河北省邢臺(tái)市寧晉縣質(zhì)檢聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期3月第一次月考數(shù)學(xué)試卷（含解析）

河北省邢臺(tái)市寧晉縣質(zhì)檢聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號(hào)：___________一、單選題1．若函數(shù)滿足，則（

）A． B．4 C．1 D．22．已知函數(shù)，則（

）A． B．C． D．3．如圖，直線是曲線在點(diǎn)處的切線，則（

）A．1 B．2 C． D．04．已知火箭發(fā)射秒后，其高度（單位：米）為，則火箭發(fā)射后第5秒時(shí)，火箭爬高的瞬時(shí)速度為（

）A． B．C． D．5．“”是“函數(shù)有極值”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．已知定義在上的函數(shù)滿足，，其導(dǎo)函數(shù)滿足，則（

）A． B．16 C．12 D．247．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．8．函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為．若，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．二、多選題9．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則（

）A．B．C．有2個(gè)極大值點(diǎn)，1個(gè)極小值點(diǎn)D．的單調(diào)遞減區(qū)間為，10．若函數(shù)的定義域?yàn)?，且存在，使得，則稱是的一個(gè)“二倍階值點(diǎn)”．下列四個(gè)函數(shù)中，存在“二倍階值點(diǎn)”的是（

）A． B．C． D．11．若，，，則（

）A． B．C． D．三、填空題12．若函數(shù)，則．13．如果函數(shù)滿足在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間上可導(dǎo)，那么在開區(qū)間上至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得，其中稱為“拉格朗日中值”．函數(shù)在上的“拉格朗日中值”為．14．已知函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍是．四、解答題15．已知函數(shù)．(1)若曲線與軸相交于點(diǎn)，求該曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若曲線上點(diǎn)的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為，求點(diǎn)的坐標(biāo)．16．已知函數(shù)．(1)若在上不單調(diào)，求的取值范圍；(2)若，求在上的值域．17．將一個(gè)邊長為2分米的正八邊形硬紙片的八個(gè)角截去八個(gè)全等的四邊形，再把它沿虛線折起，如圖所示，做成一個(gè)無蓋的正八棱柱紙盒（忽略紙片厚度）．（參考數(shù)據(jù)：）

