2024-2025學(xué)年北京八十中高三（下）月考數(shù)學(xué)試卷（3月份）（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年北京八十中高三（下）3月月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.設(shè)全集為R，集合A={x||x|≥1}，B={x|lgx≤0}，則(?RA)∪B=A.(0,1] B.(?1,1] C.(?1,1) D.(?∞,1]2.設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(1,?3)，則z1+i(

)A.2+i B.2?i C.?1+2i D.?1?2i3.已知x>y，則(

)A.1x<1y B.x2>4.已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為3，則圓錐的體積為(

)A.23π B.33π5.正項等比數(shù)列{an}中，Sn是其前n項和，若a2=aA.63 B.56 C.52 D.426.在△ABC中，(a+c)(sinA?sinC)=b(sinA?sinB)，則∠C=(

)A.π6 B.π3 C.2π37.設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為R，則“f(x)是R上的增函數(shù)”是“任意a>0，y=f(x+a)?f(x)無零點”的(

)A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8.已知點P在圓(x?1)2+y2=1上，點A的坐標(biāo)為(?1,A.[?3,3] B.[3,5] C.[1,9] D.[3,7]9.近年來，人們越來越注意到家用冰箱使用的氟化物的釋放對大氣臭氧層的破壞作用.科學(xué)研究表明，臭氧含量Q與時間t(單位：年)的關(guān)系為Q=Q0e?ta，其中Q0是臭氧的初始含量，a為常數(shù)，經(jīng)過測算，如果不對氟化物的使用和釋放進(jìn)行控制，經(jīng)過280年將有一半的臭氧消失.如果繼續(xù)不對氟化物的使用和釋放進(jìn)行控制，再經(jīng)過n年，臭氧含量只剩下初始含量的20%，n約為(

)

A.280 B.300 C.360 D.64010.數(shù)列{an}滿足a1=a2=1，an=an?1+an?2(n≥3,n∈N?)，給出下列四個結(jié)論：

①不存在m∈N?，使得am，am+1，am+2成等差數(shù)列；

②存在m∈N?，使得am，am+1，am+2成等比數(shù)列；

③存在常數(shù)tA.①② B.①④ C.③④ D.②③二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11.拋物線x2=2y的焦點坐標(biāo)是______．12.設(shè)(2?mx)5=a0+a113.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx)+sin2x，其中ω∈N?，若函數(shù)f(x)<2恒成立，則常數(shù)14.已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線E：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點，過原點O的直線l與E交于A，B兩點(點A在第一象限)，延長AF215.已知正方體ABCD?A1B1C1D1的邊長為2，且M為棱AA1的中點，點P在正方形ABCD的邊界及其內(nèi)部運動，且滿足MP與底面ABCD所成的角為π4，給出下列四個結(jié)論：

①存在點P使得MP⊥BD1；

②點P的軌跡長度為π2；

③三棱錐P?A1BD三、解答題：本題共6小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題12分)

在△ABC中，cos2A+cosA=0．

(Ⅰ)求A的大小；

(Ⅱ)若a=7，從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得△ABC存在，求△ABC最長邊上高線的長．

條件①：sinC=5314；

條件②：△ABC的面積為103；

條件③：b=10．

注：如果選擇的條件不符合要求，第(Ⅱ17.(本小題12分)

如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，點E、F在側(cè)棱BB1、CC1上，且B1E=2EB，C1F=2FC，點D、G在側(cè)棱AB、AC上，且BD=2DA，CG=2GA．

(Ⅰ)證明：點G在平面EFD內(nèi)；

18.(本小題12分)

某學(xué)校在寒假期間安排了“垃圾分類知識普及實踐活動”.為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)成果，該校從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生作為樣本進(jìn)行測試，記錄他們的成績，測試卷滿分100分，將數(shù)據(jù)分成6組：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如下頻率分布直方圖：

(Ⅰ)若全校學(xué)生參加同樣的測試，試估計全校學(xué)生的平均成績(每組成績用中間值代替)；

(Ⅱ)在樣本中，從其成績在80分及以上的學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，用X表示其成績在[90,100]中的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；

(Ⅲ)在(Ⅱ)抽取的3人中，用Y表示其成績在[80,90)的人數(shù)，試判斷方差D(X)與D(Y)的大?。?直接寫結(jié)果)19.(本小題12分)

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)過點A(?2,?1)，長軸長為42．

(1)求橢圓C的方程及其焦距；

(2)直線l：y=kx+m與橢圓C交于不同的兩點M，N，直線AM，AN分別與直線x=?420.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=ln(ax)+a2(x?a)，其中a≠0．

(Ⅰ)當(dāng)a=12時，求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處切線方程；

(Ⅱ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅲ)21.(本小題12分)

已知A為有限個實數(shù)構(gòu)成的非空集合，設(shè)A+A={ai+aj|ai,aj∈A}，A?A={ai?aj|ai,aj∈A}，記集合A+A和A?A其元素個數(shù)分別為|A+A|，|A?A|．

設(shè)n(A)=|A+A|?|A?A|.例如當(dāng)A={1,2}時，A+A={2,3,4}，A?A={?1,0,1}，|A+A|=|A?A|，所以n(A)=0．

