-C的平面角.

由已知，可得乙CAD=30°.設(shè)AC=a,可得

PA=a,AD=^"a,PD=^Fa,AE=%.

在RtAADP中，AM1PD,/.AM-PD=PA?AD,則

PAAD爾2J7

AM=PD=33=/a.

AE^14

在RtZkAEM中，sinZAME=AM=I-.

所以二面角A-PD-C的大小是arcsin日二

44.解法一：（I）取AB中點(diǎn)E,連結(jié)DE,則四邊形BCDE為矩形，DE=CB=2.-J

連結(jié)SE,則SELAB,SE=#.

又SD=1,故ED'SE4SD；

所以乙DSE為直角.（3分）

由ABIDE,ABJ.SE,DEnSE=E,得ABJ.平面SDE,所以AB_LSD,

SD與兩條相交直線AB、SE都垂直，

所以SD_L平面SAB.（6分）

1II）由AB_L平面SDE知，平面ABCD_L平面SDE.

SDxSE、/3

作SF_LDE,垂足為F,則SF_L平面ABCD,SF=~HE-.

作FG_LBC,垂足為G,則FG=DC=L

連結(jié)SG,貝IJSG1BC.又BC_LFG,SGGFG=G,故BC?L平面SFG,平面SBC1平面SFG.（9分）

作FHJLSG,H為垂足,則FH_L平面SBC.

SFxFG避@

FH=SC=。7,即F至ij平面SBC的距離為7.

由于ED〃BC,所以ED〃平面SBC,E到平面SBC的距離d也為7~.

d①

設(shè)AB與平面SBC所成的角為a,則sina=EB=7~t

a=arcsin7.(12分)

解法二：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線CD為x軸正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz.

設(shè)1)(1,0,0),則A(2,2,0)、B(0,2,0).

又設(shè)S(x,y,z),則x>0,y>0,z>0.

?|)AS=(x-2,y-2,z),BS=(x,y-2,z),D'S=(xT,y,z),

由府=|盥得

J(x-2)2+(y-2)2+z2

222

=A/x+(y-2)4-zj故x=l.

由ID'S?得y2+z2=l,

又由|由1=2得x2+(y-2)2+z/=4,

1

即y2+z2-4y+l=0,故y=2,z=Z(3分)

于是s(i'2￥),

A』1,耳陰,

例

B?S=(1廠1劣應(yīng)(a3,?S?AS=0,DS?B?S=0.

故DS_LAS,DSXBS,又ASABS=S,所以SD_L平面SAB.(6分)

ill)設(shè)平面SBC的法向量a=(m,r,p),

則a_LBS,a_L而，a,BS=0,a?席=0.

Ca(0,2,0),

m-9n+gp-0,

故2n=0.（9分）

Aba也

取p=2得a=（-唬0,2）.又曲=（-2,0,0）,cos<ARa>=泌1刎=工

故AB與平面SBC所成的角為arcsi小廠.（12分）

45.解法一：（I）作FG〃DC交SD于點(diǎn)G,則G為SD的中點(diǎn).

故FGAE,AEFG為平行四邊形.

EF〃AG,又AGu平面SAD,EFQ平面S,AD,所以EF〃平面SAD.（4分）

ill）不妨設(shè)DC=2,則SD=4,DG=2,Z\ADG為等腰直角三角形.取AG中點(diǎn)H,連結(jié)DH,則DH_LAG.

又ABJ.平面SAD,所以AB_LDH,而ABCAG=A,所以［出_1面4￡￡

取EF中點(diǎn)M,連結(jié)MH,則HM_LEF.

連結(jié)DM,則DMJ.EF.

故乙DMH為二面角A-EFT）的平面角.（10分）

DH必

tanZDMH-HM-1~=^.

所以二面角A-EF-D的大小為arclan&.（12分）

解法二：（I）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz.

設(shè)A（a,0,0）,S（0,0,b）,則

B（a,a,0J,C（0,a,0）,

Ejfa,(J,/.

取SD的中點(diǎn)G

則而=80切.

E^=AG,EF〃AG,AGu平面SAI),EFQ平面SAD,所以EF〃平面SAD.(4分)

ill)不妨設(shè)A(l,0,0),則B(l,1,0),C(0,1,0),S(0,0,2),

F窿1).

EF中點(diǎn)M(另力疝》見㈠,0,1),M'D?EJo,MD1EF.

