8.3.2.2 球的表面積和體積 課件高一下學期數(shù)學人教A版（2019）必修第二冊

8.3.2.2球的表面積和體積1．球的概念以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體，叫做球體。半圓的圓心叫做球的球心，半圓的半徑叫做球的半徑。復習

2.球的性質(zhì)

性質(zhì)2:

球心和截面圓心的連線____于截面．性質(zhì)1：用一個平面去截球，截面是_______；用一個平面去截球面，截線是__________。性質(zhì)3:球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r有下面的關系:圓面圓垂直半徑為R的球的表面積公式球表面積一、球的表面積與體積公式思考：在小學，我們學習了圓的面積公式，你還記得是如何求得的嗎？類比這種方法，你能由球的表面積公式推導出球的體積公式嗎？半徑為R的球的體積球體積例4

如圖，圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，求球與圓柱的體積之比．解：P81【訓練1】

(1)已知球的表面積為64π，求它的體積；解(1)設球的半徑為R，則4πR2＝64π，解得R＝4，所以球的表面積S＝4πR2＝4π×52＝100π.兩個球的表面積之比等于這兩個球的半徑比的平方兩個球的體積之比等于這兩個球的半徑比的立方小結4.若兩球體積之比是1:2，則其表面積之比是______.1.若球的表面積變?yōu)樵瓉淼?倍,則半徑變?yōu)樵瓉淼腳__倍.2.若球半徑變?yōu)樵瓉淼?倍，則表面積變?yōu)樵瓉淼腳__倍.3.若兩球表面積之比為1:2，則其體積之比是______.練一練【例1】△ABC的三個頂點在球O的表面上，且AB=，AC=2，BC=6.球心O與BC中點的連線長為4，求球的表面積與體積。6262P81【訓練2】用與球心距離為1的平面去截球所得的截面面積為π，則球的表面積為(

)答案CP81題型二球的截面問題【例2】一個球內(nèi)有相距9cm的兩個平行截面，它們的面積分別為49πcm2和400πcm2，求球的表面積.(1)設球的半徑為Rcm，∵π·O2B2＝49π，∴O2B＝7(cm).同理，得O1A＝20(cm).設OO1＝xcm，則OO2＝(x＋9)cm.在Rt△O1OA中，R2＝x2＋202，①在Rt△OO2B中，R2＝72＋(x＋9)2，②聯(lián)立①②可得x＝15，R＝25.∴S球＝4πR2＝2500π(cm2)，故球的表面積為2500πcm2.當截面在球心的兩側(cè)時，如圖(2)所示為球的軸截面，由球的截面性質(zhì)知，O1A∥O2B，且O1，O2分別為兩截面圓的圓心，則OO1⊥O1A，OO2⊥O2B.(2)設球的半徑為Rcm，∵π·O2B2＝49π，∴O2B＝7(cm).∵π·O1A2＝400π，∴O1A＝20(cm).設O1O＝xcm，則OO2＝(9－x)cm.在Rt△OO1A中，R2＝x2＋400.在Rt△OO2B中，R2＝(9－x)2＋49.∴x2＋400＝(9－x)2＋49，解得x＝－15，不合題意，舍去.綜上所述，球的表面積為2500πcm2.問題探究一球心在正方體的中心，隨著球的半徑逐漸增大，球與正方體有哪些特殊位置關系？二、球的切、接問題2.位置關系描述：球與正方體的六個面都相切，各個面的中心即為切點。正方體的中心即為球心。相對兩個面中心連線即為球的直徑。球叫做“正方體的內(nèi)切球”，正方體叫做“球的外切正方體”。o1.圖形3.度量關系球的直徑等于正方體棱長。（一）正方體的內(nèi)切球1.正方體與球P82【訓練3】

(2)將棱長為2的正方體木塊削成一個體積最大的球，則該球的體積為________.2.位置關系描述：3.度量關系:1.圖形（二）球與正方體的棱相切球與正方體的12條棱都相切，各棱的中點即為切點。正方體中心即為球心?！皩狻敝悬c連線即為球的直徑。球的直徑等于正方體一個面上的對角線長例2在一個空的正方體框架內(nèi)放置一球，若正方體棱長為a,則此球的最大體積是1.圖形2.位置關系描述：3.度量關系（三）正方體的外接球正方體的8個頂點在同一個球面上。正方體的中心即為球心。球叫做“正方體的外接球”，正方體叫做“球的內(nèi)接正方體”。正方體的（體）對角線等于球直徑例3正方體的表面積是，它的頂點都在球面上，則這個球的表面積是P81【例3】在半球內(nèi)有一個內(nèi)接正方體，試求這個半球的體積與正方體的體積之比.解作正方體對角面的截面，如圖所示，設半球的半徑為R，正方體的棱長為a，在Rt△C′CO中，由勾股定理，得CC′2＋OC2＝OC′2，問題探究二球與長方體又有哪些位置關系？思考：一般的長方體有內(nèi)切球嗎？沒有。一個球在長方體內(nèi)部，最多可以和該長方體的5個面相切。2.長方體與球長方體的外接球2.位置關系描述：長方體的8個頂點在同一個球面上。長方體的中心（對角線的交點）即為球心。球叫做“長方體的外接球”，長方體叫做“球的內(nèi)接長方體”。3.度量關系長方體的（體）對角線等于球直徑1.圖形P82【訓練3】

(1)設長方體的長、寬、高分別為2a，a，a，其頂點都在一個球面上，則該球的表面積為(

)P82素養(yǎng)訓練5.正四棱柱的底面邊長為1，高為2，其8個頂點都在一個球的球面上，則該球的表面積是多少？C探究：問題探究三球與正四面體又有哪些位置關系？3.正四面體和球

如圖4所示，設點是內(nèi)切球的球心，正四面體棱長為由圖形的對稱性知，點也是外接球的球心．，外接球半徑為正四面體的表面積正四面體的體積

設內(nèi)切球半徑為小結:正四面體內(nèi)切球半徑是，

外接球半徑是。在中，即，得，得P82【例4】已知某正四面體的內(nèi)切球的體積是1，則該正四面體的外接球的體積是(

)A.27B.16 C.9 D.3補體法（三）球與正四面體的棱切問題

設棱長為a的正四面體的棱切球的半徑R.補體法為正方體內(nèi)切球，正方體棱長補體法練習P82【例5】正四面體ABCD的棱長為4，E為棱BC的中點，過點E作其外接球的截面，則截面面積的最小值是(

)A.4πB.8π C.12π D.16π∵正四面體ABCD的棱長為4，且正四面體ABCD的棱長是正方體的面對角線長，E為棱BC的中點，過點E作其外接球的截面，當截面到外接球的球心O的距離最大時，截面面積最小，補體法練習P82【例6】設三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱長都為a，頂點在一個球面上，則該球的表面積為(

)解析如圖所示，設O1，O分別為上、下底面的中心，連接OO1，則球心O2為OO1的中點，連接AO并延長交BC于D點，連接AO2.練習:P82【訓練3】(3)在半徑為R的球面上有A，B，C三點，且AB＝BC＝CA＝3，球心到△ABC所在截面的距離為球半徑的一半，求球的表面積.所以球的表面積S＝4πR2＝16π.P82素養(yǎng)訓練4.已知圓臺的上、下底面都是球O的截面，若圓臺的高為6，上、下底面的半徑分別為2，