(1)若A={1,3,5}，求n(A)的值；

(2)設(shè)A是由3個正實數(shù)組成的集合且(A+A)?A=?，A′=A?{0}，證明：n(A′)?n(A)參考答案1.B

2.D

3.C

4.B

5.D

6.B

7.A

8.D

9.C

10.C

11.(0,112.?40

13.1；答案不唯一；只要常數(shù)ω的取值不等于2+8k(k∈N)即可．

14.315.①②③

16.解：(Ⅰ)因為△ABC中，cos2A+cosA=0，

即2cos2A+cosA?1=0，

解得cosA=?1或cosA=12，

因為A∈(0,π)，

可得A=π3；

(Ⅱ)a=7，

若選條件①：sinC=5314，由正弦定理可得asinA=csinC，

即732=c5314，解得c=5<a，

所以C為銳角，可得cosC=1?sin2C=1114，

由余弦定理可得a2=b2+c2?2bccosA，

即49=b2+25?2×5b×12，

即b2?5b?24=0，解得b=8或?3(舍)，

所以b為最大邊，設(shè)b邊上的高為?，

在△ABC中，sinB=sin(A+C)=sinAcoC+cosAsinC=32×1114+12×5314=437，

可得?=asinB=7×437=43；

條件②：△ABC的面積為103，可得12bcsinA=103，而sinA=32，

可得bc=40，①

由余弦定理可得a17.(Ⅰ)證明：連接DG，

∵BD=2DA，CG=2GA，

∴ADAB=AGAC=13，

∴DG//BC，

∵直三棱柱ABC?A1B1C1，∴BB1//CC1，BB1=CC1，

∵B1E=2EB，C1F=2FC，∴BE=CF，BE//CF，

∴四邊形BCFE是平行四邊形，

∴EF//BC，

∴DG//EF，

∴DG和EF共面，即點G在平面EFD內(nèi)．

(Ⅱ)解：∵∠BAC=90°，∴BA⊥AC，∴B1A1⊥A1C1，

又AA1⊥平面A1B1C1，故AB??1，AC1，AA1兩兩垂直，

以A1為原點，以A1C1，A18.解：(Ⅰ)由直方圖可得第二組的頻率為1?0.06?0.18?0.32?0.20?0.10=0.14，

∴全校學(xué)生的平均成績?yōu)椋?/p>

45×0.06+55×0.14+65×0.18+75×0.32+85×0.20+95×0.10=72.6；

(Ⅱ)由題可知成績在80分及以上的學(xué)生共有50×(0.20+0.10)=15人，

其中[90,100]中的人數(shù)為5，所以X可取0，1，2，3，則

P(X=0)=C103C153=2491

X

0

1

2

3

P

24

45

20

2E(X)=0×2491+1×4591+2×2091+3×291=1；

(Ⅲ)由題意可知隨機(jī)變量X服從超幾何分布，

故D(X)=(0?1)219.解：(1)由題意得2a=424a2+1b2=1，

∴a=22,b=2,c=6，

故橢圓C的方程為x28+y22=1，焦距為2c=26；

(2)證明：由(1)得橢圓C的方程為x28+y22=1，

聯(lián)立x28+y22=1y=km+2，化簡得(4k2+1)x2+8kmx+4m2?8=0，

∴Δ=128k2?16m2+32>0，即8k2?m2+2>0．

設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y2)20.解：(Ⅰ)當(dāng)a=12時，f(x)=ln12x+14x?2，

則f′(x)=1x?4(4x?2)2，

所以f′(1)=0，又f(1)=12?ln2，

則所求切線方程為y=12?ln2．

(Ⅱ)f′(x)=1x+a2??1(x?a)2=(2x?a)(x?2a)2x(x?a)2，

令f′(x)=0，可得x=a2或x=2a，

當(dāng)a<0時，f(x)的定義域為(?∞,a)∪(a,0)，

則由f′(x)>0，可得2a<x<a或a<x<a2，由f′(x)<0，可得x<2a或a2<x<0，

則f(x)的增區(qū)間為(2a,a)和(a,a2)，減區(qū)間為(?∞,2a)和(a2,0)．

當(dāng)a>0時，f(x)的定義為(0,a)∪(a,+∞)，

則由f′(x)>0，可得0<x<a2或x>2a，由f′(x)<0，可得a2<x<a或a<x<2a，

則f(x)的增區(qū)間為(0,a2)和(2a,+∞)，減區(qū)間為(a2,a)和(a,2a)．

(Ⅲ)由題，a>0，f(x)在(0,a2)和21.解：(1)A+A={2,4,6,8,10}，|A+A|=5，

A?A={?4,?2,0,2,4}，|A?A|=5，

∴n(A)=0；

(2)證明：設(shè)A={a1,a2,a3}，

∵(A+A)?A=?，

∴對任意m=1，2，3，不存在i，j=1，2，3，使得am=ai+aj，

于是A′+A′=(A+A)∪{0,a1,a2,a3}，

|A′+A′|=|A