"A=(°，-；°}EA.ELO,EAIEF.

所以向量M'D和臉的夾角等于二面角A-EF-D的平面角.（10分）

M'DEA也

cos<MD,EA>=1MUHEA|=J.

所以二面角A-EF-D的大小為arccos3.（12分）

46.解法一：（I）證明:過點(diǎn)E作E（」CF交CF于G,連結(jié)DG.

可得四邊形BCGE為矩形.

又ABCD為矩形,

所以ADEG,從而四邊形ADGE為平行四邊形,

故AE#DG.

因?yàn)锳EQ平面DCF,DGc平面DCF,

所以AE〃平面DCE.

(II)過點(diǎn)B作BH1EF交FE的延長(zhǎng)線于H,連結(jié)AH.

由平面ABCD_L平面BEFC,AB_LBC、得

AB_L平面BEFC,

從而兒H1EF,

所以乙AHB為二面角A-EF-C的平面角.

在RtZkEFG中，因?yàn)镋G=AD=的EF=2,所以乙CFE=60°,FG=1.

又因?yàn)镃EJ.EF,所以CF=4.

從而BE=CG=3.

：八3

于是BH=BE-sinZBEH="2".

因?yàn)锳B=BH?tan^AHB,

9

所以當(dāng)AB為2時(shí)，二面角A-EF-C的大小為60°.

解法二:如圖，以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以CB、CF和CD分別作為x軸、y軸和z軸，建立空間直角坐標(biāo)

系C-xyz.

設(shè)AB=a,BE=b,CF=c,

則C(0,0,0),A(晌0,a),0,0),E(6,b,0),F(0,c,0).

?I)證明:AE=(0,b,-a),席=(#,0,0),Bfe=(o,b,0),

所以曲?A30,Cfe.Bfe=0,從而CB_LAE,CB±BE,

所以CB_L平面ABE.

因?yàn)镃B_L平面DCF,

所以平面ABE〃平面DCF.

故AE〃平面DCF.

3)因?yàn)樾?-抬，c-b,0),品(4,b,0),

所以EF?Cfe=0,|EF|=2,從而

-3+b(jb)=0,

J3+(c-b)2=2,

解得b=3,c=4.

所以E(W,3,0),F(0,4,0).

設(shè)n=(l,y,z)與平面AEF垂直，

則n?Afe=0,n?Efe=0,

解得n=(l,1需.

又因?yàn)锽A_L平面BEFC,BA=(0,0,a),

呼n|3中]

所以cos<n,BA>|=|BA|-|n|=aV4a"+27=2,

9

得至ija=2

9

所以當(dāng)AB為2時(shí)，二面角A-EF-C的大小為60°

47.解法一：（I）證明:在長(zhǎng)方體ABCD-ABCD中，AD〃AD.

又?「EH〃AD,.，AD〃EH.

.ADC平面EFGH,EHu平面EFGH、

（II）設(shè)BC=b,則長(zhǎng)方體ABCDABCD的體積

b

的B禺F）

V=AB?AD?AA尸2a幾何體EBJ'-HCiG的體積V.=BICI=2F：B,?BF.

,、2EB；+BFa2也

?.-EBi+BiF2=a\」.ER-BFW-2~=2當(dāng)且僅當(dāng)EB產(chǎn)BF=Zi時(shí)等號(hào)成立.

a2b

a2bV］三7辿7

從而，VW?-.故p=l-V?l-在S,當(dāng)且僅當(dāng)EB產(chǎn)BF=》a時(shí)等號(hào)成立.所以，p的最小值等于8

解法二：（I）同解法一.

2

?II)設(shè)BC=b,則長(zhǎng)方體ABCD-ABCD的體積V=AB-AD-AAi=2ab>幾何體EBF-HGG的體積

EBBF

V,=(2I-I)?BiC^EB,?B,F.設(shè)Z.B1EF=O(O°W0<90°),則EB產(chǎn)acos0,B1F=asin0.

a2a2

故EBi?BF=a2sin0cos9=2sin28WZ當(dāng)且僅當(dāng)sin2。=1即0=45°時(shí)等號(hào)成立.從而,

a2b

VW丁.

a2h

V】手77

?.p=l-V^1-23^5,當(dāng)且僅當(dāng)sin20=1即（）=45。時(shí)等號(hào)成立.所以，P的最小值等于8