(1)試把該正八棱柱紙盒的容積（單位：立方分米）表示為盒底正八邊形邊長（單位：分米）的函數(shù)．(2)試問當(dāng)盒底正八邊形邊長為何值時(shí)，這個(gè)正八棱柱紙盒的容積最大？容積的最大值是多少立方分米？18．已知函數(shù)，，．(1)求的單調(diào)區(qū)間．(2)若的最大值為1，證明：對任意的，．(3)當(dāng)時(shí)，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．19．若連續(xù)函數(shù)的極值點(diǎn)是函數(shù)的零點(diǎn)，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且存在實(shí)數(shù)滿足，則稱是的強(qiáng)化原生函數(shù)，記的最大值為，則為的強(qiáng)化原生系數(shù)．已知函數(shù)．(1)設(shè)函數(shù)，證明有唯一極值點(diǎn)，并求出滿足的整數(shù)的值．(2)設(shè)函數(shù)，函數(shù)．已知是的強(qiáng)化原生函數(shù)．（i）證明：．（ii）求的強(qiáng)化原生系數(shù)的最小值．《河北省邢臺(tái)市寧晉縣質(zhì)檢聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題》參考答案題號(hào)12345678910答案CBABBDBCBCDABD題號(hào)11答案BCD1．C解析：.故選：C.2．B解析：因?yàn)椋瑒t.故選：B.3．A解析：由圖可知，切線過點(diǎn)，所以切線的斜率為，又由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知.故選：A4．B解析：，則火箭發(fā)射后第5秒時(shí)，火箭爬高的瞬時(shí)速度為.故選：B.5．B解析：，所以，若函數(shù)有極值點(diǎn)，則方程的判別式大于，即，整理得：，解得，所以是函數(shù)有極值的充要條件，所以“”是“函數(shù)有極值”的充分不必要條件.故選：B6．D解析：根據(jù)，構(gòu)造函數(shù)，由，則,則，令，則，令，則.故選：D.7．B解析：由，得，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即，，整理得：，，令，，則，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以在處取得極小值，且為最小值，所以.故選：B8．C解析：令，則，，，即在R上單調(diào)遞減，又，則不等式等價(jià)于，，即，，解得.所以不等式的解集為.故選：C.9．BCD解析：對A，由圖知當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，則，故A錯(cuò)誤；對B，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，則，故B正確；對C，由圖知，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，則為的極大值點(diǎn)；，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，則為的極小值點(diǎn)；，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，則為的極大值點(diǎn)；則有2個(gè)極大值點(diǎn)，1個(gè)極小值點(diǎn)，故C正確；對D，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則的單調(diào)遞減區(qū)間為，，故D正確.故選：BCD.10．ABD解析：對于A，，，由得，解得，所以函數(shù)存在“二倍階值點(diǎn)”，A正確；對于B，，，由得，因?yàn)?，，解得，所以函?shù)存在“二倍階值點(diǎn)”，B正確；對于C，，，由得，令，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，有極小值也是最小值，所以無解，所以函數(shù)不存在“二倍階值點(diǎn)”，C錯(cuò)誤；對于D，，，由得，令，，所以在上單調(diào)遞增，又，，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知在上存在零點(diǎn)，所以方程有解，所以函數(shù)存在“二倍階值點(diǎn)”，D正確；故選：ABD11．BCD解析：，，，，所以，，所以，所以，所以B、C、D正確，A錯(cuò)誤.故選：BCD12．6解析：，則，解得.故答案為：6.13．解析：設(shè)函數(shù)的“拉格朗日中值”為，根據(jù)已知條件有：，因?yàn)?，，所以，，根?jù)題意有：，整理得：，因?yàn)?，所?故答案為：14．解析：函數(shù)的定義域?yàn)?，由可得，令，其中，則，由可得，由可得，所以，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：設(shè)，由圖象可知，函數(shù)有兩個(gè)不等的零點(diǎn)、，且，，若，解得，此時(shí)，，由可得或，不合乎題意；若，可得，則，由，解得，不合乎題意；所以，，，所以，，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.15．(1)(2)或解析：（1）由，令，得，所以曲線與軸的交點(diǎn)為，又，則曲線在點(diǎn)處切線的斜率為，所以曲線在點(diǎn)處切線的方程為，即.（2）設(shè)，，，則切線的斜率，所以切線的方程為，即，，令，得，令，得，所以切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或.16．(1)(2)解析：（1）由題意知，，因?yàn)樵赗上不單調(diào)，所以方程在R上有變號(hào)零點(diǎn)，即方程在R上有兩解，得，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）當(dāng)時(shí)，，則，令或，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以在上的值域?yàn)?17．(1)(2)解析：（1）

根據(jù)已知條件，得到如上圖所示圖形，已知條件有正八邊形的內(nèi)角為，所以，，，設(shè)，，在中，，解得，在中，，，所以，所以，正八邊形面積為：，所以正八棱柱紙盒的容積：，.即，.（2）因?yàn)?，，所以，，所以，，所以?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，由此可知當(dāng)時(shí)，取得極大值即最大值.18．(1)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減(2)證明見詳解(3)解析：（1）的定義域?yàn)?，令得，令得，令得，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（2）由（1）知，，，要證，即證，即證，即證，構(gòu)造函數(shù)，則，令得，令得，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，即恒成之，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.，，使得，恒成立，故對于任意的，.（3）當(dāng)時(shí)，，若恒式立,即恒式立，即，即恒成立，由（2）可知恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，令，則恒成立，在單調(diào)遞增，，使得成立，，，所以．19．(1)證明見解析；(2)（i）證明見解析；（ii）解析：（1）證明：依題意得，則，設(shè)函數(shù)，則，所以在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以存在唯一零點(diǎn)，使得.當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增；所以有唯一極值點(diǎn)，且，故滿足的整數(shù)的值為.（2）（i）證